50 bài tập trắc nghiệm bất phương trình mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm bài

Quảng cáo

Câu hỏi 1 :

Bất phương trình \((16 - {x^2})\sqrt {x - 3}  \le 0\) có tập nghiệm là

  • A \(( - \infty ; - 4] \cup {\rm{[4}}; + \infty )\).
  • B \({\rm{[3}};4].\)
  • C \({\rm{[3}};4].\)
  • D \(\left\{ 3 \right\} \cup {\rm{[4}}; + \infty )\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {16 - {x^2}} \right)\sqrt {x - 3}  \le 0\)         (1)

ĐKXĐ: \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Đặt \(f\left( x \right) = (16 - {x^2})\sqrt {x - 3} \) . Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x \ge 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của phương trình là \(\left\{ 3 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Tam thức \(f(x) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m + 4\) không âm với mọi giá trị của \(x\) khi

  • A \(m < 3\).
  • B \(m \ge 3\).
  • C \(m \le  - 3\).           
  • D \(m \le 3\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn \(\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn \(\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Tam thức \(f(x) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 3m + 4\) không âm với mọi giá trị của \(x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3m + 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + 3m - 4 \le 0\\ \Leftrightarrow m - 3 \le 0 \Leftrightarrow m \le 3.\end{array}\) 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {4 - 3x} \right| \le 8\) là

  • A \(\left( { - \infty ;4} \right].\)                     
  • B \(\left[ { - \frac{4}{3}; + \infty } \right).\)
  • C \(\left[ { - \frac{4}{3};4} \right].\)
  • D \(\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {4 - 3x} \right| \le 8 \Leftrightarrow  - 8 \le 4 - 3x \le 8 \Leftrightarrow  - 4 \le 3x \le 12 \Leftrightarrow  - \frac{4}{3} \le x \le 4\)

Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ { - \frac{4}{3};4} \right]\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Tìm tất cả các giá trị của  tham số \(m\) để  bất  phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm.

  • A \(m \in \left[ {0;28} \right].\)             
  • B \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {28; + \infty } \right).\)  
  • C \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {28; + \infty } \right).\)     
  • D \(m \in \left( {0;28} \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài đoạn \(\left[ {{x_1};\,\,{x_2}} \right]\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong đoạn \(\left[ {{x_1};\,{x_2}} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\\f\left( 0 \right) = 8m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 4 - 32m - 4 < 0\\m \ne \frac{{ - 1}}{8}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 28m < 0\\m \ne \frac{{ - 1}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 28\\m \ne \frac{{ - 1}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 28.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho \(a,b\) là các số thực dương , khi đó tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {ax + b} \right) \ge 0\)  là

  • A \(\left( { - \infty ;a} \right) \cup \left( {\frac{b}{a}; + \infty } \right).\)    
  • B \(\left[ { - \frac{b}{a};a} \right].\)         
  • C \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right] \cup \left[ {a; + \infty } \right).\)          
  • D \(\left( { - \infty ; - b} \right) \cup \left( {a; + \infty } \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu và giải bất phương trình

Lời giải chi tiết:

\(\left( {x - a} \right)\left( {ax + b} \right) \ge 0\)      

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)\left( {ax + b} \right)\) . Ta có a,b là các số thực dương \( \Rightarrow  - \frac{b}{a} < 0 < a\)

Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le  - \frac{b}{a}\\x \ge a\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của phương trình là \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right] \cup \left[ {a; + \infty } \right)\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để với mọi \(x \in \mathbb{R}\), biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1\) luôn nhận giá trị dương?

  • A \(27\)
  • B \(28\)
  • C Vô số
  • D \(26\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

-  Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong khoảng \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0\) với mọi \(x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.\left( {8m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m < 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28\\ \Rightarrow m \in Z \Rightarrow m = \left\{ {1;\;2;\;3;.....;\;27} \right\}.\end{array}\)

Vậy có 27 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{2x - 4}}{{3 - x}} \ge 0\) là

  • A \(\left( {2;3} \right]\)                           
  • B \(\left[ {2;3} \right)\)                          
  • C \(\left( {2;3} \right)\)
  • D \(\left[ {2;3} \right]\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu và giải bất phương trình hoặc giải bất phương bằng công thức:

\(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \le 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{2x - 4}}{{3 - x}} \ge 0\)      ĐKXĐ: \(x \ne 3\)   

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) . Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 2 \le x < 3 \Rightarrow \) Tập nghiệm của phương trình là \(\left[ {2;3} \right).\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {\frac{{3x - 9}}{{x + 1}}} \right| \ge 1\) là

  • A \(\left( { - 1;5} \right]\)                           
  • B \(\left[ {2;5} \right]\)                      
  • C \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\)
  • D \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế, lập bảng xét dấu và giải bất phương trình

