Giải bài 1.12 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cam xuất khẩu được đóng thành từng thùng. Xác suất để một quả cam không đạt chất lượng là 0,03. Vì số lượng cam trong mỗi thùng rất lớn nên không thể kiểm tra toàn bộ số cam trong thùng, người ta lấy ngẫu nhiên từ thùng cam 20 lần một cách độc lập, mỗi lần lấy 1 quả để kiểm tra rồi trả lại nó vào thùng. Gọi X là số quả cam không đạt chất lượng.

a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.

b) Các thùng cam được phân thành ba loại theo cách sau:

Trong 20 lần lấy đó:

- Nếu tất cả các quả cam lấy ra đều đạt chất lượng thì thùng được xếp loại I;

- Nếu có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại II;

- Nếu có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại III.

Tính tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III.

Lời giải chi tiết

a) X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhị thức với tham số \(n = 20;p = 0,03\)

b)

Gọi A là biến cố: “Thùng cam được xếp loại I”

Khi đó, \(P(A) = P(X = 0) = C_{20}^0{.0,03^0}{.0,97^{20}} \approx 0,5438\)

Gọi B là biến cố: “Thùng cam được xếp loại II” tức là có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng \( \Rightarrow B = \left\{ {X = 1} \right\} \cup \left\{ {X = 2} \right\}\)

\(P(B) = P(X = 1) + P(X = 2) = C_{20}^1{.0,03^1}{.0,97^{19}} + C_{20}^2{.0,03^2}{.0,97^{18}} \approx 0,4352\)

Gọi C là biến cố: “Thùng cam được xếp loại III” tức là có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng \( \Rightarrow \overline C \) là biến cố: “Có nhiều nhất 2 quả cam không đạt chất lượng”

\(\overline C  = \left\{ {X = 0} \right\} + \left\{ {X = 1} \right\} + \left\{ {X = 2} \right\}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P(\overline C ) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,5438 + 0,4352 = 0,979\\ \Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline C ) = 0,021\end{array}\)

Vậy tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III tương ứng là \(54,38\% ;43,52\% ;2,1\% \)