50 bài tập vận dụng ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc baLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : Cho biểu thức: \(P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\) (với \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y\)). Câu 1: Rút gọn biểu thức \(P.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Đặt nhân tử chung, rút gọn các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\) \(\begin{array}{l}P = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}^2} - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }} - \frac{{x + 2\sqrt {xy} + y - 4\sqrt {xy} }}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \frac{{{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}^2}}}{{\sqrt x - \sqrt y }} - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - y\\\;\;\; = \sqrt x + \sqrt y - \sqrt x + \sqrt y - y\\\;\;\; = 2\sqrt y - y.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\;\;y > 0,\;\;x \ne y.\) Ta có: \(P = 2\sqrt y - y = - \left( {y - 2\sqrt y + 1} \right) + 1 = {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} + 1\) Vì \({\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall y \ge 0 \Rightarrow - {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - {\left( {\sqrt y - 1} \right)^2} + 1 \le 1\) \( \Rightarrow P \le 1.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt y - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt y = 1 \Leftrightarrow y = 1\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy \(Max\,P = 1\) khi \(y = 1.\) Chọn B. Câu hỏi 2 : Cho phương trình \(A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\) (với \(x > 0,x \ne 1\) ) Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Phân tích mẫu thức thành nhân tử sau đó quy đồng mẫu các phân thức rồi biến đổi để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\) \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\) Chọn B. Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A - 9\sqrt x \)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 1.\) \(P = A - 9\sqrt x = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right).\) Với \(x > 0,x \ne 1\), áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{1}{{\sqrt x }};\,\,\,9\sqrt x \) ta có: \(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x } = 6 \Leftrightarrow 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right) \le 1 - 6 = - 5\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x \Leftrightarrow 9x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\,\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \( - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}.\) Chọn C. Câu hỏi 3 : Cho \(Q = \sqrt[3]{{{{\left( {a - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2}} \) với \(a \ge \frac{1}{3}\) . Khẳng định nào sau đây đúng ?
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|,\,\,\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}Q = \sqrt[3]{{{{\left( {a - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2}} ,\,\,a \ge \frac{1}{3}\\Q = a - 1 + \left| {3a - 1} \right|\\Q = a - 1 + 3a - 1 = 4a - 2\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 4 : Cho biểu thức \(B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{x^3}} }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\). Tính B khi \(x = 9\)
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Tìm điều kiện xác định của biểu thức. +) Sử dụng biểu thức liên hợp. +) Đặt nhân tử chung. +) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán. Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) \(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{x^3}} }}{{1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\\ = \frac{{2x + 1 - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left[ {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \sqrt x } \right]\\ = \frac{{2x + 1 - x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {1 - 2\sqrt x + x} \right)\\ = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right).\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = \sqrt x - 1\end{array}\) Ta có \(B = \sqrt x - 1\) Với \(x = 9\) thỏa mãn điều kiện suy ra \(B = \sqrt x - 1 = \sqrt 9 - 1 = 3 - 1 = 2\). Vậy khi \(x = 9\) thì \(B = 2\). Câu hỏi 5 : Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{1 - \sqrt x }} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\) a) Tính giá trị của P khi \(x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2}\). b) Tính các giá trị của x để \(P = \frac{1}{2}\).
Đáp án: C Phương pháp giải: - Sử dụng biểu thức liên hợp. - Rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x - 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right).\left( {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1 + \sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\) Vậy \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\) (1) a) Ta có \(x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} - 2.2.\sqrt 3 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {2 - \sqrt 3 } \right|}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {Do\,\,2 - \sqrt 3 > 0} \right)\) \( \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}} = \frac{{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {\sqrt 3 - 1} \right|}}{2} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3 - 1 > 0} \right)\) Thay \(\sqrt x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}\) vào biểu thức P ta được: \(P = \frac{{4\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{4 + 2\sqrt 3 }} = \frac{{4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{2 + \sqrt 3 }} = 4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = - 20 + 12\sqrt 3 \) Vậy khi \(x = \frac{{\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } }}{2}\) thì \(P = 20 - 12\sqrt 3 \). b) Theo bài ra ta có \(P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2\sqrt x + 1 = 8\sqrt x \Leftrightarrow x - 6\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 3 + 2\sqrt 2 \\\sqrt x = 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 17 + 12\sqrt 2 \\x = 17 - 12\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy với \(x = 17 + 12\sqrt 2 \)hoặc \(x = 17 - 12\sqrt 2 \) thì \(P = \frac{1}{2}\). Câu hỏi 6 : Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{1 + a\sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\) .Tính \(a\) để \(P < 7 - 4\sqrt 3 \)
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P +) Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức rồi rút gọn P. +) Bước 3: Cho \(P < 7 - 4\sqrt 3 \) ( P đã rút gọn ở trên). Từ đó tìm giá trị của a thỏa mãn yêu cầu. Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\1 - \sqrt a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a \ge 0,a \ne 1\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{1 + a\sqrt a }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\\P = \left( {\frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right).\left( {1 + \sqrt a + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).\left( {\frac{{\left( {1 + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a + a} \right)}}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\\P = \left( {1 + \sqrt a + a + \sqrt a } \right).\left( {1 - \sqrt a + a - \sqrt a } \right) = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}.{\left( {1 - \sqrt a } \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2}\\P < 7 - 4\sqrt 3 \Leftrightarrow P < {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} < {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Leftrightarrow \left| {1 - a} \right| < \left| {2 - \sqrt 3 } \right| \Leftrightarrow \left| {a - 1} \right| < 2 - \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow - 2 + \sqrt 3 < 1 - a < 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 3 - 1 < a < 3 - \sqrt 3 \end{array}\) Kết hợp với điều kiện ta được \(a \in \left( {\sqrt 3 - 1;3 - \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}\) . Vậy \(a \in \left( {\sqrt 3 - 1;3 - \sqrt 3 } \right)/\left\{ 1 \right\}\). Câu hỏi 7 : Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2a + 1}}{{\sqrt {{a^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt a }}{{a + \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\). Hãy xét dấu của biểu thức \(S = P\sqrt {1 - a} \).
Đáp án: B Phương pháp giải: - Sử dụng biểu thức liên hợp - Rút gọn biểu thức Lời giải chi tiết: \(P = \left( {\frac{{2a + 1}}{{\sqrt {{a^3}} - 1}} - \frac{{\sqrt a }}{{a + \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right)\) ĐKXĐ: \(a \ge 0,\,\,a \ne 1\). \(\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{2a + 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt a .\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}} \right].\left[ {\frac{{\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a + a} \right)}}{{1 + \sqrt a }} - \sqrt a } \right]\\P = \frac{{2a + 1 - \left( {a - \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}.\left( {1 - \sqrt a + a - \sqrt a } \right)\\P = \frac{{\left( {a + \sqrt a + 1} \right)\left( {1 - 2\sqrt a + a} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}\\P = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a - 1}} \Leftrightarrow P = \sqrt a - 1\end{array}\) \( \Rightarrow S = P\sqrt {1 - a} = \left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt {1 - a} \). Kết hợp điều kiện của biểu thức \(P\), điều kiện có nghĩa của \(S\): \(0 \le a < 1\). Khi đó: \(P = \sqrt a - 1 < 0\) và \(\sqrt {1 - a} > 0\). Suy ra: \(S = P\sqrt {1 - a} < 0\) Vậy \(S < 0\) với mọi \(x\) để biểu thức có nghĩa. Câu hỏi 8 : Tính \(S = {x^3} + 12x - 8\) khi \(x = \sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\, - \sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Đơn giản x trước khi tính toán bằng cách lập phương 2 vế, xác định phương trình chứa x là nghiệm, giải phương trình tìm x sau đó thay vào tính giá trị của S. Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\begin{array}{l}{x^3} = \,{\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\, - \sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right)^3}\\{x^3} = \,\left( {4 + \sqrt {80} - (\sqrt {80} - 4)} \right) - 3\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\, - \sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right).\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\,.\sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right)\\{x^3} = \,8 - 3x.\left( {\sqrt[3]{{4 + \sqrt {80} }}\,.\sqrt[3]{{\sqrt {80} - 4}}} \right)\\{x^3} = \,8 - 3x.\left( {\sqrt[3]{{80 - 16}}\,} \right)\\{x^3} = \,8 - 3x.4\\{x^3} + 12x - 8 = 0\end{array}\) Vậy \(S = 0\). Câu hỏi 9 : Cho x,y là 2 số thực dương thỏa mãn \({x^2} - 6xy + 5{y^2} = 0\) tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{x^3} - 4x{y^2}}}{{{y^3} - 4{x^2}y}}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Dựa vào giải thiết đề bài cho tìm mối liên hệ giữa x và y. +) Thay x theo y hoặc ngược lại vào biểu thức P và tính giá trị của P. Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 6xy + 5{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - xy - 5xy + 5{y^2} = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - y} \right) - 5y\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5y} \right)\left( {x - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\x = 5y\end{array} \right.\end{array}\) TH1: \(x = y\)thay vào P ta có \(P = \frac{{{x^3} - 4x{y^2}}}{{{y^3} - 4{x^2}y}} = \frac{{{x^3} - 4{x^3}}}{{{x^3} - 4{x^3}}} = 1\) TH2 : \(x = 5y\) thay vào P ta có \(p = \frac{{{x^3} - 4x{y^2}}}{{{y^3} - 4{x^2}y}} = \frac{{{{(5y)}^3} - 4.5{y^3}}}{{{{(y)}^3} - 4.{{(5y)}^2}.y}} = \frac{{ - 35}}{{33}}\) Kết luận \(P = 1\) hoặc \(P = \frac{{ - 35}}{{33}}\) Câu hỏi 10 : Cho các biểu thức: \(A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9.\) a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\). b) Rút gọn B. c) Xét biểu thức \(T = \frac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T.