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{{3x - 9}}{{x + 1}}} \right| \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{9{x^2} - 54x + 81}}{{{x^2} + 2x + 1}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{8{x^2} - 56x + 80}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \ge 0\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 56x + 80 \ge 0\;\;\left( {do\;\;{{\left( {x + 1} \right)}^2} > 0\;\;\forall x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 8\left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le 2\end{array} \right..\end{array}\)            

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} + 4x - 5}} \le 0\) là

  • A \(\left( { - 5; - 3} \right] \cup \left( {1;3} \right]\)             
  • B \(\left[ { - 5; - 3} \right) \cup \left[ {1;3} \right)\)  
  • C \(\left[ { - 5; - 3} \right] \cup \left[ {1;3} \right]\)
  • D \(\left( { - 5; - 3} \right) \cup \left( {1;3} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \({x^2} + 4x - 5 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 5\end{array} \right.\)

\(\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} + 4x - 5}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} \le 0\)               

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\)  Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 5; - 3} \right] \cup \left( {1;3} \right].\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình: \({x^2} + x - 6 \ge 0\)

  • A \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
  • B \(S = \left( { - 3;\,2} \right)\)
  • C \(S = \left[ { - 3;2} \right]\)
  • D \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Giải BPT bậc hai áp dụng quy tắc xet dấu: “Trong trái, ngoài cùng”.

Lời giải chi tiết:

\({x^2} + x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 3\end{array} \right..\)

Vậy tập nghiệm của BPT là \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để bất phương trình \({x^2} + 2mx + 2m + 3 < 0\) vô nghiệm?

  • A 3
  • B 4
  • C 5
  • D 6

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong khoảng \(\left( {{x_1};\;{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} + 2mx + 2m + 3\).

Để \(f\left( x \right) < 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\;\;\forall m\\{m^2} - 2m - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3.\)

Vậy có 5 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn đề bài.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Bất phương trình \((x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \le 0\) có tập nghiệm là:

  • A \(\left[ { - 1;1} \right]\). 
  • B \(\left[ { - \frac{4}{3}; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\). 
  • C \(\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\). 
  • D \(\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right].\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu, giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\((x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) \le 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right)\) .

Xét phương trình : \(3{x^2} + 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \frac{4}{3}\end{array} \right..\)   

Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(m{x^2} - 2mx - 1 \ge 0\) vô nghiệm là :

  • A \(m \in \emptyset \)                        
  • B \(m <  - 1\)       
  • C \( - 1 < m < 0\)
  • D \( - 1 < m \le 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số \(a.\)

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài khoảng \(\,\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong khoảng \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình \(m{x^2} - 2mx - 1 \ge 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx - 1 < 0\,\,\,\forall x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' = {m^2} + m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 1 < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < m < 0.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}} \ge 0\) là:

  • A \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
  • B \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).        
  • C \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).         
  • D \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu, giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{2x + 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} \ge 0\)            ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Đặt  \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\) . Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Tìm các giá trị m để bất phương trình:\(\left( {2m + 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + m + 1 > 0\) vô nghiệm.

  • A \( - 5 \le m \le  - \frac{1}{2}\)     
  • B \( - 5 \le m \le  - 1\)
  • C \(m \ge  - 1 \vee m \le  - 5.\)                   
  • D \(1 \le m \le 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\) thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình:\(\left( {2m + 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + m + 1 > 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){x^2} - 3\left( {m + 1} \right)x + m + 1 \le 0\) có nghiệm với mọi \(m\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 < 0\\\Delta  = 9{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {2m + 1} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\9{m^2} + 18m + 9 - 8{m^2} - 12m - 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\{m^2} + 6m + 5 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\\left( {m + 1} \right)\left( {m + 5} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\ - 5 \le m \le  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 5 \le m \le  - 1.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x - 21}  \le x - 3\) là:

  • A \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {7;15} \right)\)          
  • B \(\left[ {3;15} \right]\)        
  • C \(\left[ { - 3;3} \right) \cup \left[ {7;15} \right]\)     
  • D \(\left[ {7;15} \right]\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\sqrt {f\left( x \right)}  \le g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) \le {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt {{x^2} - 4x - 21}  \le x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 21 \ge 0\\x - 3 \ge 0\\{x^2} - 4x - 21 \le {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 3} \right)\left( {x - 7} \right) \ge 0\\x \ge 3\\2x \le 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le  - 3\\x \ge 7\end{array} \right.\\x \ge 3\\x \le 15\end{array} \right. \Leftrightarrow 7 \le x \le 15\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của BPT là: \(S = \left[ {7;15} \right].\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tìm các giá trị m để bất phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m + 3 \ge 0\) có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

  • A \( - 1 \le m \le 3\).        
  • B \(m \le  - 1 \vee m \ge 3.\)
  • C \(m <  - 2 \vee m > 3.\)      
  • D \( - 3 \le m \le 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

