Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12

Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}$ có bao nhiêu tiệm cận?

A
$3$
B
$1$
C
$0$
D
$2$

Câu 2 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên:

Hàm số $y = - 2f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng:

A

$\left( {1;\,2} \right)$
B
$\left( {2;\,\,3} \right)$
C
$\left( { - 1;\,\,0} \right)$
D
$\left( { - 1;\,\,1} \right)$

Câu 3 :

Cho hình lăng trụ $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Hình chiếu vuông góc của điểm $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là trung điểm $I$ của cạnh $AB$. Biết $A'C$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $\alpha $ với $\tan \alpha = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$. Thể tích khối chóp $A'.ICD$ là:

A

$\dfrac{{{a^3}}}{6}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{3}$

Câu 4 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A

Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
B

Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
C

Khối hộp là khối đa diện lồi.
D

Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Câu 5 :

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{mx + 1}}{{x - m}}$ có giá trị lớn nhất trên $\left[ {1;\;2} \right]$ bằng $ - 2$.

A

$m = - 3$.
B

$m = 2$.
C

$m = 4$.
D

$m = 3$.

Câu 6 :

Cho khối chóp tam giác $S.ABC$, trên các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$. Khi đó:

A

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
B

$\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$
C

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
D

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$

Câu 7 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C,$$AB = a\sqrt 5 ,$$AC = a.$ Cạnh bên $SA = 3a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

A

$\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}{a^3}.$
B

$3{a^3}.$
C

${a^3}.$
D

$2{a^3}.$

Câu 8 :

Số giá trị $m$ nguyên để hàm số $y = \dfrac{{mx + 2}}{{x + m}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là

A

$3.$
B

$2.$
C

$1.$
D

$4.$

Câu 9 :

Khối đa diện đều nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều

A

Nhị thập diện đều
B

Bát diện đều
C

Thập nhị diện đều
D

Tứ diện đều

Câu 10 :

Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

$a > 0$
B

$a < 0$
C

$a = 0$
D

$a \le 0$

Câu 11 :

Số cực trị của hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Câu 12 :

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ và $y = {x^3} + {x^2} + x + 1$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Câu 13 :

Hai hình tứ diện có các cạnh bằng nhau và bằng $a$ thì chúng:

A

bằng nhau
B

trùng nhau
C

chung đỉnh
D

chung đáy

Câu 14 :

Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A

Hình 1
B

Hình 2
C

Hình 3
D

Hình 4

Câu 15 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$3$

Câu 16 :

Cho khối chóp $S.ABC$. Trên các cạnh $SA,SB,SC$ lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho $A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC'$, khi đó tồn tại một phép vị tự biến khối chóp $S.ABC$ thành khối chóp $S.A'B'C'$ với tỉ số đồng dạng là:

A

$k = \dfrac{1}{2}$
B

$k = 2$
C

$k = \dfrac{1}{3}$
D

$k = 3$

Câu 17 :

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 3$ là:

A

$0$
B

$2$
C

$1$
D

$3$

Câu 18 :

Chọn khẳng định đúng:

A

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
B

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
C

Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
D

Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$

Câu 19 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Hình nào dưới đây bằng hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$?

A

$AA'D'.BB'C'$
B

$ABCD.A'B'C'D'$
C

$C'.CDAB$
D

$B.ACC'A'$

Câu 20 :

Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau?

A

$y = {x^4} - 2{x^2} + 1$.
B

$y = - {x^4} + 2{x^2} + 1$.
C

$y = {x^4} - 2{x^2} + 2$.
D

$y = - {x^4} + 2{x^2} + 2$.

Câu 21 :

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \bot (ABCD)$ và $SA = a\sqrt 6 $. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.$
B

${a^3}\sqrt {6.} $
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.$
D

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.$

Câu 22 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right) + 3 = 0$ là:

A

$4$
B

$3$
C

$2$
D

$1$

Câu 23 :

Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là $D,M,C$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$D - C + M = 2$
B

$D + C - M = 2$
C

$D + C + M = 2$
D

$D - C + M = 0$

Câu 24 :

Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:

A

$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
B

$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
C

$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
D

$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$

Câu 25 :

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$ là:

A

$\;1.$
B

$0.$
C

$2.$
D

$ - 1.$

Câu 26 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là $16c{m^2}$, diện tích một mặt bên là $8\sqrt 3 c{m^2}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}$
B

$\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}$
C

$\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}$
D

$4c{m^3}$

Câu 27 :

Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:

A

$3$
B

$6$
C

$4$
D

$9$

Câu 28 :

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

A

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
B

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
C

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
D

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Câu 29 :

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là:

A

tiệm cận ngang
B

tiệm cận đứng
C

tiệm cận xiên
D

trục đối xứng

Câu 30 :

Hàm số $y = {x^3} + 2a{x^2} + 4bx - 2018,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,{\mkern 1mu} b \in R)$ đạt cực trị tại $x = - 1$ . Khi đó hiệu $a - b$ là:

A

$\dfrac{4}{3}$
B

$-1$
C

$\dfrac{3}{4}$
D

$ - \dfrac{3}{4}$ .

Câu 31 :

Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{{mx + 5}}{{x + 1}}$ đi qua $A\left( {1; - 3} \right)$

A
$m = - 11$
B
$m = 1$
C
$m = 11$
D
$m = - 1$

Câu 32 :

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là

A

$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
B

$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
C

$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
D

$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Câu 33 :

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$
B

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$
D

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

Câu 34 :

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 5$ là điểm

A

$Q\left( {3;1} \right)$
B

$N\left( { - 1;7} \right)$
C

$P\left( {7; - 1} \right)$
D

$M\left( {1;3} \right)$

Câu 35 :

Cho hàm số $y = {\rm{\;}} - {x^3} + \left( {2m + 1} \right){x^2} - \left( {{m^2} - 1} \right)x - 5$ . Với giá trị nào của tham số $m$ thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung?