Đáp án: B Phương pháp giải: + Quy đồng và rút gọn phân thức + Tính và đưa T về dạng \(T = a + \frac{b}{c}\) với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x.Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của T Lời giải chi tiết: a) Hãy tính giá trị của A khi \(x = 16\). Tại \(x = 16\) thì \(A = 1 - \frac{{\sqrt {16} }}{{1 + \sqrt {16} }} = 1 - \frac{4}{{1 + 4}} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\) b) Rút gọn B. \(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x - 9 - x + 4 + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\) c) Xét biểu thức \(T = \frac{A}{B}\) . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T. \(A = 1 - \frac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{1 + \sqrt x - \sqrt x }}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}\) \(T = \frac{A}{B} = \frac{1}{{1 + \sqrt x }}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{1 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1 - 3}}{{1 + \sqrt x }} = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }}\) Do \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \le \frac{3}{1} = 3 \Rightarrow T = 1 - \frac{3}{{1 + \sqrt x }} \ge 1 - 3 = - 2\) Dấu bằng xảy ra khi \(x = 0\) Vậy \(\min T = - 2\) khi \(x = 0.\) Chọn B. Câu hỏi 11 : Cho \(A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\). a) Rút gọn A. b) Tìm \(x \in Z\) để \(A \in Z\)
Đáp án: B Phương pháp giải: a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng phần thức và rút gọn. b) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \frac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in U\left( C \right)\). Lời giải chi tiết: a) TXĐ: \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\) \(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\;.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1 - x - 4}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\) b) \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}\) Để \(A \in Z \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x - 3\; \in U\left( 3 \right)\) Mà \(\;U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\). TH1: \(\;\sqrt x - 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {tm} \right)\) TH2: \(\;\sqrt x - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36\,\,\left( {tm} \right)\) TH3: \(\;\sqrt x - 3 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\) TH4: \(\;\sqrt x - 3 = - 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy để \(A \in Z\) thì \(x \in \left\{ {0;4;16;36} \right\}\). Câu hỏi 12 : Cho \(A = \dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1.\) a) Rút gọn A. b) Tìm giá trị lớn nhất của A.
Đáp án: A Phương pháp giải: a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng và rút gọn biểu thức. b) TH1: \(x = 0\) TH2: \(x > 0\). Chia cả tử và mẫu cho \(\sqrt x \ne 0\). Sử dụng BĐT Cô – si để đánh giá. Lời giải chi tiết: a) Với \(x \ge 0,x \ne 1:\) \(\begin{array}{l}A = \dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}\\A = \dfrac{{x + 2 + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x + 2 + x - 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\) b) Khi \(x = 0 \Rightarrow A = 0\). Khi \(x > 0\) ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }}}}\). Để A max thì \(B = \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1\) min. Áp dụng bất đăng thức Cô – si cho 2 số dương ta được: \(\begin{array}{l}\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{1}{{\sqrt x }}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 2 + 1 = 3\\ \Rightarrow B \ge 3 \Rightarrow A \le \dfrac{1}{3}\end{array}\) Vậy giá trị lớn nhất của A là \(\dfrac{1}{3}\). Dấu bằng xảy ra khi: \(\sqrt x = \dfrac{1}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 1.\) Câu hỏi 13 : Cho \(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 1.\) a) Rút gọn A. b) Tìm\(x \in Z\) để \(A \in Z\) c) Tìm x để A đạt GTNN.
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: a) Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có: \(\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{x\sqrt x - \sqrt x + x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\\A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\A = \dfrac{{x - 1 - 2\sqrt x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\A = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\) b) Có \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x + 1 - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}},\,\,\,\left( {x \ge 0} \right).\) Đặt \(B = \sqrt x + 1\), để A nguyên khi x nguyên thì B là ước nguyên của 2. Có \(B > 0\,\,do\,x \ge 0 \Rightarrow B = \left\{ {1;2} \right\}.\) TH1: \(\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\) TH2: \(\sqrt x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy \(x = \left\{ {0;2} \right\}\) thì A nguyên. c) \(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\). Ta có: \(\sqrt x + 1 \ge 1\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt x \ge 0} \right).\) Dấu “=” xảy ra khi \(x = 0.\) \( \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \ge 1 \Rightarrow \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{2}{1} \Rightarrow - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \ge - 2 \Rightarrow 1 - \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \ge - 1\) \( \Rightarrow A \ge - 1\) dấu “=” xảy ra khi \(x = 0.\) Vậy \(\min A = - 1\) khi \(x = 0\). Câu hỏi 14 : Cho \(A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\) với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.\) a) Rút gọn A. b) Tìm \(x \in Z\) để \(A \in Z\) c) Tìm x để \(A < 0.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: a) Quy đồng, rút gọn. b) Đưa biểu thức về dạng \(A\left( x \right) + \dfrac{C}{{B\left( x \right)}}\) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì \(B\left( x \right) \in U\left( C \right)\). c) Nhận xét mẫu số trước khi giải bất phương trình, lưu ý kết hợp điều kiện. Lời giải chi tiết: a) Với \(x \ge 0,x \ne 4,x \ne 9.\) Ta có: \(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \dfrac{{\sqrt x }}{{1 + \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right)\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\dfrac{{x - 9 - \left( {x - 4} \right) + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}:\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\) b) \(A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \dfrac{3}{{\sqrt x + 1}}\left( {x \ge 0} \right)\) Để \(A \in Z\) với x nguyên thì \(\sqrt x + 1\) là ước nguyên dương của 3 do \(\sqrt x + 1 > 0\) .\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\) Vậy với \(x = 0\) thì \(A \in Z\) c) \(A < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0.\) Do \(\sqrt x + 1 > 0 \Rightarrow \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 4.\) Kết với \(x \ge 0\), suy ra \(A > 0 < = > 0 \le x < 4.\) Vậy \(0 \le x < 4\) thì \(A < 0.\) Câu hỏi 15 : Cho biểu thức \(P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }};\,\,\,Q\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\). Tìm giá trị nguyên x nhỏ nhất thỏa mãn \(\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Rút gọn \(P\left( x \right)\), sau đó giải bất phương trình \(\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\) Lời giải chi tiết: Ta có \(\begin{array}{l}P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{9 - x}}{{x + 3\sqrt x }} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{\left( {3 - \sqrt x } \right)\left( {3 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x \left( {3 + \sqrt x } \right)}}\\P\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{1 + \left( {3 - \sqrt x } \right)\sqrt x }}{x} = \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}\end{array}\) \(Q\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) Suy ra : \(\begin{array}{l}\dfrac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{x}.\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow - 2x + 6\sqrt x + 2 \le x + \sqrt x \,\,\left( {Do\,\,\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - 5\sqrt x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {3\sqrt x + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 2 \ge 0\,\,\,\left( {Do\,\,3\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x \ge 4\end{array}\) Suy ra số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn \(x = 4\). Vậy \(x = 4\). Câu hỏi 16 : Giải bất phương trình : \(\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + x}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right):\dfrac{x}{{x + 2\sqrt x + 1}} \ge 2017 + \sqrt {2017} \)
Đáp án: D Phương pháp giải: Rút gọn VT sau đó tìm x. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0\). \(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + x}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right):\dfrac{x}{{x + 2\sqrt x + 1}} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + 1 - \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{x} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\sqrt x .}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{x} \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \ge 2017 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow \sqrt x \ge 2016 + \sqrt {2017} \\ \Leftrightarrow x \ge {\left( {2016 + \sqrt {2017} } \right)^2}\end{array}\) Vậy \(x \ge {\left( {2016 + \sqrt {2017} } \right)^2}\) Câu hỏi 17 : Cho biểu thức \(T = \dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\) a) Rút gọn T b) Tìm x để \(T = \dfrac{1}{2}\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: a) Với với điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có : \(\begin{array}{l}T = \dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{15\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{15\sqrt x - 11 - \left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{15\sqrt x - 11 - 3x - 7\sqrt x + 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{ - 5x + 7\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\) b) \(T = \dfrac{{ - \left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 3}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - 10\sqrt x + 4 = \sqrt x + 3 \Leftrightarrow 11\sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{121}}\) Vậy \(x = \dfrac{1}{{121}}\). Câu hỏi 18 : Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 9\) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 3\) 2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) 3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4.
