20 bài tập cơ bản ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc baLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : a) Giải phương trình: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 = 0\) b) Thực hiện phép tính: \(\sqrt {{{\left( {1 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)
Đáp án: A Phương pháp giải: Câu a của bài toán là một câu giải phương trình bậc hai sử dụng hệ thức Vi-et. Để giải phương trình loại này các em cần nhớ phần lý thuyết sau: Cho phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) (với \(a \ne 0\)) Nếu: \(a + b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) Nếu: \(a - b + c = 0\) thì phương trình có hai nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) Tất nhiên, các em có thể sử dung cách giải thông thường với phương trình bậc hai. Tìm: \(\Delta = {b^2} - 4ac\) Nếu \(\Delta < 0\) \( \Rightarrow \) phương trình đã cho vô nghiệm. Nếu \(\Delta = 0\) \( \Rightarrow \) phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}\) Nếu \(\Delta > 0\) \( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{4a}}\\{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{4a}}\end{array} \right.\) Nhưng nếu các em làm theo cách thông thường sẽ rất mật thời gian. Mách nhỏ các em một “mẹo” để nhận biết phương trình loại này: Phương trình loại này thường chứa nhiều căn thức trong phương trình, như ở phương trình trên là sự xuất hiện của \(\sqrt 3 \) Lời giải chi tiết: Bài giải chi tiết: a) Giải phương trình: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 = 0\) Phương trình: \({x^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 = 0\) có \(a = 1{;^{}}b = - 1 - \sqrt 3 {;^{}}^{}c = \sqrt 3 \) Do: \(a + b + c = 1 + \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) + \sqrt 3 = 0\). Nên phương trình có \(2\) nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 \end{array} \right.\) Vậy: \(S = \left\{ {1{,^{}}\sqrt 3 } \right\}\) b) Thực hiện phép tính: \(\sqrt {{{\left( {1 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \) Ta có: \(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {1 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\ = \left| {1 - 2\sqrt 3 } \right| - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\sqrt 3 + {1^2}} \\ = - \left( {1 - 2\sqrt 3 } \right) - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \left( {Do:1 - 2\sqrt 3 < 0} \right)\\ = - 1 + 2\sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\\ = - 1 + 2\sqrt 3 - \sqrt 3 + 1\\ = \sqrt 3 \end{array}\)
Câu hỏi 2 : Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 6}}{{x + 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{2\sqrt x - 6}}{{x + 1}}\) với \(x > 0,\;\;x \ne 9.\) Câu 1: Rút gọn biểu thức P.
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức P. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\;x \ne 9.\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x - 6}}{{x + 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{2\sqrt x - 6}}{{x + 1}}\; = \left( {\frac{{x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{x + 1}}\\\;\;\; = \frac{{x - 6 - \left( {\sqrt x + 3} \right) + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\; = \frac{{x - 6 - \sqrt x - 3 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {x - 9} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt x \left( {x - 9} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }}.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm giá trị của x để \(P = 1.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Lấy kết quả của biểu thức P đã rút gọn ở trên. Giải phương trình \(P = 1\) sau đó đối chiếu với điều kiện của x rồi kết luận. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\;x \ne 9.\) \(\begin{array}{l}P = 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 2\sqrt x \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\) Vậy \(x = 1\) thì \(P = 1.\) Chọn D. Câu hỏi 3 : Cho biểu thức \(P = \frac{3}{{\sqrt x + 2}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right).\) Tìm giá trị lớn nhất của \(P.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Từ điều kiện xác định, biến đổi và đánh giá biểu thức để tìm GTLN của biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện \(x \ge 0.\) \(x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow P \le \frac{3}{2}\) Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy \(Max\,P = \frac{3}{2}\) khi \(x = 0.\) Chọn C. Câu hỏi 4 : Có một chàng trai hỏi tuổi của một cô gái để “làm quen” . Cô gái là một người ngoài xinh đẹp như hoa hậu, còn là một người rất đam mê môn Toán. Tuy “tình trong như đã, mặt ngoài còn e” cô gái vẫn suy nghĩ một lúc rồi đưa ra một câu đố như sau: “Tuổi của tôi bằng nghiệm của phương trình: \(\sqrt {4x - 8} - 3\sqrt {\dfrac{{x - 2}}{9}} = 3\) cộng với hai lần kết quả rút gọn của biểu thức sau: \(\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 - 2}}} \right).\sqrt {11 - 4\sqrt 7 } \)” Các bạn hãy giúp chàng trai trả lời xem cô gái đó bao nhiêu tuổi?
