Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 :

Với giá trị nào của $m$ dưới đây thì phương trình $\sin x = m$ có nghiệm?

A

$m = - 3$
B

$m = - 2$
C

$m = 0$
D

$m = 3$

Câu 2 :

Số nghiệm của phương trình $\tan x = \tan \dfrac{{3\pi }}{{11}}$ trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)$ là:

Câu 3 :

Giải phương trình $\sin 18x\cos 13x = \sin 9x\cos 4x$.

A
$x = \dfrac{{k\pi }}{18};\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B
$x = \dfrac{{k\pi }}{9};\,\,x = \dfrac{\pi }{{44}} + \dfrac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C
$x = \dfrac{\pi }{{3}} + \dfrac{{k\pi }}{18};\,\,x = \dfrac{\pi }{{22}} + \dfrac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D
$x = \dfrac{{k\pi }}{3};\,\,x = \dfrac{\pi }{{44}} + \dfrac{{k\pi }}{{44}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Câu 4 :

Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số $y = f(x) = 2\sin 2x?$

Câu 5 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta :\,x + 2y - 1 = 0$ và điểm $I\left( {1;0} \right)$. Phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng $\Delta $ thành $\Delta '$ có phương trình là:

A

$x - 2y + 3 = 0.$
B

$x + 2y - 1 = 0.$
C

$2x - y + 1 = 0.$
D

$x + 2y + 3 = 0.$

Câu 6 :

Điền cụm từ thích hợp vào chỗ chấm: “Phép đồng nhất là phép biến hình biến điểm $M$ thành …”.

A

điểm $M'$ sao cho $MM' = 1$
B

điểm $M'$ sao cho $MM' = 2$
C

điểm $M'$ sao cho $MM' < 1$
D

chính nó

Câu 7 :

Hình nào sau đây có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng?

A

Hình 1 và Hình 2
B

Hình 1 và Hình 3.
C

Hình 2 và Hình 3.
D

Hình 1, Hình 2 và Hình 3.

Câu 8 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho phép quay tâm $O$ biến điểm $A\left( {1;0} \right)$ thành điểm $A'\left( {0;1} \right)$. Khi đó nó biến điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ thành điểm:

A

$M'\left( { - 1; - 1} \right)$
B

$M'\left( {1;1} \right)$
C

$M'\left( { - 1;1} \right)$
D

$M'\left( {1;0} \right)$

Câu 9 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo ${T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}$ biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

A
BC
B
AB
C
DC
D
CA

Câu 10 :

Tìm m để phương trình $m\sin x + 5\cos x = m + 1$ có nghiệm.

A

$m \le 12$.
B

$m \le 6$
C

$m \le 24$.
D

$m \le 3$.

Câu 11 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:

A

$\left( {5; - 3} \right)$
B

$\left( {3;5} \right)$
C

$\left( { - 3;5} \right)$
D

$\left( {3; - 5} \right)$

Câu 12 :

Số phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

(1) Phép tịnh tiến và phép đối xứng trục đều biến đường thẳng thành đường thẳng song song, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đương tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

(2) Tứ giác $ABCD$ là hình thang cân đáy $AD//BC$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AB$ và $CD$. Khi đó, đường thẳng $MN$ là trục đối xứng của $ABCD$.

(3) Cho đường thẳng $d$ có phương trình $y = - x$. Ảnh của đường tròn $\left( C \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 7$ qua phép đối xứng trục $d$ là $\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 7$

(4) Ảnh của đường phân giác ứng với góc phần tư thứ $(I)$ qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường thẳng $d$ có phương trình $y = - x$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Câu 13 :

Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = 2\sin 2x$.

Câu 14 :

Giải phương trình $\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 .$

A

$x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
B

$x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
C

$x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
D

$x = \dfrac{1}{3} - \dfrac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Câu 15 :

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép dời hình.
B

Phép đồng dạng tỉ số $k = - 1$ là phép đối xứng tâm.
C

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép tịnh tiến
D

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép vị tự tỉ số $k = 1$

Câu 16 :

Điểm $O\left( {0;0} \right)$ luôn thuộc đồ thị hàm số

A

$y = \cos x$
B

$y = \sin x$
C

$y = \cot x$
D

$y = \tan x - 1$

Câu 17 :

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x - 1$:

A

$\min y = - 6;\max y = 4$
B

$\min y = - 5;\max y = 5$
C

$\min y = - 3;\max y = 4$
D

$\min y = - 6;\max y = 6$

Câu 18 :

Phương trình $\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x$ có nghiệm là:

A
$x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{10}}$.
B
$x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}$.
C
$x = \dfrac{{k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}$.
D
$x = \dfrac{{k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{10}}$.