Đáp án: A Phương pháp giải: 1) Thay \(x = 3\) vào A. Phân tích tử thức thành nhân tử và rút gọn. 2) Rút gọn B để được điều phải chứng minh. 3) Biến đổi \(\frac{A}{B}\) và dùng bất đẳng thức Cô-si để so sánh với 4. Lời giải chi tiết: Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}}\) với \(x > 0,\,\,x \ne 9\) 1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 3\) Khi \(x = 3\) thì \(A = \frac{{3 - 2\sqrt 3 + 9}}{{\sqrt 3 - 3}} = \frac{{\left( { - 5 - \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - 3} \right)}}{{\sqrt 3 - 3}} = - 5 - \sqrt 3 \) 2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) \(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{x + 9}}{{x - 9}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 3} \right)}^2} + \sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) - \left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + 6\sqrt x + 9 + x - 3\sqrt x - x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\) 3) So sánh \(\frac{A}{B}\) và 4. \(\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x - 2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x }}\\\;\;\; = \sqrt x - 2 + \frac{9}{{\sqrt x }}.\end{array}\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\sqrt x \) và \(\frac{9}{{\sqrt x }}\) ta có: \(\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{9}{{\sqrt x }}} = 2.3 = 6.\) \( \Rightarrow \frac{A}{B} = \left( {\sqrt x + \frac{9}{{\sqrt x }}} \right) - 2 \ge 6 - 2 = 4.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{9}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right).\) Vậy \(\frac{A}{B} \ge 4\). Chọn A. Câu hỏi 19 : Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\) , với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\) a) Rút gọn P. b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: A Phương pháp giải: a) Quy đồng, rút gọn P b) Từ điều kiện của x suy ra điều kiện của \(\sqrt x \) từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của P Lời giải chi tiết: Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\) , với \(x \ge 0\) và \(x \ne 9\) a) Rút gọn P. \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right) = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {3x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\\;\;\; = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\) b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có \(\sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 3 \ge 3 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \ge \frac{{ - 3}}{3} = - 1\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (tmđk) Vậy \({P_{\min }} = - 1 \Leftrightarrow x = 0\) Chọn A. Câu hỏi 20 : Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\) a) Rút gọn P b) Tìm x sao cho \(P = 2\) c) Biết \(M = P:Q\). Tìm giá trị của x để \({M^2} < \frac{1}{4}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: a) Rút gọn phân thức trước rồi rưt gọn biểu thức c) Tìm M thay vào \({M^2} < \frac{1}{4}\) để tìm x, lưu ý điều kiện đầu bài Lời giải chi tiết: Cho biểu thức \(P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\) và \(Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 4} \right)\) a) Rút gọn P \(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x - 4}}\\\;\;\; = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\end{array}\) b) Tìm x sao cho \(P = 2\) \(P = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 2\sqrt x - 4 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\) c) Biết \(M = P:Q\). Tìm giá trị của x để \({M^2} < \frac{1}{4}\) \(M = P:Q = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) \({M^2} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}} \right)^2} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt x < \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4\) Kết hợp điều kiện đầu bài \( \Rightarrow 0 \le x < 4\) Chọn A. Câu hỏi 21 : Cho \(A = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 3}}\) và \(B = \sqrt x + 1\) (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\)) a) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 16\) b) Rút gọn A c) Tìm giá trị của x để \(A > B\)
Đáp án: A Phương pháp giải: b) Quy đồng, thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước, ngoài dấu ngoặc sau c) Lưu ý kết hợp điều kiện đầu bài Lời giải chi tiết: Cho \(A = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 3}}\) và \(B = \sqrt x + 1\) (với \(x \ge 0;\,\,x \ne 9\)) a) Tính giá trị của biểu thức B khi \(x = 16\) Với \(x = 16\) (tm) ta có \(B = \sqrt {16} + 1 = 4 + 1 = 5.\) Vậy với \(x = 16\) thì \(B = 5\) b) Rút gọn A \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{x - 9}} + \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x - 3}} = \left[ {\frac{{x + \sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x - 3}}} \right].\left( {\sqrt x - 3} \right)\\\;\;\; = \left[ {\frac{{x + \sqrt x + 10 - \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}} \right].\left( {\sqrt x - 3} \right) = \frac{{x + 7}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\left( {\sqrt x - 3} \right) = \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}\) c) Tìm giá trị của x để \(A > B\) \(\begin{array}{l}A > B \Leftrightarrow \frac{{x + 7}}{{\sqrt x + 3}} > \sqrt x + 1 \Leftrightarrow x + 7 > \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow x + 7 > x + 4\sqrt x + 3 \Leftrightarrow 4\sqrt x < 4 \Leftrightarrow x < 1\end{array}\) Kết hợp điều kiện ta được \(0 \le x < 1\) thì \(A > B.\) Câu hỏi 22 : Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0\,,\,\,x \ne 9\) 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\frac{A}{B} < - \frac{1}{2}\).
Đáp án: A Phương pháp giải: 1) Quy đồng, rút gọn A 2) Tìm \(\frac{A}{B}\) , từ \(\frac{A}{B} < - \frac{1}{2}\) để tìm x, kết hợp điều kiện đầu bài để đưa ra kết luận. Lời giải chi tiết: Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0\,,\,\,x \ne 9\) 1) Rút gọn biểu thức A. \(\begin{array}{l}A = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}} = \frac{{2\sqrt x .\left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x .\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {3x + 3} \right)}}{{x - 9}}\\\;\;\; = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{x - 9}} = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}.\end{array}\) 2) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\frac{A}{B} < - \frac{1}{2}\). \(\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{x - 9}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\\\frac{A}{B} < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} < - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 3}} > \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 6 > \sqrt x + 3 \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}\) Kết hợp điều kiện đầu bài \( \Rightarrow \) \(0 \le x < 9.\) Vậy với mọi \(0 \le x < 9\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Chọn A. Câu hỏi 23 : Giải phương trình và rút gọn biểu thức trong những bài tập sau Câu 1: Giải phương trình sau: \(\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Bình phương hai vế, sau đó đưa về phương trình tích.
Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \(36{x^2} - 12x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\)) \[\begin{array}{l}\sqrt {36{x^2} - 12x + 1} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {6x - 1} \right)}^2}} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {6x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - 1 = 2\\6x - 1 = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 3\\6x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = - \frac{1}{6}\end{array} \right..\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm:\(x = - \frac{1}{6},x = \frac{1}{2}\) Câu 2: Rút gọn: \(A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}\) ( với \(x > 0,x \ne 1\)).