\(f\left( x \right) \ge 0\) có nghiệm với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình: \({x^2} - 2mx + 2m + 3 \ge 0\) có nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2m - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Định \(m\) để biểu thức sau luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 1 - m\)

  • A \(m > \frac{7}{3}\)
  • B \(m < 2\)
  • C \(m > 2\)
  • D \(2 < m < \frac{7}{3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng  \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right)\)  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Định m để biểu thức sau luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) : \(f\left( x \right) = \left( {2 - m} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 1 - m\)

+) Với \(2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\) biểu thức có dạng :

\(f\left( x \right) =  - 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right).\) 

+) Với \(2 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\)

Để biểu thức luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {2 - m} \right)\left( {1 - m} \right) < 0\\2 - m < 0\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 - 2 + 3m - {m^2} < 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3m + 7 < 0\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{7}{3}\\m > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{7}{3}\)

Vậy với \(m > \frac{7}{3}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\) có tập nghiệm là \(\left( { - m - 2; + \infty } \right)\).

  • A \(m = 2\)
  • B \(m \ne 2\)
  • C \(m > 2\)
  • D \(m < 2\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Để bất phương trình dạng \(ax + b > 0\,\,\left( { < 0,\,\, \ge 0,\,\, \le 0} \right)\) có tập nghiệm là 1 tập con của \(a \ne 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\\ \Leftrightarrow mx + {m^2} + x > 3x + 4\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x >  - {m^2} + 4\end{array}\)

Để bất phương trình có tập nghiệm là 1 tập con của \(\mathbb{R} \Leftrightarrow m - 2 \ne 0\).

+) \(m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2\).

\(Bpt \Leftrightarrow x > \dfrac{{ - {m^2} + 4}}{{m - 2}} =  - m - 2\).

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình \(\left( { - m - 2; + \infty } \right)\) (tm).

Vậy \(m > 2\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \(mx + 6 < 2x + 3m\) với \(m < 2\). Hỏi tập hợp nào sau đây là phần bù của tập hợp \(S\)?

  • A \(\left( {3; + \infty } \right)\)
  • B \(\left[ {3; + \infty } \right)\)
  • C \(\left( { - \infty ;3} \right)\)
  • D \(\left( { - \infty ;3} \right]\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dựa vào giả thiết \(m < 2\) xác định tập nghiệm của bất phương trình sau đó tìm phần bù.

Lời giải chi tiết:

\(mx + 6 < 2x + 3m \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)x < 3m - 6\).

Do \(m < 2 \Rightarrow m - 2 < 0\). Khi đó bất phương trình \( \Leftrightarrow x > \dfrac{{3m - 6}}{{m - 2}} = \dfrac{{3\left( {m - 2} \right)}}{{m - 2}} = 3\).

\( \Rightarrow S = \left( {3; + \infty } \right) \Rightarrow \) phần bù của tập hợp \(S\) là \(\left( { - \infty ;3} \right]\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình: \(mx + 4 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) thỏa mãn \(\left| x \right| < 8.\)

  • A \(m \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right]\)
  • B \(m \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\)
  • C \(m \in \left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)       
  • D \(m \in \left[ { - \frac{1}{2};0} \right) \cup \left( {0;\frac{1}{2}} \right]\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chia các trường hợp \(m > 0,m < 0,m = 0\) để biện luận bất phương trình sau đó kết hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow  - 8 < x < 8.\)

\(mx + 4 > 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Với \(m > 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x > \frac{{ - 4}}{m}.\)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) thỏa mãn \( - 8 < x < 8\) thì \(\frac{{ - 4}}{m} \le  - 8 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}.\)

Vậy \(0 < m \le \frac{1}{2}\) thỏa mãn.

Với \(m < 0 \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x < \frac{{ - 4}}{m}.\)

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\) thỏa mãn \( - 8 < x < 8\) thì \(\frac{{ - 4}}{m} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge  - \frac{1}{2}.\)

Vậy \( - \frac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn.

Với \(m = 0 \Rightarrow \) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 > 0,\) luôn đúng với mọi \(x.\) Thỏa mãn.

