60 bài tập trắc nghiệm phương trình đường thẳng mức độ thông hiểu

Làm bài

Quảng cáo

Câu hỏi 1 :

Cho đường thẳng  \( (\Delta) : 3x-2y+1=0. \) Viết PTĐT (d) đi qua điểm \(M (1;2)\) và  tạo với \((\Delta)\) một góc \(45^0\)

  • A \(x-5y+9=0 \)
  • B \(x-5y+9=0 \) hoặc \(5x+y-7=0\)
  • C \( 5x+y+7=0\)
  • D \(x-5y+19=0\) hoặc \(-5x+y+7=0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

PTĐT (d) được viết dưới dạng:\( y – 2 = k ( x-1) \Leftrightarrow  kx – y +2 – k = 0\)

Vì (d) hợp với (∆) một góc 450 nên:\(\text{cos 4}{{\text{5}}^{0}}=\frac{|3k+(-1).(-2)|}{\sqrt{{{k}^{2}}+1}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{|3k+2|}{\sqrt{13}.\sqrt{{{k}^{2}}+1}}\Leftrightarrow \frac{2}{4}=\frac{9{{k}^{2}}+12k+4}{13.({{k}^{2}}+1)}\)

\(\Leftrightarrow 5{{k}^{2}}+24k-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& k=\frac{1}{5} \\  & k=-5 \\ \end{align} \right.\)

Vậy phương trình (d) là: \(\frac{1}{5}x-y+2-\frac{1}{5}=0\Leftrightarrow x-5y+9=0\)

 hay \(-5x-y+2-(-5)=0\Leftrightarrow 5x+y-7=0\)

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng \({d_1}:x - y = 0\) và \({d_2}:2x + y - 1 = 0\). Tính diện tích của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc \({d_1}\) , đỉnh C thuộc \({d_2}\) và các điểm B, D nằm trên trục hoành

  • A \(2\)                           
  • B \(4\)                          
  • C     \(6\)                           
  • D \(8\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tham số hóa tọa độ điểm A.

+) B, D thuộc Ox nên A và C đối xứng nhau qua Ox. Từ đó suy ra tọa độ điểm C.

+) Xác định tâm của hình vuông ABCD là trung điểm của AC.

+) Gọi B(a;0), suy ra tọa độ điểm D và sử dụng tính chất \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \) giá trị của a.

+) Tính diện tích hình vuông ABCD = \(A{B^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t} \right)\). Vì B, D thuộc trục Ox nên A và C đối xứng nhau qua Ox \( \Rightarrow C\left( {t; - t} \right)\). Mà \(C \in {d_2} \Rightarrow 2t - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right),C\left( {1; - 1} \right)\)

Gọi I là tâm hình vuông ABCD \( \Rightarrow I\) là trung điểm của AC \( \Rightarrow I\left( {1;0} \right)\)

Gọi \(B\left( {a;0} \right) \in Ox\), I là trung điểm của BD \( \Rightarrow D\left( {2 - a;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {a - 1; - 1} \right);\overrightarrow {AD}  = \left( {1 - a; - 1} \right)\)

Vì ABCD là hình vuông nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {1 - a} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} + 2a - 1 + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}+ )\,\,a = 0 \Rightarrow B\left( {0;0} \right);D\left( {2;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\\+ )\,\,a = 2 \Rightarrow B\left( {2;0} \right);D\left( {0;0} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 2  \Rightarrow {S_{ABCD}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\end{array}\)

Vậy \({S_{ABCD}} = 2\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hình vuông ABCD có \(\left( {AB} \right):2x + 3y - 3 = 0,\left( {CD} \right):2x + 3y + 10 = 0\) thì phương trình các cạnh AD và BC là: \(12x + by + c = 0\) và \(12x + by + c' = 0\)  với \(\left| {c - c'} \right|\) bằng:

  • A \(76\)                           
  • B \(52\)                           
  • C \(42\)                     
  • D \(112\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) \(AB \bot AD \Rightarrow \) tìm b.

+) Tính \(AD = d\left( {I;\left( {CD} \right)} \right)\) với \(I \in AB\)

+) Lấy điểm A bất kì thuộc AB suy ra giá trị của c.

+) Tham số hóa tọa độ điểm B, tính AB và cho AB = AD tìm tọa độ điểm B.

+) \(B \in BC \Rightarrow \) thay tọa độ điểm B vừa tìm được vào phương trình BC tìm c’.

Lời giải chi tiết:

\({\overrightarrow n _{AB}} = \left( {2;3} \right);{\overrightarrow n _{AD}} = \left( {12;b} \right) \Rightarrow 12.2 + 3.b = 0 \Leftrightarrow b =  - 8 \Rightarrow \left( {AD} \right):12x - 8y + c = 0,\left( {BC} \right):12x - 8y + c' = 0\)

Lấy điểm \(I\left( {0;1} \right) \in AB \Rightarrow d\left( {I;CD} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 3.1 + 10} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {13}  = AD\)

Lấy \(A\left( {0;1} \right) \in AB \Rightarrow A \in AD \Rightarrow 12.0 - 8.1 + c = 0 \Rightarrow c = 8\)

Lấy \(B\left( {b;\frac{{3 - 2b}}{3}} \right) \in AB \Rightarrow A{B^2} = {\left( {b - 0} \right)^2} + {\left( {\frac{{3 - 2b}}{3} - 1} \right)^2} = 13 \Leftrightarrow {b^2} + \frac{{4{b^2}}}{9} = 13 \Leftrightarrow {b^2} = 9 \Leftrightarrow b =  \pm 3\)

\(\begin{array}{l}b = 3 \Rightarrow B\left( {3; - 1} \right) \Rightarrow B \in BC \Rightarrow 12.3 - 8\left( { - 1} \right) + c' = 0 \Leftrightarrow c' =  - 44 \Leftrightarrow \left| {c - c'} \right| = \left| {8 + 44} \right| = 52\\b =  - 3 \Rightarrow B\left( { - 3;3} \right) \Rightarrow B \in BC \Rightarrow 12.\left( { - 3} \right) - 8.3 + c' = 0 \Leftrightarrow c' = 60 \Leftrightarrow \left| {c - c'} \right| = \left| {8 - 60} \right| = 52\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, biết các đường thẳng AB, BC, CD, DA tương ứng đi qua \(M\left( {10;3} \right),N\left( {7; - 2} \right),P\left( { - 3;4} \right),Q\left( {4; - 7} \right)\). Phương trình đường thẳng AB là:

  • A \(\left[ \begin{array}{l}x - 4y - 2 = 0\\2x + 9y + 47 = 0\end{array} \right.\)                                      
  • B \(\left[ \begin{array}{l}x - 4y + 2 = 0\\2x - 9y - 47 = 0\end{array} \right.\)
  • C \(\left[ \begin{array}{l}x - 4y + 2 = 0\\2x + 9y - 47 = 0\end{array} \right.\)                                      
  • D \(\left[ \begin{array}{l}x + 4y + 2 = 0\\2x + 9y - 47 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi VTPT của AB là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {a,b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {b; - a} \right)\). Khi đó cạnh của hình vuông bằng \(d\left( {P;AB} \right) = d\left( {Q;BC} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi VTPT của AB là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {a,b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {b; - a} \right)\).

Phương trình đường thẳng AB là \(a\left( {x - 10} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - 10a - 3b = 0\)

\(d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {P;AB} \right) = \frac{{\left| { - 3a + 4b - 10a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 13a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Phương trình đường thẳng BC : \( - b\left( {x - 7} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - bx + ay + 7b + 2a = 0\)

\(d\left( {AD;BC} \right) = d\left( {Q;BC} \right) = \frac{{\left| { - 4b - 7a + 7b + 2a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 5a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì ABCD là hình vuông nên

\(\begin{array}{l}d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AD;BC} \right) \Rightarrow \frac{{\left| { - 13a + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| { - 5a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}- 13a + b =  - 5a + 3b\\ - 13a + b = 5a - 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8a =  - 2b\\18a = 4b\end{array} \right.\end{array}\)

TH1 : \(8a =  - 2b.\) Chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow pt\left( {AB} \right):x - 4y + 2 = 0\)

TH2 : \(18a = 4b.\)  Chọn \(a = 2 \Rightarrow b = 9 \Rightarrow pt\left( {AB} \right):2x + 9y - 47 = 0\)

Chọn C.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I thuộc đường thẳng \(\left( d \right):x - y - 3 = 0\) và có hoành độ \({x_1} = \frac{9}{2}\), trung điểm của cạnh AD là giao điểm của (d) và trục Ox. Tìm tọa độ đỉnh A của hình chữ nhật.

