40 bài tập trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao

Làm bài

Quảng cáo

Câu hỏi 1 :

Với \(n \in N*\), ta xét các mệnh đề: P: \(''{7^n} + 5\) chia hết cho 2”; Q: “\({7^n} + 5\) chia hết cho 3” và R: “\({7^n} + 5\) chia hết cho 6”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

  • A 3
  • B 0
  • C 1
  • D 2

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho 6.

Lời giải chi tiết:

Bằng quy nạp toán học ta chứng minh được \({7^n} + 5\) chia hết cho 6.

Thật vậy, với n = 1 ta có: \({7^1} + 5 = 12\,\, \vdots \,\,6\)

Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là \({7^k} + 5\) chia hết cho 6, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh \({7^{k + 1}} + 5\) chia hết cho 6.

Ta có: \({7^{k + 1}} + 5 = 7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\)

Theo giả thiết quy nạp ta có \({7^k} + 5\) chia hết cho 6, và 30 chia hết cho 6 nên \(7\left( {{7^k} + 5} \right) - 30\) cũng chia hết cho 6.

Do đó mệnh đề đúng với n = k + 1.

Vậy \({7^n} + 5\) chi hết cho 6 với mọi \(n \in N*\).

Mọi số chia hết cho 6 đều chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Do đó cả 3 mệnh đề đều đúng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Biểu thức nào sau đây cho ta tập giá trị của tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + … - 2n + (2n + 1).

  • A 1
  • B 0
  • C 5
  • D \(n+1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng S sau đó chứng minh công thức vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 0 ta có: S = 1

Với n = 1 ta có S = 1 – 2 + 3 = 2

Với n = 2 ta có S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3

Dự đoán S = n + 1 (*), ta sẽ chứng minh (*) đúng bằng quy nạp.

Với n = 0 đương nhiên (*) đúng.

Giả sử (*) đúng với n = k, tức là \({S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1\), ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1.

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)  \cr   &  = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1. \cr} \).

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên n. Tức là S = n + 1.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Với mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\) là:

  • A \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)} \over 6}\)
  • B \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 3}\)       
  • C \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 2}\)
  • D đáp số khác

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1.2 = 2\), do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh \({S_n} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 3}\,\,\left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương n.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 3},\) ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 3},\)

Ta có:  

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)  \cr   &  = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)} \over 3}. \cr} \)

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Với mọi số tự nhiên n, tổng \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho:

  • A 3
  • B 4
  • C 5
  • D 7

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 0 ta có: \({S_0} = 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3\) cũng chia hết cho 3.

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12  \cr   &  = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right) \cr} \)

Có: \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, \(3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\), do đó \({S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\).

Vậy \({S_n}\,\, \vdots \,\,3\) với mọi số tự nhiên n.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên n thỏa \(n \ge 3\) thì:

  • A \({2^n} < n\)
  • B \({2^n} < 2n\)
  • C \({2^n} < n + 1\)
  • D \({2^n} > 2n + 1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn \(n \ge 3\) và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 3 ta loại được đáp án A, B và C.

Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức \({2^n} > 2n + 1\) đúng với n = 3 vì 8 > 7.

Giả sử bất đẳng thức đúng đến \(n = k \ge 4\), tức là \({2^k} > 2k + 1\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({2^{k + 1}} > 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3.\)

Ta có: \({2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2\left( {2k + 1} \right) = 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1.\) Vì \(k \ge 4 \Rightarrow 2k - 1 \ge 7 > 0 \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2k + 3\)

Do đó bất đẳng thức đúng đến n = k + 1. Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Với mọi số nguyên dương n thì \({S_n} = {n^3} + 2n\) chia hết cho

  • A 3
  • B 2
  • C 4
  • D 7

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có:\({S_1} = {1^3} + 2.1 = 3\) chia hết cho 3, ta sẽ chứng minh S­ chia hết cho 3 với mọi n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 2k\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 2\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 3.

Ta có: \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 2\left( {k + 1} \right) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 2k + 2 = \left( {{k^3} + 2k} \right) + 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\)

Có: \(\left( {{k^3} + 2k} \right)\,\, \vdots \,\,3\) (theo giả thiết quy nạp), \(3\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow 3\left( {{k^2} + k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3.\)

Vậy Sn chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Sử dụng phương pháp quy nạp Toán học để chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\). Ở bước 1, chứng minh quy nạp ta kiểm tra mệnh đề đã cho đã đúng với:

  • A  \(n = 0\).                                
  • B \(n \ge 1\).                               
  • C \(n > 1\).                                 
  • D  \(n = 1\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ở bước 1, chứng minh quy nạp ta kiểm tra mệnh đề đã cho đã đúng với \(n = 1\).

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

  • A \(n = p\)
  • B \(n = 1\)
  • C \(n = k\,\,(k \ge p)\)
  • D \(n = k + 1\,(k \ge p)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với \(n = p\)        

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A \(k > p\)
  • B \(k \ge p\)
  • C \(k = p\)
  • D \(k < p\)  

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khi đó \(k \ge p\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 3 ta chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với n bằng:

  • A \(n = p\)           
  • B \(n = 1\)
  • C \(n = k\,\,(k \ge p)\)      
  • D \(n = k + 1\,(k \ge p)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên). Ở bước 3 ta chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k + 1\;\;\,(k \ge p).\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \in {N^*}\), ta tiến hành hai bước:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\) .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge 1\) và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Trong hai bước trên:

  • A Chỉ có bước 1 đúng    
  • B Chỉ có bước 2 đúng    
  • C Cả hai bước đều đúng
  • D Cả hai bước đều sai

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Cả hai bước đều đúng

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) ( p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\) .