A

$m > 1$
B

$m = 2$
C

$ - 1 < m < 1$
D

$m > 2$ hoặc $m < 1$

Câu 36 :

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^5} - 5{x^4} + 5{x^3} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$

A

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 2$
B

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 10$
C

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2$
D

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 7,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 1$

Câu 37 :

Điểm $I\left( {2; - 3} \right)$ là tâm đối xứng của những đồ thị hàm số nào dưới đây?

(1) $y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ ; (2) $y = \dfrac{{ - 3x + 1}}{{x - 2}}$ ; (3) $y = \dfrac{{3x + 1}}{{2 - x}}$ ; (4) $y = \dfrac{{ - 6x}}{{2x + 4}}$ ; (5) $y = - \dfrac{{x + 1}}{{3x - 6}}$

A

$\left( 1 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
B

$\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
C

$\left( 2 \right),\left( 3 \right)$
D

$\left( 2 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)$

Câu 38 :

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của$m$ để đồ thị hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có đúng hai tiệm cận đứng.

A

$\left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).$
B

$\left( {0; + \infty } \right)$
C

$\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right].$
D

$\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right].$

Câu 39 :

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình bên. Trong các hệ số a, b, c và d có bao nhiêu số âm?

A
$1$
B
$3$
C
$2$
D
$4$

Câu 40 :

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}$ có đồ thị như hình vẽ

Tính giá trị của $a + 2b + c.$

A
$0.$
B
$ - 2.$
C
$3.$
D
$2.$

Câu 41 :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ như hình vẽ bên.

Chọn khẳng định đúng:

A

$2a - d = - 3$
B

$a = d$
C

$3a + d = 7$
D

$a + d = 0$

Câu 42 :

Cho hàm số$y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)$có đồ thị (C), tiếp tuyến của (C ) có hệ số góc đạt giá trị bé nhất khi nào?

A

$a < 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $\frac{b}{{3a}}.$
B

$a < 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $ - \frac{b}{{3a}}.$
C

$a > 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $ - \frac{b}{{3a}}.$
D

$a > 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $\frac{b}{{3a}}.$

Câu 43 :

Cho hàm số $y = \left( {x - 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}.$ Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào dưới đây?

A

$2x + y + 4 = 0.$
B

$2x + y - 4 = 0.$
C

$2x - y - 4 = 0.$
D

$2x - y + 4 = 0.$

Câu 44 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Đường thẳng $SC$ tạo với đáy góc ${45^0}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Thể tích của khối chóp $S.MCDN$ là:

A

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
C

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
D

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$

Câu 45 :

Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?

A

$5$
B

$4$
C

Vô số
D

$3$

Câu 46 :

Cho $x$, $y$ là những số thực thoả mãn ${x^2} - xy + {y^2} = 1$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}}$. Giá trị của $A = M + 15m$ là

A

$A = 17 - 2\sqrt 6 $.
B

$A = 17 + \sqrt 6 $.
C

$A = 17 + 2\sqrt 6 $.
D

$A = 17 - \sqrt 6 $.

Câu 47 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có thể tích $V$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $BB'$ sao cho $MB = 2MB'$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và vuông góc với $AC'$ cắt các cạnh $DD'$, $DC$, $BC$ lần lượt tại $N$, $P$, $Q$. Gọi ${V_1}$ là thể tích của khối đa diện $CPQMNC'$.Tính tỉ số $\dfrac{{{V_1}}}{V}$.

A
$\dfrac{{31}}{{162}}$
B
$\dfrac{{35}}{{162}}$
C
$\dfrac{{34}}{{162}}$
D
$\dfrac{{13}}{{162}}$

Câu 48 :

Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là $64\pi \left( {{m^3}} \right)$. Tìm bán kính đáy $r$ của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.

A

$r = 3\left( m \right)$.
B

$r = \sqrt[3]{{16}}\left( m \right)$.
C

$r = \sqrt[3]{{32}}\left( m \right)$.
D

$r = 4\left( m \right)$.

Câu 49 :

Cho $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \dfrac{{{x^2}}}{4} + x$. Gọi $M = \mathop {Max}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right);$ $m = \mathop {Min}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} f\left( x \right).$ Khi đó$M-m$ bằng:

A
$1$.
B
$\dfrac{3}{5}.$
C
$\dfrac{7}{5}.$
D
$\dfrac{9}{5}.$

Câu 50 :

Số điểm cực đại của hàm số $y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right)$ bằng:

A
$45$
B
$49$
C
$44$
D
$100$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}}$ có bao nhiêu tiệm cận?

A
$3$
B
$1$
C
$0$
D
$2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ của hàm số.

- Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$:

+ Đường thẳng $y = {y_0}$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}$.

+ Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là TCN của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty $, $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty $.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = - \infty $

Suy ra $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x - 1}} = - 1$

Suy ra $y = 1,\,\,y = - 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Câu 2 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên:

Hàm số $y = - 2f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng:

A

$\left( {1;\,2} \right)$
B
$\left( {2;\,\,3} \right)$
C
$\left( { - 1;\,\,0} \right)$
D
$\left( { - 1;\,\,1} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = f\left( x \right)$ từ đó suy ra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = - 2f\left( x \right).$

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;\,0} \right)$ và $\left( {2;\, + \infty } \right).$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( {0;\,\,2} \right).$

Xét hàm số: $y = - 2f\left( x \right)$ ta có: $y' = - 2f'\left( x \right).$

Hàm số đồng biến $ \Leftrightarrow - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.$

Vậy hàm số $y = - 2f\left( x \right)$ đồng biến $ \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].$

Câu 3 :

A

$\dfrac{{{a^3}}}{6}$
B

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
D

$\dfrac{{{a^3}}}{3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính độ dài đường cao $A'I$ và diện tích đáy $ICD$.

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức $V = Sh$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Lời giải chi tiết :

Theo bài ra ta có: $IC$ là hình chiếu vuông góc của $A'C$ trên $\left( {ABCD} \right)$

$ \Rightarrow \widehat {\left( {A'C;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'C;IC} \right)} = \widehat {A'CI} = \alpha $

Xét tam giác vuông $IBC$ có: $IC = \sqrt {I{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

Xét tam giác vuông $A'IC$ có: $A'I = IC.\tan \alpha = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = a$

${S_{\Delta ICD}} = \dfrac{1}{2}d\left( {I;CD} \right).CD = \dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^2}}}{2}$

Vậy ${V_{A'.ICD}} = \dfrac{1}{3}A'I.{S_{\Delta ICD}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}$

Câu 4 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A

Lắp ghép 2 khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.
B

Khối tứ diện là khối đa diện lồi.
C

Khối hộp là khối đa diện lồi.
D

Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Các khối tứ diện, khối hộp, khối lăng trụ tam giác đều là khối đa diện lồi.

Lắp ghép 2 khối hộp chưa chắc được một khối đa diện lồi.

Câu 5 :

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{mx + 1}}{{x - m}}$ có giá trị lớn nhất trên $\left[ {1;\;2} \right]$ bằng $ - 2$.

A

$m = - 3$.
B

$m = 2$.
C

$m = 4$.
D

$m = 3$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện xác định của hàm số suy ra điều kiện của $m$ để hàm số có giá trị lớn nhất trên $\left[ {1;\;2} \right]$.

- Tính $y'$, xét dấu $y'$ suy ra tính đơn điệu, từ đó tìm được GTLN theo $m$.

- Sử dụng dữ kiện GTLN bằng $ - 2$ để tìm $m$.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$$ \Rightarrow m \notin \left[ {1;\;2} \right]$.

$f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {m^2} - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} < 0;\forall x \ne m$$ \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}}$

Theo đề bài $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\;2} \right]} f\left( x \right) = - 2 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{1 - m}} = - 2 \Leftrightarrow m + 1 = 2m - 2 \Leftrightarrow m = 3$

Câu 6 :

Cho khối chóp tam giác $S.ABC$, trên các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$. Khi đó:

A

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} + \dfrac{{SB'}}{{SB}} + \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
B

$\dfrac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$
C

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}} = \dfrac{{SB'}}{{SB}} = \dfrac{{SC'}}{{SC}}$
D

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $A',B',C'$ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp tam giác $S.ABC$. Khi đó:

$\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}$

Câu 7 :

A

$\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}{a^3}.$
B

$3{a^3}.$
C

${a^3}.$
D

$2{a^3}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}Sh$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta ABC$ vuông nên áp dụng pitago.

$CB = \sqrt {A{B^2} - A{C^2}} = \sqrt {5{a^2} - {a^2}} = 2a.$.

Diện tích đáy ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.a.2a = {a^2}$.

Thể tích khối chóp: ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.{a^2}.3a = {a^3}.$

Câu 8 :

Số giá trị $m$ nguyên để hàm số $y = \dfrac{{mx + 2}}{{x + m}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là

A

$3.$
B

$2.$
C

$1.$
D

$4.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm TXĐ.

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $ \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in D.$

Lời giải chi tiết :

Tập xác định $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}$.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó $ \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in D.$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2} - 2}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D$$ \Leftrightarrow {m^2} - 2 < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$.

Câu 9 :

Khối đa diện đều nào sau đây có các mặt không phải là tam giác đều

A

Nhị thập diện đều
B

Bát diện đều
C

Thập nhị diện đều
D

Tứ diện đều

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xem lại hình vẽ các khối đa diện đều đếm số khối đa diện có mặt bên là hình tam giác.

Lời giải chi tiết :

Bát diện đều có $8$ mặt là các tam giác đều.

Nhị thập diện đều có $20$ mặt là các tam giác đều.

Tứ diện đều có $4$ mặt là các tam giác đều.

Thập nhị diện đều có $12$ mặt là các ngũ giác đều.

Câu 10 :

Hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ, chọn kết luận đúng:

A

$a > 0$
B

$a < 0$
C

$a = 0$
D

$a \le 0$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty $ nên $a < 0$.

Câu 11 :

Số cực trị của hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị.

Câu 12 :

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 3{x^2}$ và $y = {x^3} + {x^2} + x + 1$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm .

- Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ trên TXĐ.

+ Tính $h'\left( x \right)$, giải phương trình $h'\left( x \right) = 0$ tìm các nghiệm và các điểm $h'\left( x \right)$ không xác định.

+ Xét dấu $h'\left( x \right)$ và lập bảng biến thiên.

- Bước 3: Kết luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$.

+ Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $h\left( x \right)$ với trục hoành (đường thẳng $y = 0$)

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm: $3{x^2} = {x^3} + {x^2} + x + 1 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + x + 1 = 0$.

Xét hàm $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + x + 1$ ta có:

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 \hfill \\ x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{31}}{{27}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = 0$ chỉ cắt đồ thị hàm số tại $1$ điểm duy nhất nên hai đồ thị hàm số cắt nhau tại duy nhất $1$ điểm.

Câu 13 :

Hai hình tứ diện có các cạnh bằng nhau và bằng $a$ thì chúng:

A

bằng nhau
B

trùng nhau
C

chung đỉnh
D

chung đáy

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Hai hình tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$ thì chúng bằng nhau.

Câu 14 :

Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A

Hình 1
B

Hình 2
C

Hình 3
D

Hình 4

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là hình được tạo bởi hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai điều kiện:

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không giao nhau, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Lời giải chi tiết :

Quan sát bốn hình, có hình C có cạnh là cạnh chung của 4 đa giác, vậy hình này không phải khối đa diện.

Câu 15 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Ta có: $x = {x_0}$ là điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right) \Leftrightarrow $ tại điểm $x = {x_0}$ thì hàm số có $y'$ đổi dấu từ dương sang âm hoặc ngược lại.

Hay số điểm cực trị của hàm số là số lần đổi dấu của $f'\left( x \right).$

Lời giải chi tiết :

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy $f'\left( x \right)$ đổi dấu qua $x = - 1,\,\,\,x = 0$ và $x = 2$ nên hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 16 :

A

$k = \dfrac{1}{2}$
B

$k = 2$
C

$k = \dfrac{1}{3}$
D

$k = 3$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A'A = 2SA',B'B = 2SB',C'C = 2SC' $

$\Rightarrow \overrightarrow {SA'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC'} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} $

Do đó phép vị tự tâm $S$ tỉ số $k = \dfrac{1}{3}$ biến các điểm $A,B,C$ thành $A',B',C'$.

Câu 17 :

Cho hàm số bậc ba $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = 3$ là:

A

$0$
B

$2$
C

$1$
D

$3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = 3$.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = 3$ tại 3 điểm phân biệt$ \Rightarrow f\left( x \right) = 3$ có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 18 :

Chọn khẳng định đúng:

A

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là $\left( {0;0} \right)$.
B

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
C

Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ không có tâm đối xứng.
D

Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ có tâm đối xứng là $\left( {0;0} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hàm số lẻ: Đồ thị hàm số lẻ luôn nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ là tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận điểm $\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng.

Câu 19 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Hình nào dưới đây bằng hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$?

A

$AA'D'.BB'C'$
B

$ABCD.A'B'C'D'$
C

$C'.CDAB$
D

$B.ACC'A'$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hai lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ và $AA'D'.BB'C'$ có một phép đối xứng qua mặt phẳng $\left( {AB'C'D} \right)$ nên hai lăng trụ này bằng nhau.

Câu 20 :

Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên như sau?

A

$y = {x^4} - 2{x^2} + 1$.
B

$y = - {x^4} + 2{x^2} + 1$.
C

$y = {x^4} - 2{x^2} + 2$.
D

$y = - {x^4} + 2{x^2} + 2$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên, nhận xét hệ số $a,b,c$ và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào BBT và các phương án lựa chọn, ta thấy:

Đây là dạng hàm số trùng phương có hệ số $a < 0$. Loại A và C.

Mặt khác, đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$ nên loại B.

Câu 21 :

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA \bot (ABCD)$ và $SA = a\sqrt 6 $. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

A

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.$
B

${a^3}\sqrt {6.} $
C

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}.$
D

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}Sh$ với $S$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao.

Lời giải chi tiết :

${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3} \cdot a\sqrt 6 \cdot {a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.

Câu 22 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right) + 3 = 0$ là:

A

$4$
B

$3$
C

$2$
D

$1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = m.$

+) Dựa vào BBT để xác định số giao điểm của các đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $Pt \Leftrightarrow 2f\left( x \right) = - 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{3}{2}.\;\;\left( * \right)$

Số nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = - \dfrac{3}{2}.$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y = - \dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt.

$ \Rightarrow Pt\;\;\left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 23 :

Cho khối đa diện lồi có số đỉnh, số mặt và số cạnh lần lượt là $D,M,C$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$D - C + M = 2$
B

$D + C - M = 2$
C

$D + C + M = 2$
D

$D - C + M = 0$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Khối đa diện lồi có $D$ đỉnh, $M$ mặt và $N$ cạnh thì $D - C + M = 2$.

Câu 24 :

Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:

A

$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
B

$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
C

$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
D

$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $M = - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.

Câu 25 :

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$ là:

A

$\;1.$
B

$0.$
C

$2.$
D

$ - 1.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tính $y'$, xét dấu $y'$ suy ra tính đơn điệu của hàm số.

- Tìm GTLN của hàm số trên khoảng đề bài cho.

Lời giải chi tiết :

Ta có : $y' = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} > 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right]$.

Suy ra hàm số $y = x - \dfrac{1}{x}$ đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right]$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $y( - 1) = 0$.