  • A \(A\left( {2;1} \right) \vee A\left( { - 4;7} \right)\)                            
  • B  \(A\left( { - 2;5} \right) \vee A\left( {4; - 1} \right)\)
  • C \(A\left( { - 2;5} \right) \vee A\left( { - 4;7} \right)\)                                
  • D \(A\left( {2;1} \right) \vee A\left( {4; - 1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ điểm I.

+) M là trung điểm của AD \( \Rightarrow AB = 2IM\)

+) \({S_{ABCD}} = AB.BC \Rightarrow BC \Rightarrow MA = MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\)

+) Viết phương trình đường thẳng AD đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM} \) là 1 VTPT.

+) Lập hệ phương trình tìm tọa độ điểm A. 

Lời giải chi tiết:

I có hoành độ \({x_1} = \frac{9}{2}\) và \(I \in \left( d \right):x - y - 3 = 0 \Rightarrow I\left( {\frac{9}{2};\frac{3}{2}} \right)\)

M là trung điểm của AD là giao điểm của d và Ox \( \Rightarrow M\left( {3;0} \right)\).

\(\begin{array}{l}AB = 2IM = 2\sqrt {{{\left( {3 - \frac{9}{2}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \frac{3}{2}} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \\{S_{ABCD}} = AB.BC = 12 \Leftrightarrow BC = \frac{{12}}{{AB}} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2  \Rightarrow MA = MD = \sqrt 2\end{array}\)

Đường thẳng AD đi qua M và nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( { - \frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\left( {1;1} \right)\)  là 1 VTPT nên pt(AD) là \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Gọi \(A\left( {x;y} \right) \Rightarrow \) Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 = 0\\{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {0 - y} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\2{\left( {3 - x} \right)^2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{\left( {3 - x} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {2;1} \right);D\left( {4; - 1} \right)\\A\left( {4; - 1} \right);D\left( {2;1} \right)\end{array} \right.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 4} \right),B\left( {1;2} \right).\) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB:

  • A y - 1 = 0
  • B x - 4y = 0
  • C x - 1 = 0
  • D y + 1 = 0

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Đường trung trực của AB là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB nên nhận \(k\overrightarrow {AB} \) là 1 VTPT.

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

 

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của AB, ta có  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 4 + 2}}{2} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right) = 6\left( {0;1} \right) \Rightarrow \) Đường trung trực của AB đi qua M và nhận \(\overrightarrow n \left( {0;1} \right)\) là 1 VTPT nên có phương trình  \(0\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho điểm M(1 ;2) và đường thẳng \(d:2x + y - 5 = 0\). Tọa độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là:

  • A \(\left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\)
  • B \(\left( { - \frac{2}{5};\frac{6}{5}} \right)\)
  • C \(\left( {0;\frac{3}{5}} \right)\)
  • D \(\left( {\frac{3}{5}; - 5} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d thì  \(MM' \bot d\)

+) Gọi \(H = d \cap MM' \Rightarrow \) H là trung điểm của MM’.

+) Tìm tọa độ điểm M’:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d, khi đó MM’ là đường thẳng qua M và vuông góc với d, khi đó MM’ có phương trình  \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

Gọi  tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 = 0\\x - 2y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{5}\\y = \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{7}{5};\frac{{11}}{5}} \right)\)  và H là trung điểm của MM’.

Vậy tọa độ điểm M’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2.\frac{7}{5} - 1 = \frac{9}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.\frac{{11}}{5} - 2 = \frac{{12}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {\frac{9}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho tam giác ABC, biết \(M\left( {2;2} \right),N\left( {1;3} \right),P\left( {3;0} \right)\) lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Đường trung trực của đoạn thẳng BC có phương trình:

  • A \(x - 2y + 5 = 0\)
  • B x - y - 3 = 0
  • C \(2x - 3y + 2 = 0\)
  • D \(3x + 2y - 10 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Đường trung trực của BC là đường thẳng đi qua M và vuông góc với NP.

+) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

 

Lời giải chi tiết:

 

Goi d là đường trung trực của BC.

NP là đường trung bình của tam giác ABC  \( \Rightarrow NP//BC \Rightarrow d \bot NP\)

Ta có \(\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng d đi qua M và nhận \(\overrightarrow {NP}  = \left( {2; - 3} \right)\) là 1 VTPT, khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng d là: \(2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 2 = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Đường thẳng d đi qua M(1;2) tạo với 2 tia Ox, Oy một tam giác cân có phương trình:

  • A \(x + y + 3 = 0\)
  • B \(x + y - 3 = 0\)
  • C x - y - 1= 0
  • D \(x - 3y + 9 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Giả sử đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0), cắt Oy tại điểm B(0;b) thì phương trình đoạn chắn của AB là\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

 

 

Giả sử đường thẳng d cắt Ox tại , cắt Oy tại điểm  thì phương trình đoạn chắn của AB là  

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), cắt tia Oy tại điểm \(B\left( {0;b} \right)\,\,\,\left( {a,b > 0} \right) \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O  \( \Rightarrow OA = OB \Rightarrow a = b\)

Khi đó đường thẳng d có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y - a = 0\), d đi qua M  \( \Rightarrow 1 + 2 - a = 0 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \left( d \right):x + y - 3 = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Đường thẳng đi qua \(A\left( {1;\sqrt 3 } \right)\) và tạo với chiều trục Ox một góc bằng 600 có phương trình là:

  • A \(x + \sqrt 3 y - 4 = 0\)
  • B \(x - \sqrt 3 y + 2 = 0\)
  • C \(\sqrt 3 x + y - 2\sqrt 3  = 0\)
  • D \(\sqrt 3 x + y = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d.

Gọi \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng d. \(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right)\) là VTCP của trục Ox.

\( \Rightarrow c{\rm{os}}\widehat {\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow i } \right)} = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = c{\rm{os6}}{{\rm{0}}^0}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\) là vector chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow c{\rm{os}}\widehat {\left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow i } \right)} = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow i } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \frac{{\left| {a.1 + b.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = c{\rm{os6}}{{\rm{0}}^0} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\left| a \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow 4{a^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} = {b^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\sqrt 3 \\b =  - \sqrt 3 a\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(b = \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( { - \sqrt 3 a;a} \right) =  - a\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng d nhận \(\left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\) là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: \(\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 x - y = 0\)

TH2: \(b =  - \sqrt 3 a \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - b;a} \right) = \left( {\sqrt 3 a;a} \right) = a\left( {\sqrt 3 ;1} \right) \Rightarrow \) Đường thẳng d nhận \(\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\) là 1 VTPT, do đó đường thẳng d có phương trình: \(\sqrt 3 \left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - \sqrt 3 } \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 x + y - 2\sqrt 3  = 0\)

Dựa vào các đáp án chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\,\,3x + 4y + 1 = 0;\,\,\left( {{d_2}} \right):\,\,y + 2 = 0\). Phân giác góc \(\widehat {\left( {{d_1};{d_2}} \right)}\) là:

  • A \(\left[ \begin{array}{l}3x - y - 9 = 0\\3x + 9y + 11 = 0\end{array} \right.\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}3x - y - 9 = 0\\3x + 9y - 11 = 0\end{array} \right.\)
  • C \(3x + 9y + 11 = 0\)          
  • D \(\left[ \begin{array}{l}3x + y + 9 = 0\\3x + 9y + 11 = 0\end{array} \right.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc phân giác của \(\widehat {\left( {{d_1};{d_2}} \right)} \Rightarrow d\left( {M;{d_1}} \right) = d\left( {M;{d_2}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {3x + 4y + 1} \right|}}{5} = \frac{{\left| {y + 2} \right|}}{1} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y + 1 = 5y + 10\\3x + 4y + 1 =  - 5y - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - y - 9 = 0\\3x + 9y + 11 = 0\end{array} \right.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho tam giác ABC có \(A\left( {2;1} \right);\,\,B\left( {3; - 5} \right);\,\,C\left( {5;3} \right)\). Phương trình trung tuyến AM là:

