Đề thi thử THPTQG - Đề số 1

Đề bài

Câu 1 :

Cho x>0; $x \ne 1$ thỏa mãn biểu thức $\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{2017}}x}} = M$ . Khi đó $x$ bằng:

A

$x = \sqrt[M]{{2017!}} - 1$
B

$x = \sqrt[M]{{2018!}}$
C

$x = \sqrt[M]{{2016!}}$
D

$x = \sqrt[M]{{2017!}}$

Câu 2 :

Điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$ nếu:

A

$OM = R$
B

$OM \le R$
C

$OM < R$
D

$OM > R$

Câu 3 :

Các đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$ và $y = - {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A

$4$
B

$1$
C

$0$
D

$2$

Câu 4 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm:

A

$x = 2$
B

$x = 0$
C

$x = 3$
D

$x = - 1$

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x+y+z-5=0$ và $\left( Q \right):x+2y+z-4=0.$ Khi đó, giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có phương trình là

A
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
B
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$
C
$d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
D
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$

Câu 6 :

Cho đường thẳng $d$ có phương trình $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(P):x + y + z - 10 = 0$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A

$d$ nằm trong $(P)$
B

$d$ song song với $(P)$
C

$d$ vuông góc với $(P)$
D

$d$ tạo với $(P)$ một góc nhỏ hơn ${45^0}$

Câu 7 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho cho điểm $A\left( { - 1;3;2} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - 5y + 4z - 36 = 0$. Tọa độ hình chiếu $H$ của $A$ trên $\left( P \right)$ là.

A

$H\left( { - 1; - 2;6} \right)$
B

$H\left( {1;2;6} \right)$
C

$H\left( {1; - 2;6} \right)$
D

$H\left( {1; - 2; - 6} \right)$

Câu 8 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;-1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$?

A

$x + y - 3z - 8 = 0$
B

$x - y - 3z + 3 = 0$
C

$x + y + 3z - 9 = 0$
D

$x + y - 3z + 3 = 0$

Câu 9 :

Thể tích khối trụ có bán kính $r = 4cm$ và chiều cao $h = 5cm$ là:

A

$40\pi c{m^3}$
B

$80\pi c{m^3}$
C

$60\pi c{m^3}$
D

$100\pi c{m^3}$

Câu 10 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2x + \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ là :

A

$ - 1$
B

$1$
C

$\pi $
D

$0$

Câu 11 :

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r = 3cm$ và độ dài đường sinh $4cm$ là:

A

$12({m^2})$
B

$12\pi (c{m^3})$
C

$12\pi (c{m^2})$
D

$4\pi (c{m^2})$

Câu 12 :

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = 3x$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + 1$ là:

A

$\left( {1;3} \right)$
B

$\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
C

$\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
D

$\left( { - 1; - 3} \right)$

Câu 13 :

Giải bất phương trình: $\log _2^2x - 4033{\log _2}x + 4066272 \le 0$ .

A

${\rm{[2016;2017]}}$
B

$\left( {2016;2017} \right)$
C

$\left[ {{2^{2016}};{2^{2017}}} \right]$
D

$\left[ {{2^{2016}}; + \infty } \right)$

Câu 14 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$

A

$y = \sin x - 3x$
B

$y = \cos x + 2x$
C

$y = {x^3}$
D

$y = {x^5}$

Câu 15 :

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx$ có giá trị là:

A

$\frac{{19}}{3}$.
B

$\frac{{32}}{3}$.
C

$\frac{{16}}{3}$.
D

$\frac{{21}}{2}$.

Câu 16 :

Tổng các nghiệm của phương trình ${3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81$

A

$0$
B

$1$
C

$3$
D

$4$

Câu 17 :

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số $y = 3{x^4}$?

A

$y = 12{x^3}$
B

$y = \dfrac{{3{x^5}}}{5} - 1$
C

$y = \dfrac{{3{x^5} + 1}}{5}$
D

$y = \dfrac{3}{5}{x^5} - \dfrac{3}{5}$

Câu 18 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
B

Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
C

Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
D

Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu

Câu 19 :

Hàm số nào dưới đây có tập xác định $\mathbb{R}$?

A

$y = \dfrac{{x - 1}}{x}$
B

$y = {x^3}$
C

$y = \sqrt {x - 1} $
D

$y = \dfrac{{{x^3}}}{x}$

Câu 20 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - mx + 1$ đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right).$

A

$m \ge 0.$
B

$m \le 3.$
C

$m \ge 3.$
D

$m \le 0.$

Câu 21 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = {x^3} + {x^2} + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

A

$m \geqslant \dfrac{4}{3}$
B

$m \leqslant \dfrac{4}{3}$
C

$m \geqslant \dfrac{1}{3}$
D

$m \leqslant \dfrac{1}{3}$

Câu 22 :

Hàm số $y = {x^3} - 3x^2 + 4$ đạt cực tiểu tại:

A

$x = 0$
B

$x = 2$
C

$x = 4$
D

$x = 0$ và $x = 2$

Câu 23 :

Cho hàm số $y = {x^3} + 6{x^2} + 3\left( {m + 2} \right)x - m - 6$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$.

A

$m > 1$
B

$m < 1$
C

$m > - 1$
D

$m < - 1$

Câu 24 :

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$

A

$M = - 10$
B

$M = - 7$
C

$M = - 5$
D

$M = 1$

Câu 25 :

Tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{2x + 3}}$ là:

A

$y = \dfrac{1}{2}$
B

$y = \pm \dfrac{1}{2}$
C

$y = - \dfrac{3}{2},y = 1$
D

$y = 2$

Câu 26 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 2{x^2} - m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm

A

$m < 0$
B

$m > \dfrac{{32}}{{27}}$
C

$m < 0$ hoặc $m > \dfrac{{32}}{{27}}$
D

$0 < m < \dfrac{{32}}{{27}}$

Câu 27 :

Cho số thực $x$ thỏa mãn ${\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right).$Tính giá trị của $P = {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2}$

A

$P = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
B

$P = \dfrac{1}{3}$
C

$P = 3\sqrt 3 $
D

$P = 27$

Câu 28 :

Cho $a, b$ là các số thực dương, thỏa mãn ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}$ và ${\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

$a>1, 0<b<1 $
B

$0<a<1, 0<b<1$
C

$0<a<1, b>1 $
D

$a>1, b>1$

Câu 29 :

Tìm $m$ để phương trình ${4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m$ có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .

A

$- 13 < m < - 9$
B

$3 < m < 9$
C

$- 9 < m < 3$
D

$- 13 < m < 3$

Câu 30 :

Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm$\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_3}x + {{\log }_4}x + ... + {{\log }_{19}}x - \log _{20}^2x} \right) = 0$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Câu 31 :

Tính $I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} $

A

$I = \dfrac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$
B

$I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$
C

$I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C$
D

$I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$

Câu 32 :

Tích phân $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} } dx$ có giá trị bằng

A

$4\sqrt 2 $.
B

$3\sqrt 2 $.
C

$\sqrt 2 $.
D

$ - \sqrt 2 $.

Câu 33 :

Với cách đổi biến $u=\sqrt{4x+5}$ thì tích phân $\int\limits_{-\,1}^{1}{x\sqrt{4x+5}\,\text{d}x}$ trở thành

A

$\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.$
B

$\int\limits_{-\,1}^{1}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.$
C

$\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{4}\,\text{d}u}.$
D
$\int\limits_{1}^{3}{\frac{u\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}x}.$

Câu 34 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} $. Gọi $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}$. Chọn kết luận đúng:

A

$a - b = - 1$
B

$a + b = 1$
C

$a + b = 2$
D

$a - b = 0$

Câu 35 :

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1},$ trục hoành và đường thẳng $x=1$ là

A

$\pi .3\ln 3.$
B

$\pi .\left( 3\ln 3-2 \right).$
C

$3\ln 3-1.$
D
$\pi .\left( 3\ln 3-1 \right).$

Câu 36 :

Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và hình chiếu vuông góc của đỉnh $C$ trên $(ABB’A’)$ là tâm của hình bình hành $ABB’A’$. Thể tích của khối lăng trụ là:

A

$\dfrac{{{a^3}}}{4}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Câu 37 :

Cho hình nón đỉnh $S$, tâm đáy là $O$, góc ở đỉnh là ${135^0}$. Trên đường tròn đáy lấy điểm $A$ cố định và điểm $M$ di động. Tìm số vị trí $M$ để diện tích $SAM$ đạt giá trị lớn nhất

A

Vô số
B

$3$
C

$2$
D

$1$

Câu 38 :

Cho mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$. Xét mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$. Hình nón $N$ có đỉnh $S$ nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $\left( C \right)$ và có chiều cao $h\left( {h > R} \right)$. Tìm $h$ để thể tích khối nón được tạo nên bởi $\left( N \right)$ có giá trị lớn nhất.

A

$h = R\sqrt 3 $
B

$h = R\sqrt 2 $
C

$h = \dfrac{{4R}}{3}$
D

$h = \dfrac{{2R}}{3}$

Câu 39 :

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng $V$ và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy $R$ bằng:

A

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
B

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.
C

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
D

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.

Câu 40 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và 2 đường thẳng${d_1}:\dfrac{{x + 3}}{1} = \dfrac{{y - 6}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}};{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 5 - 3t\\z = 4\end{array} \right.$. Phương trình mặt phẳng qua $A$ và song song với ${d_1},{d_2}$ là:

A

$3x + y + 2z - 6 = 0$
B

$ - 3x - 2y - z + 10 = 0$
C

$ - 3x - 2y - z + 1 = 0$
D

$3x + 2y + z - 3 = 0$

Câu 41 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,\,\,B$ và $\left( P \right)$ cách điểm $O$ một khoảng lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A
$x+2y+6z-7=0.$
B
$x+2y+4z-5=0.$
C
$x+2y+5z-6=0.$
D
$2x+3y+5z-6=0.$

Câu 42 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = - 1\end{array} \right.$, điểm $M\left( {1;2;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x + y - 2z - 1 = 0$. Đường thẳng $\Delta $ đi qua $M$, song song với $\left( P \right)$ và vuông góc với $d$ có phương trình:

A

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}$
B

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}$
C

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{3}$
D

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}$

Câu 43 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Câu 44 :

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm $I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0$ theo một đường tròn bán kính bằng $\sqrt{8}$ có phương trình là:

A

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3$
B

${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$
C

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$
D
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$

Câu 45 :

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-m=0.$ Tìm tất cả m để $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.

A

$m=-4.$
B

$m=0.$
C

$m=4.$
D

$m=7.$

Câu 46 :

Bà Hoa gửi $100$ triệu vào tài khoản định kì tính lãi suất là $8\% $ một năm. Sau 5 năm, bà rút toàn bộ số tiền và dùng một nửa để sửa nhà, còn một nửa tiền bà lại đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm.

A

$81,412$ triệu
B

$115,892$ triệu
C

$119$ triệu
D

$78$ triệu

Câu 47 :

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của $m\;$ để hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có ba điểm cực trị.

A

$m \ge 3$ hoặc $m \le - 1.$
B

$m \ge 1$ hoặc $m \le - 3.$
C

$m = 3$ hoặc $m = - 1.$
D

$1 \le m \le 3.$

Câu 48 :

Tìm $m$ để phương trình $m\ln \left( {1 - x} \right) - \ln x = m$ có nghiệm $x \in (0;1)$

A

$m\in (0;+\infty )$
B

$m\in (1;e)$
C

$m\in (-\infty ;0)$
D

$m\,\in (-\infty ;-1)$

Câu 49 :

Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \geqslant 2\sqrt 3 $ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?

