Giải bài 1.4 trang 11 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) và vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\).

a) Xác định ảnh của tâm đường tròn (C) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\).

b) Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua \({T_{\overrightarrow u }}\).

Lời giải chi tiết

Ta có  \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25\) hay  \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left[ {y{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {-{\rm{ }}2} \right)} \right]^2}\; = {\rm{ }}{5^2}.\)

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 5.

a) Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\) là một đường tròn bán kính bằng 5, gọi là (C').

Gọi I' là tâm của (C'). Ta có I' là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {II'}  = \overrightarrow u  = (3;4)\). Suy ra I'(4; 2). Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C') có tâm I'(4; 2) và bán kính bằng 5.

b) Ta có \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}25.\)