Đề thi vào 10 môn Toán Thanh Hóa năm 2023

Tải về

Câu 1: Cho biểu thức P=xx+2+x+1x22+5xx4P=xx+2+x+1x22+5xx4 với x0,x4. 1. Rút gọn biểu thức P 2. Tìm tất cả các giá trị của x để P>1.

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Đề bài

Câu 1: Cho biểu thức P=xx+2+x+1x22+5xx4 với x0,x4.

1. Rút gọn biểu thức P

2. Tìm tất cả các giá trị của x để P>1.

Câu 2: 

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y=ax+b. Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M(1;2).

2. Giải hệ phương trình {3x+y=6xy=2

Câu 3: 

1. Giải phương trình x23x+2=0.

2. Cho phương trình x22mxm22=0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 (với x1<x2 ) thỏa mãn hệ thức x22|x1|3x1x2=3m2+3m+4.  

Câu 4: Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm đối xứng với B qua O, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

1. Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO. Chứng minh rằng MN2 = ND.NA.

3. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh (HAHD)2ACHN=1.

Câu 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 4x2+y2+4z26y.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=8(x+3)2+16(y+4)2+1(z+1)2+2023.

----- HẾT -----

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

1. Quy đồng và rút gọn.

2. Giải phương trình P > 1.

Cách giải:

1. Rút gọn biểu thức P

Ta có P=xx+2+x+1x22+5xx4

             =x(x2)(x2)(x+2)+(x+1)(x+2)(x2)(x+2)2+5x(x2)(x+2)=x2x+x+3x+225x(x2)(x+2)=2x4x(x2)(x+2)=2x(x2)(x2)(x+2)=2xx+2

Vậy P=2xx+2 với x0,x4

2. Tìm tất cả các giá trị của x để P>1.

Để P>1

2xx+2>12x>x+2  (do x+2 > 0)

x>2x>4

Đối chiếu với điều kiện x0,x4, để P > 1 thì x>4

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

1. y=ax+b có hệ số góc là a.

2. Sử dụng phương pháp thế hoặc trừ vế.

Cách giải:

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y=ax+b. Tìm a, b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M(1;2).

Vì (d) có hệ số góc bằng 3 nên suy ra: a=3.

Khi đó phương trình đường thẳng (d) có dạng y=3x+b

Vì (d) đi qua điểm M(1;2) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng (d) ta được:

2=3.(1)+b2=3+bb=5

Vậy a=3;b=5.

2. Giải hệ phương trình {3x+y=6xy=2

Ta có: {3x+y=6xy=2{4x=4y=x+2{x=1y=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(1;3).

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

1. Bước 1: Tính giá trính của Δ với Δ=b24ac

Bước 2: Xét tập nghiệm của phương trình bằng việc sánh giá Δ với 0

Δ<0 phương trình bậc 2 vô nghiệm

Δ=0 phương trình bậc 2 có nghiệm kép x1=x2=b2a

Δ>0 phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau: x1,2=b±Δ2a.

2. Sử dụng Vi et.

Cách giải:

1. Giải phương trình x23x+2=0.

Xét  phương trình x23x+2=0a+b+c=0 nên ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt [x1=1x2=ca=2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt [x1=1x2=2.

2. Cho phương trình x22mxm22=0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 (với x1<x2 ) thỏa mãn hệ thức x22|x1|3x1x2=3m2+3m+4

Xét phương trình x22mxm22=0Δ=(m)21.(m22)=m2+m2+2=2m2+2>0 với mọi m.

Áp dụng định lí Vi – ét ta có: {x1+x2=2mx1x2=m22 .        (2)

Nhận thấy x1x2=m22<0 với mọi m nên phương trình có hai nghiệm trái dấu x1<0<x2.

x22|x1|3x1x2=3m2+3m+4x2+2x13x1x2=3m2+3m+42x1+x23(m22)=3m2+3m+42x1+x2+3m2+6=3m2+3m+42x1+x2=3m2

Ta có hệ phương trình {x1+x2=2m2x1+x2=3m2{x1=m2x2=2mm+2=m+2

Thay vào x1x2=m22 ta được phương trình

(m2)(m+2)=m22m24=m222m2=2

m2=1[m=1m=1

Vậy [m=1m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4 (VD):

Cách giải:

1. Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) (gt) MAO=MBO=900.