A

$5$
B

$ - 2$
C

$4$
D

$3$

Câu 50 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1),B( - 2;1;3),C(2; - 1;1),D(0;3;1)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ sao cho $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ là:

A

$4x + 2y - 7z - 1 = 0$
B

$4x - 2y + 7z - 7 = 0$
C

$4x + 2y + 7z - 15 = 0$
D

$4x + 2y + 7z + 15 = 0$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho x>0; $x \ne 1$ thỏa mãn biểu thức $\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{2017}}x}} = M$ . Khi đó $x$ bằng:

A

$x = \sqrt[M]{{2017!}} - 1$
B

$x = \sqrt[M]{{2018!}}$
C

$x = \sqrt[M]{{2016!}}$
D

$x = \sqrt[M]{{2017!}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phương trình về phương trình logarit cơ bản.

Sử dụng công thức ${\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}$

Lời giải chi tiết :

$ \begin{array}{l} VT= {\log _x}2 + {\log _x}3 + {\log _x}4 + ... + {\log _x}2017 = {\log _x}(2.3.4...2017)\\ \Rightarrow {x^M} = 2017! \Rightarrow x = \sqrt[M]{{2017!}}\end{array}$

Câu 2 :

Điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$ nếu:

A

$OM = R$
B

$OM \le R$
C

$OM < R$
D

$OM > R$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$ nếu $OM = R$.

Câu 3 :

Các đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$ và $y = - {x^2} + 4$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

A

$4$
B

$1$
C

$0$
D

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

- Giải phương trình tìm nghiệm và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

$\begin{gathered}{x^4} - 2{x^2} + 2 = - {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 2 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x^2} = - 1 < 0(L) \hfill \\ {x^2} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} $

Như vậy hai đồ thị có $2$ giao điểm.

Câu 4 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm:

A

$x = 2$
B

$x = 0$
C

$x = 3$
D

$x = - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Hàm số đạt điểm cực trị tại $x = {x_0}$ khi $x = {x_0}$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$ .

+) Hàm số đạt cực đại tại $x = {x_0}$ khi tại $x = {x_0}$ hàm số đổi dấu từ dương sang âm.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm $x = 2.$

Câu 5 :

A
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
B
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$
C
$d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..$
D
$d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Ta có : $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).$

Gọi $d$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$

Ta có $\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=$$\left( -\,1;-\,2;5 \right)$

Xét hệ $\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,$

Chọn $x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y + z = 5\\
2y + z = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - \,1\\
z = 6
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..$

Câu 6 :

A

$d$ nằm trong $(P)$
B

$d$ song song với $(P)$
C

$d$ vuông góc với $(P)$
D

$d$ tạo với $(P)$ một góc nhỏ hơn ${45^0}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm số giao điểm của $(d)$ và $(P)$

Lời giải chi tiết :

Giả sử $M$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$.

Lấy $M \in (d) \Rightarrow M\left( {2t;1 - t;3 + t} \right)$

Vì $M \in (P) \Rightarrow 2t + 1 - t + 3 + t - 10 = 0 \Leftrightarrow 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3$

Suy ra ta có $M\left( {6; - 2;6} \right)$, suy ra $d$ cắt $(P)$ tại $1$ điểm duy nhất. Do đó, loại đáp án A và B.

Mặt khác giả sử $d \bot (P) \Rightarrow \dfrac{2}{1} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{ - 1}}{1}$(vô lý). Do đó loại C

Câu 7 :

A

$H\left( { - 1; - 2;6} \right)$
B

$H\left( {1;2;6} \right)$
C

$H\left( {1; - 2;6} \right)$
D

$H\left( {1; - 2; - 6} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Viết phương trình đường thẳng qua $A$ và vuông góc $\left( P \right)$.

- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $\left( P \right)$ nên có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 5;4} \right)$.

Do đó $d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}$.

Khi đó tọa độ hình chiếu $H$ thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z - 2}}{4}\\2x - 5y + 4z - 36 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1; - 2;6} \right)$.

Câu 8 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;-1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$?

A

$x + y - 3z - 8 = 0$
B

$x - y - 3z + 3 = 0$
C

$x + y + 3z - 9 = 0$
D

$x + y - 3z + 3 = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào điều kiện $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA \bot (P)\\A \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k.\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {{n_P}} \\A \in (P)\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\overrightarrow {AI} = \left( {1;1; - 3} \right)$.

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ tại $A$.

$ \Leftrightarrow IA \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {{n_P}} $.

Do đó, phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng $x + y - 3z + d = 0$(*).

Mặt khác, vì $A \in (P)$ nên ta có $2 + 1 - 3.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = 3$

Vậy ta có $(P): x + y - 3z + 3 = 0$

Câu 9 :

Thể tích khối trụ có bán kính $r = 4cm$ và chiều cao $h = 5cm$ là:

A

$40\pi c{m^3}$
B

$80\pi c{m^3}$
C

$60\pi c{m^3}$
D

$100\pi c{m^3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ $V = \pi {r^2}h$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $V = \pi {r^2}h = \pi {.4^2}.5 = 80\pi c{m^3}$

Câu 10 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2x + \cos x$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$ là :

A

$ - 1$
B

$1$
C

$\pi $
D

$0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Giải phương trình $y' = 0 \Rightarrow $ các nghiệm ${x_i} \in \left[ {0;1} \right]$.

+) Tính các giá trị $y\left( {{x_i}} \right);y\left( 0 \right);y\left( 1 \right)$.

+) So sánh các giá trị vừa tính và kết luận

$\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \max \left\{ {y\left( {{x_i}} \right);y\left( 0 \right);y\left( 1 \right)} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \min \left\{ {y\left( {{x_i}} \right);y\left( 0 \right);y\left( 1 \right)} \right\}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $y' = 2 - \sin x > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$

$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1$.