Câu 26 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là $16c{m^2}$, diện tích một mặt bên là $8\sqrt 3 c{m^2}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}$
B

$\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}$
C

$\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}$
D

$4c{m^3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, tính $OE,SE \Rightarrow SO$.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O = AC \cap BD$. Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $ABCD$ là hình vuông $ \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\left( {cm} \right) = AD$

Gọi $E$ là trung điểm của AB$ \Rightarrow OE$ là đường trung bình của tam giác ABD$ \Rightarrow OE//AD \Rightarrow OE \bot AB$ và $OE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)$

$\left. \begin{array}{l}OE \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow AB \bot SE$

$ \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SE.AB = 8\sqrt 3 \Rightarrow SE = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{{AB}} = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OE \Rightarrow \Delta SOE$ vuông tại O$ \Rightarrow SO = \sqrt {S{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {48 - 4} = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \left( {cm} \right)$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt {11} .16 = \dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}\left( {c{m^3}} \right)$

Câu 27 :

Số mặt phẳng đối xứng của hình hộp chữ nhật (các kích thước khác nhau) là:

A

$3$
B

$6$
C

$4$
D

$9$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Vẽ hình hộp chữ nhật, xác định mặt phẳng đối xứng.

Lời giải chi tiết :

Hình hộp chữ nhật có $3$ mặt phẳng đối xứng, đó là mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh đối diện.

Câu 28 :

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và $SA = a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

A

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$
B

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}$
C

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$
D

${V_{S.ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính diện tích đáy $ABC$

- Tính thể tích theo công thức $V=\dfrac{1}{3}S.h$

Lời giải chi tiết :

Ta có $SA = a,{\rm{ }}{{\rm{S}}_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$. Suy ra thể tích ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.

Câu 29 :

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là:

A

tiệm cận ngang
B

tiệm cận đứng
C

tiệm cận xiên
D

trục đối xứng

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty $ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 30 :

Hàm số $y = {x^3} + 2a{x^2} + 4bx - 2018,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,{\mkern 1mu} b \in R)$ đạt cực trị tại $x = - 1$ . Khi đó hiệu $a - b$ là:

A

$\dfrac{4}{3}$
B

$-1$
C

$\dfrac{3}{4}$
D

$ - \dfrac{3}{4}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x = {x_0}$ $ \Rightarrow f'({x_0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết :

$y = {x^3} + 2a{x^2} + 4bx - 2018,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,{\mkern 1mu} b \in R) \Rightarrow y' = 3{x^2} + 4ax + 4b$

Hàm số trên đạt cực trị tại $x = - 1$

$ \Rightarrow 3{( - 1)^2} + 4a.( - 1) + 4b = 0 $ $\Leftrightarrow 3 - 4a + 4b = 0 \Leftrightarrow 3 - 4(a - b) = 0 $ $\Leftrightarrow a - b = \dfrac{3}{4}$

Câu 31 :

Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \dfrac{{mx + 5}}{{x + 1}}$ đi qua $A\left( {1; - 3} \right)$

A
$m = - 11$
B
$m = 1$
C
$m = 11$
D
$m = - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đi qua điểm $A\left( {a;b} \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}a \in D\\f\left( a \right) = b\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Hàm số $y = f\left( x \right) = \dfrac{{mx + 5}}{{x + 1}}$ đi qua $A\left( {1; - 3} \right)$ nên ta có : $f\left( 1 \right) = - 3 \Leftrightarrow \dfrac{{m + 5}}{{1 + 1}} = - 3 \Rightarrow m = - 11$

Vậy $m = - 11$ thì hàm số đã cho đi qua $A\left( {1; - 3} \right)$.

Câu 32 :

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ lần lượt là

A

$ - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
B

$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 1$
C

$ - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2$
D

$ - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}; - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Tính đạo hàm y' và giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_i}.$

+) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;\;b} \right],$ ta tính các giá trị $y\left( a \right);\;y\left( {{x_i}} \right);\;\;y\left( b \right)$ và đưa ra kết luận đúng.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do $x\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ nên $k=-1$ hay $x=-\dfrac{\pi }{2}$

Suy ra $y\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - 1;\;\;y\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{\mathop {\max}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]}y = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y = - 1}\end{array}} \right.$

Câu 33 :

Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 5$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$
B

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$
C

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$
D

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tính đạo hàm, xét dấu của y’; nếu y’ > 0 kết luận hàm số đồng biến; y’ < 0 kết luận hàm số nghịch biến.

Lời giải chi tiết :

$y = {x^3} - 3{x^2} + 5 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right)$

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( {0;2} \right)$

Câu 34 :

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 5$ là điểm

A

$Q\left( {3;1} \right)$
B

$N\left( { - 1;7} \right)$
C

$P\left( {7; - 1} \right)$
D

$M\left( {1;3} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với hàm số $y = a{x^3} + bx + c$

+ Tính y' ; giải phương trình $y' = 0$ tìm $2$ nghiệm ${x_1} < {x_2}$ (nếu có)

+ Với $a > 0$ , đồ thị hàm số có điểm cực đại $\left( {{x_1};y\left( {{x_1}} \right)} \right)$ và điểm cực tiểu $\left( {{x_2};y\left( {{x_2}} \right)} \right)$

+ Với $a < 0$ , đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $\left( {{x_1};y\left( {{x_1}} \right)} \right)$ và điểm cực đại $\left( {{x_2};y\left( {{x_2}} \right)} \right)$

Lời giải chi tiết :

Có $y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} \pm 1$

Vì hệ số của ${x^3}$ là dương nên đồ thị hàm số có điểm cực tiểu $\left( {1;3} \right)$

Câu 35 :

A

$m > 1$
B

$m = 2$
C

$ - 1 < m < 1$
D

$m > 2$ hoặc $m < 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số đa thức bậc ba có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y' = {\rm{\;}} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right)$

Hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía trục tung$ \Leftrightarrow {\rm{\;}} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\left( {2m + 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 3\left( {{m^2} - 1} \right) > 0}\\{{m^2} - 1 < 0}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow {\rm{\;}} - 1 < m < 1$

Câu 36 :

Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y = {x^5} - 5{x^4} + 5{x^3} + 1$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$

A

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 2$
B

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 10$
C

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 10,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 2$
D

$\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = - 7,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;2} \right]} y = 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

- Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ và tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...,{x_n}$ của đạo hàm mà $a \leqslant {x_1} < {x_2} < ... < {x_n} \leqslant b$.

- Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$ và so sánh các giá trị, chọn ra GTLN, GTNN từ tập giá trị tìm được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y' = 5{{\text{x}}^4} - 20{{\text{x}}^3} + 15{{\text{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow 5{x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\x = 3 \notin \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$f( - 1) = - 10, f(0) = 1,$ $ f(1) = 2, f(2) = - 7$

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên $\left[ { - 1;2} \right]$ lần lượt là $2$ và $ - 10$

Câu 37 :

Điểm $I\left( {2; - 3} \right)$ là tâm đối xứng của những đồ thị hàm số nào dưới đây?

(1) $y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ ; (2) $y = \dfrac{{ - 3x + 1}}{{x - 2}}$ ; (3) $y = \dfrac{{3x + 1}}{{2 - x}}$ ; (4) $y = \dfrac{{ - 6x}}{{2x + 4}}$ ; (5) $y = - \dfrac{{x + 1}}{{3x - 6}}$

A

$\left( 1 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
B

$\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)$
C

$\left( 2 \right),\left( 3 \right)$
D

$\left( 2 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm tâm đối xứng của các đồ thị hàm số đã cho và đối chiếu kết quả.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad \ne bc} \right)$ là $I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là $\left( { - 3;1} \right)$ nên loại.

Đồ thị hàm số (2) có tâm đối xứng là $\left( {2; - 3} \right)$ nên đúng.

Đồ thị hàm số (3) có tâm đối xứng là $\left( {2; - 3} \right)$ nên đúng.

Đồ thị hàm số (4) có tâm đối xứng là $\left( { - 2; - 3} \right)$ nên loại.

Đồ thị hàm số (5) có tâm đối xứng là $\left( {2; - \dfrac{1}{3}} \right)$ nên loại.

Câu 38 :

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của$m$ để đồ thị hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có đúng hai tiệm cận đứng.

A

$\left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right).$
B

$\left( {0; + \infty } \right)$
C

$\left[ {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right].$
D

$\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right].$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y = {\rm{\;}} \pm \infty {\rm{\;}} \Rightarrow x = {x_0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số.

- Hàm số có TCĐ $x = {x_0}$ khi $x = {x_0}$ là nghiệm của mẫu và không là nghiệm của tử.

(Lưu ý điều kiện xác định của hàm số)

Lời giải chi tiết :

Chọn $m = 2,$ khi đó hàm số trở thành $y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 6} }}$

Rõ ràng $1 + \sqrt {x + 1} > 0{\mkern 1mu} ,\forall x \ge - 1$

Khi đó để hàm số$y = \dfrac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - mx - 3m} }}$ có hai tiệm cận đứng thì phương trình ${x^2} - mx - 3m = 0$ cần có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ { - 1; + \infty } \right)$ .

Gọi hai nghiệm phân biệt là ${x_1}$ và ${x_2}$.

Khi đó ta phải có

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta > 0}\\{{x_1},{x_2} \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( { - m} \right)}^2} - 4\left( { - 3m} \right) > 0}\\{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} + 12m > 0}\\{{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 \ge 0}\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)}\\{3m + m + 1 \ge 0}\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left( { - \infty ; - 12} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)}\\{m \ge - \dfrac{1}{4}}\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m \in \left( {0; + \infty } \right)$

Câu 39 :

Cho hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có bảng biến thiên như hình bên. Trong các hệ số a, b, c và d có bao nhiêu số âm?

A
$1$
B
$3$
C
$2$
D
$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Dựa vào $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y$ xác định dấu của hệ số a.

- Dựa vào số điểm cực trị suy ra dấu của hệ số b.

- Dựa vào dấu của tích hai điểm cực trị suy ra dấu của hệ số c.

- Thay $x = 0$ vào hàm số và xác định dấu của d.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0$.

$y' = 3a{x^2} + 2bx + c$.

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có hai điểm cực trị ${x_1} = - 1,\,\,{x_2} = 2$ nên phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $S = {x_1} + {x_2} = 1 > 0$, $P = {x_1}{x_2} = - 2 < 0$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {b^2} - 3ac > 0\\S = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0\\P = \dfrac{c}{{3a}} < 0\end{array} \right.$.

Mà $a < 0$ nên $b > 0$ và $c > 0$.

Dựa vào BBT ta thấy tại điểm $x = 0$ thì $y > 0$, do đó $d > 0$.

Vậy trong 4 hệ số a, b, c, d chỉ có 1 số âm.

Câu 40 :

Cho hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}$ có đồ thị như hình vẽ

Tính giá trị của $a + 2b + c.$

A
$0.$
B
$ - 2.$
C
$3.$
D
$2.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào đồ thị hàm số, tìm hàm số, từ đó suy ra $a,\,\,b,\,\,c.$

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: $x = - 1 \Rightarrow c = 1.$

Đồ thị hàm số có TCN: $y = - 1 \Rightarrow a = - 1.$

$ \Rightarrow y = \frac{{ - x + b}}{{x + 1}}.$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;\,\,1} \right) \Rightarrow b = 1.$

$ \Rightarrow a + 2b + c = - 1 + 2.1 + 1 = 2.$

Câu 41 :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ như hình vẽ bên.