Câu 19 :

Giải phương trình $2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x$.

A
$x = - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}$, $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}$.
B
$x = \pm \dfrac{\pi }{{18}} + {{k2\pi }}$, $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$.
C
$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}$, $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$, $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$.
D
$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}$, $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{18}$, $x = - \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}$.

Câu 20 :

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\cos x + 3}}{{2 + \cos x}}$

A

$\min y = - \dfrac{2}{3};\max y = 2$
B

$\min y = \dfrac{2}{3};\max y = 2$
C

$\min y = \dfrac{1}{2};\max y = \dfrac{3}{2}$
D

$\min y = - \dfrac{1}{2};\max y = \dfrac{3}{2}$

Câu 21 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình $y = - 3x + 2$. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ $\vec u = \left( { - 1;2} \right)$ và $\vec v = \left( {3;1} \right)$ thì đường thẳng $\Delta $ biến thành đường thẳng $d$ có phương trình là:

A

$y = - 3x + 1.$
B

$y = - 3x - 5.$
C

$y = - 3x + 9.$
D

$y = - 3x + 11.$

Câu 22 :

Trong mặt phẳng $Oxy,$ cho hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1;\,$$\left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4.$ Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn.

A
$\left( { - 2;3} \right).$
B
$\left( {2;3} \right).$
C
$\left( {3; - 2} \right).$
D
$\left( {1; - 3} \right).$

Câu 23 :

Số các giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m$ có nghiệm là:

A

$4$.
B

$2$.
C

$3$.
D

$5$.

Câu 24 :

Phương trình $\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1$ có nghiệm là:

A

$x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$
D

$x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 25 :

Trong mặt phẳng $Oxy$, tìm phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$: ${x^2} + {y^2} = 1$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

A

${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$.
B

${\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
C

${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
D

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Với giá trị nào của $m$ dưới đây thì phương trình $\sin x = m$ có nghiệm?

A

$m = - 3$
B

$m = - 2$
C

$m = 0$
D

$m = 3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm nếu $\left| m \right| \le 1$ và vô nghiệm nếu $\left| m \right| > 1$

Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại

Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại

Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận

Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại

Câu 2 :

Số nghiệm của phương trình $\tan x = \tan \dfrac{{3\pi }}{{11}}$ trên khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)$ là:

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

- Cho nghiệm tìm được thuộc khoảng $\left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)$, tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn, từ đó suy ra số nghiệm của phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\tan x = \tan \dfrac{{3\pi }}{{11}} \Leftrightarrow x = \dfrac{{3\pi }}{{11}} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}x \in \left( {\dfrac{\pi }{4};2\pi } \right)\\ \Rightarrow \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{{3\pi }}{{11}} + k\pi < 2\pi \\ \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{{44}} < k\pi < \dfrac{{19\pi }}{{11}}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{44}} < k < \dfrac{{19}}{{11}}\end{array}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ $ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}$.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3 :

Giải phương trình $\sin 18x\cos 13x = \sin 9x\cos 4x$.

A
$x = \dfrac{{k\pi }}{18};\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
B
$x = \dfrac{{k\pi }}{9};\,\,x = \dfrac{\pi }{{44}} + \dfrac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
C
$x = \dfrac{\pi }{{3}} + \dfrac{{k\pi }}{18};\,\,x = \dfrac{\pi }{{22}} + \dfrac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
D
$x = \dfrac{{k\pi }}{3};\,\,x = \dfrac{\pi }{{44}} + \dfrac{{k\pi }}{{44}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]$.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $sinx = sin\alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sin 18x\cos 13x = \sin 9x\cos 4x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 31x + \sin 5x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 13x + \sin 5x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 31x + \sin 5x = \sin 13x + \sin 5x\\ \Leftrightarrow \sin 31x = \sin 13x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}31x = 13x + k2\pi \\31x = \pi - 13x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}18x = k2\pi \\44x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{9}\\x = \dfrac{\pi }{{44}} + \dfrac{{k\pi }}{{22}}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{{k\pi }}{9};\,\,x = \dfrac{\pi }{{44}} + \dfrac{{k\pi }}{{22}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 4 :

Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số $y = f(x) = 2\sin 2x?$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm tập giá trị, chu kì của hàm số $y = 2\sin 2x$ và điểm đi qua của nó, từ đó đối chiếu đáp án và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $ - 2 \le 2\sin 2x \le 2$ nên ta có loại A và B.

