Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 - Đề số 1

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\).

  • A

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • B

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • C

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • D

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Câu 2 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  • A

    Hai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng

  • B

    Hai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng

  • C

    Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng

  • D

    Hai hình chữ nhật bất kỳ luôn đồng dạng

Câu 3 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:

  • A

    $\left( {5; - 3} \right)$

  • B

    $\left( {3;5} \right)$

  • C

    $\left( { - 3;5} \right)$

  • D

    \(\left( {3; - 5} \right)\) 

Câu 4 :

Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:

  • A

    \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)          

  • C

    \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • D

    \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Câu 5 :

Cho hai đường thẳng bất kỳ \(d\) và \(d'\). Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\)?

  • A

    $0$

  • B

    $1$

  • C

    $2$

  • D

    Vô số.

Câu 6 :

Phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên đường thẳng \(d\). Phép biến hình đó được gọi là:

  • A

    phép đồng nhất

  • B

    phép tịnh tiến

  • C

    phép chiếu vuông góc

  • D

    phép đối xứng tâm

Câu 7 :

Xét hàm số \(y = \sin \,x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\,0} \right].\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A

    Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

  • B

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); nghịch biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

  • C

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); đồng biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

  • D

    Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

Câu 8 :

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x$ và $g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} $. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?

  • A

    Hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ là hai hàm số lẻ.

  • B

    Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

  • C

    Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số không chẵn không lẻ.

  • D

    Cả hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ đều là hàm số không chẵn không lẻ.

Câu 9 :

Một trong các họ nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là:

  • A

    $x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.

  • B

    $x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

  • C

    $x = k\pi $.

  • D

    $x =  - \dfrac{{11\pi }}{6} + k2\pi $.

Câu 10 :

Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?

  • A

    \(m = 1\)

  • B

    Không có m

  • C

    \(m = 0\)

  • D

    Với mọi m

Câu 11 :

Giải phương trình $1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0$.

  • A

    \(x = \pi  + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

  • B

    \(x = \pi  + k2\pi ,x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).

  • C

    \(x = \pi  + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).

  • D

    \(x = \pi  + k2\pi ,x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

Câu 12 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

  • A
    BC
  • B
    AB
  • C
    DC
  • D
    CA
Câu 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1$ và đường thẳng \(d\) có phương trình $y - x = 0.$ Phép đối xứng trục \(d\) biến đường tròn  \(\left( C \right)\) thành đường tròn $\left( {C'} \right)$ có phương trình là:

  • A

    ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1.$

  • B

    ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$

  • C

    ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.$

  • D

    ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$

Câu 14 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai đường tròn $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\) có phương trình lần lượt là ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 7 = 0$ và ${x^2} + {y^2} - 12x - 8y + 51 = 0$. Xét phép đối xứng tâm \(I\)  biến $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I.\)

  • A

    $I\left( {2;3} \right).$

  • B

    $I\left( {1;0} \right).$

  • C

    $I\left( {8;6} \right).$

  • D

    $I\left( {4;3} \right).$

Câu 15 :

Cho hình thang \(ABCD\) có 2 cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\) thỏa mãn \(AB = 3CD.\) Phép vị tự biến điểm \(A\) thành điểm \(C\) và biến điểm \(B\) thành điểm \(D\) có tỉ số \(k\) là:

  • A
    \(k = 3.\)
  • B
    \(k =  - \dfrac{1}{3}.\)
  • C

    \(k = \dfrac{1}{3}.\)

  • D
    \(k =  - 3.\)
Câu 16 :

Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).

  • A

    \({T_0} = 2\pi \)

  • B

    \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)

  • C

    \({T_0} = \pi \)

  • D

    \({T_0} = 4\pi \) 

Câu 17 :

Có bao nhiêu giá trị \(x \in \left[ {0;5\pi } \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị bằng 0?

  • A
    \(9\)
  • B
    \(10\)
  • C
    \(7\)
  • D
    \(6\)
Câu 18 :

Phương trình \(\cot 20x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 50\pi ;0} \right]\)?