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Phương trình: \(\sqrt {4x - 8} - 3\sqrt {\dfrac{{x - 2}}{9}} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x - 2} \right)} - 3\sqrt {\dfrac{{x - 2}}{9}} = 3\)(1) Có điều kiện xác định: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\) \(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2.\sqrt {x - 2} - 3.\frac{{\sqrt {x - 2} }}{3} = 3\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 2} - \sqrt {x - 2} = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} = 3\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2} = {3^2}\\ \Leftrightarrow x - 2 = 9\\ \Leftrightarrow x = 11\left( n \right)\end{array}\) Vậy nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {11} \right\}\) Rút gọn biểu thức: \(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 - 2}}} \right).\sqrt {11 - 4\sqrt 7 } \\ = \left( {\dfrac{{2.\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}} + \dfrac{{1.\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}} \right)\sqrt {{{\sqrt 7 }^2} - 2.2.\sqrt 7 + {2^2}} \\ = \left( {\dfrac{{2.\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}}{2} + \sqrt 5 + 2} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 2} \right)}^2}} \\ = \left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 7 - 2} \right)\\ = \left( {\sqrt 7 + 2} \right)\left( {\sqrt 7 - 2} \right)\\ = 3\end{array}\) Vậy: Tuổi của cô gái đó là: \(11 + 2.3 = 17\) (tuổi) Câu hỏi 5 : Cho biểu thức \(P = \left( {{{x - 2} \over {x + 2\sqrt x }} + {1 \over {\sqrt x + 2}}} \right).{{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\) a) Chứng minh rằng \(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x }}\) b) Tìm \(x\) để \(2P = 2\sqrt x + 5.\)
Đáp án: B Phương pháp giải: +) Quy đồng mẫu các phân thức và biến đổi, rút gọn biểu thức. +) Giải phương trình \(2P = 2\sqrt x + 5,\) tìm \(x\) sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận. Lời giải chi tiết: a) Chứng minh rằng \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) Điều kiện: \(x > 0,x \ne 1\) \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\, = \left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right).\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{x + 2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\end{array}\) Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.\) b) Tìm \(x\) để \(2P = 2\sqrt x + 5\) Điều kiện: \(x > 0,x \ne 1\) \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2P = 2\sqrt x + 5 \Leftrightarrow 2.\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x \Leftrightarrow 2x + 3\sqrt x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - \sqrt x + 4\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right) + 2\left( {2\sqrt x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \frac{1}{2}\\\sqrt x = - 2\,\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) Vậy \(x = \frac{1}{4}\) thì \(2P = 2\sqrt x + 5.\) Câu hỏi 6 : a) Giải phương trình sau: \(\sqrt{4{{x}^{2}}-4x+1}=\left| x-2 \right|\) b) Thu gọn biểu thức sau: \(A=\frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}+2}+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}-\frac{3\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\)
Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: a) Cách 1: \(\begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = \left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = \left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {2x - 1} \right| = \left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 1 = x - 2\\2x - 1 = - x + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - x = - 2 + 1\\2x + x = 2 + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\3x = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\) Cách 2: \(\begin{array}{l}\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = \left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} } \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - {x^2} = 4 - 1\\ \Leftrightarrow 3{x^2} = 3\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1\\ \Leftrightarrow x = \pm 1\end{array}\) Vậy: Nghiệm phương trình là: \(S=\left\{ -1;1 \right\}\) b) \(\begin{array}{l}A = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \frac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\\A = \frac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt 5 \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\\A = \frac{{ - 5 + 3\sqrt 5 }}{1} + \frac{{5 + \sqrt 5 }}{4} - \frac{{ - 15 + 9\sqrt 5 }}{4}\\A = \frac{{ - 20 + 12\sqrt 5 }}{4} + \frac{{5 + \sqrt 5 }}{4} - \frac{{ - 15 + 9\sqrt 5 }}{4}\\A = \frac{{ - 20 + 12\sqrt 5 + 5 + \sqrt 5 + 15 - 9\sqrt 5 }}{4}\\A = \frac{{4\sqrt 5 }}{4}\\A = \sqrt 5 \end{array}\) Câu hỏi 7 : Cho\(\sqrt {x - 1} = 2\), giá trị của \(x\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Giải phương trình chứa căn Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 1.\) \(\sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 4 \Leftrightarrow x = 5\;\;\left( {tm} \right).\) Chọn đáp án D Câu hỏi 8 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Tìm giá trị của \(x\) sao cho biểu thức \(A = x - 1\) có giá trị dương.