Tiếp theo với C và D ta có:

Từ phần lý thuyết ở trên ta có hàm số tuần hoàn với chu kì $\dfrac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .$

Ta thấy với $x = 0$ thì $y = 0$ nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

Câu 5 :

A

$x - 2y + 3 = 0.$
B

$x + 2y - 1 = 0.$
C

$2x - y + 1 = 0.$
D

$x + 2y + 3 = 0.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phép vị tự tâm $I \in \Delta $ biến đường thẳng $\Delta $ thành chính nó.

Lời giải chi tiết :

Để ý thấy $I \in \Delta $ do đó phép vị tự tâm $I$ tỉ số $k$ biến đường thẳng $\Delta $ thành $\Delta '$ trùng với $\Delta $, với mọi $k \ne 0.$

Câu 6 :

Điền cụm từ thích hợp vào chỗ chấm: “Phép đồng nhất là phép biến hình biến điểm $M$ thành …”.

A

điểm $M'$ sao cho $MM' = 1$
B

điểm $M'$ sao cho $MM' = 2$
C

điểm $M'$ sao cho $MM' < 1$
D

chính nó

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Với mỗi điểm $M$ xác định điểm $M' \equiv M$. Phép biến hình này là phép đồng nhất.

Câu 7 :

Hình nào sau đây có trục đối xứng và đồng thời có tâm đối xứng?

A

Hình 1 và Hình 2
B

Hình 1 và Hình 3.
C

Hình 2 và Hình 3.
D

Hình 1, Hình 2 và Hình 3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ và nhận xét trục và tâm đối xứng của mỗi hình.

Lời giải chi tiết :

Hình 1: chỉ có trục đối xứng ($5$ đường thẳng) và không có tâm đối xứng.

Hình 2: Có $4$ trục đối xứng và có $1$ tâm đối xứng.

Hình 3: Có $10$ trục đối xứng và có $1$ tâm đối xứng.

Câu 8 :

A

$M'\left( { - 1; - 1} \right)$
B

$M'\left( {1;1} \right)$
C

$M'\left( { - 1;1} \right)$
D

$M'\left( {1;0} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định góc quay.

Áp dụng công thức tính tọa độ ảnh của điểm $M\left( {x;y} \right)$ qua phép quay tâm $O$ góc $\alpha :\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha + y\cos \alpha \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Phép quay tâm $O$ biến điểm $A\left( {1;0} \right)$ thành điểm $A'\left( {0;1} \right)$ là phép quay tâm $O$ góc ${90^0}$

Gọi $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của điểm $M\left( {1; - 1} \right)$ qua phép quay tâm $O$ góc ${90^0}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} + 1.\sin {90^0}\\y' = 1.\sin {90^0} - 1.\cos {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 1\\y' = 1\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {1;1} \right)$

Câu 9 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo ${T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}$ biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

A
BC
B
AB
C
DC
D
CA

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: ${T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = B \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow u $.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} $.

Mà ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA} $.

Do đó

$\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}$

Vậy ${T_{\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB$

Câu 10 :

Tìm m để phương trình $m\sin x + 5\cos x = m + 1$ có nghiệm.

A

$m \le 12$.
B

$m \le 6$
C

$m \le 24$.
D

$m \le 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện để phương trình $a\cos x + b\sin x = c$ có nghiệm là ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình có nghiệm $ \Leftrightarrow {m^2} + 25 \ge {\left( {m + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2m \le 24 \Leftrightarrow m \le 12$.

Câu 11 :

A

$\left( {5; - 3} \right)$
B

$\left( {3;5} \right)$
C

$\left( { - 3;5} \right)$
D

$\left( {3; - 5} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)$

Câu 12 :

Số phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

(4) Ảnh của đường phân giác ứng với góc phần tư thứ $(I)$ qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường thẳng $d$ có phương trình $y = - x$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét tính đúng sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào hình vẽ trên ta thấy $2$ đường thẳng đối xứng qua đường thẳng $d$ không song song $ \Rightarrow $ (1) sai.