  • A \(x - 2y = 0\)
  • B  \(x + y - 3 = 0\)      
  • C \(x + 2y - 4 = 0\)     
  • D \(x - y - 1 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

M là trung điểm của BC \( \Rightarrow M\left( {4; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình AM : \(\frac{{x - 2}}{{4 - 2}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1 - 1}} \Leftrightarrow  x+ y - 3 = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho tam giác ABC có \(A\left( {2;1} \right);\,\,B\left( {3; - 5} \right);\,\,C\left( {5;3} \right)\). Phương trình đường cao AH là:

  • A \(2x + y - 4 = 0\)     
  • B \(x + 3y - 5 = 0\)     
  • C \(x + 5y - 11 = 0\)
  • D \(x + 4y - 6 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \overrightarrow {BC}  = \left( {2;8} \right)//{\overrightarrow n _{AH}} = \left( {1;4} \right)\)

AH đi qua \(A\left( {2;1} \right)\) có phương trình:

\(1\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 4y - 6 = 0\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1; - 2} \right),\) đường cao \(CH:\;\;x - y + 1 = 0,\) đường thẳng chứa cạnh \(BC\) có phương trình \(2x + y + 5 = 0.\) Tọa độ điểm \(B\) là:

  • A \(\left( {4;\;3} \right)\)
  • B \(\left( {4; - 3} \right)\)            
  • C \(\left( { - 4;\;3} \right)\)                      
  • D \(\left( { - 4; - 3} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Ta có: \(CH \bot AB \Rightarrow \) lập được phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(CH.\)

Khi đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng \(BC\) và \(AB.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(CH \bot AB \Rightarrow \) lập được phương trình đường thẳng \(AB\)  đi qua \(A\) và vuông góc với \(CH\) là:

\(x - 1 + y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.\) 

\( \Rightarrow \left\{ B \right\} = AB \cap BC \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 5 = 0\\x + y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right..\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Khoảng cách giữa \({\Delta _1}:3x + 4y = 12\) và \({\Delta _2}:6x + 8y - 11 = 0\) là:

  • A \(1,3\)
  • B \(13\)
  • C \(3,5\)
  • D \(35\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow {d_{\left( {{M_0};\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) 

Lời giải chi tiết:

\({\Delta _1}:\;\;3x + 4y = 12 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0.\)

Xét phương trình đường thẳng \({\Delta _1},\;{\Delta _2}\) ta có: \(\frac{3}{6} = \frac{4}{8} \ne  - \frac{{12}}{{11}} \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _2}.\)

Chọn \(A\left( {0;3} \right) \in {\Delta _1}.\) Khi đó ta có:

\( \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = d\left( {A;{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {24 - 11} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{13}}{{10}} = 1,3.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho 2 điểm \(A\left( {3; - 6} \right),\,\,B\left( {1; - 2} \right)\). Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB:

  • A \( - x + 2y - 10 = 0\)           
  • B \( - x + 2y + 10 = 0\)
  • C \(x + 2y - 8 = 0\)     
  • D \(x + 2y + 8 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

+) Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I và nhận \(\overrightarrow {AB} \) là VTPT.

Lời giải chi tiết:

Gọi I  là trung điểm của AB \( \Rightarrow I\left( {2; - 4} \right)\)

d là đường trung trực của đoạn thẳng AB \( \Rightarrow \) d đi qua I và nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;4} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d là:

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 4\left( {y + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 4y + 20 = 0 \Leftrightarrow  - x + 2y + 10 = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right)\), \(B\left( {0;3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(Ox\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(AB\) bằng \(1\)

  • A \(M\left( {\frac{7}{2};0} \right)\) và \(M\left( {1;0} \right)\).          
  • B \(M\left( {\sqrt {13} ;0} \right)\).                   
  • C \(M\left( {4;0} \right)\).           
  • D \(M\left( {2;0} \right)\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng AB. Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\)

Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) là 1 VTPT của AB; \(B\left( {0;3} \right) \in \left( {AB} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( {AB} \right):4x + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 9 = 0\) 

Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {M;AB} \right) = \frac{{\left| {4m + 3.0 - 9} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {4m - 9} \right|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \left| {4m - 9} \right| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4m - 9 = 5\\4m - 9 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{2} \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};0} \right)\\m = 1 \Rightarrow M\left( {1;0} \right)\end{array} \right.\end{array}\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng d: \(x - 2y - 1 = 0\)song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

  • A \(x + 2y + 1 = 0.\) 
  • B \(2x - y = 0.\)
  • C \( - x + 2y + 1 = 0.\)
  • D \( - 2x + 4y - 1 = 0.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cách 1: Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) song song với đường thẳng \(a'x + b'y + c' = 0 \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} = \frac{b}{{b'}} \ne \frac{c}{{c'}}.\)

Cách 2: Đường thẳng \(d:\;\;ax + by + c = 0\) có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b} \right).\) Đường thẳng \(d'//d \Leftrightarrow d'\) nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {n'}  = k\left( {a;\;b} \right)\)  làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}}\)

Vậy đường thẳng \(x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0.\)

Cách 2: Ta có: \(d:\;x - 2y - 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTPT.

Trong các đáp án, chỉ có đáp án D có đường thẳng \(d'\) có VTPT \(\overrightarrow {n'}  = \left( { - 2;\;4} \right) =  - 2\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 2 - t}\\{y =  - 1 + 2t}\end{array}} \right.\)

  • A \(\overrightarrow n ( - 2; - 1)\)
  • B \(\overrightarrow n (2; - 1)\)    
  • C \(\overrightarrow n ( - 1;2)\)
  • D \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,2} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {a,b} \right)\) làm VTCP thì nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right) = \left( { - b;\;a} \right)\) làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\,:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - t\\y =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;2} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( { - 2; - 1} \right)\) là 1 VTPT của \(d\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho đường thẳng d: \(2x + 3y - 4 = 0\). Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng d?

  • A \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;2} \right)\).
  • B \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 4; - 6} \right)\).
  • C \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {2; - 3} \right)\).
  • D \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( { - 2;3} \right)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là một VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\,:\,\,2x + 3y - 4 = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)\) là một VTPT

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 4; - 6} \right) =  - 2\overrightarrow n \) cũng là 1 VTPT của d

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng \({\Delta _1}\): \(2x + y - 1 = 0\)và \({\Delta _2}\):\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\).

  • A \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)
  • B \(\frac{3}{{10}}\).
  • C \(\frac{3}{5}.\)
  • D \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 VTPT (VTCP) của 2 đường thẳng đó

\(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right|}}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;1} \right)\) là một VTPT.

\({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 1} \right)\) là một VTCP \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\;1} \right)\) là 1 VTPT của \({\Delta _2}\)

\( \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 .\sqrt 2 }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( { - 2;3} \right)\) và \(B\left( {4; - 1} \right)\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng \(AB ?\)

  • A \(x + y - 3 = 0\)
  • B \(y = 2x + 1\)
  • C \(\frac{{x - 4}}{6} = \frac{{y - 1}}{{ - 4}}\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTCP.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6;\, - 4} \right) = 2\left( {3; - 2} \right)\) 

\( \Rightarrow \) Phương trình tham số của \(AB:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 3 - 2t\end{array} \right..\)

Với \(t = 1 \Rightarrow AB\) đi qua điểm:\(C\left( {1;\,1} \right) \Rightarrow AB:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 - 2t\end{array} \right..\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Đường thẳng đi qua\(A( - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\)có phương trình tham số là:                                                                                                                                                          

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y =  - 3 + 3t\end{array} \right.\,\,\)         
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y =  - 3 + 3t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 2t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\)      
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua \(A( - 2;3)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 3} \right)\)có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 2t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Đường thẳng đi qua\(M(1; - 2)\) và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; - 3)\)có phương trình tổng quát là:

  • A \(3x + 4y + 5 = 0\).
  • B \(4x - 3y - 10 = 0\).            
  • C \(4x - 3y + 2 = 0\).    
  • D \(4x - 3y + 10 = 0\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua\(M(1; - 2)\)và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4; - 3)\)có phương trình tổng quát là:

\(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 10 = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho đường thẳng \(d:8x - 6y + 7 = 0\). Nếu đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với d thì \(\Delta \) có phương trình là:

  • A \(4x - 3y = 0\)           
  • B \(4x + 3y = 0\)           
  • C \(3x + 4y = 0\)        
  • D \(3x - 4y = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định VTPT của \(\Delta \) để viết phương trình.