Vậy tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(\left[ {\frac{{ - 1}}{2};\frac{1}{2}} \right].\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Số nghiệm nguyên của bất phương trình: \(\left| {2x - 3} \right| \le 5\) là:

  • A \(7\)
  • B \(4\)
  • C \(6\)
  • D \(5\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối:\(\left| {f\left( x \right)} \right| \le A\,\,\,\left( {A \ge 0} \right) \Leftrightarrow  - A \le f\left( x \right) \le A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {2x - 3} \right| \le 5 \Leftrightarrow  - 5 \le 2x - 3 \le 5\)\( \Leftrightarrow  - 2 \le 2x \le 8 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 4\)

Lại có: \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị \(m\) để bất phương trình \({x^2} - 2mx + 5m - 8 \le 0\) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) sao cho \(b - a = 4\). Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng:

  • A \(-5\)  
  • B \(1\)  
  • C \(5\)  
  • D \(8\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng Vi-ét để tính \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Để bất phương trình \({x^2} - 2mx + 5m - 8 \le 0\) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) sao cho \(b - a = 4\)

\( \Leftrightarrow \) Phương trình  \({x^2} - 2mx + 5m - 8 = 0\)   (1)  có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = b > {x_2} = a\) sao cho  \({x_1} - {x_2} = 4\)

\(\Delta ' = {m^2} - 5m + 8 = {\left( {m - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\) với mọi m

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 5m - 8\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}{x_1} - {x_2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {5m - 8} \right) = 16 \Leftrightarrow 4{m^2} - 20m + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ {1;4} \right\}.\end{array}\)

 Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng \(1 + 4 = 5\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3m{x^2} - mx - 2m\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 2\) (\(m\) là tham số thực). Biết \(f\left( x \right) \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

  • A \(m \in \emptyset \)
  • B \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).  
  • C \(m \in \left( {0;\dfrac{5}{4}} \right)\). 
  • D \(m \in \left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3m{x^2} - mx - 2m\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 2\\f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 2 + m\left( {3{x^2} - x - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left( {3{x^2} - x - 2 + 2 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - 1} \right)} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\dfrac{{{x^2} - x + 1 - 1}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - 2{x^2} - 2x - 2} \right) + m\left[ {\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right]\\f\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} - x - 1} \right) + m\left( {x - 1} \right)\left( {3x + 2 - \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right)\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {2\left( {{x^3} - {x^2} - x - 1} \right) + m\left( {3x + 2 - \dfrac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1}}} \right)} \right]\\f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)g\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Điều kiện cần: \(g\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4 + m\left( {5 - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4 + 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Điều kiện đủ:

Khi \(m = 1\) ta có

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2} - x - 2\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 2\\f\left( x \right) = 2{x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + {x^2} - x + 1 - 2\sqrt {{x^2} - x + 1}  + 1\\f\left( x \right) = 2{x^2}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array}\)

Vậy \(m = 1\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {{x^2} + 8x + 14} \right) - m + 2017 = 0\) có nghiệm thỏa mãn \({x^2} + 6x + 6 \le 0\).

  • A \(m \in \left[ {2013;2018} \right]\).
  • B \(m \in \left[ {2013;2017} \right]\).
  • C \(m \in \left[ {2014;2017} \right]\).
  • D \(m \in \left[ {2014;2016} \right]\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tách VT, đưa về hằng đẳng thức \(VT \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9 - 2x - 6} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9 + 2x + 6} \right) - m + 2017\)

+) Đặt ẩn phụ \(t = {\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\), từ điều kiện \({x^2} + 6x + 6 \le 0\) tìm điều kiện của t.

+) Cô lập m, ta được \(f\left( t \right) = m\). Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {{x^2} + 8x + 14} \right) - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9 - 2x - 6} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9 + 2x + 6} \right) - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 6x + 9} \right)^2} - {\left( {2x + 6} \right)^2} - m + 2017 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^4} - 4{\left( {x + 3} \right)^2} - m + 2017 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\), khi đó phương trình trở thành \({t^2} - 4t - m + 2017 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 2017 = m\).

Ta có: \({x^2} + 6x + 6 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 \le 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} \le 3 \Leftrightarrow t \le 3\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left( {0 \le t \le 3} \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t + 2017\,\,\left( {t \le 3} \right)\) ta có BBT :

Dựa vào BBT ta có : để phương trình có nghiệm \(t \in \left[ {0;3} \right]\) thì \(2013 \le m \le 2017\).

Vậy \(m \in \left[ {2013;2017} \right]\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x}  \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\) là \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó giá trị của biểu thức \(P = 3a - 2b\) bằng :

  • A 1
  • B -2
  • C 2

     

  • D 4

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nhân liên hợp với biểu thức ở VT, chuyển vế, đưa bất phương trình về dạng tích.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \( - 2 \le x \le 2\).

Với điều kiện trên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x}  \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {2x + 4}  - 2\sqrt {2 - x} } \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} } \right)}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4 - 4\left( {2 - x} \right)}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x - 4}}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} \ge \dfrac{{6x - 4}}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \left( {6x - 4} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right) \ge 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có \(5\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 5 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \le \dfrac{1}{5} \Rightarrow  - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge  - \dfrac{1}{5}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :

\(\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x}  = \sqrt 2 \sqrt {x + 2}  + 2\sqrt {2 - x}  \le \sqrt {\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}} \right]\left( {x + 2 + 2 - x} \right)}  = \sqrt {6.4}  = 2\sqrt 6  < 5\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} > \dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 4}  + 2\sqrt {2 - x} }} - \dfrac{1}{{5\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0\end{array}\) 

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow 6x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\).

Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {\dfrac{2}{3};2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{3}\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow P = 3a - 2b =  - 2\).

Chọn B.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \({m^2}\left( {x - 2} \right) - mx + x + 5 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2018;2} \right]\).

  • A \(m < \dfrac{7}{2}\)
  • B \(m = \dfrac{7}{2}\)
  • C \(m > \dfrac{7}{2}\)
  • D \(m \in \mathbb{R}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình.

+) Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2018;2} \right]\) \( \Rightarrow \left[ { - 2018;2} \right] \subset S\).

Lời giải chi tiết:

\({m^2}\left( {x - 2} \right) - mx + x + 5 < 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m + 1} \right)x < 2{m^2} - 5\)

Vì \({m^2} - m + 1 = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0\,\,\forall m\)

Do đó \(bpt \Leftrightarrow x < \dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}}\) \( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}}} \right)\).

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2018;2} \right]\) \( \Rightarrow \left[ { - 2018;2} \right] \subset S\).

\( \Rightarrow 2 < \dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}} \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m + 2 < 2{m^2} - 5 \Leftrightarrow  - 2m <  - 7 \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{2}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left| {x + 1} \right| + \left| x \right| < 3\) là:

  • A \(4\)  
  • B \(1\)  
  • C \(3\)  
  • D \(2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\left| {f\left( x \right)} \right| < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\{f^2}\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {x + 1} \right| + \left| x \right| < 3 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + {x^2} + 2\left| x \right|\left| {x + 1} \right| < 9 \Leftrightarrow \left| x \right|\left| {x + 1} \right| <  - {x^2} - x + 4\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - x + 4 > 0\\{x^2}\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) < {x^4} + {x^2} + 16 + 2{x^3} - 8{x^2} - 8x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2} < x < \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\\ - 8{x^2} - 8x + 16 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2} < x < \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\\ - 2 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < x < 1.\end{array}\)

 Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {x - 1}  \le \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \) là:

  • A \(\{ 1\}  \cup [4; + \infty )\)
  • B \(( - \infty ;1] \cup [3; + \infty )\)
  • C \(( - \infty ;1] \cup [4; + \infty )\)
  • D \([4; + \infty )\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt điều kiện để bất phương trình có nghĩa sau đó bình phương hai vế để giải BPT.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.\)

 \(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  \le \sqrt {{x^2} - 4x + 3}  \Leftrightarrow x - 1 \le {x^2} - 4x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge 4\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Bất phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) \ge 0\) có tập nghiệm S là:

  • A \(S = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)        
  • B \(S = \left[ {6; + \infty } \right)\)                       
  • C \(S = \left( {6; + \infty } \right)\)      
  • D \(S = \left[ {6; + \infty } \right) \cup \left\{ 1 \right\}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu để giải BPT.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 6\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left[ {6, + \infty } \right) \cup \left\{ 1 \right\}\)      

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Bất phương trình \(\frac{1}{{x - 2}} \ge 1\) có tập nghiệm \(S\) là:

  • A \(S = \left( { - \infty ;3} \right]\)
  • B \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\)      
  • C \(S = \left( {2;3} \right]\)            
  • D \(S = \left[ {2;3} \right]\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Chuyển vế để được bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) từ đó giải tìm \(x\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne 2\)      

\(\frac{1}{{x - 2}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 2}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - x}}{{x - 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{x - 2}} \le 0 \Leftrightarrow 2 < x \le 3\)

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left( {2;3} \right]\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Tìm tất cả các giá trị \(m\) để bất phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4m + 8 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

  • A \(\left[ \begin{array}{l}m > 7\\m <  - 1\end{array} \right.\).           
  • B \(\left[ \begin{array}{l}m \ge 7\\m \le  - 1\end{array} \right.\) .                         
  • C \( - 1 \le m \le 7\) .                  
  • D \( - 1 < m < 7\).    

