Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

a) \(y = {x^3} - 2{{\rm{x}}^2} - 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\);

b) \(y = \frac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{{\rm{x}} + 3}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\);

c) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\);

d) \(y = \ln \sqrt {{x^2} + 1} \) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\);

e) \(y = x + \cos 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y' = 3{x^2} - 4{\rm{x}} - 7\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 3;2} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x =  - 1,x = \frac{7}{3}\).

\(y\left( { - 3} \right) =  - 23;y\left( { - 1} \right) = 5;y\left( {\frac{7}{3}} \right) =  - \frac{{365}}{{27}};y\left( 2 \right) =  - 13\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y = 5\) tại \(x =  - 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;2} \right]} y =  - 23\) tại \(x =  - 3\).

b) Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 6{\rm{x}} + 8}}{{{{\left( {{\rm{x}} + 3} \right)}^2}}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\), \(y' = 0\) vô nghiệm.

\(y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2};y\left( 3 \right) = \frac{{25}}{6}\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \frac{{25}}{6}\) tại \(x = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} y = \frac{1}{2}\) tại \(x =  - 1\).

c) Ta có: \(y' = {x^2}{e^x}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { - 2} \right) = \frac{{10}}{{{{\rm{e}}^2}}};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 1 \right) = e\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = e\) tại \(x = 1\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = \frac{{10}}{{{e^2}}}\) tại \(x =  - 2\).

d) Ta có: \(y' = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = 0\).

\(y\left( { - \sqrt 3 } \right) = \ln 2;y\left( 0 \right) = 0;y\left( {2\sqrt 2 } \right) = \ln 3\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = \ln 3\) tại \(x = 2\sqrt 2 \), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 3 ;2\sqrt 2 } \right]} y = 0\) tại \(x = 0\).

e) Ta có: \(y' = 1 - 2\sin 2{\rm{x}}\)

Khi đó, trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]\), \(y' = 0\) khi \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}\).

\(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4};y\left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right) = \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2};y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2} - 1\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{\pi }{4}\) tại \(x = \frac{\pi }{4}\), \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}} \right]} y = \frac{{5\pi }}{{12}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) tại \(x = \frac{{5\pi }}{{12}}\).