Giải bài 35 trang 82 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Biểu diễn dưới dạng phân số của \(1,\left( 7 \right)\) là:

A. \(\frac{7}{9}\)                             

B. \(\frac{{10}}{9}\)                        

C. \(\frac{{10}}{3}\)                  

D. \(\frac{{16}}{9}\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(1,\left( 7 \right) = 1 + \frac{7}{{10}} + \frac{7}{{100}} + \frac{7}{{1000}} + ...\)

Xét cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = \frac{7}{{10}}\) và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\).

Do \(q = \frac{1}{{10}} < 1\) nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân này là \(S = \frac{{u{\rm{\_1}}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{7}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{7}{9}\).

Do đó \(1,\left( 7 \right) = 1 + \left( {\frac{7}{{10}} + \frac{7}{{100}} + \frac{7}{{1000}} + ...} \right) = 1 + \frac{7}{9} = \frac{{16}}{9}\)

Đáp án đúng là D.