Câu 11 :

Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy $r = 3cm$ và độ dài đường sinh $4cm$ là:

A

$12({m^2})$
B

$12\pi (c{m^3})$
C

$12\pi (c{m^2})$
D

$4\pi (c{m^2})$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh ${S_{xq}} = \pi rl$.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức ${S_{xq}} = \pi rl$ ta được: ${S_{xq}} = \pi .3.4 = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)$

Câu 12 :

Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d:y = 3x$ và parabol $\left( P \right):y = 2{x^2} + 1$ là:

A

$\left( {1;3} \right)$
B

$\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
C

$\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$
D

$\left( { - 1; - 3} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số.

- Bước 2: Giải phương trình tìm $x$, rồi từ đó suy ra $y$ và tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ $2{x^2} + 1 = 3x$.

$ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow y = 3 \hfill \\ x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = \dfrac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy có hai giao điểm là $\left( {1;3} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)$.

Câu 13 :

Giải bất phương trình: $\log _2^2x - 4033{\log _2}x + 4066272 \le 0$ .

A

${\rm{[2016;2017]}}$
B

$\left( {2016;2017} \right)$
C

$\left[ {{2^{2016}};{2^{2017}}} \right]$
D

$\left[ {{2^{2016}}; + \infty } \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x>0$

Đặt $t = {\log _2}x$

BPT $ \Leftrightarrow {t^2} - 4033t + 4066272 \le 0$

$ \Leftrightarrow 2016 \le t \le 2017$

=>$2016 \le {\log _2}x \le 2017$

$ \Leftrightarrow {2^{2016}} \le x \le {2^{2017}}$

Câu 14 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào không đồng biến trên $R?$

A

$y = \sin x - 3x$
B

$y = \cos x + 2x$
C

$y = {x^3}$
D

$y = {x^5}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Xét các hàm số theo từng đáp án.

+) Hàm số nào có $y' \ge 0$ với mọi $x \in R$ thì hàm số đó đồng biến trên R.

Lời giải chi tiết :

+) Xét đáp án A:$y = \sin x - 3x$ có: $y' = \cos x - 3.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{cosx\;}} - 3 < 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R \Rightarrow $ hàm số nghịch biến trên $R.$

Vậy hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án B: $y = \cos x + 2x$ có: $y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2.$

Với $\forall {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in R$ ta có: $ - 1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow y' = {\rm{\;}} - \sin x + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \in R$

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$

+) Xét đáp án C: $y'=3x^2\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

+) Xét đáp án D: $y'=5x^4\ge 0, \forall x$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Vậy chỉ có hàm số ở đáp án A không đồng biến trên $R$.

Câu 15 :

Tích phân $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx$ có giá trị là:

A

$\frac{{19}}{3}$.
B

$\frac{{32}}{3}$.
C

$\frac{{16}}{3}$.
D

$\frac{{21}}{2}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính nguyên hàm hàm lũy thừa $\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx = \left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2 = \dfrac{{21}}{2}$.

Câu 16 :

Tổng các nghiệm của phương trình ${3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81$

A

$0$
B

$1$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa hai vế về dạng hai lũy thừa cùng cơ số.

Lời giải chi tiết :

${3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Tổng các nghiệm sẽ bằng $0$.

Câu 17 :

Hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số $y = 3{x^4}$?

A

$y = 12{x^3}$
B

$y = \dfrac{{3{x^5}}}{5} - 1$
C

$y = \dfrac{{3{x^5} + 1}}{5}$
D

$y = \dfrac{3}{5}{x^5} - \dfrac{3}{5}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết :

Quan sát các đáp án ta thấy mỗi hàm số ở đáp án B, C, D đều có đạo hàm bằng $3{x^4}$.

Chỉ có đáp án A: $\left( {12{x^3}} \right)' = 36{x^2} \ne 3{x^4}$ nên A sai.

Câu 18 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

Điểm thuộc mặt cầu thì thuộc khối cầu.
B

Điểm thuộc khối cầu thì thuộc mặt cầu
C

Điểm nằm ngoài mặt cầu thì thuộc khối cầu
D

Điểm nằm ngoài khối cầu thì thuộc mặt cầu

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $O$ bán kính $R$ thì $OM = R$.

Điểm $M$ thuộc khối cầu tâm $O$ bán kính $R$ thì $OM \le R$.

Do đó điểm thuộc mặt cầu sẽ thuộc khối cầu.

Câu 19 :

Hàm số nào dưới đây có tập xác định $\mathbb{R}$?

A

$y = \dfrac{{x - 1}}{x}$
B

$y = {x^3}$
C

$y = \sqrt {x - 1} $
D

$y = \dfrac{{{x^3}}}{x}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm txđ của mỗi hàm số ở các đáp án và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: Hàm số xác định khi $x \ne 0$ nên TXĐ $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ loại.

Đáp án B: Hàm số đa thức bậc ba xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn.

Đáp án C: Hàm số xác định khi $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$ suy ra TXĐ $D = \left[ {1; + \infty } \right)$ loại.

Đáp án D: Hàm số xác định nếu $x \ne 0$ nên TXĐ $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ loại.

Câu 20 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = {x^3} - mx + 1$ đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right).$

A

$m \ge 0.$
B

$m \le 3.$
C

$m \ge 3.$
D

$m \le 0.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính đạo hàm, áp dụng điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải chi tiết :

Ta có $y = {x^3} - mx + 1 \Rightarrow {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y' = 3{x^2} - m$

+ Nếu $m > 0$ thì phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm ${x_1} = - \sqrt {\dfrac{m}{3}} ,{x_2} = \sqrt {\dfrac{m}{3}} $

$y' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - \sqrt {\dfrac{m}{3}} \\x > \sqrt {\dfrac{m}{3}} \end{array} \right.$ hay hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \sqrt {\dfrac{m}{3}} } \right)$ và $\left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)$

Do đó bài toán thỏa nếu $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right) \subset \left( {\sqrt {\dfrac{m}{3}} ; + \infty } \right)$ hay $\sqrt {\dfrac{m}{3}} \le 1 \Leftrightarrow m \le 3$ $ \Rightarrow 0 < m \le 3$

+ Nếu $m \le 0$ thì $ - m \ge 0 \Rightarrow y' = 3{x^2} - m \ge 0\forall x$

(Trong trường hợp $m=0$ thì $y'\ge 0$ với mọi $x$ và $y'=0$ tại điểm duy nhất $x=0$)

Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ (cũng thỏa mãn đồng biến trên $\left( {1; + {\mkern 1mu} \infty } \right)$)

Kết hợp các TH trên ta được $m \le 3$.