Đáp án: D Phương pháp giải: Phân tích tử số và mẫu số của phân thức thứ hai thành nhân tử để rút gọn. Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \(x > 0,x \ne 1\) . Với điều kiện trên ta có: \(\begin{array}{l}A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{x - \left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1.\end{array}\) Vậy \(A = \frac{x}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \sqrt x - 1\) Câu hỏi 24 : Chọn đáp án đúng nhất Câu 1: Nêu điều kiện để \(\sqrt A \) có nghĩa. Áp dụng: Tìm điều kiện của \(x\) để \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa.
Đáp án: D Phương pháp giải: \(\sqrt A \) có nghĩa khi \(A \ge 0\) Lời giải chi tiết: Điều kiện để \(\sqrt A \) có nghĩa là \(A \ge 0\). Áp dụng: \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa khi \(3x - 7 \ge 0\) \( \Leftrightarrow 3x \ge 7\,\, \Leftrightarrow x \ge \frac{7}{3}\) Vậy với \(x \ge \frac{7}{3}\) thì \(\sqrt {3x - 7} \) có nghĩa. Chọn D. Câu 2: Tính: \(\frac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} + \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }}.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}\frac{1}{2}\sqrt {48} - 2\sqrt {75} + \frac{{\sqrt {33} }}{{\sqrt {11} }} = \frac{1}{2}\sqrt {16.3} - 2\sqrt {25.3} + \sqrt {\frac{{33}}{{11}}} \\ = \frac{1}{2}.4\sqrt 3 - 2.5\sqrt 3 + \sqrt 3 \\ = 2\sqrt 3 - 10\sqrt 3 + \sqrt 3 \\ = - 7\sqrt 3 \end{array}\) Chọn A. Câu 3: Rút gọn biểu thức: \(P = \left( {\frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\frac{{2\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\) (với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) )
Đáp án: D Phương pháp giải: Phân tích mẫu của các phân thức, rút gọn các phân thức (nếu có nhân tử chung). +) Tìm mẫu thức chung từ đó quy đồng mẫu các phân thức. +) Biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\;\;x \ne 1.\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x\sqrt x - 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{{x\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x }}} \right):\left[ {\frac{{2\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}}{{x - 1}}} \right]\\ = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + {1^3}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{2{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 1}}} \right]\\ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\left[ {\frac{{2{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\\ = \left( {\frac{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }} - \frac{{\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}} \right):\frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 25 : a) Tính: \(3\sqrt {16} + 5\sqrt {36} \) b) Chứng minh rằng: với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: a) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..\) b) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức của vế trái. Chứng minh kết quả rút gọn của vế trái bằng vế phải. Lời giải chi tiết: a) \(3\sqrt {16} + 5\sqrt {36} = 3.4 + 5.6 = 12 + 30 = 42\) b) Với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) ta có: \(\begin{array}{l}\;\;\;\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x .\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\) Vậy với \(x > 0\) và \(x \ne 1\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\). Chọn A. Câu hỏi 26 : Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{1 - x}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1\) Câu 1: Rút gọn biểu thức B
Đáp án: D Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn phân thức. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}B = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x }}{{1 - x}} = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}}\\ = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1 + x - \sqrt x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\) Chọn D. Câu 2: Cho biểu thức \(P = B:A\). Tìm giá trị của x để \(P < 0\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Tìm giá trị biểu thức P, từ đó kết hợp điều kiện đề bài xét dấu P để tìm x Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\;x \ne 1.\) \(P = B:A = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}:\frac{{x + 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{x + 3}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x + 3}}\) Vì \(x \ge 0 \Rightarrow x + 3 > 0\) Để \(P < 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x - 1}}{{x + 3}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 1 \Leftrightarrow x < 1\) Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow 0 \le x < 1\) Vậy với \(0 \le x < 1\) thì \(P < 0.\) Chọn A. Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{P}\) với \(x > 1\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Tính và biến đổi \(\frac{1}{P}\) sao cho để khi sử dụng bất đẳng thức Cô-si có thể triệt tiêu được hết x, từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{P}.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\;x \ne 1.\) Ta có: \(\begin{array}{l}\frac{1}{P} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\;\; = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 2\left( {\sqrt x - 1} \right) + 4}}{{\sqrt x - 1}}\\\;\;\;\; = 2 + \left( {\sqrt x - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x - 1}}.\end{array}\) Vì \(x > 1\) nên \(\sqrt x - 1 > 0\) \( \Rightarrow \frac{4}{{\sqrt x - 1}} > 0\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\left( {\sqrt x - 1} \right)\) và \(\frac{4}{{\sqrt x - 1}}\) ta được: \(\left( {\sqrt x - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 4 = 4 \Rightarrow \frac{1}{P} = 2 + \left( {\sqrt x - 1} \right) + \frac{4}{{\sqrt x - 1}} \ge 2 + 4 = 6\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = \frac{4}{{\sqrt x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 2\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt x - 1 > 0} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\;\;\left( {tm} \right)\) Vậy \(\min \frac{1}{P} = 6\) đạt được khi \(x = 9.\) Chọn C. Câu hỏi 27 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Rút gọn biểu thức: \(\sqrt {12} + 3\sqrt {48} - 5\sqrt {75} \)
Đáp án: A Phương pháp giải: Rút gọn căn bậc hai dựa vào công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \;\;khi\;\;A \ge 0\\ - A\sqrt B \;\;khi\;\;A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\sqrt {12} + 3\sqrt {48} - 5\sqrt {75} = 2\sqrt 3 + 3.4\sqrt 3 - 5.5\sqrt 3 \\ = 2\sqrt 3 + 12\sqrt 3 - 25\sqrt 3 = - 11\sqrt 3 .\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Rút gọn biểu thức: \(5\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{{\sqrt {20} - 5}}{{2 - \sqrt 5 }}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Trục căn thức ở mẫu các phân thức sau đó rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}5\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{8}{{1 + \sqrt 5 }} + \frac{{\sqrt {20} - 5}}{{2 - \sqrt 5 }} = \sqrt 5 - \frac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {2 - \sqrt 5 } \right)}}{{2 - \sqrt 5 }}\\ = \sqrt 5 - \frac{{8\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}}{{ - 4}} + \sqrt 5 = \sqrt 5 + 2\left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \sqrt 5 \\ = \sqrt 5 + 2 - 2\sqrt 5 + \sqrt 5 = 2.\end{array}\) Chọn B. Câu 3: Giải phương trình: \(\sqrt {9{x^2}} = 6\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \(\sqrt {9{x^2}} = 6 \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 6\\3x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;2} \right\}\) Chọn B. Câu 4: Giải phương trình: \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Rút gọn căn bậc hai, bình phương hai vế không âm, \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = A.\) Lời giải chi tiết: \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\) (1) ĐKXĐ: \(x \ge 5\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \frac{1}{3}.3\sqrt {x - 5} = 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 2\\ \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ 9 \right\}.\) Chọn C. Câu hỏi 28 : Giải phương trình: Câu 1: \(\sqrt {4 - 3x} = 4\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Tìm điều kiện xác định sau đó bình phương hai vế. Lời giải chi tiết: \(\sqrt {4 - 3x} = 4\). ĐKXĐ: \(4 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{4}{3}\) \(\sqrt {4 - 3x} = 4 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4 - 3x} } \right)^2} = {4^2} \Leftrightarrow 4 - 3x = 16 \Leftrightarrow x = - 4\;\;\left( {tm} \right)\) Vậy \(x = - 4\) là nghiệm của phương trình. Chọn B. Câu 2: \(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 5\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Bình phương hai vế sau đó giải phương trình bậc 2. Lời giải chi tiết: \(\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 5\). ĐKXĐ: \(4{x^2} + 4x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2x + 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng\(\forall x \in \mathbb{R}\)) \(\begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} + 4x + 1} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}} = 5\\ \Leftrightarrow \left| {2x + 1} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\end{array} \right..\end{array}\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 3,x = 2\). Chọn C. Câu hỏi 29 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Thực hiện phép tính: \(\sqrt {50} - 3\sqrt 8 + \sqrt {32} \)
Đáp án: C Phương pháp giải: Rút gọn căn bậc hai bằng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\;\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\sqrt {50} - 3\sqrt 8 + \sqrt {32} = 5\sqrt 2 - 3.2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 = 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 + 4\sqrt 2 = 3\sqrt 2 \) Chọn C. Câu 2: Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = 1\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} = 1\) ĐKXĐ: \({x^2} - 4x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi x \(PT \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = 1 \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\) Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {1;\;3} \right\}.\) Chọn B. Câu 3: Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} - 3x} - \sqrt {x - 3} = 0\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Đưa về phương trình tích để giải phương trình. Lời giải chi tiết: \(\sqrt {{x^2} - 3x} - \sqrt {x - 3} = 0\) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\left( {x - 3} \right) \ge 0\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\) \(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {x - 3} \right)} - \sqrt {x - 3} = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 3} \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 3} = 0\\\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\sqrt x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\,\,(tm)\\x = 1\,\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ 3 \right\}.\) Chọn B. Câu hỏi 30 : Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{x - \sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}\) Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Đặt ĐKXĐ để biểu thức có nghĩa. +) Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x - \sqrt x - 2 = (\sqrt x + 1)(\sqrt x - 2)\) +) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi sau đó rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - \sqrt x - 2\\\sqrt x \ne 2\\1 - \sqrt x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) \ne 0\\x \ne 4\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 4\end{array} \right..\) \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{x - \sqrt x + 2}}{{x - \sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} = \left[ {\frac{{x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 1}}} \right]:\frac{{1 - \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}\\ = \frac{{x - \sqrt x + 2 + 2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {x - \sqrt x + 2 + 2\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của \(x\) sao cho \(A\) là một số nguyên.