Lời giải chi tiết:

d có 1 VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {8; - 6} \right) = 2\left( {4; - 3} \right).\)

Ta có: \(\Delta  \bot d \Rightarrow \) \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;4} \right)\) làm VTPT, \(O\left( {0;0} \right) \in \Delta \)

Phương trình \(\Delta :3x + 4y = 0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Hai đường thẳng \({d_1}:mx + y = m - 5\,\,,\,\,\,{d_2}:x + my = 9\) cắt nhau khi và chỉ khi:

  • A \(m \ne  - 1\).                         
  • B \(m \ne 1\).             
  • C \(m \ne  \pm 1\).              
  • D \(m \ne 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) và đường thẳng \(a'x + b'y + c' = 0\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \frac{a}{{a'}} \ne \frac{b}{{b'}}\) 

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng \({d_1}:mx + y = m - 5\,\,,\,\,\,{d_2}:x + my = 9\) cắt nhau

\( \Leftrightarrow \frac{m}{1} \ne \frac{1}{m} \Leftrightarrow {m^2} \ne 1 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x + 2y - 1 = 0.\) Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A \(d\) đi qua \(A\left( {1;0} \right).\)
  • B \(d\) nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
  • C \(d\) có hệ số góc \(k =  - \frac{1}{2}.\)                          
  • D \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y = 2 - t\end{array} \right.{\rm{   }}\left( {t \in R} \right).\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,b} \right)\) làm VTPT

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:x + 2y - 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,2} \right)\) làm VTPT

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {1;\,2} \right)\) không là VTCP của \(d.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M\left( {2; - 3} \right)\) và song song với trục \(Ox\) là:

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3 - t\end{array} \right.\)           
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 3 + t\end{array} \right.\)    
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3 + t\end{array} \right.\)          
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 3\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d//d'\) thì \(d\) và \(d'\) có cùng VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Trục \(Ox:\,\,y = 0\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,0} \right)\)

Đường thẳng \(d\)  cần tìm song song với \(Ox \Rightarrow d\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,\,0} \right).\)

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {2; - 3} \right)\) và song song với trục \(Ox\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 3\end{array} \right..\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Phương trình đường thẳng đi qua \(N\left( {\sqrt 3 ;\,\,2} \right)\) và có hệ số góc \(k = \sqrt 3 \)  là:

  • A \(y = \sqrt 3 x + 1\)                   
  • B \(y = \sqrt 3 x - 5\)                   
  • C \(y = \sqrt 3 x + 5\)      
  • D \(y = \sqrt 3 x - 1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {\sqrt 3 ;\,2} \right)\) và có hệ số góc \(k = \sqrt 3 \) có phương trình:

\(y = \sqrt 3 \left( {x - \sqrt 3 } \right) + 2 = \sqrt 3 x - 3 + 2 = \sqrt 3 x - 1.\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Xác định giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( {m - 1} \right)x + \left( {m - 3} \right)y - 3 = 0\) là phương trình tổng quát của đường thẳng.

  • A \(m \in \mathbb{R}\)   
  • B \(m \ne 2\)        
  • C \(m \in \emptyset \)                              
  • D \(m = 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình \(ax + by + c = 0\) là phương trình của đường thẳng  \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} > 0.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đã cho là phương trình của một đường thẳng \( \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + {m^2} - 6m + 9 > 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 8m + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 4m} \right) + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {m - 2} \right)^2} - 8 + 10 > 0\\ \Leftrightarrow 2{\left( {m - 2} \right)^2} + 2 > 0\,\,\forall m.\end{array}\)

Vậy với mọi \(m \in \mathbb{R}\) thỏa mãn bài toán.

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {4; - 3} \right)\) và song song với đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right..\)

  • A \(3x + 2y + 6 = 0\)       
  • B \( - 2x + 3y + 17 = 0\)
  • C \(3x + 2y - 6 = 0\)          
  • D \(3x - 2y + 6 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta //d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}} \\\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{u_d}} \end{array} \right..\)

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right)\) làm VTPT thì nhận các vecto \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - b;\,\,a} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {b; - a} \right)\) làm VTCP.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) có VTCP là: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2;\,\,3} \right).\)

Vì \(\Delta //d \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2;\,\,3} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta \) nhận vetco \(\overrightarrow n  = \left( {3;\,\,2} \right)\) làm 1 VTPT.

\( \Rightarrow \Delta :\,\,3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0.\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x + 5y - 2019 = 0\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

  • A \(\overrightarrow n  = \left( {1;5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của d                      
  • B \(\overrightarrow u  = \left( { - 5;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của d  
  • C d có hệ số góc \(k = 5\)
  • D d song song với đường thẳng \(\Delta :x + 5y = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng \(y = kx + b\)

Đường thẳng \(ax + by + c = 0\) nhận vecto\(\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right)\) làm VTPT, nhận vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - a;\,\,b} \right) = \left( {a; - b} \right)\) làm VTCP và song song với đường thẳng có phương trình \(ax + by + d = 0\,\,\,\left( {d \ne c} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d:\,\,x + 5y - 2019 = 0\) nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,5} \right)\) làm VTPT và nhận các vecto \(\overrightarrow u  = \left( { - 5;\,\,1} \right) = \left( {5; - 1} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \) Đáp án A và B đúng.

Ta có: \(d:x + 5y - 2019 = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{1}{5}x + \frac{{2019}}{5}\) có hệ số góc là \(k =  - \frac{1}{5}\)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tính góc giữa đường thẳng \(\sqrt 3 x - y + 1 = 0\) và trục hoành.

  • A \({45^o}\)
  • B \({135^o}\)                         
  • C \({60^o}\)
  • D \({120^o}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hệ số góc của đường thẳng là tan góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương trục \(Ox\)

Lời giải chi tiết:

Ta có đường thẳng \(\sqrt 3 x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = \sqrt 3 x + 1\) có hệ số góc \(k = \sqrt 3  = \tan \alpha  \Rightarrow \alpha  = {60^o}\)

Góc tạo bởi 2 đường thẳng là góc nhọn nên góc cần tìm là \({60^o}\) 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Xác định các giá trị của \(m\) để đường thẳng \({d_1}:\,\,3x + 4y + 10 = 0\) cắt \({d_2}:\,\,\left( {2m - 1} \right)x + {m^2}y + 10 = 0\)  trùng nhau?

  • A \(m =  \pm 2\)
  • B \(m =  \pm 1\)              
  • C \(m = 2\)
  • D \(m =  - 2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

 \({d_1} \equiv {d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1} \equiv {d_2} \Leftrightarrow \frac{{2m - 1}}{3} = \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{10}}{{10}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 = 3\\{m^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m =  \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\) 

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Hai đường thẳng \({d_1}:\,\,mx + \left( {m - 1} \right)y + 2m = 0\) và \({d_2}:\,\,\,2x + y - 1 = 0\) song song với nhau khi:

  • A \(m = 2\)          
  • B \(m =  - 1\)       
  • C \(m =  - 2\)
  • D \(m =  1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

 \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \frac{m}{2} = \frac{{m - 1}}{1} \ne \frac{{2m}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2m - 2\\ - m \ne 4m\\ - m + 1 \ne 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne 0\\m \ne \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2.\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Các giá trị của \(m\) để hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\,2x - 3my + 10 = 0\) và \({\Delta _2}:\,\,\,mx + 4y + 1 = 0\) cắt nhau là:

  • A \(1 < m < 10\)
  • B \(m = 1\)
  • C Không có \(m.\)
  • D Với mọi \(m.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng có phương trình tổng quát như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,\left( {{a_1}^2 + {b_1}^2 \ne 0} \right)\\{d_2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 \ne 0} \right)\end{array} \right.\)

 \({d_1} \cap {d_2} = \left\{ M \right\} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

+) Với \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:\,\,\,2x + 10 = 0\\{\Delta _2}:\,\,4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 5\\y =  - \frac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại điểm \(M\left( { - 5; - \frac{1}{4}} \right).\)

+) Với \(m \ne 0\) ta có: \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2} \Leftrightarrow \frac{2}{m} \ne \frac{{ - 3m}}{4} \Leftrightarrow 8 \ne  - 3{m^2} \Leftrightarrow {m^2} \ne  - \frac{8}{3} \Rightarrow \forall m \in \mathbb{R}\) thỏa mãn.