Đáp án: A Phương pháp giải: Giải phương bất phương trình \(A > 0\) để tìm \(x.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(A > 0 \Leftrightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1.\) Vậy \(x > 1\) thì \(A\) có giá trị dương. Chọn A. Câu 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị biểu thức \(B = 2\sqrt {{2^2}.5} - 3\sqrt {{3^2}.5} + 4\sqrt {{4^2}.5} .\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}B = 2\sqrt {{2^2}.5} - 3\sqrt {{3^2}.5} + 4\sqrt {{4^2}.5} \\ = 2.2\sqrt 5 - 3.3\sqrt 5 + 4.4\sqrt 5 \\ = 4\sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 16\sqrt 5 = 11\sqrt 5 .\end{array}\) Chọn C. Câu 3: Rút gọn biểu thức: \(C = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2}\) với \(a \ge 0,\,\,a \ne 1.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức hằng đẳng thức, rút gọn từng biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện \(a \ge 0,\,\,a \ne 1.\) \(\begin{array}{l}C = \left( {\frac{{1 - a\sqrt a }}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right){\left( {\frac{{1 - \sqrt a }}{{1 - a}}} \right)^2}\\ = \left[ {\frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a + a} \right)}}{{1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right].{\left[ {\frac{{1 - \sqrt a }}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)}}} \right]^2}\\ = \left( {1 + \sqrt a + a + \sqrt a } \right).{\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right)^2}\\ = \left( {1 + 2\sqrt a + a} \right).{\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right)^2}\\ = {\left( {1 + \sqrt a } \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{1 + \sqrt a }}} \right)^2} = 1.\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 9 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Rút gọn biểu thức \(K = \sqrt 9 + \sqrt {45} - 3\sqrt 5 \).
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|.B\,\,\left( {B \ge 0} \right)\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}K = \sqrt 9 + \sqrt {45} - 3\sqrt 5 \\K = \sqrt {{3^2}} + \sqrt {{3^2}.5} - 3\sqrt 5 \\K = 3 + 3\sqrt 5 - 3\sqrt 5 \\K = 3\end{array}\) Vậy \(K = 3\). Chọn D. Câu 2: Rút gọn biểu thức \(Q = \frac{{x - 4}}{{x + 2}} + \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Quy đồng, rút gọn. Sử dụng hằng đẳng thức. Lời giải chi tiết: Với điều kiện \(x > 0\) ta có: \(\begin{array}{l}Q = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\sqrt x }}\\Q = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}\\Q = \sqrt x - 2 + \sqrt x + 2 = 2\sqrt x \end{array}\) Vậy với \(x > 0\) thì \(Q = 2\sqrt x \). Chọn B. Câu 3: Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 4x + 4} = 3\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Tìm ĐKXĐ. Bình phương hai vế và đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai. Lời giải chi tiết: ĐK: \({x^2} + 4x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng). \(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 4x + 4} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 5x - x - 5 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) - \left( {x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 5 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 5;1} \right\}\). Chọn B. Câu hỏi 10 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Tính giá trị của biểu thức sau: \(A = \sqrt {16} + \sqrt 4 \) \(B = \sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 3} \right) + 3\sqrt 5 \) \(C = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 5} \right)}^2}} + \sqrt 2 \)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(A = \sqrt {16} + \sqrt 4 = 4 + 2 = 6\) \(B = \sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - 3} \right) + 3\sqrt 5 = \sqrt 5 .\sqrt 5 - 3\sqrt 5 + 3\sqrt 5 = 5\) \(\begin{array}{l}C = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 5} \right)}^2}} + \sqrt 2 = \left| {\sqrt 2 - 5} \right| + \sqrt 2 \\\,\,\,\,\, = - \left( {\sqrt 2 - 5} \right) + \sqrt 2 = - \sqrt 2 + 5 + \sqrt 2 = 5\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 2 - 5 < 0} \right)\end{array}\) Chọn D. Câu 2: Giải các phương trình, hệ phương trình sau: \(1)\,{x^2} - 7x + 10 = 0\) \(2)\,{x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\) \(3)\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 7\\2x + 7y = 1\end{array} \right.