Giải bài 1.28 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u\left( { - 3;\,4} \right)$.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Lấy A(0; 5), B(1; 7) thuộc đường thẳng d.

Gọi A', B' tương ứng là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u\left( { - 3;\,4} \right)$

Khi đó: $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow u$  và $\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow u$.Suy ra A'(– 3; 9) và B'(– 2; 11).

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u\left( { - 3;\,4} \right)$ nên hai điểm A', B' thuộc đường thẳng d'.

Ta có: $\overrightarrow {A'B'}  = \left( {1;\,2} \right)$, suy ra đường thẳng d' có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {2;\, - 1} \right)$.

Phương trình đường thẳng d' là $2\left( {x + 3} \right)-\left( {y-9} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x-y + 15 = 0.$

Cách 2:

Gọi M(x; y) thuộc đường thẳng d và M'(x'; y') là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u\left( { - 3;\,4} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {MM'}  = \vec u$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x' - x =  - 3}\\{y' - y = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = x' + 3}\\{y = y' - 4}\end{array}} \right.$

Ta có $M \in \Delta \; \Leftrightarrow \;2x-y + 5 = 0\; \Leftrightarrow \;2\left( {x' + 3} \right)-\left( {y'-4} \right) + 5 = 0\; \Leftrightarrow \;2x'-y' + 15 = 0.$ Do đó, M'(x'; y') thuộc đường thẳng có phương trình 2x – y + 15 = 0.

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec u\left( { - 3;\,4} \right)$ nên M' thuộc đường thẳng d'.

Vậy phương trình đường thẳng d' là 2x – y + 15 = 0.