  • A
    980
  • B
    51
  • C
    981
  • D
    1000
Câu 19 :

Giải phương trình \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\).

  • A
    \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{5}\).
  • B

    \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x =\dfrac{{\pi }}{5}+ \dfrac{{k2\pi }}{5}\), \(x =-\pi+ k2\pi \).

  • C
    \(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \),  \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • D
    \(x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \)
Câu 20 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\)

  • A

    \(\min y = 0;\max y = 4\)

  • B

    \(\min y = 1 - \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 .\)

  • C

    \(\min y =  - 4;\max y = 0.\)

  • D

    \(\min y =  - 1 + \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 \) .

Câu 21 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {2;5} \right).\) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {1;2} \right)\) biến \(A\) thành điểm \(A'\) có tọa độ là:

  • A

    \(A'\left( {3;1} \right).\)

  • B

    \(A'\left( {1;6} \right).\)

  • C

    \(A'\left( {3;7} \right).\)

  • D

    \(A'\left( {4;7} \right).\)

Câu 22 :

Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến tam giác $ABC$ có số đo các cạnh $3,4,5$  thành tam giác $A'B'C'$  có diện tích là giá trị nào sau đây?

  • A

    $6$ 

  • B

    $3$ 

  • C

    $12$ 

  • D

    $24$

Câu 23 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).

  • A

    \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\).

  • B

    \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).

  • C

    \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).

  • D

    \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\).

Câu 24 :

Giải phương trình $\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2x} \right) = 1$.

  • A

    $x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

  • B

    $x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.

  • C

    $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

  • D

    Vô nghiệm.

Câu 25 :

Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là

  • A

    $\dfrac{{7400\pi }}{3}$.

  • B

    $\dfrac{{7525\pi }}{3}$.

  • C

    $\dfrac{{7375\pi }}{3}$.

  • D

    $\dfrac{{7550\pi }}{3}$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Tìm tập xác định của hàm số sau \(y = \tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right)\).

  • A

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{3} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • B

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • C

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

  • D

    \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{8} + k\dfrac{\pi }{2};k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = \tan u\left( x \right)\) xác định nếu \(\cos u\left( x \right) \ne 0 \Leftrightarrow u\left( x \right) \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(\cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{3} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}\)

Câu 2 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

  • A

    Hai đường thẳng bất kỳ luôn đồng dạng

  • B

    Hai đường tròn bất kỳ luôn đồng dạng

  • C

    Hai hình vuông bất kỳ luôn đồng dạng

  • D

    Hai hình chữ nhật bất kỳ luôn đồng dạng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phép đồng dạng tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$ thì $M'N'=k.MN$

Lời giải chi tiết :

Với hai hình chữ nhật bất kỳ ta chọn từng cặp cạnh tương ứng khi đó tỉ lệ giữa chúng chưa chắc đã bằng nhau.

Vì vậy không phải lúc nào cũng tồn tại phép đồng dạng biến hình chữ nhật này thành hình chữ nhật kia

Câu 3 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ , cho $T$ là một phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow u $ biến điểm $M\left( {x;y} \right)$ thành điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ với biểu thức tọa độ là: $x = x' + 3;\,\,y = y' - 5$. Tọa độ của vectơ tịnh tiến $\overrightarrow u $ là:

  • A

    $\left( {5; - 3} \right)$

  • B

    $\left( {3;5} \right)$

  • C

    $\left( { - 3;5} \right)$

  • D

    \(\left( {3; - 5} \right)\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = x' + 3\\y = y' - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 3\\y' = y + 5\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( { - 3;5} \right)\)

Câu 4 :

Nghiệm của phương trình \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0\) là:

  • A

    \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • B

    \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)          

  • C

    \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

  • D

    \(x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phương trình về phương trình lượng giác cơ bản \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\sqrt 3 \tan x + 3 = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - \sqrt 3  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Câu 5 :

Cho hai đường thẳng bất kỳ \(d\) và \(d'\). Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\)?

