Giải bài 31 trang 21 sách bài tập toán 11 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Bạn Nam tham gia một trò chơi rút thăm trúng thưởng. Hộp đựng thăm có 50 lá thăm cứng với kích thước và khối lượng như nhau, trong đó có 20 lá trúng thưởng, 30 lá không trúng thưởng. Mỗi người được rút 2 lần (sau mỗi lần rút thì ghi kết quả và bỏ lại thăm vào hộp), mỗi lần 2 lá thăm. Nếu rút được 2 lá trúng thưởng thì được 1 tai nghe, nếu rút được 3 lá trúng thưởng thì được 1 tai nghe và 1 bàn phím, nếu rút được 4 lá trúng thưởng thì được 1 máy tính bảng. Tính xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải chi tiết

Mỗi cách chọn ngẫu nhiên 2 lá thăm từ 50 lá thăm cho ta một tổ hợp chập 2 của 50 phần tử. Do đó, sau 2 lần bốc thăm, số phần tử của không gian mẫu Ω là: \(n\left( \Omega  \right) = {\left( {C_{50}^2} \right)^2}.\)

Xét biến cố A: “Bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe”.

Suy ra biến cố \(\bar A\): “Bạn Nam không được trúng thưởng có tai nghe”.

Có 3 trường hợp có thể xảy ra của biến cố \(\bar A\):

+ Trường hợp 1: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 4 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn: \(C_{20}^2.C_{20}^2 = {\left( {C_{20}^2} \right)^2}.\)

+ Trường hợp 2: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, có 1 lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn: \(2!C_{30}^2.C_{20}^1.C_{30}^1.\)

+ Trường hợp 3: Trong 4 lá thăm bạn Nam rút, không có lá trúng thưởng. Suy ra số cách chọn: \(C_{30}^2.C_{30}^2 = {\left( {C_{30}^2} \right)^2}.\)

Suy ra \(n\left( {\bar A} \right) = {\left( {C_{20}^2} \right)^2} + 2!C_{30}^2.C_{20}^1.C_{30}^1 + {\left( {C_{30}^2} \right)^2} = 747325.\)

Xác suất của biến cố \(\bar A\) là: \(P\left( {\bar A} \right) = \frac{{n\left( {\bar A} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{747325}}{{{{\left( {C_{50}^2} \right)}^2}}}.\)

Suy ra xác suất để bạn Nam được trúng thưởng có tai nghe là:

 \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\bar A} \right) = 1 - \frac{{747325}}{{{{\left( {C_{50}^2} \right)}^2}}} \approx 0,5.\)