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: 1) Phân tích đa thức thành nhân tử, giải các phương trình tích. 2) Đặt ẩn \(t = {x^2}\,\left( {t \ge 0} \right)\) rồi giải phương trình ẩn t, tìm t, sau đó tìm x. 3) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}1)\,\,\,{x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 5x + 10 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) - 5\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\) Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;5} \right\}\) \(2)\,\,\,{x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\) Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) khi đó phương trình tương đương với: \(\begin{array}{l}{t^2} - 5t - 36 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 4t - 9t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t + 4} \right) - 9\left( {t + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 9\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Với \(t = 9 \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\) Tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\) \(3)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 7\\2x + 7y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8y = 8\\2x - y = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\2x - 1 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 3\end{array} \right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;1} \right)\) Chọn C. Câu hỏi 11 : Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{x - 3}}}}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: - Biểu thức \(\dfrac{1}{A}\) xác định khi \(A \ne 0\). - Biểu thức \(\sqrt[3]{A}\) xác định với mọi \(A\). Lời giải chi tiết: Biểu thức \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{x - 3}}}}\) xác định khi và chỉ khi \(x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3\). Chọn A. Câu hỏi 12 : Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 6}}{{x + 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{2\sqrt x - 6}}{{x + 1}}\) với \(x > 0,\;\;x \ne 9.\) Câu 1: Rút gọn biểu thức P.
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức P. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{x - 6}}{{x + 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{2\sqrt x - 6}}{{x + 1}}\;\;\;\;\;\left( {x > 0,\;\;x \ne 9} \right)\\\;\;\; = \left( {\frac{{x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right):\frac{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{x + 1}}\\\;\;\; = \frac{{x - 6 - \left( {\sqrt x + 3} \right) + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{x - 6 - \sqrt x - 3 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\\;\;\; = \frac{{\left( {x - 9} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt x \left( {x - 9} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }}.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm giá trị của x để \(P = 1.\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Lấy kết quả của biểu thức P đã rút gọn ở trên. Giải phương trình \(P = 1\) sau đó đối chiếu với điều kiện của x rồi kết luận. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0,\;x \ne 9.\) \(\begin{array}{l}P = 1 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{2\sqrt x }} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 2\sqrt x \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\) Vậy \(x = 1\) thì \(P = 1.\) Chọn D. Câu hỏi 13 :
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết:
Câu hỏi 14 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Tính giá trị của các biểu thức \(M = \sqrt {36} + \sqrt {25} \) \(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 5 \)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|B = \left\{ \begin{array}{l}AB,\,\,A \ge 0\\ - AB,\,\,A < 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: \(M = \sqrt {36} + \sqrt {25} \) \(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 5 \) Ta có: \(M = \sqrt {36} + \sqrt {25} = \sqrt {{6^2}} + \sqrt {{5^2}} = 6 + 5 = 11\) \(N = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 5 = \left| {\sqrt 5 - 1} \right| - \sqrt 5 = \sqrt 5 - 1 - \sqrt 5 = - 1\,\,\left( {Do\,\sqrt 5 - 1 > 0\,\,} \right)\) Chọn B. Câu 2: Cho biểu thức \(P = 1 + \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}},\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) a) Rút gọn biểu thức \(P.\) b) Tìm giá trị của \(x,\) biết \(P > 3.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Phân tích tử thức ra thành nhân tử sau đó rút gọn với mẫu thức. Lời giải chi tiết: a) Rút gọn biểu thức \(P.\) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) ta có: \(P = 1 + \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \sqrt x .\) b) Tìm giá trị của \(x,\) biết \(P > 3.\) \(P > 3 \Leftrightarrow 1 + \sqrt x > 3 \Leftrightarrow \sqrt x > 2 \Leftrightarrow x > 4\) Kết hợp với điều kiện: \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) ta được \(x > 4\) Vậy với \(x > 4\) thì \(P > 3.\) Chọn A. Câu hỏi 15 : Biểu thức \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt {2018} } \right)}^3}}} - \sqrt {2018} \) có giá trị bằng:
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp công thức: \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\,\,\,\,\forall A.\) Lời giải chi tiết: \(\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt {2018} } \right)}^3}}} - \sqrt {2018} = 1 - \sqrt {2018} - \sqrt {2018} = 1 - 2\sqrt {2018} .\) Chọn C Câu hỏi 16 : Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}},\) với \(x > 0.\) Câu 1: Rút gọn biểu thức: \(A.\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0.\) \(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 1}} = \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\frac{{\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\\;\;\; = \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{x} = \frac{{1 - x}}{x}.\end{array}\) Chọn A. Câu 2: Tìm các giá trị của \(x\) để \(A > \frac{1}{2}.\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Dựa vào kết quả rút gọn biểu thức ở câu a), giải bất phương trình \(A > \frac{1}{2}.\) Đối chiếu với điều kiện và kết luận nghiệm \(x.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x > 0.\) Ta có: \(A > \frac{1}{2}\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - x}}{x} - \frac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{2 - 2x - x}}{{2x}} > 0\\ \Leftrightarrow 2 - 3x > 0\;\;\;\left( {do\;\;2x > 0\;\;\forall x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}.\end{array}\) Vậy với \(0 < x < \frac{2}{3}\) thì \(A > \frac{1}{2}.\) Chọn C. Câu hỏi 17 : Chọn đáp án đúng nhất: Câu 1: Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {36} - \sqrt 4 \)
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) Lời giải chi tiết: Ta có \(A = \sqrt {36} - \sqrt 4 = 6 - 2 = 4\) Vậy \(A = 4.\) Chọn C. Câu 2: Tìm \(x\) biết \(\sqrt x = 3\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng \(\sqrt X = m\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow x = {m^2}.\) Lời giải chi tiết: Điều kiện: \(x \ge 0.\) Ta có \(\sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = {3^2} \Leftrightarrow x = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\) Vậy \(x = 9.\) Chọn A. Câu hỏi 18 : Rút gọn biểu thức: Câu 1: \(A = \sqrt {45} - 2\sqrt {20} \)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(A = \sqrt {45} - 2\sqrt {20} = \sqrt {{3^2}.5} - 2\sqrt {{2^2}.5} = \,3\sqrt 5 - 2.2\sqrt 5 = 3\sqrt 5 - 4\sqrt 5 = \, - \sqrt 5 \) Chọn B. Câu 2: \(B = \frac{{3\sqrt 5 - \sqrt {27} }}{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }} - \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {12} } \right)}^2}} \)
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\,\,\,B = \frac{{3\sqrt 5 - \sqrt {27} }}{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }} - \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {12} } \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 5 - 3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }} - \left| {3 - \sqrt {12} } \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{3\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 3 - \sqrt 5 }} - \left( { - 3 + \sqrt {12} } \right)\,\,\left( {do\,\,{3^2} < 12\,\, \Rightarrow 3 < \sqrt {12} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\, = - 3 + 3 - \sqrt {12} \, = - \sqrt {12} \, = - 2\sqrt 3 \end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 19 : Cho \(Q = \sqrt[3]{{{{\left( {a - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2}} \) với \(a \ge \frac{1}{3}\) . Khẳng định nào sau đây đúng ?
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|,\,\,\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}Q = \sqrt[3]{{{{\left( {a - 1} \right)}^3}}} + \sqrt {{{\left( {3a - 1} \right)}^2}} ,\,\,a \ge \frac{1}{3}\\Q = a - 1 + \left| {3a - 1} \right|\\Q = a - 1 + 3a - 1 = 4a - 2\end{array}\) Chọn C. Câu hỏi 20 : Nếu \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(\sqrt {9x - 9} - 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{4}} = 6\) thì \({x_0}\) thỏa mãn điều kiện nào sau đây ?
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B \,\,\left( {B \ge 0} \right)\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} - \sqrt {x - 1} = 6 \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} = 6\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 3 \Leftrightarrow x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 10\end{array}\) Chọn A. Quảng cáo
|