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

-  Nếu \(\Delta  < 0\) thì với mọi \(x,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu \(\Delta  = 0\)thì \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\), với mọi \(x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)\) có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu \(\Delta  > 0\),\(f\left( x \right)\)có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)\) và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng \(\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {4m + 8} \right) = {m^2} - 6m - 7\)

Bất phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4m + 8 \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 7 \le 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 7} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 7\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Nghiệm của bất phương trình \(\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }} \le 0\) là:

  • A \(x \le \frac{1}{3}\).                      
  • B \( - 2 < x < \frac{1}{3}\).
  • C \(\left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{1}{3}\\x \ne  - 2\end{array} \right.\). 
  • D \( - 2 < x \le \frac{1}{3}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ, giải bất phương trình và kết hợp ĐKXĐ.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x + 2 > 0 \Leftrightarrow x >  - 2\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 1}}{{\sqrt {x + 2} }} \le 0 \Rightarrow 3x - 1 \le 0\,\,\,\left( {do\,\,\sqrt {x + 2}  > 0\,\,\,\forall x >  - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 3x \le 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}.\end{array}\)  

Kết hợp  ĐKXĐ \( \Rightarrow  - 2 < x \le \frac{1}{3}\)   

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {2x + 1} \right| < x + 2\) là:

  • A \(\left( {0; + \infty } \right)\)                
  • B \(\left( {1; + \infty } \right)\)                             
  • C \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)                      
  • D \(\left( { - 1;1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\left| {f\left( x \right)} \right| < g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) > 0\\{f^2}\left( x \right) < {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\left| {2x + 1} \right| < x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\{\left( {2x + 1} \right)^2} < {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\4{x^2} + 4x + 1 < {x^2} + 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\3{x^2} - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 2\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < 1\)

Vậy tập nghiệm của BPT là \(\left( { - 1;1} \right).\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Giải hệ bất phương trình: \(2 \le \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5\)

  • A \(\left( {3; + \infty } \right)\)
  • B \(\left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)
  • C \(\left( { - \infty ;\,\,3} \right) \cup \left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)
  • D \(\left( {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(2 \le \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2\,\,\,\,(1)\\\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Giải từng bất phương trình sau đó lấy giao các tập hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(2 \le \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2\,\,\,\,(1)\\\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \le 5\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Tập xác định:  \(D = R\backslash \left\{ 3 \right\}.\)

Giải (1) ta có:

\(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x - 3}} - 2 \ge 0 \\ \Leftrightarrow \frac{{2x + 1 - 2x + 6}}{{x - 3}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{7}{{x - 3}} \ge 0 \Leftrightarrow x > 3\)

Vậy tập nghiệm của (1) là \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Giải (2) ta có tập nghiệm là: \(\left( { - \infty ;3} \right) \cup \left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của hệ là: \(\left[ {\frac{{16}}{3}; + \infty } \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Tìm \(m\) để bất phương trình \({m^2}x + 1 > \left( {x + 1} \right)m\) vô nghiệm.

  • A \(m = 1.\)
  • B \(m = 0\) và \(m = 1.\)
  • C Không có \(m.\)       
  • D \(m = 0.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Bất phương trình \(ax + b > 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \le 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{m^2}x + 1 > \left( {x + 1} \right)m \Leftrightarrow {m^2}x - mx - m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)x - m + 1 > 0\,\,\,\left( * \right)\,\end{array}\)

Bất phương trình vô nghiệm \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 1} \right) = 0\\ - m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {x - 2} \right| > x + 1\) là

  • A \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right).\)
  • B \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right).\)       
  • C \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
  • D \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\left| A \right| > B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B < 0\\\left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\{A^2} > {B^2}\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| > x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} > {\left( {x + 1} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\4 - 4x > 2x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\6x < 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x < \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - 1\\ - 1 \le x < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Bất phương trình \((x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \le 0\) có tập nghiệm là:

  • A \(\left[ { - 1;1} \right]\). 
  • B \(\left[ { - \frac{4}{3}; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\). 
  • C \(\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\). 
  • D \(\left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right].\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu, giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\((x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) \le 0\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 7x + 4} \right)\) .

Xét phương trình : \(3{x^2} + 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - \frac{4}{3}\end{array} \right..\)   

Ta có bảng:

Vậy \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Bất phương trình \(\left| {{x^2} - 2x + 2} \right| > 1\) có nghiệm:

  • A \(x = 1\)           
  • B \(x < 1\)           
  • C \(x > 1\)           
  • D \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| A \right| > a\,\,\,\left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A > a\\A <  - a\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left| {{x^2} - 2x + 2} \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 2 > 1\\{x^2} - 2x + 2 <  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 > 0\\{x^2} - 2x + 3 < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} > 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 < 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\end{array}\)

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne 1.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Giải bất phương trình: \(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}.{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left| {3x + 4} \right|}} \ge 0\) ta được:

  • A \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = 2\end{array} \right.\)    
  • B \(\left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x =  - \frac{4}{3}\end{array} \right.\)                                 
  • C

    \(x \ge 1\)                     

  • D \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{4}{3}\\x \ge 1\end{array} \right.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu và đánh giá biểu thức giá trị tuyệt đối rồi giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(3x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - \frac{4}{3}.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3x + 4} \right| > 0\,\,\forall x \ne  - \frac{4}{3}\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}.{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left| {3x + 4} \right|}} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} \ge 0\)\( \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[ {1; + \infty } \right).\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Bất phương trình:\(\frac{{3{x^2} - 9x}}{{{x^2} - 5x + 6}} > 0\) có tập nghiệm là:

  • A \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)            
  • B \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)  
  • C \(\left( {0;2} \right)\)               
  • D \(\left( {0;2} \right) \cup \left( {2;3} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định sau đó giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({x^2} - 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3{x^2} - 9x}}{{{x^2} - 5x + 6}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{3x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{x}{{x - 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < 0\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left| {{x^2} - 3} \right| + \left| {4 - {x^2}} \right| \le 3{x^2} - 12\)  là:

  • A Vô số   
  • B \(1\)      
  • C \(2\)                  
  • D \(0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất để tìm điều kiện và bỏ dấu giá trị tuyệt đối sau đó giải bất phương trình trong từng trường hợp.

Giải bất phương trình sau đó ta cần tìm các nghiệm nguyên của bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

\(\left| {{x^2} - 3} \right| + \left| {4 - {x^2}} \right| \le 3{x^2} - 12\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \({x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\x =  - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

\(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 2\end{array} \right..\)

Ta có bảng xét dấu:

TH1: Với \(\left\{ \begin{array}{l}x <  - 2\\x \ge 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 3} \right| = {x^2} - 3\\\left| {4 - {x^2}} \right| = {x^2} - 4\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3 + {x^2} - 4 \le 3{x^2} - 12\\ \Leftrightarrow {x^2} \ge 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \sqrt 5 \\x \le  - \sqrt 5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\end{array}\)

TH2: Với \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 \le x <  - \sqrt 3 \\\sqrt 3  \le x < 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 3} \right| = {x^2} - 3\\\left| {4 - {x^2}} \right| = 4 - {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 3 + 4 - {x^2} \le 3{x^2} - 12\\ \Leftrightarrow 3{x^2} \ge 13 \Leftrightarrow {x^2} \ge \frac{{13}}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{\sqrt {39} }}{3}\\x \le  - \frac{{\sqrt {39} }}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \emptyset .\end{array}\)

TH3: Với \( - \sqrt 3  \le x < \sqrt 3  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{x^2} - 3} \right| = 3 - {x^2}\\\left| {4 - {x^2}} \right| = 4 - {x^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3 - {x^2} + 4 - {x^2} \le 3{x^2} - 12\\ \Leftrightarrow 5{x^2} \ge 19 \Leftrightarrow {x^2} \ge \frac{{19}}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{\sqrt {95} }}{5}\\x \le  - \frac{{\sqrt {95} }}{5}\end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \emptyset .\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(S = \left( { - \infty ; - \sqrt 5 } \right] \cup \left[ {\sqrt 5 ; + \infty } \right).\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho \(f(x) = m{x^2} - 2(m - 2)x + m - 3\) . Tìm m để \(f\left( x \right) \le 0\forall x \in R\)

 

  • A \(m \le  - 2\)  
  • B \(m = 0\) 
  • C \(m \ge  - 2\) 
  • D Không tồn tại \(m.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với \(a = m = 0\) thì:

\(f\left( x \right) = 4x - 3\) , do đó không thể có \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\)

Trường hợp 2: Với \(a = m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai nên để \(f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R\) điều kiện là:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} - m\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} - 4m + 4 - {m^2} + 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\4 - m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset .\end{array}\)  

Vậy không tồn tại \(m\) thoả mãn điều kiện đầu bài.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Để \(A = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{x - 1}} \le 0\) thì x thuộc:

  • A \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) 
  • B \(\left[ {1;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) 
  • C \(\left( {2;3} \right)\)  
  • D \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left[ {2;4} \right]\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = 4\\x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Từ đó ta có bảng xét dấu:

 

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho bất phương trình \({x^2} + 4x + 3 + m \le 0\) . Với giá trị nào của m thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2: 

 

  • A \(m = 1\)  
  • B \(m = 0\)
  • C \(m = 3\)   
  • D \(m =  - 3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\)

Tức là:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left| {\frac{{2\sqrt {{\Delta'}} }}{a}} \right| = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\\sqrt {1 - m}  = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Cho bất phương trình: \({x^2} - \left( {4a + 3} \right)x + 3{a^2} + 9a < 0.\) Để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ {1;3} \right]\), điều kiện của \(a\) là:

  • A \(0 \le a \le \frac{1}{3}\)    
  • B \(\frac{1}{3} \le a \le \frac{2}{3}\)      
  • C \(\frac{2}{3} \le a \le 1\)   
  • D \(1 \le a \le \frac{3}{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\({x^2} - \left( {4a + 3} \right)x + 3{a^2} + 9a < 0.\)

Tam thức bậc hai ở vế trái có hai nghiệm 3a và a+3 (\(a \ne \frac{3}{2}\) )

Nếu \(a > \frac{3}{2}\) thì điều kiện của đề thoả khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + 3 \le 1\\3a \ge 3\end{array} \right.\)  hệ này vô nghiệm.

Nếu \(a < \frac{3}{2}\) thì điều kiện của đề thoả khi \(\left\{ \begin{array}{l}a + 3 \ge 3\\3a \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le a \le \frac{1}{3}\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Tìm x sao cho \(\dfrac{{11{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} + 5x + 6}} < x\)

  • A \(\left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
  • B \(\left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( {1;2} \right)\)
  • C \(\left( { - 3; - 2} \right)\)
  • D \(\left[ {1;2} \right]\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chuyển vế, quy đồng, xét dấu.

Lời giải chi tiết:

Biến đổi bất phương trình về dạng:

\(\dfrac{{11{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} + 5x + 6}} - x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{{x^2} + 5x + 6}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{x^2} + 5x + 6}} > 0\)

Bảng xét dấu:

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}}\) là:

  • A \(D=\left[ -\frac{1}{3};3 \right]\)                                           
  • B \(D=\left( -\infty ;-\frac{1}{3} \right]\cup \left[ 3;+\infty  \right)\)
  • C  \(D=\left( -\frac{1}{3};3 \right)\)                                         
  • D  \(D=\left( -\infty ;-\frac{1}{3} \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Điều kiện xác định của hàm số là \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\) Giải bất phương trình \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hàm số là \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\)

Giải bất phương trình \(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\)

Vì \({{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}>0\)  nên ta có

\(\frac{{{x}^{2}}+x+1}{\left| 2x-1 \right|-x-2}\ge 0\Leftrightarrow \left| 2x-1 \right|-x-2>0\)

TH1: Nếu \(2x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}\) ta có \(\left| 2x-1 \right|-x-2>0\Leftrightarrow 2x-1-x-2>0\Leftrightarrow x-3>0\Leftrightarrow x>3\)(thỏa mãn điều kiện)

TH2: Nếu \(2x-1<0\Leftrightarrow x<\frac{1}{2}\) ta có \(\left| 2x-1 \right|-x-2>0\Leftrightarrow -2x+1-x-2>0\Leftrightarrow -3x-1>0\Leftrightarrow x<-\frac{1}{3}\)(thỏa mãn điều kiện) 

Kết hợp hai TH ta có tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left( -\infty ;-\frac{1}{3} \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\left( -\infty ;-\frac{1}{3} \right)\cup \left( 3;+\infty  \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Để phương trình \(\left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt, giá trị của tham số m là:

  • A \(0 < m < \frac{9}{4}\)
  • B \(1 < m < 2\)  
  • C \( - \frac{9}{4} < m < 0\)
  • D \( - 2 < m < 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tương giao giữa hai đồ thị hàm số.

Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) + m = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right)\) và đường thẳng \(y =  - m\).

Lời giải chi tiết:

Dùng phương pháp đồ thị:

Xét tương giao của hai đường:

\(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right)\)  và \(y =  - m\)

\(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2{\rm{           }}(x \ge 2)\\ - \left( {{x^2} - x - 2} \right){\rm{    }}(x \le 2)\end{array} \right.\)

Ta có đồ thị :

Từ đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right)\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow 0 <  - m < \frac{9}{4} \Leftrightarrow  - \frac{9}{4} < m < 0.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(x+1+\sqrt{{{x}^{2}}-4x+1}\ge 3\sqrt{x}\) có dạng \(S=\left[ a;b \right]\cup \left[ c;+\,\infty  \right),\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực dương. Tính tổng \(P=2a+4b-c.\)

  • A

     \(P=1.\)              

  • B

     \(P=-\,3.\)         

  • C

     \(P=0.\)              

  • D  \(P=-\,2.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ của tổng hai căn, biến đổi ra tích, đưa về giải bất phương trình cơ bản

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(0\le x\le 2-\sqrt{3}\) hoặc \(x\ge 2+\sqrt{3}\)             \(\left( * \right).\)

Nhận xét: \(x=0\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Với \(x>0,\) bất phương trình đã cho tương đương với: \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}-4}\ge 3\)       \(\left( 1 \right).\)

Đặt \(t=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+\frac{1}{x}+2\) bất phương trình

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6}  \ge 3 - t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{t^2} - 6 \ge 0\\3 - t < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}3 - t \ge 0\\{t^2} - 6 \ge {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t > 3\\t \ge \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge \frac{5}{2}.\)

Khi đó \(\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  \ge 2\\\sqrt x  \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \le \frac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left[ 0;\frac{1}{4} \right]\cup \left[ 4;+\,\infty  \right)\)\(\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align}  a=0 \\  4b=1 \\  c=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,P=-\,3.\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Quảng cáo
close