Xét (2): $M,N$ là trung điểm của hai cạnh bên $AB,CD$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang chứ không phải trục đối xứng. Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy nên (2) sai.

Xét (3): Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {5;3} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 7 $, đường tròn $\left( {C'} \right)$ có tâm $I'\left( {5; - 3} \right)$, bán kính $R' = \sqrt 7 $

Gọi $H$ là trung điểm của $II' \Rightarrow H\left( {5;0} \right) \notin \left( {y = - x} \right) \Rightarrow \left( 3 \right)$ sai.

Xét (4): Đường phân giác ứng với góc phần tư thứ $(I) $ có phương trình $y = x$ có ảnh qua phép đối xứng trục $Oy$ là đường phân giác của góc phần tư thứ $(II)$ có phương trình $y = - x \Rightarrow \left( 4 \right)$ đúng.

Vậy chỉ có $1$ phát biểu đúng.

Câu 13 :

Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = 2\sin 2x$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Dựa vào tập giá trị của hàm sin.

- Dựa vào điểm đi qua của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $ - 2 \le 2\sin 2x \le 2$ nên loại đáp án A và B.

Cho $x = 0 \Rightarrow y = 2\sin 0 = 0$, do đó đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = 2\sin 2x$ đi qua điểm (0;0). Loại đáp án D.

Câu 14 :

Giải phương trình $\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 .$

A

$x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
B

$x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
C

$x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$
D

$x = \dfrac{1}{3} - \dfrac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình $\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot \left( {3x - 1} \right) = \cot \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)$

$ \Leftrightarrow 3x - 1 = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3} - \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{\pi }{3}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Hay $x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{l\pi }}{3},l \in \mathbb{Z}$

Câu 15 :

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép dời hình.
B

Phép đồng dạng tỉ số $k = - 1$ là phép đối xứng tâm.
C

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép tịnh tiến
D

Phép đồng dạng tỉ số $k = 1$ là phép vị tự tỉ số $k = 1$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Khi $k = 1$ phép đồng dạng bảo toàn khoảng cách nên là phép dời hình.

Câu 16 :

Điểm $O\left( {0;0} \right)$ luôn thuộc đồ thị hàm số

A

$y = \cos x$
B

$y = \sin x$
C

$y = \cot x$
D

$y = \tan x - 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay tọa độ điểm $O$ vào tủng hàm số và kiểm tra.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A sai vì $\cos 0 = 1$.

Đáp án B đúng vì $\sin 0 = 0$.

Đáp án C sai vì $\cot 0$ không xác định.

Đáp án D sai vì $\tan 0 - 1 = - 1 \ne 0$.

Câu 17 :

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = 3\sin x + 4\cos x - 1$:

A

$\min y = - 6;\max y = 4$
B

$\min y = - 5;\max y = 5$
C

$\min y = - 3;\max y = 4$
D

$\min y = - 6;\max y = 6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Biến đổi $(y+1)^2$

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: ${\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) $.

Bước 3: Xét dấu bằng xảy ra

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}$

Áp dụng công thức $\tan x=a \Leftrightarrow x=\arctan a + k\pi$ để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Ta có: $y = 3\sin x + 4\cos x - 1 $ $\Leftrightarrow y + 1 = 3\sin x + 4\cos x$

$\Rightarrow{\left( {y + 1} \right)^2}= {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2} $

Bước 2:

Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: ${\left( {ac + bd} \right)^2}\le\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) $ . Với $a=3, c=\sin x, b=4, d=\cos x$

Khi đó ${\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)$$ = \left( {{3^2} + {4^2}} \right).1 = 25 $ $\Rightarrow - 5 \le y + 1 \le 5 \Leftrightarrow - 6 \le y \le 4$

Bước 3:

Dấu “=” xảy ra $ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x}}{3} = \dfrac{{\cos x}}{4} $$\Leftrightarrow \tan x = \dfrac{3}{4}$ $ \Leftrightarrow x = \arctan \dfrac{3}{4} + k\pi $

Câu 18 :

Phương trình $\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x$ có nghiệm là:

A
$x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{10}}$.
B
$x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}$.
C
$x = \dfrac{{k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}$.
D
$x = \dfrac{{k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{10}}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]$ để đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\left[ {\cos \left( {11x + 3x} \right) + \cos \left( {11x - 3x} \right)} \right]$$ = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {17x + 9x} \right) + \cos \left( {17x - 9x} \right)} \right]$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\cos 14x + \cos 8x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 26x + \cos 8x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 14x + \cos 8x = \cos 26x + \cos 8x\\ \Leftrightarrow \cos 14x = \cos 26x$

Bước 2:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}26x = 14x + k2\pi \\26x = - 14x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = k2\pi \\40x = k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{6}\\x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}$.