Đáp án: D Phương pháp giải: +) Sử dụng các tính chất: Tổng các số nguyên là một số nguyên và phân số là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1,\;\;x \ne 4.\) Ta có: \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 1}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\) \( \Rightarrow \) Để A là số nguyên thì \(\frac{1}{{\sqrt x + 1}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\) là ước của 1\( \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in \left\{ { \pm 1} \right\}\) +)\(\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\;\;\left( {tm} \right)\) +)\(\sqrt x + 1 = - 1 \Leftrightarrow \sqrt x = - 2\) (vô lý) Vậy \(x = 0\) thì \(A\) là số nguyên. Chọn D. Câu hỏi 31 : Cho hai biểu thức \(P = \frac{{a - 9}}{{\sqrt a - 3}}\) và \(Q = \frac{3}{{\sqrt a - 3}} + \frac{2}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{a - 5\sqrt a - 3}}{{a - 9}}\) với \(a \ge 0,\,\,a \ne 9\) Câu 1: Khi \(a = 81\), tính giá trị biểu thức \(P.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Xét xem \(a = 81\) có thỏa mãn ĐKXĐ hay không sau đó thay vào để tính giá trị biểu thức. Lời giải chi tiết: Khi \(a = 81\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow P = \frac{{81 - 9}}{{\sqrt {81} - 3}} = \frac{{72}}{{9 - 3}} = \frac{{72}}{6} = 12\) Vậy khi \(a = 81\) thì \(P = 12.\) Chọn C. Câu 2: Rút gọn biểu thức \(Q.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \(a \ge 0,\;\;a \ne 9.\) \(\begin{array}{l}Q = \frac{3}{{\sqrt a - 3}} + \frac{2}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{a - 5\sqrt a - 3}}{{a - 9}} = \frac{{3\left( {\sqrt a + 3} \right) + 2\left( {\sqrt a - 3} \right) + a - 5\sqrt a - 3}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right).\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{3\sqrt a + 9 + 2\sqrt a - 6 + a - 5\sqrt a - 3}}{{a - 9}} = \frac{a}{{a - 9}}.\end{array}\) Chọn B. Câu 3: \(Q = \frac{{\sqrt a }}{{a - 9}}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Tính \(A,\) đưa kết quả về dạng sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ triệt tiêu hết \(a.\) Lời giải chi tiết: ĐKXĐ: \(a > 9.\) \(A = P.Q = \frac{{a - 9}}{{\sqrt a - 3}}.\frac{a}{{a - 9}} = \frac{a}{{\sqrt a - 3}} = \sqrt a + 3 + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} = \left( {\sqrt a - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} + 6\) Vì \(a > 9 \Rightarrow \sqrt a - 3 > 0 \Rightarrow \frac{9}{{\sqrt a - 3}} > 0\) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\left( {\sqrt a - 3} \right)\) và \(\frac{9}{{\sqrt a - 3}}\) ta được: \(\begin{array}{l}\left( {\sqrt a - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} \ge 2.\sqrt {\left( {\sqrt a - 3} \right).\frac{9}{{\sqrt a - 3}}} = 6\\ \Rightarrow A = \left( {\sqrt a - 3} \right) + \frac{9}{{\sqrt a - 3}} + 6 \ge 12.\end{array}\) Dấu ‘‘=’’ xảy ra \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt a - 3 = \frac{9}{{\sqrt a - 3}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - 3} \right)^2} = 9\;\;\;\left( {do\;\;\sqrt a - 3 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt a - 3 = 3 \Leftrightarrow \sqrt a = 6 \Leftrightarrow a = 36\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy \(\min A = 12\) đạt được khi \(a = 36\). Chọn C. Câu hỏi 32 : Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) và \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\). Câu 1: Tính giá trị của \(A\) khi \(x = \frac{9}{4}\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Thay \(x = \frac{9}{4}\) vào \(A\) rồi tính giá trị của biểu thức Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1.\) Với \(x = \frac{9}{4}\;\;\left( {tm} \right)\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{4}} + 1}}{{\sqrt {\frac{9}{4}} - 1}} = \frac{{\frac{3}{2} + 1}}{{\frac{3}{2} - 1}} = \frac{{\frac{5}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 5.\) Chọn C. Câu 2: Rút gọn \(B.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng và rút gọn phân thức Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1.\) \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.\) Chọn A. Câu 3: Với \(x \in N\) và \(x \ne 1\), hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = A.B\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Tính và đưa P về dạng \(P = a + \frac{b}{c}\) với a, b là các số nguyên, c là ciểu thức chứa x. Từ điều kiện của x để tìm giá trị nhỏ nhất của P Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\;\;x \ne 1.\) \(P = A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 + 1}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) Ta có : \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x - 1 \ge - 1 \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 1}} \le - 1 \Rightarrow P \le 0\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0\) Vậy \(\max P = 0\) đạt được tại \(x = 0\). Chọn A. Câu hỏi 33 : Cho hai biểu thức: \(A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\) với \(x > 0;x \ne 1\) Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng và rút gọn phân thức Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1.\) \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{x - 1}}} \right)\\ = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} + \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\ = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\left( {\sqrt x - 1} \right) = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm \(x\) biết \(A = 2\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1.\) \(A = 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 2\sqrt x \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\) Vậy không có giá trị nào của x để \(A = 2\). Chọn D. Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left( {A - 4} \right)\sqrt x .\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Tính và đưa \(P\) về dạng một tổng bình phương cộng một số. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1.\) \(P = \left( {A - 4} \right)\sqrt x = \left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt x }} - 4} \right).\sqrt x = x - 4\sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} - 3 \ge - 3\) Ta có \(P \ge - 3\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \( - 3\) khi \(x = 4\). Chọn A. Câu hỏi 34 : Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}},B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\) Câu 1: Tính giá trị biểu thức A khi \(x = 25.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Thay giá trị \(x = 25\) vào biểu thức A và tính giá trị của biểu thức. Lời giải chi tiết: ĐK: \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\) Khi \(x = 25\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 3}} = \frac{6}{2} = 3.\) \(\) Chọn B. Câu 2: Rút gọn biểu thức \(P = B:A.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x - \sqrt x - 2 = (\sqrt x + 1)(\sqrt x - 2)\) Lời giải chi tiết: ĐK: \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\) \(\begin{array}{l}P = B:A = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \frac{{2\sqrt x (\sqrt x - 3) + \sqrt x (\sqrt x + 3) - (3x + 3)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{ - 3\sqrt x - 3x}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{ - 3(\sqrt x + 1)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\) Chọn A. Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất: Tổng các số nguyên là một số nguyên và phân số là số nguyên khi tử chia hết cho mẫu. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\sqrt x + 3 \ge 3,\forall x \ge 0,x \ne 9\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{1}{3},\forall x \ge 0,x \ne 9\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 1}} \ge - 1,\forall x \ge 0,x \ne 9.\end{array}\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(-1\) khi \(x = 0.\) Chọn C. Câu hỏi 35 : Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + 4\sqrt a } \right):\left( {\frac{{{a^2} + a\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\) với \(a > 0,\,\,a \ne 1.\) Câu 1: Rút gọn biểu thức \(P.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}} - \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + 4\sqrt a } \right):\left( {\frac{{{a^2} + a\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}}} \right)\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2} + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}:\frac{{a\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}}\\ = \frac{{a + 2\sqrt a + 1 - a + 2\sqrt a - 1 + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{1}{{a\sqrt a }}\\ = \frac{{4\sqrt a \left( {1 + a - 1} \right)}}{{a - 1}}.\frac{1}{{a\sqrt a }} = \frac{4}{{a - 1}}.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm các giá trị nguyên của \(a\) để \(P\) nhận giá trị là số nguyên.