Câu 21 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = {x^3} + {x^2} + mx + 1$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

A

$m \geqslant \dfrac{4}{3}$
B

$m \leqslant \dfrac{4}{3}$
C

$m \geqslant \dfrac{1}{3}$
D

$m \leqslant \dfrac{1}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ đồng biến (nghịch biến) trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0$ (hoặc $y' \le 0$)$\forall x \in \mathbb{R}$ .

Lời giải chi tiết :

Có $y' = 3{x^2} + 2x + m$. Xét phương trình bậc hai $3{x^2} + 2x + m = 0$ (1)

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \Leftrightarrow {\Delta _{\left( 1 \right)}}' = {1^2} - 3m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{3}$

Câu 22 :

Hàm số $y = {x^3} - 3x^2 + 4$ đạt cực tiểu tại:

A

$x = 0$
B

$x = 2$
C

$x = 4$
D

$x = 0$ và $x = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quy tắc 1:

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$, tìm các điểm tại đó $f'\left( x \right) = 0$ hoặc không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D=R$

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x$

$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng dễ thấy hàm số đạt giá trị cực tiểu $y = 0$ tại $x = 2$

Câu 23 :

A

$m > 1$
B

$m < 1$
C

$m > - 1$
D

$m < - 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị.

- Tìm điều kiện để hai điểm cực trị thỏa mãn điều kiện bài cho.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 3\left( {m + 2} \right) = 3\left[ {{x^2} + 4x + \left( {m + 2} \right)} \right].$

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$

- Hàm số có hai điểm cực trị $ \Leftrightarrow \Delta ' = 4 - \left( {m + 2} \right) = 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2$

Hai điểm cực trị thỏa mãn ${x_1} < - 1 < {x_2}$ $ \Leftrightarrow $ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt$ \Leftrightarrow y'\left( { - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$

Câu 24 :

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$

A

$M = - 10$
B

$M = - 7$
C

$M = - 5$
D

$M = 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \leqslant {x_1} < {x_2}< ... < {x_n} \leqslant b$.

- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$.

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:

+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.

+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.

Lời giải chi tiết :

$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M = - 5$

Câu 25 :

Tất cả phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{{2x + 3}}$ là:

A

$y = \dfrac{1}{2}$
B

$y = \pm \dfrac{1}{2}$
C

$y = - \dfrac{3}{2},y = 1$
D

$y = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính cả hai giới hạn$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y$.

- Bước 2: Kết luận:

Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: $\left[ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải chi tiết :

Dễ dàng tính được $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \dfrac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \dfrac{1}{2}$ do đó $y = \pm \dfrac{1}{2}$ là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 26 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 2{x^2} - m$ cắt trục hoành tại đúng một điểm

A

$m < 0$
B

$m > \dfrac{{32}}{{27}}$
C

$m < 0$ hoặc $m > \dfrac{{32}}{{27}}$
D

$0 < m < \dfrac{{32}}{{27}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành

Bước 2: Biện luận: Đồ thị cắt trục hoành tại đúng 1 điểm ó phương trình hoành độ giao điểm trên có đúng 1 nghiệm duy nhất.

Bước 3: Cô lập m sang 1 vế và ta xét bảng biến thiên cho hàm số bên vế kia

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên và kết luận

Lời giải chi tiết :

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow $ phương trình $ - {x^3} + 2{x^2}-m\; = 0$ có đúng một nghiệm thực

$ \Leftrightarrow $ đường thẳng $y = m$ có đúng $1$ điểm chung với đồ thị hàm số: $y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2}$

Lập bảng biến thiên của hàm số: $y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2}$

Dựa vào bảng biến thiên ta được kết quả: $m < 0$ hoặc $m > \dfrac{{32}}{{27}}$

Câu 27 :

Cho số thực $x$ thỏa mãn ${\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right).$Tính giá trị của $P = {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2}$

A

$P = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
B

$P = \dfrac{1}{3}$
C

$P = 3\sqrt 3 $
D

$P = 27$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất logarit ${\log _{{a^n}}}b = \dfrac{1}{n}{\log _a}b\left( {n \ne 0;0 < a \ne 1;b > 0} \right)$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{\log _2}x > 0\\{\log _8}x > 0\end{array} \right.$

Khi đó:

${\log _2}\left( {{{\log }_8}x} \right) = {\log _8}\left( {{{\log }_2}x} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\dfrac{1}{3}{{\log }_2}x} \right) = {\log _2}\sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{\log _2}x = \sqrt[3]{{\left( {{{\log }_2}x} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}}\log _2^3x = {\log _2}x \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} = 27$

(vì ${\log _2}x > 0$ nên chia cả hai vế cho ${\log _2}x \ne 0$

Câu 28 :

Cho $a, b$ là các số thực dương, thỏa mãn ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}$ và ${\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

$a>1, 0<b<1 $
B

$0<a<1, 0<b<1$
C

$0<a<1, b>1 $
D

$a>1, b>1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực$y = {a^x}$

+ Nếu $a > 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta }$ khi và chỉ khi $\alpha > \beta $

+ Nếu $0 < a < 1$ thì ${a^\alpha } > {a^\beta }$ khi và chỉ khi $\alpha < \beta $

- Sử dụng tính chất của hàm số $y = {\log _b}x$ với $(b > 0,b \ne 1)$

+ Nếu $b > 1$ hàm số luôn đồng biến

+ Nếu $0 < b < 1$ hàm số luôn nghịch biến

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\dfrac{3}{4} < \dfrac{4}{5}$ và ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{4}{5}}}$$ \Rightarrow 0 < a < 1$

$\dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}$ và ${\log _b}\dfrac{1}{2} < {\log _b}\dfrac{2}{3}$$ \Rightarrow b > 1$

Câu 29 :

Tìm $m$ để phương trình ${4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m$ có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .

A

$- 13 < m < - 9$
B

$3 < m < 9$
C

$- 9 < m < 3$
D

$- 13 < m < 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về bậc hai.

- Tìm điều kiện để bài toán phụ có nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ,

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)$

Xét hàm số $y = {t^2} - 8t + 3$ trên $(2;8)$ có:

$y' = 2t - 8;$ $y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\in (2;8)$

Bảng biến thiên:

Căn cứ bảng biến thiên:

Phương trình ${4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m$ có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9$

Câu 30 :

Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm$\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_3}x + {{\log }_4}x + ... + {{\log }_{19}}x - \log _{20}^2x} \right) = 0$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải phương trình tích $AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}A = 0 \hfill \\B = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải chi tiết :

$({x^2} - 4)({\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x + ... + {\log _{19}}x - \log _{20}^2x) = 0(*)$

Đkxđ: $x>0$

$(*) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2(tm)\\x = - 2(ktm)\\{\log _2}x + {\log _3}x + {\log _4}x + ... + {\log _{19}}x - \log _{20}^2x = 0(**)\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}(**) \Leftrightarrow \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 2}} + \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 3}} + \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 4}} + ... + \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 19}} - {\left( {\dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{\log 20}}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \log {\rm{x}}(\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}} - \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{{{\log }^2}20}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log {\rm{x}} = 0\\\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}} - \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{{{\log }^2}20}} = 0\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}} = \dfrac{{\log {\rm{x}}}}{{{{\log }^2}20}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\(\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}}){\log ^2}20 = \log {\rm{x}}\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1(tm)\\x = {10^{(\dfrac{1}{{\log 2}} + \dfrac{1}{{\log 3}} + \dfrac{1}{{\log 4}} + ... + \dfrac{1}{{\log 19}}){{\log }^2}20}}(tm)\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình (*) có $3$ nghiệm.

Câu 31 :

Tính $I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} $

A

$I = \dfrac{1}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{1}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$
B

$I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$
C

$I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + C$
D

$I = \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} + \left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = \sqrt {{x^3} + 1} $.

- Bước 2: Tính vi phân $dt$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính nguyên hàm: $\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C$.

Lời giải chi tiết :

$I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} = \int {3{x^2}.{x^3}} \sqrt {{x^3} + 1} dx$

Đặt $\sqrt {{x^3} + 1} = t \Rightarrow {x^3} + 1 = {t^2} \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt$

$ \Rightarrow I = \int {\left( {{t^2} - 1} \right).t.2tdt = 2\int {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt = \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}{t^3} + C} } $

$= \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$

Câu 32 :

Tích phân $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} } dx$ có giá trị bằng

A

$4\sqrt 2 $.
B

$3\sqrt 2 $.
C

$\sqrt 2 $.
D

$ - \sqrt 2 $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dùng biến đổi $1 + \sin x = {\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2}$ và công thức nguyên hàm hàm lượng giác $\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C$

Lời giải chi tiết :

Phương pháp tự luận

$\begin{array}{c}I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {{{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right|} dx = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|} dx\\ = \sqrt 2 \left[ {\int\limits_0^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} dx - \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} } \right] = 4\sqrt 2 \end{array}$

Câu 33 :

Với cách đổi biến $u=\sqrt{4x+5}$ thì tích phân $\int\limits_{-\,1}^{1}{x\sqrt{4x+5}\,\text{d}x}$ trở thành

A

$\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.$
B

$\int\limits_{-\,1}^{1}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.$
C

$\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{4}\,\text{d}u}.$
D
$\int\limits_{1}^{3}{\frac{u\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}x}.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đặt ẩn phụ và đổi biến số để tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đặt $u=\sqrt{4x+5}\Leftrightarrow {{u}^{2}}=4x+5\Leftrightarrow 2u\,\text{d}u=4\,\text{d}x\Leftrightarrow \text{d}x=\frac{u}{2}\,\text{d}u.$

Có ${{u}^{2}}=4x+5\Rightarrow x=\frac{{{u}^{2}}-5}{4}.$

Đổi cận : $\left\{ \begin{align} & x=-\,1\Rightarrow u=1 \\ & x=1\Rightarrow u=3 \\ \end{align} \right..$

Khi đó $\int\limits_{-\,1}^{1}{x\sqrt{4x+5}\,\text{d}x}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}-5}{4}.u.\frac{u}{2}\,\text{d}u}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{{{u}^{2}}\left( {{u}^{2}}-5 \right)}{8}\,\text{d}u}.$

Câu 34 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} $. Gọi $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}$. Chọn kết luận đúng:

A

$a - b = - 1$
B

$a + b = 1$
C

$a + b = 2$
D

$a - b = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần:

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.$

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức $\int\limits_m^n {udv} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = - \cos x\end{array} \right.$ $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = \left. { - {e^x}\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = 1 + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = \sin xdx\end{array} \right.$

Khi đó $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = \left. {{e^x}\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I$

Do đó $I = 1 + {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I \Leftrightarrow 2I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1 \Leftrightarrow I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.

Câu 35 :

A

$\pi .3\ln 3.$
B

$\pi .\left( 3\ln 3-2 \right).$
C

$3\ln 3-1.$
D
$\pi .\left( 3\ln 3-1 \right).$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay và các phương pháp tính tích phân

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C \right)$ và $Ox$ là $\frac{\sqrt{3x+1}}{x+1}=0\Leftrightarrow 3x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}.$

Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính là $V=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}=\pi \int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}$

Xét tích phân $I=\int\limits_{{ - \frac{1}{3}}}^{1}{\frac{3x+1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\frac{3\left( x+1 \right)-2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\frac{1}{3}}^{1}{\left[ \frac{3}{x+1}-\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \right]\text{d}x}$

$=\left. \left( 3\ln \left| x+1 \right|+\frac{2}{x+1} \right) \right|_{-\frac{1}{3}}^{1}=3.\ln 2+1-3.\ln \frac{2}{3}-3=3.\ln 3-2.$

Vậy $V=\pi \left( 3\ln 3-2 \right).$

Câu 36 :

A

$\dfrac{{{a^3}}}{4}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính thể tích khối chóp ${V_{C.A'AB}}$

- Tính thể tích khối lăng trụ dựa vào thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABB’A’$. Ta có $CO \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CO \bot OA;CO \bot OB$

$\Delta COA = \Delta COB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OB \Rightarrow AB' = A'B \Rightarrow ABB'A'$ là hình chữ nhật.

