Giải bài 3.30 trang 42 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {45^ \circ },\,\,c = 6,\,\,\widehat B = {75^ \circ }.\)

Độ dài đường cao \({h_b}\) bằng:

A. \(3\sqrt 2 .\)

B. \(\frac{3}{{\sqrt 2 }}.\)

C. \(6\sqrt 2 .\)

D. \(2\sqrt 3 .\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^ \circ }\,\, \Rightarrow \,\,\widehat C = {180^ \circ } - \widehat A - \widehat B = {60^ \circ }\)

Áp dụng định lý sin trong \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\\ \Rightarrow \,\,b = \frac{{c.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{6.\sin {{75}^ \circ }}}{{\sin {{60}^ \circ }}} = 6 + 3\sqrt 2 \,\,\left( {dvdd} \right)\end{array}\)

Diện tích \(\Delta ABC\) là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.\left( 6 + 3\sqrt 2 \right).6.\sin {45^ \circ } = 9 + 3\sqrt 3 \,\,\left( {dvdt} \right)\)

Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{h_b}.b\,\, \Rightarrow \,\,{h_b} = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{b} = \frac{{2.(9 + 3\sqrt 3)}}{{6 + 3\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \,\,\left( {dvdd} \right)\)

Chọn A