  • A

    $0$

  • B

    $1$

  • C

    $2$

  • D

    Vô số.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xác định phép quay thỏa mãn bài toán và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng.

Câu 6 :

Phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên đường thẳng \(d\). Phép biến hình đó được gọi là:

  • A

    phép đồng nhất

  • B

    phép tịnh tiến

  • C

    phép chiếu vuông góc

  • D

    phép đối xứng tâm

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng \(d\). Với mỗi điểm \(M\), xác định điểm \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên \(d\). Phép biến hình này là phép chiếu vuông góc lên đường thẳng \(d\).

Câu 7 :

Xét hàm số \(y = \sin \,x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\,0} \right].\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A

    Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

  • B

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); nghịch biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

  • C

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\); đồng biến trên khoảng\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

  • D

    Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và\(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bảng biến thiên của hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)

Lời giải chi tiết :

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=\sin x$ trên $[-\pi ; \pi]$ ta có hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;\, - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\,\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};\,0} \right).\)

Câu 8 :

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x$ và $g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} $. Kết luận nào sau đây đúng về tính chẵn lẻ của hai hàm số này?

  • A

    Hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ là hai hàm số lẻ.

  • B

    Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số chẵn; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

  • C

    Hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số lẻ; hàm số $g\left( x \right)$ là hàm số không chẵn không lẻ.

  • D

    Cả hai hàm số $f\left( x \right);g\left( x \right)$ đều là hàm số không chẵn không lẻ.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\) là hàm số chẵn nếu \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\) là hàm số lẻ nếu \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết :

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{x - 3}} + 3{\sin ^2}x$ có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Ta có $x =  - 3 \in D$ nhưng $ - x = 3 \notin D$ nên $D$ không có tính đối xứng. Do đó ta có kết luận hàm số $f\left( x \right)$ không chẵn không lẻ.

Xét hàm số $g\left( x \right) = \sin \sqrt {1 - x} $ có tập xác định là ${D_2} = \left[ {1; + \infty } \right)$. Dễ thấy ${D_2}$ không phải là tập đối xứng nên ta kết luận hàm số $g\left( x \right)$ không chẵn không lẻ.

Câu 9 :

Một trong các họ nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là:

  • A

    $x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.

  • B

    $x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

  • C

    $x = k\pi $.

  • D

    $x =  - \dfrac{{11\pi }}{6} + k2\pi $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Đưa $\dfrac{1}{2}$ về dạng $\sin \alpha $

Sử dụng máy tính để tìm $\alpha $:

SHIFT => MODE => 4  : chuyển về chế độ Radian

SHIFT => SIN => (1/2) =>"="

Bước 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

$\sin x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi }{6}$

Bước 2:

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Với \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \), cho \(k = l - 1\) ta được \(x = \dfrac{\pi }{6} + \left( {l - 1} \right)2\pi  =  - \dfrac{{11\pi }}{6} + l2\pi \).

Câu 10 :

Với giá trị nào của m thì phương trình \(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\) luôn có nghiệm?

  • A

    \(m = 1\)

  • B

    Không có m

  • C

    \(m = 0\)

  • D

    Với mọi m

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Điều kiện để phương trình \(a\cos x + b\sin x = c\) có nghiệm là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) 

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt 3 \sin 2x - m\cos 2x = 1\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b =  - m\\c = 1\end{array} \right.\)

Để phương trình có nghiệm thì \({a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 3 + {m^2} \ge 1 \Leftrightarrow {m^2} \ge  - 2\) (luôn đúng với \(\forall m\) )

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Câu 11 :

Giải phương trình $1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0$.

  • A

    \(x = \pi  + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

  • B

    \(x = \pi  + k2\pi ,x =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).

  • C

    \(x = \pi  + k2\pi ,x = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \).

  • D

    \(x = \pi  + k2\pi ,x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng tích

Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}$.

Bước 2: Giải phương trình tích và kiểm tra điều kiện.

Sử dụng công thức:

$\tan x =  - 1 \Leftrightarrow x= - \dfrac{\pi }{4} + k\pi $

$\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi $

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

ĐK: \(\cos x \ne 0\).

