Giải bài 3 trang 48 vở thực hành Toán 8

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Ta có EC = ED nên tam giác ECD cân tại E, suy ra \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{C_2}}\) (1)

Do AC ⊥ CE, BD ⊥ DE nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{D_2}} = \widehat {BDE} = {90^0}\),

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = \widehat {ACE} = {90^0}\) (2)

Gọi F là giao điểm của AC và BD.

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}} \Rightarrow \Delta DCF\) cân tại F.

\( \Rightarrow DF = FC\)  (3)

Do AB // CD nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_1}},\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}\) (hai góc so le trong).

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow \Delta ABF\) cân tại F.

\( \Rightarrow {\rm{AF}} = BF\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra AC = AF + CF = BF + DF = BD.

Suy ra hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân.