Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 3

Đề bài

Câu 1 :

Phương trình $\sqrt 3 \cos 3x + \sin 3x = \sqrt 2 $ có nghiệm là:

A

$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{36}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{36}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = - \dfrac{{5\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{36}} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{36}} + k2\pi \,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 2 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = 2017\cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) + 2016.$

A

$\min y = 1;\max y = 4033.$
B

$\min y = - 1;\max y = 4033.$
C

$\min y = 1;\max y = 4022.$
D

$\min y = - 1;\max y = 4022.$

Câu 3 :

Số nghiệm của phương trình $2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0$ với $\pi \le x \le 5\pi $ là:

A

$1$
B

$0$
C

$3$
D

$2$

Câu 4 :

Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$.

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 5 :

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{{2\cos x - 1}}$ là:

A

${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\dfrac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$
B

${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$
C

${\rm{D}} = \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\dfrac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$
D

${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$

Câu 6 :

Phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M$ thành $M'$ và điểm $N$ thành $N'$ thì:

A

$\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {NN'} $
B

$\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {N'N} $
C

$\overrightarrow {MN'} = \overrightarrow {NM'} $
D

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow u $

Câu 7 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta :\,\,x - 2y - 1 = 0$ và $\overrightarrow u \left( {4;3} \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng sao cho ${T_{\overrightarrow u }}$ biến $d$ thành đường thẳng $\Delta $. Phương trình đường thẳng $d$ là:

A
$x - 2y + 1 = 0$
B
$x - 2y + 9 = 0$
C
$x - 2y - 3 = 0$
D
$x - 2y - 9 = 0$

Câu 8 :

Phép quay tâm $O$ góc $ - {90^0}$ biến đường tròn $\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 1 = 0$ thành đường tròn có phương trình:

A

${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3$
B

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$
C

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5$
D

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3$

Câu 9 :

Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?

A

$y = \sin x$
B

$y = \cos x$
C

$y = \sin 2x$
D

$y = \cot x$

Câu 10 :

Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ đồng dạng với nhau theo tỉ số $k$. Chọn câu sai:

A

$k$ là tỉ số hai trung tuyến tương ứng
B

$k$ là tỉ số hai đường cao tương ứng
C

$k$ là tỉ số hai góc tương ứng
D

$k$ là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng

Câu 11 :

Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

A

Không có
B

Một
C

Hai
D

Vô số

Câu 12 :

Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha $. Chọn kết luận đúng.

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phép đối xứng trục biến điểm $A\left( {2;1} \right)$ thành $A'\left( {2;5} \right)$ có trục đối xứng là:

A

Đường thẳng $y = 3.$
B

Đường thẳng $x = 3.$
C

Đường thẳng $y = 6.$
D

Đường thẳng $x + y - 3 = 0.$

Câu 14 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta :\,x + 2y - 1 = 0$ và điểm $I\left( {1;0} \right)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng $\Delta $ thành $\Delta '$ có phương trình là:

A

$x - 2y + 3 = 0.$
B

$x + 2y - 1 = 0.$
C

$2x - y + 1 = 0.$
D

$x + 2y + 3 = 0.$

Câu 15 :

Phương trình $\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{7}} \right) = {m^2} - 3m + 3$ vô nghiệm khi:

A
$ - 1 < m < 0$
B
$ - 3 < m < - 1$
C
$\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.$
D
$\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 0\end{array} \right.$

Câu 16 :

Tìm m để phương trình $m\sin x + 5\cos x = m + 1$ có nghiệm.

A

$m \le 12$.
B

$m \le 6$
C

$m \le 24$.
D

$m \le 3$.

Câu 17 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$:

A

$\max y = 6;\min y = - 2$
B

$\max y = 4;\min y = - 4$
C

$\max y = 6;\min y = - 4$
D

$\max y = 6;\min y = - 1$

Câu 18 :

Phương trình lượng giác $\dfrac{{\cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sin x - \dfrac{1}{2}}} = 0$ có nghiệm là:

A
$x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $
B
Vô nghiệm
C
$x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $
D
$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $

Câu 19 :

Giải phương trình ${\sin ^2}x + {\sin ^2}x{\tan ^2}x = 3$.

A

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
B

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.
C

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.
D

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.

Câu 20 :

Gọi ${x_0}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

${x_0} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right).$
B

${x_0} \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right].$
C

${x_0} \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right).$
D

${x_0} \in \left[ {\dfrac{{3\pi }}{4};\pi } \right].$

Câu 21 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A\left( {2;5} \right).$ Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)$ biến $A$ thành điểm $A'$ có tọa độ là:

A

$A'\left( {3;1} \right).$
B

$A'\left( {1;6} \right).$
C

$A'\left( {3;7} \right).$
D

$A'\left( {4;7} \right).$

Câu 22 :

Phép vị tự nào sau đây biến đường tròn $\left( C \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4$ thành đường tròn $\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$ ?

A

${V_{\left( {I; - 1} \right)}}$ với $I\left( {4;2} \right)$
B

$V\left( {I;1} \right)$ với $I\left( {1;1} \right)$
C

${V_{\left( {I; - 1} \right)}}$ với $I\left( {1;1} \right)$
D

${V_{\left( {I;1} \right)}}$ với $I\left( {4;2} \right)$

Câu 23 :

Phương trình $\tan x + \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \tan \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 3\sqrt 3 $ tương đương với phương trình.

A

$\cot x = \sqrt 3 $.
B

$\cot 3x = \sqrt 3 $.
C

$\tan x = \sqrt 3 $.
D

$\tan 3x = \sqrt 3 $.

Câu 24 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d:$$3x - y + 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của $d$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^{\rm{o}}}$.

A

$d':x + 3y + 2 = 0$.
B

$d':x + 3y - 2 = 0$.
C

$d':3x - y - 6 = 0$.
D

$d':x - 3y - 2 = 0$.

Câu 25 :

Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình $\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0$?

A

Số nghiệm của phương trình là $8$.
B

Tổng các nghiệm của phương trình là $8$.
C

Tổng các nghiệm của phương trình là $48$.
D

Phương trình có vô số nghiệm thuộc $\mathbb{R}$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Phương trình $\sqrt 3 \cos 3x + \sin 3x = \sqrt 2 $ có nghiệm là:

A

$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{36}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{36}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = - \dfrac{{5\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{36}} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{36}} + k2\pi \,\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chia cả hai vế cho $2$ đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \cos 3x + \sin 3x = \sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x + \dfrac{1}{2}\sin 3x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin 3x.\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 3x.\sin \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\3x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi \\3x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{36}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Câu 2 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = 2017\cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) + 2016.$

A

$\min y = 1;\max y = 4033.$
B

$\min y = - 1;\max y = 4033.$
C

$\min y = 1;\max y = 4022.$
D

$\min y = - 1;\max y = 4022.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta có các bước để giải quyết bài toán như sau:

Bước 1: Chỉ ra $f\left( x \right) \le M,\forall x \in D.$

Bước 2 : Chỉ ra ${x_0} \in D$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = M$ .

Kết luận : $\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = M$

Tương tự với tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Hàm số xác định trên $R$ .

Ta có $ - 1 \le \cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) \le 1,\forall x \in R.$

$ \Leftrightarrow - 2017 \le 2017\cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) \le 2017,\forall x \in \,R$

$ \Leftrightarrow - 1 \le 2017\cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) + 2016 \le 4033,\forall x \in \,R$

Ta có $y = - 1$ khi $\cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) = - 1$ ; $y = 4033$ khi $\cos \left( {8x + \dfrac{{10\pi }}{{2017}}} \right) = 1$

Vậy $\min y = - 1;\max y = 4033$

Câu 3 :

Số nghiệm của phương trình $2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0$ với $\pi \le x \le 5\pi $ là:

A

$1$
B

$0$
C

$3$
D

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = m$ rồi sử dụng phương trình lượng giác cơ bản $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$2\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Mà $\pi \le x \le 5\pi \Rightarrow \pi \le \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \le 5\pi \Leftrightarrow \dfrac{{3\pi }}{4} \le k2\pi \le \dfrac{{19\pi }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} \le k \le \dfrac{{19}}{8} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\}$

Vậy phương trình có hai nghiệm trong đoạn $\left[ {\pi ;5\pi } \right]$.

Câu 4 :

Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right)$.

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{8} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{3\pi }}{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \tan u\left( x \right)$ xác định nếu $\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi }{4} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{3\pi }}{8} + \dfrac{k\pi }{2}$

Câu 5 :

Tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1}{{2\cos x - 1}}$ là:

A

${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\dfrac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$
B

${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$
C

${\rm{D}} = \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\dfrac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$
D

${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}$ xác định nếu $f\left( x \right)$ xác định và $f\left( x \right) \ne 0$

Lời giải chi tiết :

Hàm số đã cho xác định khi:

$2\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne \dfrac{1}{2}$$ \Leftrightarrow x \ne \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x \ne \dfrac{{5\pi }}{3} + l2\pi ,l \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Câu 6 :

Phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M$ thành $M'$ và điểm $N$ thành $N'$ thì:

A

$\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {NN'} $
B

$\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {N'N} $
C

$\overrightarrow {MN'} = \overrightarrow {NM'} $
D

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow u $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến:

Cho véc tơ $\overrightarrow u $, với mỗi điểm $M$ ta xác định điểm $M'$ thỏa mãn $\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u $. Phép biến hình này là phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow u $.

Lời giải chi tiết :

Phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M$ thành $M'$ thì $\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u $.

Phép tịnh tiến theo véc tơ $\overrightarrow u $ biến điểm $N$ thành $N'$ thì $\overrightarrow {NN'} = \overrightarrow u $.

Do đó $\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {NN'} $.

Câu 7 :

A
$x - 2y + 1 = 0$
B
$x - 2y + 9 = 0$
C
$x - 2y - 3 = 0$
D
$x - 2y - 9 = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta = {T_{\overrightarrow u }}\left( d \right) \Rightarrow \Delta \parallel d \Rightarrow $ Phương trình $\Delta $ có dạng: $x - 2y + c = 0\,\,\left( \Delta \right)$.

Lấy $A\left( {1;0} \right)$ bất kì thuộc $d$. Gọi $A' = {T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) \Rightarrow A' \in \Delta $.

Ta có: $A' = {T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + {x_{\overrightarrow u }} = 1 + 4 = 5\\{y_{A'}} = {y_A} + {y_{\overrightarrow u }} = 0 + 3 = 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {5;3} \right)$.

Vì $A' \in \Delta \Rightarrow 5 - 2.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $x - 2y + 1 = 0$.

Câu 8 :

Phép quay tâm $O$ góc $ - {90^0}$ biến đường tròn $\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 4x + 1 = 0$ thành đường tròn có phương trình:

A

${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3$
B

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$
C

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5$
D

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường tròn $\left( {I;R} \right)$ qua phép quay tâm O góc quay $\alpha $ biến thành đường tròn $\left( {I';R'} \right)$ sao cho $\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O;\alpha } \right)}}\left( I \right) = I'\\R' = R\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2;0} \right)$ , bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {0^2} - 1} = \sqrt 3 $

${Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}\left( I \right) = I'\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow {Q_{\left( {O; - {{90}^0}} \right)}}:\,\,\left( C \right)\,\, \mapsto \,\,\left( {C'} \right)$ có tâm $I'\left( {0; - 2} \right)$ và bán kính $R' = R = \sqrt 3 $

Vậy phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là: ${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 3$

Câu 9 :

Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?

A

$y = \sin x$
B

$y = \cos x$
C

$y = \sin 2x$
D

$y = \cot x$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Các hàm số sin, cos đều có đồ thị là đường hình sin nên các đáp án A, B, C đều có đồ thị là đường hình sin.

Câu 10 :

Cho $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C'$ đồng dạng với nhau theo tỉ số $k$. Chọn câu sai:

A

$k$ là tỉ số hai trung tuyến tương ứng
B

$k$ là tỉ số hai đường cao tương ứng
C

$k$ là tỉ số hai góc tương ứng
D

$k$ là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất của phép đồng dạng: biến các đường cao, trung tuyến, đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác thành các đường cao, trung tuyến, đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác có cùng tỉ số đồng dạng.

- Phép đồng dạng giữ nguyên độ lớn của góc.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau nên $k$ không thể là tỉ số hai góc tương ứng.

Câu 11 :

Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

A

Không có
B

Một
C

Hai
D

Vô số

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Vẽ hình và tìm tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết :

Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có tâm đối xứng duy nhất là trung điểm có đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn đó

Câu 12 :

Cho phương trình $\sin x = \sin \alpha $. Chọn kết luận đúng.

A

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = \pi - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
B

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
C

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$
D

$\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k\pi \\x = - \alpha + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)$

Câu 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phép đối xứng trục biến điểm $A\left( {2;1} \right)$ thành $A'\left( {2;5} \right)$ có trục đối xứng là:

A

Đường thẳng $y = 3.$
B

Đường thẳng $x = 3.$
C

Đường thẳng $y = 6.$
D

Đường thẳng $x + y - 3 = 0.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phép đối xứng trục ${D_d}$ biến điểm $A$ thành $A'$ thì $d$ là đường trung trực của $AA'$.

Lời giải chi tiết :

Gọi ${D_a}\left( A \right) = A'$ $ \Rightarrow a$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AA'.$

Gọi $H$ là trung điểm đoạn thẳng $AA' \Rightarrow H\left( {2;3} \right).$

Ta có $\overrightarrow {AA'} = \left( {0;4} \right) = 4.\left( {0;1} \right).$

Đường thẳng $a$ qua điểm $H$ và có một VTPT $\vec n = \overrightarrow {AA'} = \left( {0;4} \right)$ nên có phương trình $a:y = 3.$

Câu 14 :

A

$x - 2y + 3 = 0.$
B

$x + 2y - 1 = 0.$
C

$2x - y + 1 = 0.$
D

$x + 2y + 3 = 0.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phép vị tự tâm $I \in \Delta $ biến đường thẳng $\Delta $ thành chính nó.

Lời giải chi tiết :

Để ý thấy $I \in \Delta $ do đó phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng $\Delta $ thành $\Delta '$ trùng với $\Delta $, với mọi $k \ne 0.$

Câu 15 :

Phương trình $\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{7}} \right) = {m^2} - 3m + 3$ vô nghiệm khi:

A
$ - 1 < m < 0$
B
$ - 3 < m < - 1$
C
$\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 2\end{array} \right.$
D
$\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m > 0\end{array} \right.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình $\sin x = m$ vô nghiệm khi và chỉ khi $\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình $\sin \left( {2x + \dfrac{\pi }{7}} \right) = {m^2} - 3m + 3$ vô nghiệm khi và chỉ khi:

$\left[ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 3 > 1\\{m^2} - 3m + 3 < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 > 0\\{m^2} - 3m + 4 < 0\,\,\left( {vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 1\end{array} \right.$.

Câu 16 :

Tìm m để phương trình $m\sin x + 5\cos x = m + 1$ có nghiệm.

A

$m \le 12$.
B

$m \le 6$
C

$m \le 24$.
D

$m \le 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện để phương trình $a\cos x + b\sin x = c$ có nghiệm là ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow {m^2} + 25 \ge {\left( {m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2m \le 24 \Leftrightarrow m \le 12$.

Câu 17 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x + 1$:

A

$\max y = 6;\min y = - 2$
B

$\max y = 4;\min y = - 4$
C

$\max y = 6;\min y = - 4$
D

$\max y = 6;\min y = - 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}$

Lời giải chi tiết :

$y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \Leftrightarrow y - 1 $$= 3\sin x + 4\cos x$

${\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}$

Ta coi $a = 3;b = 4;c = \sin x;d = \cos x$

Theo BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta được:

${\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2}$$ \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x} \right) = 25.1$

$ \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow - 5 \le y - 1 \le 5$

$ \Leftrightarrow - 5 + 1 \le y \le 5 + 1 \Leftrightarrow - 4 \le y \le 6$

Vậy $\max y = 6;\min y = - 4$

Câu 18 :

Phương trình lượng giác $\dfrac{{\cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sin x - \dfrac{1}{2}}} = 0$ có nghiệm là:

A
$x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $
B
Vô nghiệm
C
$x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $
D
$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

- Đối chiếu nghiệm và loại nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $\sin x - \dfrac{1}{2} \ne 0 \Rightarrow \sin x \ne \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x \ne \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

$\dfrac{{\cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sin x - \dfrac{1}{2}}} = 0 \Leftrightarrow \cos x - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy chỉ có nghiệm $x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là $x =- \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 19 :

Giải phương trình ${\sin ^2}x + {\sin ^2}x{\tan ^2}x = 3$.

A

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
B

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.
C

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.
D

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ.

- Biến đổi phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.

- Giải phương trình, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

- Sử dụng các công thức:

$\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$

${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$s

Lời giải chi tiết :

ĐK: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.

$\begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\sin ^2}x{\tan ^2}x = 3\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {1 + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {\dfrac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}} \right) = 3\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 3\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt 3 \\\tan x = - \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \tan \dfrac{\pi }{3}\\\tan x = \tan \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right)\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \end{array} \right.$

Câu 20 :

Gọi ${x_0}$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

${x_0} \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right).$
B

${x_0} \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right].$
C

${x_0} \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right).$
D

${x_0} \in \left[ {\dfrac{{3\pi }}{4};\pi } \right].$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ.

- Giải phương trình, kết hợp điều kiện và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $1 - \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 1.$

Phương trình $\dfrac{{2\cos 2x}}{{1 - \sin 2x}} = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\left( L \right)\\\sin 2x = - 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Cho $ - \dfrac{\pi }{4} + k\pi > 0 \Rightarrow k > \dfrac{1}{4}$.

Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k = 1 \to x = \dfrac{{3\pi }}{4} \in \left[ {\dfrac{{3\pi }}{4};\pi } \right].$

Câu 21 :

A

$A'\left( {3;1} \right).$
B

$A'\left( {1;6} \right).$
C

$A'\left( {3;7} \right).$
D

$A'\left( {4;7} \right).$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi $A'\left( {x;y} \right) $ và biểu diễn $\overrightarrow {AA'}$ theo $x,y$

Bước 2:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Gọi $A'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \left( {x - 2;y - 5} \right).$

Bước 2:

Ta có ${T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\y - 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 7\end{array} \right.$

Câu 22 :

A

${V_{\left( {I; - 1} \right)}}$ với $I\left( {4;2} \right)$
B

$V\left( {I;1} \right)$ với $I\left( {1;1} \right)$
C

${V_{\left( {I; - 1} \right)}}$ với $I\left( {1;1} \right)$
D

${V_{\left( {I;1} \right)}}$ với $I\left( {4;2} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Gọi phép vị tự cần tìm là ${V_{\left( {I;k} \right)}}$, có $\left| k \right| = \dfrac{{R'}}{R}$

Gọi $K$ và $K'$ lần lượt là tâm của đường tròn $\left( C \right)$ và đường tròn $\left( {C'} \right)$ ta có $\overrightarrow {IK'} = k\overrightarrow {IK} $

Lời giải chi tiết :

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $K\left( {3;1} \right)$ và bán kính $R = 2$, đường tròn $\left( {C'} \right)$ có tâm $K'\left( {5;3} \right)$ và bán kính $R' = 2$.

$ \Rightarrow \left| k \right| = \dfrac{{R'}}{R} = 1 \Rightarrow k = \pm 1$, mà $I' \ne I \Rightarrow k \ne 1 \Rightarrow k = - 1$

Giả sử phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến $K$ thành $K'$ ta có: $\overrightarrow {IK'} = - \overrightarrow {IK} \Rightarrow I$ là trung điểm của $KK' \Rightarrow I\left( {4;2} \right)$

Câu 23 :

Phương trình $\tan x + \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \tan \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 3\sqrt 3 $ tương đương với phương trình.

A

$\cot x = \sqrt 3 $.
B

$\cot 3x = \sqrt 3 $.
C

$\tan x = \sqrt 3 $.
D

$\tan 3x = \sqrt 3 $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

- Đối chiếu các đáp án và kết luận nghiệm.

Công thức sử dụng:

$\begin{array}{l}
\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\tan a + \tan b = \dfrac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos a\cos b}}\\\sin x\cos y + \sin y\cos x = \sin \left( {x + y} \right)\\\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right)\\
\cos a\sin b = \dfrac{1}{2}\left( {\sin \left( {a + b} \right) - \sin \left( {a - b} \right)} \right)
\end{array}$

$\sin \left( {x + \pi } \right) = - \sin x$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0\\\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0\end{array} \right.$
${\rm{pt}}$$ \Leftrightarrow \tan x + \tan \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \tan \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)$$ = 3\sqrt 3 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$$ + \left[ {\dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}} + \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}} \right] = 3\sqrt 3 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$$ + \dfrac{{\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\sin \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$ = 3\sqrt 3 $

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\sin \left[ {\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)} \right]}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}} = 3\sqrt 3 {\rm{ }}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\sin \left( {2x + \pi } \right)}}{{\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}$$ = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{\sin 2x}}{{\dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3} + x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + \cos \left( {x + \dfrac{{2\pi }}{3} - x - \dfrac{\pi }{3}} \right)} \right]}} $$= 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2\sin 2x}}{{\cos \left( {2x + \pi } \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{3}} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2\sin 2x}}{{ - \cos 2x + \dfrac{1}{2}}} = 3\sqrt 3 \\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{2.2\sin 2x}}{{ - 2\cos 2x + 2.\dfrac{1}{2}}} = 3\sqrt 3
\end{array}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{{4\sin 2x}}{{1 - 2\cos 2x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x\left( {1 - 2\cos 2x} \right) - 4\sin 2x.\cos x}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - 2\sin x\cos 2x - 4\sin 2x\cos x}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - 2.\dfrac{1}{2}\left( {\sin 3x - \sin x} \right) - 4.\dfrac{1}{2}\left( {\sin 3x + \sin x} \right)}}{{\cos x\left( {1 - 2\cos 2x} \right)}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - \sin 3x + \sin x - 2\sin 3x - 2\sin x}}{{\cos x - \cos x - \cos 3x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3\sin 3x}}{{ - \cos 3x}} = 3\sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow 3\tan 3x = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow \tan 3x = \sqrt 3 $
$ \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3}$.
Kiểm tra ta thấy nghiệm $x = \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3}$ thỏa mãn các điều kiện của phương trình đầu.
Do đó phương trình $\tan 3x = \sqrt 3 $ tương đương với phương trình ban đầu (có cùng tập nghiệm).

Câu 24 :

A

$d':x + 3y + 2 = 0$.
B

$d':x + 3y - 2 = 0$.
C

$d':3x - y - 6 = 0$.
D

$d':x - 3y - 2 = 0$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm ảnh của một điểm thuộc $d$ qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^0}$ và viết phương trình đường thẳng mới với chú ý đường thẳng này vuông góc với đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết :

Qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^{\rm{o}}}$ đường thẳng $d$ biến thành đường thẳng $d'$ vuông góc với $d$.

Phương trình đường thẳng $d'$ có dạng: $x + 3y + m = 0$.

Lấy $A\left( {0;2} \right) \in d$. Qua phép quay tâm $O$ góc quay $ - {90^{\rm{o}}}$, điểm $A\left( {0;2} \right)$ biến thành điểm $B\left( {2;0} \right) \in d'$. Khi đó $m = - 2$.

Vậy phương trình đường $d'$ là $x + 3y - 2 = 0$.

Câu 25 :

Khẳng định nào sau đây là đúng về phương trình $\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right) = 0$?

A

Số nghiệm của phương trình là $8$.
B

Tổng các nghiệm của phương trình là $8$.
C

Tổng các nghiệm của phương trình là $48$.
D

Phương trình có vô số nghiệm thuộc $\mathbb{R}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình về dạng $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$

- Đánh giá giá trị của hai hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 6}}$ và $g\left( x \right) = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}$ trên $\mathbb{R}$ rồi suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết :

Phương trình đã cho tương đương với $\sin \left( {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}} \right)\quad \left( * \right)$.

Ta biết rằng hàm số $y = \sin x$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)$. Ta chỉ ra rằng các hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 6}}$ và $g\left( x \right) = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}$ nhận giá trị trong khoảng này.

Thật vậy, ta có $\left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 6}}} \right| \le \left| {\dfrac{x}{{2\sqrt {6{x^2}} }}} \right| = \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}$

và $0 < \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}} = \dfrac{{80}}{{{{\left( {x + 16} \right)}^2} + 76}} \le \dfrac{{80}}{{76}} < \dfrac{\pi }{2}$

Từ các đánh giá trên, $\left( * \right)$ xảy ra khi và chỉ khi

$\dfrac{x}{{{x^2} + 6}} = \dfrac{{80}}{{{x^2} + 32x + 332}}$ $ \Leftrightarrow {x^3} - 48{x^2} + 332x - 480 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\\x = 40\end{array} \right.$.

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là $2 + 6 + 40 = 48$.

Bài liên quan