MAO+MBO=900+900=1800.

Mà A, B là hai đỉnh đối diện của tứ giác MAOB.

Vậy MAOB là tứ giác nội tiếp (dhnb).

2. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO. Chứng minh rằng MN2 = ND.NA.

Ta có: MDN=ADC (đối đỉnh), ADC=ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

MDN=ABC.

ABC=ABO=AMO=AMN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AO).

MDN=AMN.

Xét ΔMNDΔANM có:

ANMchungMDN=AMN(cmt)

ΔMNDΔANM(g.g)

MNNA=NDMN (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) MN2=ND.NA(dpcm).

3. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh (HAHD)2ACHN=1.

Xét ΔMADΔMCA có:

AMC chung

MAD=MCA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD).

ΔMADΔMCA(g.g)

MAMC=MDMA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

MA2=MC.MD                   (1)

Ta có: OA=OB(=R)O thuộc trung trực của AB.

MA=MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) M thuộc trung trực của AB.

OM là trung trực của AB OMAB tại H.

Xét tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

MA2=MH.MO                  (2)

Từ (1), (2) MC.MD=MH.MOMCMH=MOMD.

Xét ΔMOCΔMDH có:

OMC chung

MCMH=MOMD(cmt)

ΔMOCΔMDH(g.g)

MHD=MCO (hai góc tương ứng)

MCO=DCB=DAB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DB)

MHD=DAB.

MHD+DHA=AHM=900.

DAB+DHA=900 ΔADH vuông tại D (tam giác có tổng hai góc bằng 900).

HDAN tại D.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADH có: HA2=AD2+HD2.

Biến đổi (HAHD)2ACHN=1 ta có:

(HAHD)2ACHN=1AD2+HD2HD2=1+ACHNAD2HD2+1=1+ACHNAD2HD2=ACHN

Xét tam giác AHN vuông tại H, có đường cao HD ta có: HD2=AD.DN (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

AD2HD2=ACHNAD2AD.DN=ACHNADDN=ACHNADAC=DNHN.

Xét ΔADCΔNDM có:

ADC=MDN (đối đỉnh)

BAC=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ACAB. Lại có OMAB(cmt)OM//AC (từ vuông góc đến song song) DAC=DNM (so le trong)

ΔADCΔNDM(g.g)

ADAC=DNNM (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Suy ra (HAHD)2ACHN=1DNNM=DNHNNM=HN

Do đó ta cần chứng minh NM=HN.

Theo ý 2. ta có: MN2=ND.NA.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHN đường cao HD ta có: NH2=ND.NA.

Vậy MN2=NH2MN=NH. Do đó ta có điều phải chứng minh (HAHD)2ACHN=1.

Câu 5 (VDC):

Cách giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

1a2+1b221a2.1b2=2ab

ab(a+b)24

1a2+1b28(a+b)2

Khi đó ta có:

M=8(x+3)2+16(y+4)2+1(z+1)2+2023

=8(x+3)2+1(y4+1)2+1(z+1)2+2023

8(x+3)2+8(y4+1+z+1)2+2023

64(x+3+y4+1+z+1)2+2023

64(x+y4+z+5)2+2023

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

4x2+424x2.4=8x

y2+162y2.16=8y

4z2+424z2.4=8z

Suy ra: 8x+8y+8z4x2+4+y2+16+4z2+4=4x2+y2+4z2+24

Mà: 4x2+y2+4z26y

8x+8y+8z6y+248x+2y+8z24x+y4+z3

M64(x+y4+z+5)2+2023=64(3+5)2+2023=2024

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=z=1;y=4

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2024 khi x=z=1;y=4.

Tải về

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close