Chọn khẳng định đúng:

A

$2a - d = - 3$
B

$a = d$
C

$3a + d = 7$
D

$a + d = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Quan sát bảng biến thiên, tìm các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.

- Tìm $a,d$ và thay vào kiểm tra các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + 2}}{{2x + d}}$ có $\left\{ \begin{align} & \xrightarrow{TCD}x=-\dfrac{d}{2}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow d=1 \\ & \xrightarrow{TCN}y=\dfrac{a}{2}=1\Rightarrow a=2 \\ \end{align} \right.\Rightarrow 3a+d=7$

Câu 42 :

Cho hàm số$y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)$có đồ thị (C), tiếp tuyến của (C ) có hệ số góc đạt giá trị bé nhất khi nào?

A

$a < 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $\frac{b}{{3a}}.$
B

$a < 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $ - \frac{b}{{3a}}.$
C

$a > 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $ - \frac{b}{{3a}}.$
D

$a > 0$ và hoành độ tiếp điểm bằng $\frac{b}{{3a}}.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ là $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$ .

Lời giải chi tiết :

Hệ số góc của tiếp tuyến của $\left( C \right)$ là $y' = 3a{x^2} + 2bx + c$là 1 parabol đạt GTNN khi $a > 0$ tại $x = - \frac{{2b}}{{2.3a}} = \frac{{ - b}}{{3a}}$.

Câu 43 :

A

$2x + y + 4 = 0.$
B

$2x + y - 4 = 0.$
C

$2x - y - 4 = 0.$
D

$2x - y + 4 = 0.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính $y',y''$ và tìm nghiệm của $y'' = 0$ suy ra điểm uốn.

- Trung điểm của hai điểm cực trị của đồ thị hàm số chính là điểm uốn của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y = {x^3} + 3{x^2} - 4 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'' = 6x + 6$; $y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1$

Vứi $x = - 1$ thì $y = - 2$. Vậy $M\left( { - 1; - 2} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Mà $M\left( { - 1; - 2} \right) \in d:2x + y + 4 = 0$.

Câu 44 :

A

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$
B

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{6}$
C

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{8}$
D

$\dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Chứng minh $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và tính $SA$.

- Xác định góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy, sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Tính diện tích đáy $MCDN$.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

$\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)$

$ \Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên $\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0}$

(vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $A \Rightarrow \widehat {SCA} < {90^o}$)

$ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 $

$\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = {a^2}\\{S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\\{S_{BCM}} = \dfrac{1}{2}BM.BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{{{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow {S_{MCDN}} = {S_{ABCD}} - {S_{AMN}} - {S_{BCM}} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{8} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\\ \Rightarrow {V_{S.MCDN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{MCDN}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 2 .\dfrac{{5{a^2}}}{8} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\end{array}$

Câu 45 :

Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?

A

$5$
B

$4$
C

Vô số
D

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Có $5$ khối đa diện đều: Khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối $12$ mặt đều, khối $20$ mặt đều.

Lời giải chi tiết :

Có $5$ và chỉ $5$ khối đa diện đều: Khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối $12$ mặt đều, khối $20$ mặt đều.

Câu 46 :

A

$A = 17 - 2\sqrt 6 $.
B

$A = 17 + \sqrt 6 $.
C

$A = 17 + 2\sqrt 6 $.
D

$A = 17 - \sqrt 6 $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tập giá trị của tích $xy$ dựa vào điều kiện bài cho.

- Biến đổi $P$ chỉ làm xuất hiện tích $xy$ rồi đặt $t = xy$

- Xét hàm số $P\left( t \right)$ và tìm $\max ,\min $, chú ý điều kiện của $t$ tìm được từ đầu.

Lời giải chi tiết :

Ta có

+) $1 + xy = {x^2} + {y^2} \ge 2xy \Leftrightarrow xy \le 1$ vì ${\left( {x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0$.

+) ${x^2} - xy + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 3xy \ge 0 \Leftrightarrow xy \ge - \dfrac{1}{3}$.

Khi đó $P = \dfrac{{{x^4} + {y^4} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{{x^2} + {y^2} + 1}} = \dfrac{{{{\left( {1 + xy} \right)}^2} - 2{{\left( {xy} \right)}^2} + 1}}{{xy + 2}}$.

Đặt $t = xy,\,t \in \left[ { - \dfrac{1}{3};\,\,1} \right]$, xét hàm số $P = \dfrac{{ - {t^2} + 2t + 2}}{{t + 2}}$

$P' = \dfrac{{ - {t^2} - 4t + 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}$; $P' = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt 6 $

Mà $P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}$; $P\left( 1 \right) = 1$; $P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 $

Khi đó: $m = P\left( { - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{15}}$; $M = P\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = 6 - 2\sqrt 6 $

Vậy $A = M + 15m = 17 - 2\sqrt 6 $.

Câu 47 :

A
$\dfrac{{31}}{{162}}$
B
$\dfrac{{35}}{{162}}$
C
$\dfrac{{34}}{{162}}$
D
$\dfrac{{13}}{{162}}$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi cạnh của hình lập phương là $a$.

