Giải bài 1.30 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 9. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C').

Lời giải chi tiết

Ta có $\left( C \right):{\left( {x-1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9 \Leftrightarrow {\left( {x-1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left[ {y-\left( {-2} \right)} \right]^2}\; = {3^2}.$

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 3.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 nên I' là ảnh của I qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 và $R' = \left| {-2} \right|.R = 2{\rm{ }}.3 = 6.$

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(O, – 2)} nên $\overrightarrow {OI'}  =  - 2\overrightarrow {OI}$

Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} =  - 2{x_I} =  - 2.1 =  - 2}\\{{y_{I'}} =  - 2{y_I} =  - 2.\left( { - 2} \right) = 4}\end{array}} \right.$ nên I'(– 2; 4).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

${\left[ {x-\left( {-2} \right)} \right]^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y-4} \right)^2}\; = {6^2}\; \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2}\; + {\left( {y-4} \right)^2}\; = 36.$