Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số: a) \(y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} - 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\); b) \(y = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{{\rm{x}} + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\); c) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\); d) \(y = \ln \sqrt {{x^2} + 1} \) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\); e) \(y = x + \cos 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

a) \(y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} - 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\);

b) \(y = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{{\rm{x}} + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\);

c) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\);

d) \(y = \ln \sqrt {{x^2} + 1} \) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\);

e) \(y = x + \cos 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right)\) và \(f\left( b \right)\).

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4{\rm{x}} - 7\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x =  - 1,x = \frac{7}{3}\).

\(y\left( { - 3} \right) =  - 23;y\left( { - 1} \right) = 5;y\left( {\frac{7}{3}} \right) =  - \frac{{365}}{{27}};y\left( 2 \right) =  - 13\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 5\) tại \(x =  - 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y =  - 23\) tại \(x =  - 3\).

b) Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 8}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}^2}}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), \(y' = 0\) vô nghiệm.

\(y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{{25}}{6}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \frac{{25}}{6}\) tại \(x = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \frac{1}{2}\) tại \(x =  - 1\).

c) Ta có: \(y' = {x^2}{e^x}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { - 2} \right) = \frac{{10}}{{{{\rm{e}}^2}}};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = e\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = e\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = \frac{{10}}{{{e^2}}}\) tại \(x =  - 2\).

d) Ta có: \(y' = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { - \sqrt 3 } \right) = \ln 2;y\left( 0 \right) = 0;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = \ln 3\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = \ln 3\) tại \(x = 2\sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = 0\) tại \(x = 0\).

e) Ta có: \(y' = 1 - 2\sin 2{\rm{x}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}\).

\(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4};y\left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{\pi }{4}\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) tại \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}\).

  • Giải bài 108 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) (y = {x^3} - 6{{rm{x}}^2} + 9x - 2); b) (y = - {x^3} - x); c) (y = frac{{2{rm{x}} - 4}}{{{rm{x}} + 1}}); d) (y = frac{{ - x + 3}}{{{rm{x}} - 2}}); e) (y = frac{{{x^2} - x + 2}}{{{rm{x}} + 1}}); g) (y = frac{{ - {x^2} + 4}}{{2{rm{x}}}}).

  • Giải bài 109 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh lần lượt là 0,9 m và 1,5 m như Hình 32. Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật. Gọi \(V\) là thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành, \(V\) được tính theo \(x\) bởi công thức nào? Tìm \(x\) để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

  • Giải bài 110 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Một nhà in sử dụng các trang giấy hình chữ nhật để in sách. Sau khi để lề trái, lề phải, lề trên và lề dưới theo số liệu được cho ở Hình 33 thì diện tích phần in chữ trên trang sách là 24 inch2. Tính kích thước của trang sách để diện tích giấy cần sử dụng là ít nhất?

  • Giải bài 111 trang 45 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Một cửa sổ gồm phần dưới là một hình chữ nhật và phần vòm có hình bán nguyệt được mô tả ở Hình 34. Tìm \(x,y\) để diện tích của cửa sổ lớn nhất, biết chu vi của cửa sổ là 5 m.

  • Giải bài 106 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

    Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{ - 3{rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}}); b) (y = frac{{{x^2} - 1}}{{2{rm{x}} + 1}}); c) (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}).

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close