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Hai đường thẳng \({d_1}:\,\,2x - 3y - 10 = 0\) và \({d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 - 4mt\end{array} \right.\) vuông góc với nhau khi:

  • A \(m = \frac{1}{2}\)      
  • B \(m = \frac{9}{8}\)      
  • C \(m =  - \frac{9}{8}\)               
  • D \(m =  - \frac{5}{4}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có VTPT lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} .\) Khi đó \({d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({d_1}\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\, - 3} \right)\) 

Đường thẳng \({d_2}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4m} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4m; - 3} \right)\) là VTPT của \({d_2}.\)

\( \Rightarrow {d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 2.4m - 3.\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m =- \frac{9}{8}.\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\, - 4} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(Oy\) sao cho diện tích \(\Delta MAB\) bằng \(6.\)  

  • A \(\left( {0;\,\,1} \right)\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}\left( {0  ;\,\,0} \right)\\\left( {0; - 8} \right)\end{array} \right.\)
  • C \(\left( {1;\,\,0} \right)\)                                   
  • D \(\left( {0;\,\,8} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Ta có: \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,{y_M}} \right).\)

+) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right),\,\,\,B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) là: \(AB:\,\,\,\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}.\)

+) Công thức tính diện tích \(\Delta MAB\) là: \(S = \frac{1}{2}d\left( {M;\,\,AB} \right).AB.\)

 +) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(d:\,\,ax + by + c = 0\) là:

\(d\left( {M;\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và\(B\left( {0; - 4} \right)\) là:

\(AB:\,\,\,\frac{{x - 3}}{{0 - 3}} = \frac{{y - 0}}{{ - 4 - 0}} \Leftrightarrow 4\left( {x - 3} \right) = 3y \Leftrightarrow 4x - 3y - 12 = 0.\)

Ta có \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,\,{y_M}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M;\,\,AB} \right).AB = 6\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 - 3{y_M} - 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.5 = 12 \Leftrightarrow \left| {3{y_M} + 12} \right| = 12\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{y_M} + 12 = 12\\3{y_M} + 12 =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_M} = 0 \Rightarrow M\left( {0;\,\,0} \right)\,\,\,\\{y_M} =  - 8 \Rightarrow M\left( {0; - 8} \right)\,\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho \(\Delta ABC\) biết \(A\left( { - 2;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2;\,\,5} \right),\,\,C\left( {6;\,\,2} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

  • A \(D\left( { - 2; - 3} \right)\)      
  • B \(D\left( {2;\,\,3} \right)\)
  • C \(D\left( {2; - 3} \right)\)         
  • D \(D\left( { - 2;\,\,3} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} .\)

Cho \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(D\left( {a;\,\,b} \right).\)  Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Leftrightarrow \left( {4;\,\,5} \right) = \left( {6 - a;\,\,2 - b} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - a = 4\\2 - b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {2; - 3} \right).\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Trong hệ trục tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho \(\Delta ABC\) biết \(A\left( {1;\,\,5} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\,4} \right),\,\,C\left( {3;\,\,3} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(M\) để \(\Delta ABM\) nhận \(C\) làm trọng tâm.

  • A \(M\left( {\frac{2}{3};\,\,4} \right)\)
  • B \(M\left( {5;\,\,7} \right)\)
  • C \(M\left( {10;\,\,0} \right)\)         
  • D \(M\left( { - 10;\,\,0} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Điểm \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_G} = {x_A} + {x_B} + {x_C}\\3{y_G} = {y_A} + {y_B} + {y_C}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm cần tìm. Khi đó \(C\left( {3;\,\,3} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABM\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3{x_C} - {x_A} - {x_B}\\{y_M} = 3{y_C} - {y_A} - {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3.3 - 1 + 2 = 10\\b = 3.3 - 5 - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {10;\,\,0} \right).\) 

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Cho \(\Delta ABC\) có \(B\left( {2;0} \right)\). Phương trình đường cao đỉnh \(A:{d_1}:x - y + 5 = 0,\) phương trình trung tuyến hạ từ đỉnh \(C:{d_2}:2x + y = 0\). Tọa độ đỉnh \(A\) là

  • A \(\left( {2;3} \right)\)   
  • B \(\left( {3;2} \right)\)               
  • C \(\left( { - 3;2} \right)\)            
  • D \(\left( { - 3; - 2} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tham số hóa điểm \(A\) theo đường thẳng \({d_1}\) và dựa vào trung điểm \(M\) của \(AB\) để giải ra \(A\)

Lời giải chi tiết:

\(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;t + 5} \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\)

\( \Rightarrow M:\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{t + 2}}{2}\\y = \frac{{t + 5}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{t + 2}}{2};\frac{{t + 5}}{2}} \right)\)

Do \(M \in {d_2} \Rightarrow 2.\frac{{t + 2}}{2} + \frac{{t + 5}}{2} = 0 \Leftrightarrow 3t + 9 = 0 \Rightarrow t =  - 3\)

\( \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {1;\,2} \right),\,\,B\left( {0;0} \right),\,\,C\left( { - 1;3} \right).\) Phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) là

  • A \(x - 3y + 5 = 0\)          
  • B \(3x + y - 5 = 0\)          
  • C \(3x - y + 5 = 0\)
  • D \(x + 3y - 5 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đường phân giác giữa 2 đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;\,\,{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) là

\(\frac{{{a_1}x + {b_1}y + {c_1}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} }} =  \pm \frac{{{a_2}x + {b_2}y + {c_2}}}{{\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {2; - 1} \right)\\ \Rightarrow AB:2x - y = 0\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AC}}}  = \left( {1;2} \right)\\AC:\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\end{array}\)

Phương trình đường phân giác góc \(A\):

\(\begin{array}{l}\frac{{2x - y}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} =  \pm \frac{{x + 2y - 5}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\\ \Leftrightarrow 2x - y =  \pm \left( {x + 2y - 5} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - y = x + 2y - 5\\2x - y =  - x - 2y + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3y + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\3x + y - 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Xét phân giác \({d_1}:x - 3y + 5 = 0\)

+ Thay \(B\left( {0;0} \right)\) vào \({d_1}:0 - 0 + 5 > 0\)

+ Thay \(C\left( { - 1;3} \right)\)vào \({d_1}: - 1 - 3.3 + 5 =  - 5 < 0\)

\( \Rightarrow B,C\) khác phía với đường thẳng \({d_1}\)

\( \Rightarrow B,C\) là phân giác trong, \({d_2}:3x + y - 5 = 0\) là phân giác ngoài

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) cho hình thang cân \(ABCD\,\,\left( {AB//CD} \right),A\left( {8;4} \right);\,B\left( { - 2;6} \right);\,C\left( {5;0} \right)\). Tọa độ đỉnh \(D\) là

  • A \(D\left( {\frac{2}{{13}};\frac{3}{{13}}} \right)\)
  • B \(D\left( {\frac{{ - 1}}{{13}};\frac{5}{{13}}} \right)\)
  • C \(D\left( {\frac{{55}}{{26}};\frac{{15}}{{26}}} \right)\)        
  • D \(D\left( {\frac{{ - 10}}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình: \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

\(CD:\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,C\left( {5;0} \right)\\//AB \Rightarrow \overrightarrow {{u_{CD}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 10;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{CD}}}  = \left( {1;5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD:x + 5y - 5 = 0\)

Gọi \(I,\,J\) lần lượt là trung điểm của hai đường thẳng \(AB,\,CD \Rightarrow IJ \bot AB;\,IJ \bot CD\) (tính chất hình thang cân)

\( \Rightarrow I = \frac{{A + B}}{2} \Rightarrow I\left( {3;5} \right)\)

Đường thẳng \(IJ\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,I\left( {3;5} \right)\\ \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {{n_{IJ}}}  = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 10;2} \right)//\left( { - 5;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IJ: - 5x + y + 10 = 0\)

Ta có \(J = IJ \cap CD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5x + y + 10 = 0\\x + 5y - 5 = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( {\frac{{55}}{{26}};\frac{{15}}{{26}}} \right)\)