\(1 + {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x + {\rm{tan}}x = 0\) \(\Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {1 + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\cos x}} + \left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\dfrac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right).\dfrac{{1 + \cos x}}{{\cos x}} = 0\)

Bước 2:

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\cos x + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x =  - \cos x\\\cos x =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} =  - 1\\\cos x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\cos x =  - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {TM} \right)\)

Câu 12 :

Cho hình bình hành ABCD. Phép tịnh tiến theo \({T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\) biến đoạn thẳng DC thành đoạn thẳng nào sau đây?

  • A
    BC
  • B
    AB
  • C
    DC
  • D
    CA

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa phép tịnh tiến: \({T_{\overrightarrow u }}\left( A \right) = B \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \).

Mà ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA} \).

Do đó

\(\begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( D \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( D \right) = A\\{T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( C \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( C \right) = B\end{array}\)

Vậy \({T_{\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} }}\left( {DC} \right) = {T_{\overrightarrow {CB} }}\left( {DC} \right) = AB\)

Câu 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1$ và đường thẳng \(d\) có phương trình $y - x = 0.$ Phép đối xứng trục \(d\) biến đường tròn  \(\left( C \right)\) thành đường tròn $\left( {C'} \right)$ có phương trình là:

  • A

    ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 1.$

  • B

    ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$

  • C

    ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.$

  • D

    ${\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = y}\\{y' = x}\end{array}} \right.$.

- Thay vào phương trình đường tròn đã cho suy ra phương trình đường tròn ảnh.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục $d:y - x = 0$ (đường phân giác góc phần tư thứ nhất) là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = y}\\{y' = x}\end{array}} \right.$.

Thay vào $\left( C \right)$, ta được ${\left( {y' + 1} \right)^2} + {\left( {x' - 4} \right)^2} = 1$ hay ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.$

Câu 14 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai đường tròn $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\) có phương trình lần lượt là ${x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 7 = 0$ và ${x^2} + {y^2} - 12x - 8y + 51 = 0$. Xét phép đối xứng tâm \(I\)  biến $\left( C \right)$ và \(\left( {C'} \right)\). Tìm tọa độ tâm \(I.\)

  • A

    $I\left( {2;3} \right).$

  • B

    $I\left( {1;0} \right).$

  • C

    $I\left( {8;6} \right).$

  • D

    $I\left( {4;3} \right).$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tâm đối xứng là trung điểm của đoạn nối tâm hai đường tròn.

Lời giải chi tiết :

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(K\left( {2;2} \right)\). Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) có tâm \(K'\left( {6;4} \right)\).

Tọa độ tâm đối xứng \(I\) là trung điểm của \(KK'\) nên suy ra \(I\left( {4;3} \right)\).

Câu 15 :

Cho hình thang \(ABCD\) có 2 cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\) thỏa mãn \(AB = 3CD.\) Phép vị tự biến điểm \(A\) thành điểm \(C\) và biến điểm \(B\) thành điểm \(D\) có tỉ số \(k\) là:

  • A
    \(k = 3.\)
  • B
    \(k =  - \dfrac{1}{3}.\)
  • C

    \(k = \dfrac{1}{3}.\)

  • D
    \(k =  - 3.\)

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)

\(\begin{array}{l}{V_{\left( {O;k} \right)}}\left( A \right) = C,\,\,\,{V_{\left( {O;k} \right)}}\left( B \right) = D\\ \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = k\overrightarrow {AB}. \end{array}\)

Mà \(AB=3CD\) và \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) ngược hướng nên \(k=-\dfrac{1}{3}\)

Câu 16 :

Tìm chu kì của hàm số \(y = f\left( x \right) = \tan 2x\).

  • A

    \({T_0} = 2\pi \)

  • B

    \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)

  • C

    \({T_0} = \pi \)

  • D

    \({T_0} = 4\pi \) 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \dfrac{\pi }{{\left| a \right|}}\).