Ta có:

$\left( \alpha \right) \bot AC'$$ \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BD$. Trong $\left( {BDD'B'} \right)$ kẻ $MN\parallel BD\,\,\left( {N \in DD'} \right)$.

$\left( \alpha \right) \bot AC' \Rightarrow \alpha \parallel B'C$. Trong $\left( {BCC'B'} \right)$ kẻ $MQ\parallel B'C\,\,\left( {Q \in BC} \right)$.

$\left( \alpha \right) \bot AC'$$ \Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel BD$. Trong $\left( {BDD'B'} \right)$ kẻ $MN\parallel BD\,\,\left( {N \in DD'} \right)$.

$\left( \alpha \right) \bot AC' \Rightarrow \alpha \parallel B'C$. Trong $\left( {ABCD} \right)$ kẻ $PQ\parallel BD\,\,\left( {P \in DC} \right)$.

Khi đó $\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)$.

Theo cách dựng ta có $BQ = 2QC,\,\,DP = 2PC,\,\,DN = 2ND'$.

Gọi $H$ là điểm thuộc $CC'$ sao cho $CH = 2HC'$.

Khi đó ta có: ${V_{CPQMNC'}} = {V_{C.MHN}} + {V_{CQP.MHN}}$.

Xét hình chóp $C'.MHN$ có $C'H = \dfrac{a}{3}$, ${S_{\Delta MHN}} = \dfrac{1}{2}{a^2}$.

$ \Rightarrow {V_{C'.MHN}} = \dfrac{1}{3}C'H.{S_{\Delta MHN}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{{{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{18}} = \dfrac{V}{{18}}$.

Xét hình chóp cụt $CQP.MHN$ có

$\begin{array}{l}{V_{CQP.MHN}} = {V_{I.MHN}} - {V_{I.CQP}} = \dfrac{1}{3}\left( {IH.{S_{\Delta MHN}} - IC.{S_{\Delta CQP}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\left( {a.\dfrac{1}{2}{a^2} - \dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{3}} \right) = \dfrac{{13{a^3}}}{8} = \dfrac{{13V}}{{81}}\end{array}$

$ \Rightarrow {V_1} = {V_{CPQMNC'}} = {V_{C.MHN}} + {V_{CQP.MHN}} = \dfrac{V}{{18}} + \dfrac{{13V}}{{81}} = \dfrac{{35V}}{{162}}$.

Vậy $\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{35}}{{162}}$

Câu 48 :

A

$r = 3\left( m \right)$.
B

$r = \sqrt[3]{{16}}\left( m \right)$.
C

$r = \sqrt[3]{{32}}\left( m \right)$.
D

$r = 4\left( m \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Lập hàm số diện tích hình trụ theo biến $r$.

- Tìm GTNN của hàm số và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi hình trụ có chiều cao $h$, bán kính đáy $r$.

Ta có: $V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \dfrac{{64\pi }}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{64}}{{{r^2}}}$

Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Ta có: ${S_{tp}} = 2{S_{day}} + {S_{xq}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}$.

Xét hàm số $f\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}$ với $r > 0$.

Ta có $f'\left( r \right) = 4\pi r - \dfrac{{128\pi }}{{{r^2}}};f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{32}}\,$.

Lập bảng biến thiên ta có $f\left( r \right)$ đạt GTNN khi $r = \sqrt[3]{{32}}$.

Câu 49 :

A
$1$.
B
$\dfrac{3}{5}.$
C
$\dfrac{7}{5}.$
D
$\dfrac{9}{5}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Đặt ẩn phụ $t = {x^2} - 4x + 5$, tìm khoảng giá trị của $t$ ứng với $x \in \left[ {0;3} \right]$.

- Khảo sát hàm số $f\left( t \right)$ trên khoảng giá trị của $t$, từ đó kết luận max, min của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có :

\[\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \dfrac{{{x^2}}}{4} + x\\f\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 5}} - \dfrac{{{x^2} - 4x}}{4}\end{array}\]

Đặt $t = {x^2} - 4x + 5$ với $x \in \left[ {0;3} \right]$ ta có $t' = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in \left[ {0;3} \right]$.

Ta có : $t\left( 0 \right) = 5;\,\,t\left( 2 \right) = 1,\,\,t\left( 3 \right) = 2$.

$ \Rightarrow $ Với $x \in \left[ {0;3} \right]$ thì $t \in \left[ {1;5} \right]$, khi đó hàm số trở thành $f\left( t \right) = \dfrac{1}{t} - \dfrac{{t - 5}}{4}$ với $t \in \left[ {1;5} \right]$.

Ta có $f'\left( t \right) = - \dfrac{1}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{4} < 0\,\,\forall t \in \left[ {1;5} \right]$.

$ \Rightarrow $ Hàm số $y = f\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left[ {1;5} \right]$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2 = M\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( 5 \right) = \dfrac{1}{5} = m\end{array} \right.$

Vậy $M - m = 2 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{5}$.

Câu 50 :

Số điểm cực đại của hàm số $y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right)$ bằng:

A
$45$
B
$49$
C
$44$
D
$100$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình $y = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)...\left( {x - 100} \right) = 0$, phương trình có 100 nghiệm phân biệt.

Phương trình $y = f\left( x \right) = 0$ là phương trình bậc 100, có 100 nghiệm, do đó hàm số $y = f\left( x \right)$ có 99 điểm cực trị.

Lại có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty $ nên số điểm cực tiểu nhiều hơn số điểm cực đại là 1.

Do đó hàm số có 50 điểm cực tiểu, 49 điểm cực đại.

Bài liên quan