Câu 19 :

Giải phương trình $2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x$.

A
$x = - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}$, $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}$.
B
$x = \pm \dfrac{\pi }{{18}} + {{k2\pi }}$, $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$.
C
$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}$, $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$, $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$.
D
$x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}$, $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{18}$, $x = - \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Nhóm $2{\sin ^2}2x - 1$, $\sin 7x - \sin x$.

- Sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha $, công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}$.

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\sin }^2}2x - 1} \right) + \sin 7x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow - \cos 4x + 2\cos 4x\sin 3x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\sin 3x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 4x = 0\\\sin 3x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}$, $x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$, $x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}$.

Câu 20 :

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\cos x + 3}}{{2 + \cos x}}$

A

$\min y = - \dfrac{2}{3};\max y = 2$
B

$\min y = \dfrac{2}{3};\max y = 2$
C

$\min y = \dfrac{1}{2};\max y = \dfrac{3}{2}$
D

$\min y = - \dfrac{1}{2};\max y = \dfrac{3}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Biến đổi hàm số về dạng $a.\sin x+b.\cos x=c$

Bước 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của nó suy ra GTLN, GTNN của hàm số:

$a^2+b^2\ge c^2$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Ta có $\cos x + 2 > 0,\forall x \in \,R$ .

$y = \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\cos x + 3}}{{2 + \cos x}}$ $ \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2\cos x + 3 = 2y + y\cos x$ $ \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \left( {2 - y} \right)\cos x = 2y-3\,\left( * \right)$

Bước 2:

Ta có điều kiện có nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ là:

${1^2} + {\left( {2 - y} \right)^2} \ge {\left( {2y-3} \right)^2}$ $ \Leftrightarrow 4{y^2} - 12y + 9 - {y^2} + 4y - 4 - 1 \le 0$ $ \Leftrightarrow 3{y^2} - 8y + 4 \le 0$ $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \le y \le 2$

Câu 21 :

A

$y = - 3x + 1.$
B

$y = - 3x - 5.$
C

$y = - 3x + 9.$
D

$y = - 3x + 11.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm véc tơ tịnh tiến.

- Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến $\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - a\\y = y' - b\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết suy ra $d$ là ảnh của $\Delta $ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec a = \vec u + \vec v$.

Ta có $\vec a = \vec u + \vec v = \left( {2;3} \right)$.

Biểu thức tọa độ của phép ${T_{\overrightarrow a }}$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = x' - 2\\y = y' - 3\end{array} \right.$ thay vào $\Delta $ ta được$y' - 3 = - 3\left( {x' - 2} \right) + 2$

$ \Leftrightarrow \,y' = - 3x' + 11$.

Câu 22 :

A
$\left( { - 2;3} \right).$
B
$\left( {2;3} \right).$
C
$\left( {3; - 2} \right).$
D
$\left( {1; - 3} \right).$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

$\left( {{C_1}} \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 1$ $ \Rightarrow $ tâm ${I_1}\left( {3; - 1} \right)$, bán kinh ${R_1} = 1$

$\left( {{C_2}} \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4$$ \Rightarrow $ tâm ${I_2}\left( {4;3} \right)$, bán kinh ${R_2} = 2$

Gọi $I$ là tâm vị tự của 2 đường tròn với $I\left( {x;y} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {I\,{I_1}} \left( {1 - x;3 - y} \right)\\\overrightarrow {I\,{I_2}} \left( {4 - x;3 - y} \right)\end{array} \right.$

$k = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \dfrac{1}{2}$ ($k > 0$ vì đây là vị tự ngoài)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {I\,{I_1}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {I\,{I_2}} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = \dfrac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\\3 - y = \dfrac{1}{2}\left( {3 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy vị tự tâm ngoài $\left( { - 2;3} \right)$.