Đáp án: D Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức \(P = b + \frac{c}{{MS}}\) +) Khi đó \(P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{c}{{MS}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow MS \in U\left( c \right).\) Từ đó tìm \(a \in \mathbb{Z}\) +) Đối chiếu với điều kiện của \(a\) rồi kết luận. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(a > 0,\,\,\,a \ne 1.\) Ta có: \(P = \frac{4}{{a - 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right) \in U\left( 4 \right)\) Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {a - 1} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\}\) Ta có bảng:
Vậy với \(a \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,5} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\) Chọn D. Câu hỏi 36 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Tính \(A = \sqrt {12} + \sqrt {18} - \sqrt 8 - 2\sqrt 3 .\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}A = \sqrt {12} + \sqrt {18} - \sqrt 8 - 2\sqrt 3 = \sqrt {{2^2}.3} + \sqrt {{3^2}.2} - \sqrt {{2^2}.2} - 2\sqrt 3 \\\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 - 2\sqrt 2 - 2\sqrt 3 = \sqrt 2 .\end{array}\) Vậy\(A = \sqrt 2 .\) Chọn A. Câu 2: Cho biểu thức \(B = \sqrt {9x + 9} + \sqrt {4x + 4} + \sqrt {x + 1} \) với \(x \ge - 1.\) Tìm \(x\) sao cho \(B\) có giá trị là \(18.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Rút gọn biểu thức \(B\) sau đó giải phương trình \(B = 18\) tìm \(x\), đối chiếu với điều kiện rồi kết luận. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge - 1.\) \(\begin{array}{l}B = \sqrt {9x + 9} + \sqrt {4x + 4} + \sqrt {x + 1} \\ = \sqrt {9\left( {x + 1} \right)} + \sqrt {4\left( {x + 1} \right)} + \sqrt {x + 1} \\ = 3\sqrt {x + 1} + 2\sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 1} = 6\sqrt {x + 1} .\end{array}\) Ta có: \(B = 18\)\( \Leftrightarrow 6\sqrt {x + 1} = 18 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 3 \Leftrightarrow x + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 8\,\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy \(x = 8\) thì \(B\) có giá trị là \(18.\) Chọn D. Câu hỏi 37 : Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}\) và \(B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}}\,\,\,\left( {x \ge 0,\,\,x \ne 25} \right)\) Câu 1: Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\) thay vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức. Lời giải chi tiết: Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\) thay vào biểu thức \(A = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}\) ta được: \(A = \frac{{4\left( {\sqrt 9 + 1} \right)}}{{25 - 9}} = \frac{{4\left( {3 + 1} \right)}}{{16}} = \frac{{16}}{{16}} = 1.\) Vậy với \(x = 9\) thì \(A = 1.\) Chọn B. Câu 2: Rút gọn biểu thức \(B.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\) \(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 5}} = \left[ {\frac{{15 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right].\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{15 - \sqrt x + 2\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 5} \right)\left( {\sqrt x + 5} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{15 - \sqrt x + 2\sqrt x - 10}}{{\sqrt x + 5}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}}\\ = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 5}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\) Chọn A. Câu 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) đạt giá trị nguyên lớn nhất.
Đáp án: A Phương pháp giải: Tính biểu thức: \(P = AB.\) Biểu thức \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) tử số chia hết cho mẫu số. Từ đó tìm các giá trị của \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z}\) và tính được các giá trị của \(P\) và kết luận giá trị \(x \in \mathbb{Z}\) để \(P \in \mathbb{Z}\) và đạt giá trị lớn nhất. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 25.\) Ta có: \(P = A.B = \frac{{4\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{25 - x}}.\frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{4}{{25 - x}}.\) \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{4}{{25 - x}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\,\, \vdots \,\,\left( {25 - x} \right)\) hay \(\left( {25 - x} \right) \in U\left( 4 \right)\) Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\,\, \pm 4} \right\} \Rightarrow \left( {25 - x} \right) \in \left\{ { \pm 1;\,\, \pm 2;\, \pm 4} \right\}.\) Ta có bảng giá trị:
\( \Rightarrow \) với \(x \in \left\{ {23;\,\,24;\,\,26;\,\,27;\,\,29} \right\}\) thì \(P \in \mathbb{Z}.\) Qua bảng giá trị ta thấy với \(x = 24\) thì \(P = 4\) là số nguyên lớn nhất. Vậy \(x = 24\) thỏa mãn điều kiện bài toán. Chọn A. Câu hỏi 38 : Cho biểu thức: \(A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\) Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức rồi rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\) \(\begin{array}{l}A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x + 2 - 3\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{2x - 2\sqrt x - \sqrt x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\, = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm \(x\) là số chính phương để \(2019A\) là số nguyên.
Đáp án: D Phương pháp giải: Số \(x = {k^2}\) là số chính phương. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\) Ta có: \(2019A = 2019.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = 2019\left( {2 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}} \right) = 4038 - \frac{{6057}}{{\sqrt x + 1}}.\) Vì \(2019A \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( {6057} \right)\). Mà \(\sqrt x + 1 \ge 1\,\,\forall x \ge 0,\,\,x \ne 1 \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \left\{ {1;3;9;2019;6057} \right\}\). TH1: \(\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\) (tm). TH2: \(\sqrt x + 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tm} \right)\). TH3: \(\sqrt x + 1 = 9 \Leftrightarrow \sqrt x = 8 \Leftrightarrow x = 64\,\,\left( {tm} \right)\). TH4: \(\sqrt x + 1 = 2019 \Leftrightarrow \sqrt x = 2018 \Leftrightarrow x = {2018^2}\,\,\left( {tm} \right)\). TH5: \(\sqrt x + 1 = 6057 \Leftrightarrow \sqrt x = 6056 \Leftrightarrow x = {6056^2}\,\,\left( {tm} \right)\). Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,4;\,\,64;\,\,{{2018}^2};\,\,{{6056}^2}} \right\}\). Chọn D. Câu hỏi 39 : Bằng các phép biến đổi đại số, hãy rút gọn các biểu thức sau: Câu 1: \(A = \sqrt {18} - \sqrt {50} \)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(A = \sqrt {18} - \sqrt {50} = \sqrt {9.2} - \sqrt {25.2} = 3\sqrt 2 - 5\sqrt 2 = - 2\sqrt 2 \) Vậy \(A = - 2\sqrt 2 \) Chọn B. Câu 2: \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 2}} + \frac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\) với \(a > 0,\,a \ne 4\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Với \(a > 0,\,\,a \ne 4\) ta có: \(\begin{array}{l}B = \left( {\frac{1}{{\sqrt a - 2}} + \frac{1}{{\sqrt a + 2}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = \left( {\frac{{\sqrt a + 2}}{{a - 4}} + \frac{{\sqrt a - 2}}{{a - 4}}} \right).\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt a }}{{a - 4}}.\frac{{a - 4}}{{\sqrt a }} = 2.\end{array}\) Vậy \(B = 2\). Chọn D. Câu hỏi 40 : Cho biểu thức: \(A = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x - 3}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x - 3}}{{x - 9}}.\) Câu 1: Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Khi \(x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\) ta thay vào biểu thức và tính giá trị biểu thức \(A.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\) Khi \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) ta được: \(A = \frac{{25 + 5}}{{\sqrt {25} - 3}} = \frac{{30}}{2} = 15.\) Vậy khi \(x = 25\) thì \(A = 15.\) Chọn D. Câu 2: Rút gọn biểu thức \(B.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \(B.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 9.\) \(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x - 3}}{{x - 9}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x - \sqrt x + 3 + 7\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\) Chọn B. Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{A}{B}.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức, sử dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 9.\) Ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x - 3}}.\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 5}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{5}{{\sqrt x }}\) Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\frac{5}{{\sqrt x }}\) dương ta có: \(\sqrt x + \frac{5}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{5}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 5 .\) Dâu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{5}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 5\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy với \(x = 5\) thì biểu thức \(\frac{A}{B}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(2\sqrt 5 .\) Chọn B. Câu hỏi 41 : Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\) Câu 1: Hãy tìm điều kiện của \(x\) để biểu thức \(M\)có nghĩa, sau đó rút gọn \(M.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Tìm điều kiện xác định sau đó quy đồng, biến đổi và rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\) \(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} - \frac{{x + \sqrt x }}{{x - 1}}} \right)\frac{{x - 1}}{{2x + \sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right].\frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x - \sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x - x\sqrt x - x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\frac{1}{{2\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{x\sqrt x - 2\sqrt x + \sqrt x \left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x\sqrt x + x\sqrt x + x + \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\sqrt x + x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2x\sqrt x + 2x - x - \sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}.\end{array}\) Chọn C. Câu 2: Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(M\)đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của \(M?\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si để làm bài. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0;\,\,\,x \ne 1;\,\,\,x \ne \frac{1}{4}.\) Ta có: \(P = \frac{{x + \sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}\) Với mọi \(x \ge 0\) ta có: \(x \ge 0;\,\,\,\sqrt x \ge 0 \Rightarrow x + \sqrt x \ge 0 \Rightarrow P \ge 0.\) Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\) Vậy \(Min\,\,P = 0\,\) khi \(x = 0.\) Chọn A. Câu hỏi 42 : Cho \(P = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}};\,\,\,Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}\quad \quad \left( {x > 0;\,\,\,x \ne 4} \right)\) Câu 1: Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 9.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Với \(x = 9\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(P\) và tính giá trị của biểu thức \(P.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\) Ta có: \(x = 9\,\,\left( {tm} \right),\) ta có: \(P = \frac{{9 + 3}}{{\sqrt 9 - 2}} = \frac{{12}}{{3 - 2}} = 12.\) Vậy với \(x = 9\) thì \(P = 12.\) Chọn C. Câu 2: Rút gọn \(Q.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\) \(\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}\) Chọn A. Câu 3: Tìm \(x\) để biểu thức \(\frac{P}{Q}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án: C Phương pháp giải: Rút gọn biểu thức \(\frac{P}{Q}\) sau đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\) Ta có: \(\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}.\) Với mọi \(x > 0,\,\,x \ne 4\) ta có hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\sqrt x ,\,\,\,\frac{3}{{\sqrt x }}\) ta được: \(P = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 .\) Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy \(Min\,\,P = 2\sqrt 3 \) khi \(x = 3.\) Chọn C. Câu hỏi 43 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Giải phương trình \(3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Giải phương trình bằng quy tắc chuyển vế, đổi dấu. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3\left( {x - 1} \right) = 5x + 2 \Leftrightarrow 3x - 3 = 5x + 2\\ \Leftrightarrow 5x - 3x = - 3 - 2 \Leftrightarrow 2x = - 5 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{2}.\end{array}\) Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \frac{5}{2}.\) Chọn A. Câu 2: Cho biểu thức: \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \) với \(x \ge 1.\) a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\) b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: a) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm} \right),\) thay vào biểu thức \(A\) để tính giá trị biểu thức. b) Thêm bớt 1 vào các căn bậc hai và rút gọn biểu thức nhờ công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: a) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 5.\) Điều kiện: \(x \ge 1.\) Khi \(x = 5\,\,\left( {tm\,\,\,x \ge 1} \right),\) thay vào biểu thức ta được: \(\begin{array}{l}A = \sqrt {5 + 2\sqrt {5 - 1} } + \sqrt {5 - 2\sqrt {5 - 1} } = \sqrt {5 + 2\sqrt 4 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 4 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5 + 2.2} + \sqrt {5 - 2.2} = \sqrt 9 + \sqrt 1 = 3 + 1 = 4.\end{array}\) Vậy khi \(x = 5\) thì \(A = 4.\) b) Rút gọn biểu thức \(A\) khi \(1 \le x \le 2.\) Điều kiện: \(1 \le x \le 2.\) \(\begin{array}{l}A = \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right|\\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {x - 1} + 1 + 1 - \sqrt {x - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,1 \le x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt {x - 1} \le 1 \Rightarrow \sqrt {x - 1} - 1 \le 0} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2.\,\,\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 44 : a) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} .\) b) Chứng minh rằng \(\sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } = 4\sqrt 2 .\) c) Tìm tập hợp các giá trị của \(x\) sao cho \(\sqrt {2x + 1} \le 5\)
Đáp án: A Phương pháp giải: a) Sử dụng quy tắc đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có: \(\begin{array}{l}\sqrt {{A^2}.\,B} = A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A \ge 0\\\sqrt {{A^2}.B} = - A\sqrt B ,\,\,khi\,\,A < 0\end{array}\) b) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\) c) \(\sqrt {f\left( x \right)} \ge g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) < 0\\f\left( x \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \ge {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: a) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} .\) Ta có: \(\begin{array}{l}A = \sqrt 5 \left( {\sqrt {20} - 3} \right) + \sqrt {45} \\A = \sqrt 5 .\sqrt {20} - 3.\sqrt 5 + \sqrt {{3^2}.5} \\A = \sqrt {100} - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 \\A = 10 + \left( { - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 } \right)\\A = 10\end{array}\) b) Chứng minh rằng \(\sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } = 4\sqrt 2 .\) Ta có: \(\begin{array}{l}VT = \sqrt {24 + 16\sqrt 2 } - \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } \\VT = \sqrt {16 + 2.4.2\sqrt 2 + 8} - \sqrt {16 - 2.4.\sqrt 2 + 8} \\VT = \sqrt {{{\left( {4 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \\VT = \left| {4 + 2\sqrt 2 } \right| - \left| {4 - 2\sqrt 2 } \right|\\VT = 4 + 2\sqrt 2 - \left( {4 - 2\sqrt 2 } \right)\,\,\,\left( {do\,\,4 - 2\sqrt 2 > 0} \right)\\VT = 4 + 2\sqrt 2 - 4 + 2\sqrt 2 \\VT = 4\sqrt 2 = VP\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\) c) Tìm tập hợp các giá trị của \(x\) sao cho \(\sqrt {2x + 1} \le 5\,\,\,\left( * \right)\) Điều kiện: \(2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge - 1 \Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{2}\) Khi đó, bất phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 2x + 1 \le 25\) \( \Leftrightarrow 2x \le 24 \Leftrightarrow x \le 12\) Kết hợp với điều kiện, ta có: \( - \frac{1}{2} \le x \le 12\) Chọn A. Câu hỏi 45 : Cho biểu thức \(M = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} - x\). Câu 1: Tìm \(x,\,\,y\) để biểu thức \(M\) có nghĩa.
