Giải bài 3.3 trang 33 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \({0^ \circ } < \alpha  < {180^ \circ },\,\,\tan \alpha  = 2.\) Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(G = 2\sin \alpha  + \cos \alpha .\)

b) \(H = \frac{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + 4}} = \frac{1}{5}\,\, \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

\(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - \frac{1}{5}}  = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\)

a) \(G = 2\sin \alpha  + \cos \alpha  = 2.\frac{{2\sqrt 5 }}{5} + \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{5\sqrt 5 }}{5} = \sqrt 5 .\)

b) \(H = \frac{{2\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\frac{{2\sqrt 5 }}{5} - \frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{{\frac{{\sqrt 5 }}{5}}} = 5.\)