Lời giải chi tiết :

Chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = \tan 2x\) là \({T_0} = \dfrac{\pi }{2}\)

Câu 17 :

Có bao nhiêu giá trị \(x \in \left[ {0;5\pi } \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị bằng 0?

  • A
    \(9\)
  • B
    \(10\)
  • C
    \(7\)
  • D
    \(6\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\), xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.

Lời giải chi tiết :

Ta vẽ đồ thị hàm số \(y = \tan x\) trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn \(\left[ {0;5\pi } \right]\), đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt (điểm màu đỏ), do đó có 6 giá trị \(x \in \left[ {0;5\pi } \right]\) để hàm số \(y = \tan x\) nhận giá trị bằng 0.

Câu 18 :

Phương trình \(\cot 20x = 1\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left[ { - 50\pi ;0} \right]\)?

  • A
    980
  • B
    51
  • C
    981
  • D
    1000

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Cho nghiệm tìm được thuộc \(\left[ { - 50\pi ;0} \right]\), tìm số các giá trị nguyên $k$ thỏa mãn.

- Số các số nguyên từ $a$ đến $b$ là $b-a+1$ số ($a$ và $b$ cũng là các số nguyên).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\cot 20x = 1 \Leftrightarrow 20x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{80}} + \dfrac{{k\pi }}{{20}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}x \in \left[ { - 50\pi ;0} \right]\\ \Leftrightarrow  - 50\pi  \le \dfrac{\pi }{{80}} + \dfrac{{k\pi }}{{20}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - 50 \le \dfrac{1}{{80}} + \dfrac{k}{{20}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{4001}}{4} \le k \le  - \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow  -1000,25 \le k \le  - 0,25\end{array}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow -1000 \le k \le -1\)

\( \Rightarrow k \in \left\{ { - 1000; - 999;....; - 2; - 1} \right\}\)

Tập trên có $-1-(-1000)+1=1000$ phần tử suy ra có $1000$ giá trị nguyên của $k$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có $1000$ nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 19 :

Giải phương trình \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\).

  • A
    \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{5}\).
  • B

    \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x =\dfrac{{\pi }}{5}+ \dfrac{{k2\pi }}{5}\), \(x =-\pi+ k2\pi \).

  • C
    \(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \),  \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • D
    \(x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Sử dụng công thức: \( -\cos x = \cos (\pi-x)\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \left( {\cos 2x + \cos 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 3x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x+\cos 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos 3x = \cos (\pi-2x)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = \pi-2x + k2\pi \\3x =   2x-\pi + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x =\dfrac{{\pi }}{5}+\dfrac{{k2\pi }}{5}\\x =-\pi+ k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x =\dfrac{{\pi }}{5}+ \dfrac{{k2\pi }}{5}\), \(x =-\pi+ k2\pi \).

Câu 20 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\)

  • A

    \(\min y = 0;\max y = 4\)

  • B

    \(\min y = 1 - \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 .\)

  • C

    \(\min y =  - 4;\max y = 0.\)

  • D

    \(\min y =  - 1 + \sqrt 3 ;\max y = 3 + \sqrt 3 \) .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) về hàm số thuần nhất đối với \(\sin 2x,\cos 2x\) và sử dụng kiến thức \( - \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \le a\,\sin u + b\,\cos u \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin {\rm{x}}\cos x + 1\) \( = 2{\cos ^2}x - 1 - \sqrt 3 \sin 2x + 2\)\( = \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2\left( * \right)\)

Mà  \( - \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}  \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le \sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \)

Nên \( - 2 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x \le 2\)

\( \Rightarrow 0 \le \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2 \le 4\) hay \(0 \le y \le 4,\forall x \in \,R\)

Vậy \(\min y = 0;\max y = 4\)

Câu 21 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( {2;5} \right).\) Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {1;2} \right)\) biến \(A\) thành điểm \(A'\) có tọa độ là:

  • A

    \(A'\left( {3;1} \right).\)

  • B

    \(A'\left( {1;6} \right).\)

  • C

    \(A'\left( {3;7} \right).\)

  • D

    \(A'\left( {4;7} \right).\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi \(A'\left( {x;y} \right) \) và biểu diễn $\overrightarrow {AA'}$ theo $x,y$

Bước 2:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết :

Bước 1:

Gọi \(A'\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 2;y - 5} \right).\)

Bước 2:

Ta có \({T_{\overrightarrow v }}\left( A \right) = A' \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\y - 5 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 7\end{array} \right.\)

Câu 22 :

Phép vị tự tỉ số $k = 2$ biến tam giác $ABC$ có số đo các cạnh $3,4,5$  thành tam giác $A'B'C'$  có diện tích là giá trị nào sau đây?

  • A

    $6$ 

  • B

    $3$ 

  • C

    $12$ 

  • D

    $24$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Phép vị tự tỉ số $k$ biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với nó theo tỉ số $k$

- Tỉ số diện tích \(S' = {k^2}.S\) với \(S'\) là diện tích của tam giác ảnh, \(S\) là diện tích tam giác dưới phép vị tự.

Lời giải chi tiết :

\({V_{\left( {I;k} \right)}}\left( {\Delta ABC} \right) = \Delta A'B'C' \Rightarrow \Delta A'B'C' \sim \Delta ABC\) theo tỉ số \(k \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta A'B'C'}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = 4 \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = 4{S_{\Delta ABC}}\)

Ta có \({3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.3.4 = 6\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = 4.6 = 24\)

Câu 23 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).

  • A

    \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\).

  • B

    \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).

  • C

    \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).

  • D

    \({x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm tâm và bán kính đường tròn mới qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;0} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;\;0} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Gọi \(O'\) là ảnh của \(O\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x_O} + {x_{O'}}}}{2} = {x_I}}\\{\dfrac{{{y_O} + {y_{O'}}}}{2} = {y_I}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2{x_I} - {x_O}}\\{{y_{O'}} = 2{y_I} - {y_O}}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{O'}} = 2.1 - 0}\\{{y_{O'}} = 2.0 - 0}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow O'\left( {2;\;0} \right)$.

Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;\;0} \right)\).

\(\left( {C'} \right)\) có tâm $O'\left( {2;\;0} \right)$, bán kính \(R' = R = 1\).

Phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\).

Câu 24 :

Giải phương trình $\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right).\tan \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2x} \right) = 1$.

  • A

    $x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

  • B

    $x =  - \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.

  • C

    $x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

  • D

    Vô nghiệm.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tìm ĐKXĐ.

- Biến đổi phương trình về dạng \(\tan x = \tan y \Leftrightarrow x = y + k\pi \).

- Giải phương trình và kiểm tra điều kiện.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{\pi }{3} - x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\dfrac{\pi }{3} + 2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - \dfrac{\pi }{6} - k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{{12}} + k\dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$

${\rm{pt}} \Leftrightarrow \tan \left( {\dfrac{\pi }{3} - x} \right) = \cot \left( {\dfrac{\pi }{3} + 2x} \right) \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{3} - x = \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{3} - 2x + k\pi  \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $ (Loại).

Câu 25 :

Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là

  • A

    $\dfrac{{7400\pi }}{3}$.

  • B

    $\dfrac{{7525\pi }}{3}$.

  • C

    $\dfrac{{7375\pi }}{3}$.

  • D

    $\dfrac{{7550\pi }}{3}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Biến đổi phương trình về phương trình thuần nhất đối với \(\sin x,\cos x\)

- Giải phương trình tìm nghiệm thuộc \(\left( {0;100\pi } \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow 1 + \sin x + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Theo đề bài cho ta có \(0 < x < 100\pi \)\( \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi  < 100\pi \)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{599}}{{12}}\)

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4,....;48;49} \right\}\)

Vậy \(S = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi  + \dfrac{\pi }{6} + 2 \times 2\pi  + ...... + \dfrac{\pi }{6} + 49 \times 2\pi \)\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \left( {1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 49} \right)\)

\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \dfrac{{49\left( {49 + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{7375\pi }}{3}\).

Bài liên quan
close