Đáp án: C Phương pháp giải: Điều kiện để biểu thức có nghĩa: \(\sqrt A \)có nghĩa \( \Leftrightarrow A \ge 0\) và \(\frac{A}{B}\)có nghĩa \( \Leftrightarrow B \ne 0\). Lời giải chi tiết: Điều kiện để biểu thức M có nghĩa là: \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\x \ge 0\\xy > 0\\\sqrt x - \sqrt y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\\sqrt x \ne \sqrt y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x \ne y\end{array} \right..\) Vậy \(x > 0;y > 0;\,x \ne y\). Chọn C. Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của \(x,\,\,y\) để \(M = - 1\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Đkxđ: \(x > 0;y > 0;\,x \ne y\) Ta có: \(M = \frac{{x\sqrt y + y\sqrt x }}{{\sqrt {xy} }}:\frac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }} - x\) \(\begin{array}{l}M = \frac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}.\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - x\\M = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right) - x\\M = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} - x\\M = x - y - x\\M = - y\end{array}\) Để \(M = - 1\)\( \Rightarrow - y = - 1\,\, \Rightarrow y = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\) Vậy với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\) và \(y = 1\) thì \(M = - 1\). Chọn D. Câu hỏi 46 : Cho các biểu thức: \(A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{x - 9}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\) Câu 1: Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 4.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Thay giá trị của \(x = 4\) (tmđk) vào biểu thức \(A\) để tính. Lời giải chi tiết: Với \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\,\,;\,\,x \ne 9\) Thay \(x = 4\) vào biểu thức \(A = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}\) ta được: \(A = \frac{6}{{\sqrt 4 .\left( {\sqrt 4 - 3} \right)}} = \frac{6}{{2.\left( {2 - 3} \right)}} = \frac{6}{{ - 2}} = - 3\) Vậy khi \(x = 4\) thì \(A = - 3.\) Chọn D. Câu 2: Rút gọn biểu thức \(M = A:B.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng, rút gọn phân thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0\,\,;\,\,x \ne 9\) \(\begin{array}{l}M = A:B = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\left( {\frac{{2\sqrt x }}{{x - 9}} - \frac{2}{{\sqrt x + 3}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{{2\sqrt x - 2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\frac{6}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{6}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{6}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\end{array}\) Vậy \(M = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}.\) Chọn A. Câu 3: Tìm các giá trị của \(x\) để \(3\sqrt x + 5 = 2M.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Biến đổi để đưa về phương trình tích \(f\left( x \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0.\) \(\begin{array}{l}3\sqrt x + 5 = 2M \Leftrightarrow 3\sqrt x + 5 = 2.\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {3\sqrt x + 5} \right) = 2\sqrt x + 6\\ \Leftrightarrow 3x + 5\sqrt x = 2\sqrt x + 6 \Leftrightarrow 3x + 3\sqrt x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow x + \sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 1 = 0\\\sqrt x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = - 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy \(x = 1.\) Chọn A. Câu hỏi 47 : Cho hai biểu thức \(A = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{6\sqrt x - 4}}{{1 - x}}\) \(\left( {x \ge 0;\,\,x \ne 1} \right)\). Câu 1: Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Thay \(x = 9\) vào \(A\) và tính giá trị. Lời giải chi tiết: Điều kiện : \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\) Thay \(x = 9\) (tmđk) vào biểu thức \(A\), ta có : \(A = \frac{{2\sqrt 9 - 4}}{{\sqrt 9 - 1}} = \frac{{2.3 - 4}}{{3 - 1}} = \frac{2}{2} = 1\) Vậy với \(x = 9\) thì \(A = 1.\) Chọn A. Câu 2: Rút gọn \(B\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Qui đồng, khử mẫu và rút gọn. Lời giải chi tiết: Điều kiện : \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\) \(\begin{array}{l}B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{6\sqrt x - 4}}{{1 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 3\left( {\sqrt x - 1} \right) - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x + \sqrt x + 3\sqrt x - 3 - 6\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{x - 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\end{array}\) Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\). Chọn B. Câu 3: Đặt \(P = A.B\). So sánh giá trị của \(P\) với \(2\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Tính \(P = AB\) và xét dấu của hiệu \(P - 2\). Lời giải chi tiết: Điều kiện : \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\) Có \(P = A.B = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}}\) Xét \(P - 2 = \frac{{2\sqrt x - 4}}{{\sqrt x + 1}} - 2\)\( = \frac{{2\sqrt x - 4 - 2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{ - 6}}{{\sqrt x + 1}}\) Vì \( - 6 < 0;\,\,\sqrt x + 1 \ge 0\) với mọi \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\) \( \Rightarrow \frac{{ - 6}}{{\sqrt x + 1}} < 0\) \( \Rightarrow P - 2 < 0 \Rightarrow P < 2\). Vậy \(P < 2\). Chọn A. Câu hỏi 48 : Cho hai biểu thức \(P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\) và \(Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }};\) với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3.\) 1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\) 2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\) 3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: 1) Rút gọn \(P.\) Thay \(x = 16\left( {tmdk} \right)\) vào \(P\) để tính toán 2) Rút gọn \(Q\) bằng cách trục căn thức ở mẫu rồi tính \(Q + \sqrt 2 .\) 3) Đánh giá mẫu thức rồi suy ra điều kiện của tử thức Lời giải chi tiết: 1) Tính giá trị của biểu thức \(P\) khi \(x = 16.\) Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 2.\) \(\begin{array}{l}P = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt {2x} - x}}\\\,\,\,\, = \frac{2}{{\sqrt 2 - \sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + \sqrt 2 }}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt 2 - \sqrt x } \right)}}\\\,\, = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}} = - \frac{1}{{\sqrt x }}.\end{array}\) Thay \(x = 16\,\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(P = - \frac{1}{{\sqrt x }}\) ta được : \(P = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {16} }} = - \frac{1}{4}.\) Vậy với \(x = 16\) thì \(P = - \frac{1}{4}.\) 2) Chứng minh rằng \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\) Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2,\,\,\,x \ne 3.\) \(\begin{array}{l}Q = \frac{1}{{\sqrt x - \sqrt {x - 1} }} - \frac{{x - 3}}{{\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 }}\\\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x - 1} } \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt {x - 1} - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}\\\,\,\, = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 1} }}{{x - \left( {x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {x - 1} \right) - 2}}\\\,\,\, = \sqrt x + \sqrt {x - 1} - \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt 2 } \right)\\\,\,\, = \sqrt x - \sqrt 2 .\end{array}\) Từ đó \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x - \sqrt 2 + \sqrt 2 = \sqrt x \) Vậy \(Q + \sqrt 2 = \sqrt x .\) 3) Tìm \(x\) để \(P.Q \ge 0.\) Ta có: \(P = - \frac{1}{{\sqrt x }};Q = \sqrt x - \sqrt 2 \) với \(x > 1;x \ne 2;x \ne 3\) Nên \(M = P.Q = \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt 2 } \right) \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) Để \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0\) Với \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) thì \(\sqrt x > 0\) Nên \(M \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 - \sqrt x \ge 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\) Kết hợp điều kiện \(x > 1\) và \(x \ne 2,\,x \ne 3\) ta có \(1 < x < 2\) Vậy \(1 < x < 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu hỏi 49 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) khi \(x = 25.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Tìm điều kiện xác định, thay giá trị của \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện xác đinh: \(x \ge 0.\) Thay \(x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức ta có: \(A = \frac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{5}{6}.\) Vậy \(x = 25\) thì \(A = \frac{5}{6}.\) Chọn B. Câu 2: Rút gọn biểu thức \(B = \frac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho. Lời giải chi tiết: Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9,\) ta có: \(\begin{array}{l}B = \frac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \frac{{5\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \frac{{5\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \frac{{5\sqrt x - 9 - x + 4 + x - 4\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\) Vậy \(B = \frac{1}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\) Chọn B. Câu 3: Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\left( {x - 9} \right).B < 2x.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Thay biểu thức \(B\) vừa rút gọn ở câu trên vào bất phương trình, giải bất phương trình tìm \(x.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\) \(\begin{array}{l}\left( {x - 9} \right).B < 2x \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right).\frac{1}{{\sqrt x - 3}} < 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 < 2x \Leftrightarrow 2x - \sqrt x - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2\sqrt x - 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x - 3 > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x > \frac{3}{2} \Leftrightarrow x > \frac{9}{4}.\end{array}\) Kết hợp điều kiện, ta được \(x > \frac{9}{4};x \ne 4;x \ne 9\) thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy \(x > \frac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\) thỏa mãn điều kiện bài toán. Chọn C. Câu hỏi 50 : Cho biểu thức \(A = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\left( {x \ge 0} \right)\). Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0.\) \(\begin{array}{l}A = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3 + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3 + x + \sqrt x - 2 - 2x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 5x - 9\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{ - 5x - 10\sqrt x + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 5\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {1 - 5\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\) Chọn D. Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của \(A\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Dựa vào điều kiện xác định của \(x\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0.\) Ta có: \(A = \frac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = - 5 + \frac{6}{{\sqrt x + 1}}.\) Với mọi \(x \ge 0\) ta có: \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\frac{6}{{\sqrt x + 1}} \le 6\) Do đó \(A = - 5 + \frac{6}{{\sqrt x + 1}} \le 1.\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\) Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 1 khi \(x = 0.\) Chọn B. Quảng cáo
|
