Giải bài 10 trang 72 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết khai triển nhị thức Newton của \({(3x - 2)^n}\), biết n là số tự nhiên thoả mãn \(A_n^2 + 2C_n^1 = 30\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(A_n^2 + 2C_n^1 = 30 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} + 2\frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} = 30\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow n(n - 1) + 2n - 30 = 0\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow n = 5\) (thỏa mãn) hoặc \(n =  - 6\) (loại)

Khi đó \(\begin{array}{l}{(3x - 2)^n} = {(3x - 2)^5}\\ = {(3x)^5} + 5{(3x)^4}.( - 2) + 10{(3x)^3}{( - 2)^2} + 10{(3x)^2}{( - 2)^3} + 5.3x{( - 2)^4} + {( - 2)^5}\\ = 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 720{x^2} + 240x - 32\end{array}\)