Do \(J\) là trung điểm \(CD \Rightarrow J = \frac{{C + D}}{2} \Rightarrow D = 2J - C \Rightarrow D\left( {\frac{{ - 10}}{{13}};\frac{{15}}{{13}}} \right)\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Biết \(\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\overrightarrow {{n_{{\Delta _2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\), công thức tính góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) là

  • A \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\Delta _2}}}} } \right) = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + {b_2}^2} }}\)              
  • B \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + {b_2}^2} }}\)           
  • C \(\left| {\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{b_2} - {b_1}{a_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + {b_2}^2} }}\)                                
  • D \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\Delta _2}}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + {b_2}^2} }}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Lời giải chi tiết:

Sử dụng công thức góc giữa 2 đường thẳng \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right);\,\,\overrightarrow {{n_{{d_2}}}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right) \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{\left| {{a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;4} \right),B\left( {5;0} \right),C\left( {2;1} \right).\) Điểm \(N\)  thuộc đường trung tuyến \(BM\)  của tam giác \(ABC\)  và có hoành độ bằng \( - 1.\) Tung độ của điểm \(N\)  bằng

  • A \( - 5.\)          
  • B \(5.\)
  • C \(2.\)
  • D \(1.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\) sau đó viết phương trình đường thẳng \(BM.\)

Thay hoành độ điểm \(N\) vào phương trình đường thẳng \(BM\) để tìm tung độ điểm \(N.\)    

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AC\) suy ra \(M\left( {2;\frac{5}{2}} \right).\)

Phương trình đường trung tuyến \(BM\) đi qua hai điểm \(B\left( {5;0} \right)\) và \(M\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 5}}{{2 - 5}} = \frac{y}{{\frac{5}{2}}} \Leftrightarrow \frac{5}{2}\left( {x - 5} \right) =  - 3y\\ \Leftrightarrow 5x - 25 + 6y = 0 \Leftrightarrow 5x + 6y - 25 = 0.\end{array}\)

Điểm\(N\) thuộc đường trung tuyến \(BM\) của \(\Delta ABC\) và có hoành độ bằng \( - 1\)

\( \Rightarrow 5.\left( { - 1} \right) + 6{y_N} - 25 = 0 \Rightarrow {y_N} = 5.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;1} \right)\) có phương trình tham số là:

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 3 - t\end{array} \right..\)
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right..\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right..\)
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right..\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + At\\y = {y_0} + Bt\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A\left( { - 1;3} \right),B\left( {3;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = (4; - 2) =  - 2\left( { - 2;1} \right).\)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(AB\)  đi qua điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right..\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {5; - 3} \right)\,\)và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

  • A \(3x - 5y - 30 = 0\)       
  • B \(3x + 5y - 30 = 0\)      
  • C \(5x - 3y - 34 = 0\)       
  • D \(5x - 3y + 34 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ \(A \in Ox;\,\,B \in Oy\).

+) Lập phương trình đoạn chắn đi qua hai điểm \(A\) và \(B\)\( \Rightarrow \) PTTQ của đường thẳng \(AB\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {{x_A};0} \right);\,\,B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;{y_B}} \right).\)

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 10\\{y_B} =  - 6\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {AB} \right):\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow  - 6x + 10y =  - 60 \Leftrightarrow 3x - 5y - 30 = 0\).

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ đỉnh \(A\left( {1;2} \right),B\left( {3;1} \right),C\left( {5;4} \right)\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A.\)

  • A \(5x - 6y + 7 = 0\)
  • B \(2x + 3y - 8 = 0\)
  • C \(3x - 2y - 5 = 0\)
  • D \(3x - 2y + 5 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đường cao của tam giác \(ABC\)  kẻ từ \(A\) sẽ nhận \(\overrightarrow {BC} \) là một VTPT.

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Đường cao của \(\Delta ABC\) kẻ từ \(A\left( {1;2} \right)\) sẽ nhận \(\overrightarrow {BC} \left( {2;3} \right)\) là một VTPT nên đường cao đó có phương trình là: \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - 3y + 6 = 0\)  là:

  • A \(30^\circ \)         
  • B \(60^\circ \)
  • C \(45^\circ \)         
  • D \(23^\circ 12'\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cosin của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) là:

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({d_1}:\,\,\,x + 2y + 4 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,\,2} \right)\) và \({d_2}:\,\,x - 3y + 6 = 0\) có VTPT là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3} \right).\)

\( \Rightarrow \cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:x + 2y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - 3y + 6 = 0\) là \(45^\circ .\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), với giá trị nào của \(m\) thì đường thẳng: \({\Delta _1}:\left( {2m - 1} \right)x + my - 10 = 0\) vuông góc với đường thẳng \({\Delta _2}:3x + 2y + 6 = 0.\)

  • A \(m = 0\)     
  • B \(m \in \emptyset \)
  • C \(m = 2\)     
  • D \(m = \frac{3}{8}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng: \({d_1}:\,\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:\,\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) vuông góc với nhau

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0.\)

Lời giải chi tiết:

\({\Delta _1}:\left( {2m - 1} \right)x + my - 10 = 0\) vuông góc với đường thẳng \({\Delta _2}:3x + 2y + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right).3 + m.2 = 0\) \( \Leftrightarrow 6m - 3 + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 51 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba đường thẳng: \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,3x + 4y - 6 = 0\), \(\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,4x + 3y - 1 = 0,\) \(\left( {{\Delta _3}} \right):\,\,y = 0.\) Gọi \(A = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _2}} \right),\,\,B = \left( {{\Delta _2}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right),\,\,C = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)\). Phương trình phân giác trong của \(\angle A\) của tam giác \(ABC\) là:

  • A \(x - y + 5 = 0\)
  • B \(x - y - 1 = 0\)
  • C \(x - y - 5 = 0\)
  • D \(x + y - 1 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Xác định tọa độ của ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).

+) Gọi \(\left( d \right)\) là đường phân giác trong góc \(A\) được tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2},\) \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right).\)

+) Viết phương trình đường phân giác trong góc \(\angle A.\)

Lời giải chi tiết:

+) \(A = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _2}} \right) \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\4x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( { - 2;\,\,3} \right)\)

+) \(B = \left( {{\Delta _2}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y - 1 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\y = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B\left( {\frac{1}{4};\,\,0} \right)\)

+) \(C = \left( {{\Delta _1}} \right) \cap \left( {{\Delta _3}} \right)\)\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {2;\,\,0} \right)\)

+) Gọi \(\left( d \right)\)  là đường phân giác trong góc \(A\) và \(M\left( {x;\,\,y} \right) \in d\) bất kỳ, khi đó: \(d\left( {M,\,\,{\Delta _1}} \right) = d\left( {M,\,\,{\Delta _2}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{\left| {3x + 4y - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{\left| {4x + 3y - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {3x + 4y - 6} \right| = \left| {4x + 3y - 1} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 4x + 3y - 1\\3x + 4y - 6 =  - 4x - 3y + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{d_1}} \right):\,\,{f_1}\left( {x;\,\,y} \right) = x - y + 5 = 0\\\left( {{d_2}} \right):\,\,{f_2}\left( {x;\,\,y} \right) = x + y - 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

+) Ta có: \({f_1}\left( B \right).{f_1}\left( C \right) = \left( {\frac{1}{4} - 0 + 5} \right)\,\, \cdot \,\,\left( {2 - 0 + 5} \right) > 0 \Rightarrow \)\(B,\,\,C\) cùng phía so với \(\left( d \right)\)\( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right)\) là đường phân giác ngoài góc \(A\).