Câu 23 :

Số các giá trị nguyên của $m$ để phương trình ${\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m$ có nghiệm là:

A

$4$.
B

$2$.
C

$3$.
D

$5$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đặt $t = \sqrt {\cos + m} $ đưa phương trình về hệ phương trình

- Sử dụng phương pháp cộng đại số biến đổi hệ phương trình đưa về phương trình dạng tích.

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, sử dụng kiến thức của hàm số bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m$ suy ra $m \ge 0$.

Đặt $\sqrt {\cos x + m} = t$, $t \ge 0$. Phương trình trở thành: $\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + t = m\\{t^2} - \cos x = m\end{array} \right.$

$ \Rightarrow \,\left( {{{\cos }^2}x - {t^2}} \right) + \left( {t + \cos x} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left( {\cos x + t} \right)\left( {\cos x - t + 1} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - t\\\cos x - t + 1 = 0\end{array} \right.$

+) Trường hợp $1$: $\cos x = - t$ $ \Rightarrow \sqrt {\cos x + m} = - \cos x$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos x \le 0\\{\cos ^2}x - \cos x = m\end{array} \right.$

Đặt $u = \cos x$$\left( { - 1 \le u \le 0} \right)$

Xét hàm số $f\left( u \right) = {u^2} - u$ trên đoạn $\left[ { - 1;0} \right]$, có hoành độ đỉnh $x = \dfrac{1}{2} \notin \left[ { - 1;0} \right]$ và bảng biến thiên:

Để phương trình có nghiệm thì $m \in \left[ {0;\,2} \right]$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {0;\,1;\,2} \right\}$.

+) Trường hợp $2$: $\cos x - t + 1 = 0$$ \Leftrightarrow \sqrt {\cos x + m} = 1 + \cos x$$ \Leftrightarrow {\cos ^2}x + \,\cos x + 1 = m$.

Đặt $v = \cos x$, $ - 1 \le v \le 1$. Ta có $m = {v^2} + v + 1 = g\left( v \right)$

Hàm số bậc hai $g\left( v \right)$ có hoành độ đỉnh $v = - \dfrac{1}{2} \in \left[ { - 1;1} \right]$ có bảng biến thiên :

Để phương trình có nghiệm thì $m \in \left[ {\dfrac{3}{4};3} \right]$.

Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}$.

Vậy có tất cả $4$ số nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.

Câu 24 :

Phương trình $\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1$ có nghiệm là:

A

$x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in Z} \right)$
D

$x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng giá trị lượng giác của các góc hơn kém nhau một góc $\dfrac{\pi }{2}$

$\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) =\cot x$; $\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) =-\cot 2x$

Bước 2: Biến đổi phương trình và giải

+) Công thức nhân đôi $\cot 2x = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}}$.

+) Sử dụng công thức $\tan x = \tan y \Leftrightarrow x = y+ k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Ta có: $\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1 $$\Leftrightarrow \cot x - 2\cot 2x = 1$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}$

Bước 2:

Khi đó phương trình tương đương:

$\begin{array}{l}\cot x - 2\cot 2x = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - 2.\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}} = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - \dfrac{{\tan x.\cot x - {{\tan }^2}x}}{{\tan x}} = 1\\ \Leftrightarrow \cot x - \left( {\cot x - \tan x} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\left( {TMDK} \right)\end{array}$

Câu 25 :

A

${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$.
B

${\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
C

${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.
D

${x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm tâm và bán kính đường tròn mới qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;0} \right)$

Lời giải chi tiết :

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {0;\;0} \right)$, bán kính $R = 1$.

Gọi $O'$ là ảnh của $O$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x_O} + {x_{O'}}}}{2} = {x_I}}\\{\dfrac{{{y_O} + {y_{O'}}}}{2} = {y_I}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2{x_I} - {x_O}}\\{{y_{O'}} = 2{y_I} - {y_O}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2.1 - 0}\\{{y_{O'}} = 2.0 - 0}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow O'\left( {2;\;0} \right)$.

Đường tròn $\left( {C'} \right)$ là ảnh của đường tròn $\left( C \right)$ qua phép đối xứng tâm $I\left( {1;\;0} \right)$.

$\left( {C'} \right)$ có tâm $O'\left( {2;\;0} \right)$, bán kính $R' = R = 1$.

Phương trình đường tròn $\left( {C'} \right)$ là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1$.

Bài liên quan