Lại có $AB = BB' = a \Rightarrow ABB'A'$ là hình vuông

Khi đó $OA = OB = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}$

Xét tam giác vuông $OAC$ có: $OC = \sqrt {A{C^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$ \Rightarrow {V_{C.A'AB}} = \dfrac{1}{3}OC.{S_{A'AB}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Mà ${V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.\dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.{V_{A'.ABC}}$

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{C.A'AB}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$

Câu 37 :

A

Vô số
B

$3$
C

$2$
D

$1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC}$ và đánh giá $\sin \widehat {BAC} \le 1$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}SA.SM\sin \widehat {ASM}\\ = \dfrac{1}{2}S{A^2}\sin \widehat {ASM} \le \dfrac{1}{2}S{A^2}\\ \Rightarrow \max {S_{SAM}} = \dfrac{1}{2}S{A^2}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $\sin \widehat {ASM} = 1 \Leftrightarrow \widehat {ASM} = {90^0}$.

Có $2$ điểm $M$ như vậy (hai điểm đối xứng với nhau qua $AB$).

Câu 38 :

A

$h = R\sqrt 3 $
B

$h = R\sqrt 2 $
C

$h = \dfrac{{4R}}{3}$
D

$h = \dfrac{{2R}}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$S$ là đỉnh của hình nón thì $S,O$ và tâm đường tròn là giao tuyến của $\left( P \right)$ và mặt cầu phải thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: Gọi bán kính $\left( C \right)$ với tâm là $I$ là $r$ thì dễ có $S$ phải thuộc $OI$ và :

$\begin{array}{l}OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} + R\\V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R)\end{array}$

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

$\begin{array}{l}
f\left( r \right) = {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R} \right)\\
= {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\\
\Rightarrow f'\left( r \right) = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + \left( {{r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}} \right)'\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= r\left( {2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R} \right)
\end{array}$

$f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}} + 2{\rm{R}} - \dfrac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} = 0$

$ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}$

$\Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{8}{9}{R^2} \to h = \dfrac{{4{\rm{R}}}}{3}.$

Câu 39 :

A

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
B

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.
C

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
D

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính độ dài đường cao hình trụ theo $V$ và $R$, sử dụng công thức $V = \pi {R^2}h$

- Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo $V$ và $R$, sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá GTNN.

Lời giải chi tiết :

Hình trụ đó có chiều cao $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$ và diện tích toàn phần

${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$

Dấu “=” xảy ra ⇔$2\pi {R^2} = \dfrac{V}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$

Câu 40 :

A

$3x + y + 2z - 6 = 0$
B

$ - 3x - 2y - z + 10 = 0$
C

$ - 3x - 2y - z + 1 = 0$
D

$3x + 2y + z - 3 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$(P)//{d_1},{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto $\overrightarrow n = (a;b;c)$ có dạng: $a.(x - {x_0}) + b.(y - {y_0}) + c(z - {z_0}) = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2; - 3;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$

Vì $(P)//{d_1},{d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 3; - 2; - 1)$

Ta có:

$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} ( - 3; - 2; - 1)\\A(1;2;3)\end{array} \right. \Rightarrow - 3(x - 1) - 2(y - 2) - (z - 3) = 0\\ \Leftrightarrow - 3x - 2y - z + 10 = 0\end{array}$

Câu 41 :

A
$x+2y+6z-7=0.$
B
$x+2y+4z-5=0.$
C
$x+2y+5z-6=0.$
D
$2x+3y+5z-6=0.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng là $ax+by+cz+d=0,$ biểu diễn các mối liên hệ giữa a, b, c, d theo dữ kiện điểm thuộc mặt phẳng, từ đó đưa về khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+by+cz+d=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0.$

Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right)$ suy ra$\left\{ \begin{array}{l}
- \,a + b + c + d = 0\\
a + c + d = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2a\\
d = - \,a - c
\end{array} \right..$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+2ay+cz-a-c=0.$

Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là $d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

Ta có ${{\left( a+c \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}}.a\sqrt{5}+c \right)}^{2}}\le \left( {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( 5{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\Leftrightarrow \frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{30}}{5}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $c=5a$$\Rightarrow d=-\,6a.$

Vậy $\left( P \right):x+2y+5z-6=0.$

Câu 42 :

A

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 3}}$
B

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}$
C

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{3}$
D

$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Vì $\Delta $ vuông góc với d và song song với (P)$ \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = {\rm{[}}\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} {\rm{]}}$

Phương trình đường thẳng qua $M({x_0};{y_0};{z_0})$ và có vecto $\overrightarrow u = (a;b;c)$ có dạng:

$d:\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;0} \right)$.

Đường thẳng $\Delta $ song song với $\left( P \right)$ và vuông góc với $d$ nên có VTCP

$\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 2;3} \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{4} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 1}}{3}$.

Câu 43 :

A

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D

$2x - y - 1 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Câu 44 :

A

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3$
B

${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$
C

${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$
D
${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+) Giả sử mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I có bán kính R theo giao tuyến là một đường tròn tâm O có bán kính r. Khi đó ta có: $OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)$ và $R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}.$

+) Phương trình mặt cầu tâm $I\left( a;\ b;\ c \right)$ và có bán kính $R$ có phương trình: ${{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}.$

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: $r=\sqrt{8}.$

$OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-2+2.\left( -1 \right)-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| -3 \right|}{\sqrt{9}}=1.$

Khi đó ta có: $R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{1+8}=3.$

Ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.$

Câu 45 :

A

$m=-4.$
B

$m=0.$
C

$m=4.$
D

$m=7.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì $d\left( I;\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;1;-2 \right)$ và bán kính $R=\sqrt{7}$.

Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì $d\left( I;\left( P \right) \right)$ nhỏ nhất.

Ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4$

Câu 46 :

A

$81,412$ triệu
B

$115,892$ triệu
C

$119$ triệu
D

$78$ triệu

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính số tiền bà Hoa rút ra sau 5 năm theo công thức $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$.

- Tính số tiền lãi lần đầu.

- Tính số tiền bà đem gửi lần 2.

- Tính số tiền sau 5 năm lần 2 theo công thức: $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$

- Tính số tiền lãi lần 2 và suy ra đáp số.

Lời giải chi tiết :

Số tiền bà Hoa rút sau 5 năm đầu là: $100{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 146,932$ triệu.

Số tiền lãi lần 1 là: $146,932 - 100 = 46,932$ triệu.

Số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: $146,932:2 = 73,466$ triệu

Số tiền và có sau 5 năm là: $73,466{\left( {1 + 8\% } \right)^5} = 107,946$ triệu.

Số tiền lãi lần 2 là: $107,946 - 73,466 = 34,480$ triệu.

Tổng số tiền lãi sau 2 lần là: $46,932 + 34,480 = 81,412$ triệu.

Câu 47 :

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của $m\;$ để hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có ba điểm cực trị.

A

$m \ge 3$ hoặc $m \le - 1.$
B

$m \ge 1$ hoặc $m \le - 3.$
C

$m = 3$ hoặc $m = - 1.$
D

$1 \le m \le 3.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ suy ra các giá trị cực trị của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ và dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$.

+) Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$. Bằng số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right) + m$ cộng với số giao điểm của đồ thị $y = f\left( x \right) + m$ và trục $Ox$.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ theo phương của trục $Oy$ $m$ đơn vị (lên trên hay xuống dưới phụ thuộc vào $m$ dương hay âm), do đó nó đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ có ${y_{CD}} = 1 + m;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {y_{CT}} = - 3 + m$

Lấy đối xứng phần dưới của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) + m$ qua $Ox$ ta được đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$

Để đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|$ có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số $y=f\left( x \right) + m$ cắt trục $Ox$ tại đúng một điểm tức là điểm cực tiểu nằm trên trục $Ox$ hoặc điểm cực đại nằm dưới trục $Ox$, hay:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_{CT}} = {\rm{\;}} - 3 + m \ge 0}\\{{y_{CD}} = 1 + m \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 3}\\{m \le {\rm{\;}} - 1}\end{array}} \right.$

Câu 48 :

Tìm $m$ để phương trình $m\ln \left( {1 - x} \right) - \ln x = m$ có nghiệm $x \in (0;1)$

A

$m\in (0;+\infty )$
B

$m\in (1;e)$
C

$m\in (-\infty ;0)$
D

$m\,\in (-\infty ;-1)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cô lập $m$ và sử dụng phương pháp xét hàm, loại đáp án.

Lời giải chi tiết :

+ Cô lập $m : m(\ln (1 - x) - 1) = \ln x \Rightarrow m = \dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}$ với $1 > x > 0$ .

+ Nhận xét đáp án: ta thấy $\dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}} > 0{\rm{ }},\forall 0 < x < 1$. Loại C và D

+ Tính giới hạn của $y =\dfrac{{\ln x}}{{\ln (1 - x) - 1}}$ khi $x$ tiến dần tới $1$ thì thấy $y$ dần tiến tới $0$ . Loại B.

Câu 49 :

Bất phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} \geqslant 2\sqrt 3 $ có tập nghiệm là $\left[ {a;b} \right].$ Hỏi tổng $a + b$ có giá trị là bao nhiêu?

A

$5$
B

$ - 2$
C

$4$
D

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $, từ đó tìm nghiệm của phương trình $\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} = 2\sqrt 3 $ và kết luận tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ : $\left\{ \begin{gathered}2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16 \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} - x + 8} \right) \geqslant 0 \hfill \\4 - x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant 4$

Tập xác định: $D = \left[ { - 2;4} \right]$

Xét hàm số

$f(x) = \sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} - \sqrt {4 - x} $

$ \Rightarrow f'(x) = \dfrac{{6{x^2} + 6x + 6}}{{2\sqrt {2{x^3} + 3{x^2} + 6x + 16} }} + \dfrac{1}{{2\sqrt {4 - x} }} > 0$

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình $f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 \Rightarrow $ với $x\ge 1$ thì $f\left( x \right) \geqslant f\left( 1 \right) = 2\sqrt 3 $.

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1;4} \right]$.

Do đó tổng $a + b = 5$.

Câu 50 :

A

$4x + 2y - 7z - 1 = 0$
B

$4x - 2y + 7z - 7 = 0$
C

$4x + 2y + 7z - 15 = 0$
D

$4x + 2y + 7z + 15 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vì $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ nên ta có $(P)//CD$

$ \Rightarrow (P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = {\rm{[}}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} {\rm{]}}\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Vì $C,D$ cùng phía so với $(P)$ và khoảng cách từ $C$ đến $(P)$ bằng khoảng cách từ $D$ đến $(P)$ nên ta có $(P)//CD$

Ta có

$\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 1;2);\overrightarrow {CD} = ( - 2;4;0) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = ( - 8; - 4; - 14)$

Vì $(P)//CD$ và $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]$. Chọn $\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)$

$ \Rightarrow (P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = (4;2;7)\\A(1;2;1) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow (P):4(x - 1) + 2(y - 2) + 7(z - 1) = 0 $

$\Leftrightarrow 4x + 2y + 7z - 15 = 0$

Bài liên quan