\( \Rightarrow \) Đường phân giác trong góc \(A\) là:  \(\left( {{d_2}} \right):\,\,x + y - 1 = 0\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 52 :

Cho \(\Delta ABC\) có \(A(1;\,\,\, - 2),\,\,B(5;\,\,4),\,\,C( - 2;\,\,0)\). Phương trình đường phân giác trong góc \(A\) là:

  • A \(5x - y - 3 = 0\)
  • B \(2x + y = 0\)   
  • C \(3x + y - 1 = 0\)          
  • D \(4x + y - 2 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Lập phương trình cạnh \(AB,\,\,AC\)

+)  Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm nằm trên đường phân giác trong của \(\angle A.\)  

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\,\,6} \right) = 2\left( {2;\,\,3} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)

+) \(\left( {AB} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,A\left( {1;\,\, - 2} \right)\\{{\vec n}_{AB}} = \left( { - 3;\,\,2} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,\, - 3.\left( {x - 1} \right) + 2.\left( {y + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 3x + 3 + 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 7 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,3x - 2y - 7 = 0.\)

+) \(\left( {AC} \right):\left\{ \begin{array}{l}{\rm{qua}}\,\,A\left( {1;\,\, - 2} \right)\\{{\vec n}_{AC}} = \left( {2;\,\,3} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {AC} \right):\,\,\,2.\left( {x - 1} \right) + 3.\left( {y + 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 2 + 6 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {AC} \right):\,\,2x + 3y + 4 = 0\)

Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\) là điểm nằm trên đường phân giác trong của \(\angle A\)  

Khi đó: \(d\left( {M,\,\,AB} \right) = d\left( {M,\,\,AC} \right)\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\left| {3x - 2y - 7} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{\left| {2x + 3y + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2y - 7 = 2x + 3y + 4\\3x - 2y - 7 =  - 2x - 3y - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5y - 11 = 0\\5x + y - 3 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Xét: \({d_1}:\,f\left( {x;\,\,y} \right) = \,x - 5y - 11 = 0\) ta có:

\(\left( {5 - 5.4 - 11} \right)\left( { - 2 - 5.0 - 11} \right) =  - 26.\left( { - 13} \right) > 0 \Rightarrow B,\,\,C\) nằm cùng phía với \({d_1}\)

\( \Rightarrow {d_1}\) là đường phân giác ngoài của \(\angle A.\)

\( \Rightarrow {d_2}:\,\,5x + y - 3 = 0\) là đường phân giác trong của \(\angle A.\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 53 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;\, - 2} \right)\), đường cao \(CH:\,\,x - y + 1 = 0\), phân giác trong \(BN:\,\,2x + y + 5 = 0\). Phương trình đường thẳng \(BC\) là

  • A \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 - t\\y = 3 + 7t\end{array} \right.\)    
  • B \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 - 7t\end{array} \right.\)
  • C \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 7t\\y = 3 - t\end{array} \right.\)    
  • D \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 - 7t\end{array} \right.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Vì biết tọa độ điểm \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) và phương trình đường phân giác trong \(BN:\,\,2x + y + 5 = 0\) nên gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BN\).

+) Xác định tọa độ điểm \(B\), \(A'\)

+) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) nhận \(\overrightarrow {BA'} \) là VTCP.

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường cao \(CH:\,\,x - y + 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_{CH}} = \left( {1;\,\, - 1} \right),\,\,{\vec u_{CH}} = \left( {1;\,\,1} \right)\)

*) Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_{CH}} = \left( {1;\,\,1} \right)\) là VTPT:

\(x - 1 + y + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 1 = 0\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(x + y + 1 = 0\)

*) \(B\) là giao điểm của \(BN\) và \(AB\) nên tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 4;\,\,3} \right)\)

*) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(BN\).

+) Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\left( {1;\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_{BN}} = \left( { - 1;\,\,2} \right)\) làm VTPT là:

\( - 1.\left( {x - 1} \right) + 2.\left( {y + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - x + 1 + 2y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow  - x + 2y + 5 = 0\)

\( \Rightarrow \)Phương trình đường thẳng \(AA'\) là \( - x + 2y + 5 = 0\)

+) \(J = BN \cap AA'\). Tọa độ điểm \(J\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y + 5 = 0\\2x + y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 1;\,\, - 3} \right)\)

+) Tọa độ \(A'\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 =  - 3\\{y_{A'}} = 2.\left( { - 3} \right) - \left( { - 2} \right) =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\)

*) Ta có: \(A' \in BC\); \(B\left( { - 4;\,\,3} \right),\,\,A'\left( { - 3;\,\, - 4} \right)\)

Phương trình tham số của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( { - 4;\,\,3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {BA'}  = \left( {1;\,\, - 7} \right)\) là VTCP là: \(\left( {BC} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + t\\y = 3 - 7t\end{array} \right.\)

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 54 :

Cho tam giác \(ABC\)có phương trình đường phân giác trong góc \(A\), đường cao kẻ từ \(B\) lần lượt là \(x - y + 2 = 0\), \(4x + 3y - 1 = 0\). Biết hình chiếu vuông góc của \(C\) lên đường thẳng \(AB\) là \(H\left( { - 1;\,\, - \,1} \right)\). Tọa độ đỉnh \(A\) là:

  • A \(A\left( {7;\,\, - 5} \right)\)     
  • B \(A\left( {7;\,\,5} \right)\)                    
  • C \(A\left( { - 5;\,\,7} \right)\)     
  • D \(A\left( {5;\,\,7} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Lấy điểm \(H'\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AD\)\( \Rightarrow \) Xác định được tọa độ \(H'\)

+) Viết phương trình đường thẳng \(AC\)

+) \(A\) là giao điểm của \(AC\) và \(AD\)

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(AD\): \(x - y + 2 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{AD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \(H'\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AD\)\( \Rightarrow HH' \bot AD\)

+) Phương trình đường thẳng \(HH'\) đi qua \(H\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\) nhận \({\vec u_{AD}} = \left( {1;\,\,1} \right)\) là VTPT:

\(HH':\,\,\,\,x + 1 + y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x + y + 2 = 0\)

+) Gọi \(J = HH' \cap AD\). Tọa độ của điểm \(J\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow J\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

+) \(J\) là trung điểm của \(HH'\). Tọa độ của \(H'\)là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} = 2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)\\{y_{H'}} = 2.0 - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{H'}} =  - 3\\{y_{H'}} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H'\left( { - 3;\,\,1} \right)\)

*) Phương trình đường cao \(BG\): \(4x + 3y - 1 = 0 \Rightarrow {\vec n_{BG}} = \left( {4;\,\,3} \right)\)\( \Rightarrow {\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)\)

*) Viết phương trình đường thẳng \(AC\)

 Vì \(BG \bot AC\) tại \(G\) nên phương trình đường thẳng \(AC\) đi qua \(H'\left( { - 3;\,\,1} \right)\) nhận \({\vec u_{BG}} = \left( {3;\,\, - 4} \right)\) là VTPT là:

\(AC:\,\,\,3.\left( {x + 3} \right) + \left( { - 4} \right).\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 9 - 4y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 4y + 13 = 0\)

*) Xác định tọa độ điểm \(A\)

Phương trình đường phân giác \(AD\) là: \(x - y + 2 = 0\)

Phương trình đường thẳng \(AC\) là: \(3x - 4y + 13 = 0\)

Vì \(AC \cap AD = A\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 13 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 7\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;\,\,7} \right)\)

Vậy \(A\left( {5;\,\,7} \right)\).

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 55 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;\,\,4} \right)\) và hai đường phân giác trong góc \(B\), góc \(C\) lần lượt là \(x + y - 2 = 0\) và \(x - 3y - 6 = 0\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là:

  • A \(7x + 9y + 14 = 0\)     
  • B \(9x - 7y + 18 = 0\)      
  • C \( - 9x + 7y + 18 = 0\)
  • D \(7x - 9y + 14 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Bài toán này cho biết phương trình \(2\) đường phân giác của góc \(B\), góc \(C\) và biết tọa độ điểm \(A\).

+ Lấy hai điểm \({A_1},\,\,{A_2}\) đối xứng với điểm \(A\) qua phân giác của góc \(B\) và góc \(C\)\( \Rightarrow {A_1},\,\,{A_2} \in BC\)

+ Xác định tọa độ \({A_1},\,\,{A_2}\)\( \Rightarrow \) Viết được phương trình đường thẳng \(BC\)

Lời giải chi tiết:

*) Phương trình đường phân giác \(BD:\,\,x + y - 2 = 0\) có \({\vec n_{BD}} = \left( {1;\,\,1} \right),\,\,{\vec u_{BD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\)

*) Phương trình đường phân giác \(CE:\,\,x - 3y - 6 = 0\)có \({\vec n_{CE}} = \left( {1;\,\, - 3} \right),\,\,{\vec u_{CE}} = \left( {3;\,\,1} \right)\)

*) Gọi \({A_1}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\) và \(A{A_1} \cap BD = H\).

    \({A_2}\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(BD\) và \(A{A_2} \cap CE = G\).

+) Xác định tọa độ \({A_1}\)

Phương trình tổng quát của \(A{A_1}\) đi qua \(A\left( {2;\,\,4} \right)\) nhận \({\vec u_{BD}} = \left( {1;\,\, - 1} \right)\) là:

\(A{A_1}:\,\,\,\,x - 2 - \left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2 - y + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\,x + y - 2 = 0\\x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {0;\,\,2} \right)\)

Mà \(H\) là  trung điểm của \(A{A_1}\) nên tọa độ của điểm\({A_1}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_1}}} = 2\,\,.\,\,0 - 2 =  - 2\\{y_{{A_1}}} = 2\,\,.\,\,2 - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow {A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\)

+) Xác định tọa độ \({A_2}\)

Phương trình tổng quát của \(A{A_2}\) đi qua \(A\left( {2;\,\,4} \right)\) nhận \({\vec u_{CE}} = \left( {3;\,\,1} \right)\) là:

\(A{A_2}:\,\,\,3\,\left( {x - 2} \right) + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 6 + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 10 = 0\)

Tọa độ điểm \(G\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 10 = 0\\x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{18}}{5}\\y =  - \frac{4}{5}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{{18}}{5};\,\, - \frac{4}{5}} \right)\)

Mà \(G\) là trung điểm của \(A{A_2}\) nên tọa độ của điểm \({A_2}\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_2}}} = 2 \cdot \frac{{18}}{5} - 2\\{y_{{A_2}}} = 2 \cdot \left( { - \frac{4}{5}} \right) - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{A_2}}} = \frac{{26}}{5}\\{y_{{A_2}}} =  - \frac{{28}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow {A_2}\left( {\frac{{26}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right)\)

*) Viết phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \({A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\), \({A_2}\left( {\frac{{26}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right)\)

\(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {\frac{{36}}{5};\,\, - \frac{{28}}{5}} \right) \Rightarrow {\vec n_{{A_1}{A_2}}} = \left( {\frac{{28}}{5};\,\,\frac{{36}}{5}} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi \({A_1}\left( { - 2;\,\,0} \right)\) qua nhận \({\vec n_{{A_1}{A_2}}} = \left( {\frac{{28}}{5};\,\,\frac{{36}}{5}} \right)\) là VTPT:

\(BC:\,\,\,\frac{{28}}{5}\left( {x + 2} \right) + \frac{{36}}{5}\left( {y - 0} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{28}}{5}x + \frac{{56}}{5} + \frac{{36}}{5}y = 0\)\( \Leftrightarrow 28x + 36y + 56 = 0\)\( \Leftrightarrow 7x + 9y + 14 = 0\)

Vậy phương trình tổng quát của \(BC\) là: \(7x + 9y + 14 = 0\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 56 :

Cho ba đường thẳng: \(\left( {{d_1}} \right):\,\,2x + y - 1 = 0\); \(\left( {{d_2}} \right):\,\,x + 2y + 1 = 0\); \(\left( {{d_3}} \right):\,\,mx - y - 7 = 0\). Giá trị của \(m\)để ba đường thẳng này này đồng quy là:

  • A \(m =  - 6\)                   
  • B \(m = 6\)                      
  • C \(m =  - 5\)                   
  • D \(m = 5\)                   

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ giao điểm \(M\)của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

+ Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \({d_3}\) để tìm được giá trị của tham số \(m.\)

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là giao điểm của \({d_1},\,\,{d_2}\). Do đó, tọa độ điểm \(M\left( {a;\,\,b} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\a + 2b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\2a + 4b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 1\\ - 3b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 1} \right)\)
+) Để ba đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2},\,\,{d_3}\) đồng quy thì \(M\left( {1;\,\, - 1} \right) \in \left( {{d_3}} \right):\,\,mx - y - 7 = 0\), khi đó:\(m.1 - \left( { - 1} \right) - 7 = 0 \Leftrightarrow m + 1 - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 6\)

Vậy \(m = 6.\)

Chọn  B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 57 :

Cho đường thẳng \(\left ( d \right ) : 2x - 3y + 3 = 0\) và \(M\left( {8;\,\,2} \right)\), \({M_1}\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(d\). Giá trị của biểu thức \(2a - b\) là:

  • A \( - 4\)  
  • B \(12\)    
  • C \(0\)                  
  • D \(4\)                  

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+ Viết PTĐT \(\Delta \) đi qua \(M\left( {8;\,\,2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

+ Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta \) và \(d\).

+ Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm để xác định tọa độ của \({M_1}\left( {a;\,\,b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \( \left ( d \right ) : 2x - 3y + 3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{n_{d}} = \left ( 2 ; - 3 \right ) ;\) \({\vec u_d} = \left( {3;\,\,2} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {8;\,\,2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) nhận \({\vec u_d} = \left( {3;\,\,2} \right)\) làm VTPT là: \(3(x - 8) + 2(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 28 = 0\)

Gọi \(H = d \cap \Delta \), tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x--3y + 3 = 0\\3x + 2y - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {6;\,\,5} \right)\)

Khi đó, \({M_1}\left( {a;\,\,b} \right)\) là điểm đối xứng với \(M\left( {8;\,\,2} \right)\) qua \(H\left( {6;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow \)\(H\) là trung điểm của \(M{M_1}.\) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}6 = \frac{{8 + a}}{2}\\5 = \frac{{2 + b}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12 = 8 + a\\10 = 2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 8\end{array} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {4;\,\,8} \right)\)

Thay \(a = 4;\,\,b = 8\) vào công thức \(2a - b\)ta được: \(2.4 - 8 = 0\)

Chọn  C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 58 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( { - 2;\,\,3} \right)\), \(B\left( {4;\,\,1} \right)\), \(C\left( {1;\,\, - 2} \right)\). Gọi \(H\left( {{x_H};\,\,{y_H}} \right)\) là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC\). Tọa độ điểm \(H\) là:

  • A \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\)        
  • B \(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\)                 
  • C \(\left( {2;\,\,1} \right)\)                       
  • D \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường cao \(AH\) và \(H = AH \cap BC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(B\left( {4;\,\,1} \right),\,\,C\left( {1;\,\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;\,\, - 3} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {4;\,\,1} \right)\), nhận \(\vec n = \left( { - 1;\,\,1} \right)\) làm VTPT là:\( - 1.\left( {x - 4} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 4 + y - 1 = 0 \Leftrightarrow  - x + y + 3 = 0\)

Phương trình đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( { - 2;\,\,3} \right)\), nhận \(\vec n = \left( {1;\,\,1} \right)\) làm VTPT là:\(1.\left( {x + 2} \right) + 1.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2 + y - 3 = 0 \Leftrightarrow x + y - 1 = 0\)

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} - x + y + 3 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 59 :

Xác định \(a\) để hai đường thẳng \({d_1}:ax + 3y--4 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 3t\end{array} \right.\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.

  • A \(a = 1\)            
  • B \(a =  - 1\)                    
  • C \(a = 2\)            
  • D \(a = - 2\)            

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Xác định tọa độ \(H\) là giao điểm của \({d_2}\) và trục hoành.

+ Thay tọa độ điểm \(H\) vào \({d_1}\) để xác định \(a.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\left( {{x_H};\,\,{y_H}} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\).

+) \(H\left( {{x_H};\,\,{y_H}} \right) \in Ox \Rightarrow {y_H} = 0\)\( \Rightarrow H\left( {{x_H};\,\,0} \right)\)

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_H} =  - 1 + t\\0 = 3 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} =  - 1 + t\\t =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_H} =  - 2\)

Do đó, \(H\left( { - 2;\,\,0} \right).\)

+) Vì \(H\left( { - 2;\,\,0} \right) \in {d_1}:ax + 3y--4 = 0\) nên ta có: \(a.\left( { - 2} \right) + 3.0 - 4 = 0 \Leftrightarrow  - 2a - 4 = 0 \Rightarrow a =  - 2\)

Chọn  D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 60 :

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3;3} \right)\) và \(B\left( {5;5} \right)\) có phương trình tham số là:

  • A \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\)    
  • B \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 5 - 2t\end{array} \right.\)
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 2t\end{array} \right.\)          
  • D \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\end{array} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)\) và \(B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right)\) nhận VTCP là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {a;\,\,b} \right)\) và có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_A} + at\\y = {y_A} + bt\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;\,\,1} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

Với \(t =  - 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow AB\) đi qua điểm \(O\left( {0;\,0} \right).\)

Khi đó ta có phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\end{array} \right..\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Quảng cáo
close