Bước 2: Giả thiết mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge p\).

Bước 3: Chứng minh mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = k + 1\).

Trong ba bước trên:

  • A Chỉ có bước 1, 2  đúng
  • B Chỉ có bước 2, 3  đúng
  • C Chỉ có bước 1, 3  đúng
  • D Cả hai bước đều đúng

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Chỉ có bước 2, 3 đúng vì bước 1 phải là kiểm tra mệnh đề \(A\left( n \right)\) đúng với \(n = p\) .

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Chứng minh mệnh đề “\(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)” bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị nào của \(n?\)

  • A \(n = 0\)                                  
  • B \(n = 1\)           
  • C \(n = 2\)
  • D \(n = 3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(A\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge p\) (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với \(n = p\)    

Lời giải chi tiết:

Chứng minh mệnh đề “\(\forall n \in N,n \ge 3\) ta luôn có \({3^n} > {n^2} + 4n + 5\)” bằng phương pháp quy nạp toán học, bước 1, ta kiểm tra với giá trị \(n = 3\)  do \(n \ge 3.\)                                

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

 Tính tổng \(S=1.2+2.3+.\text{ }.\text{ }.+(n-2)(n-1)+(n-1)n\) với mọi \(n\ge 2\)

  • A  \(\frac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{6}\) 
  • B  \(\frac{n\left( {{n}^{2}}+1 \right)}{3}\)
  • C  \(\frac{2n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}\)               
  • D  \(\frac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Dự đoán công thức.

- Chứng minh công thức dự đoán đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Khi n = 2 thì S = 1.2 = 2 \(=\frac{2\left( {{2}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Khi n = 3 thì S = 1.2 + 2.3 = 8 \(=\frac{3\left( {{3}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Khi n = 4 thì S = 1.2 +2.3 + 3.4 = 20\(=\frac{4\left( {{4}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Dự đoán công thức: \(S=\frac{n\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Ta chứng minh công thức trên đúng bằng phương pháp quy nạp.

Khi n = 2 thì công thức trên đúng.

Giả sử công thức trên đúng đến n = k, tứ là \(1.2+2.3+...+\left( k-1 \right)k=\frac{k\left( {{k}^{2}}-1 \right)}{3}\)

Ta chứng minh công thức trên đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh

\(1.2+2.3+...+\left( k-1 \right)k+k\left( k+1 \right)=\frac{\left( k+1 \right)\left[ {{\left( k+1 \right)}^{2}}-1 \right]}{3}\)

Từ giả thiết quy nạp ta có :

\(\begin{array}{l}1.2 + 2.3 + ... + \left( {k - 1} \right)k + k\left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)}}{3} + k\left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right) + 3k\left( {k + 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right) + 3k\left( {k + 1} \right)}}{3} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1 + 3} \right)}}{3} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3}\\ = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)}}{3} = \frac{{\left( {k + 2} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]}}{3}\end{array}\)

Vậy công thức trên đúng với n = k + 1 hay dự đoán ban đầu là đúng.

Vậy \(S = \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)}}{3}\)

Chọn D.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Giá trị của tổng \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\) là:

  • A \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \over 6}\)
  • B \({{n\left( {n + 2} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
  • C \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
  • D Đáp án khác.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có \({S_1} = {1^2} = 1 = {{1\left( {1 + 1} \right)\left( {2.1 + 1} \right)} \over 6}\)

Với n = 2 ta có \({S_2} = {1^2} + {2^2} = 5 = {{2\left( {2 + 1} \right)\left( {2.2 + 1} \right)} \over 6}\)

Với n = 3 ta có \({S_3} = {1^2} + {2^2} + {3^2} = 14 = {{3\left( {3 + 1} \right)\left( {2.3 + 1} \right)} \over 6}\)

Dự đoán \({S_n} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\,\,\left( * \right)\), ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1 thì (*) đúng.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 6}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 6}\).

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 6} + {\left( {k + 1} \right)^2}  \cr   &  = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 6} \cr} \).

Vậy (*) đúng với mọi n.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Biểu thức nào sau đây cho ta giá trị của tổng \(S = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3}\)

  • A \({{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}\)
  • B \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)
  • C \({{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {3n + 1} \right)} \over {24}}\)   
  • D \({\left[ {{{n\left( {n + 1} \right)} \over 2}} \right]^2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: S = 1.

Với n = 2 ta có \(S = {1^3} + {2^3} = 9\), loại đáp án A, B và C.

Ta chứng minh đẳng thức ở đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử đẳng thức đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = {\left[ {{{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}} \right]^2}\), ta chứng minh đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 2}} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}} \right]^2}\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {\left[ {{{k\left( {k + 1} \right)} \over 2}} \right]^2} + {\left( {k + 1} \right)^3} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)} \over 4} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}} \over 4} = {\left[ {{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \over 2}} \right]^2}.\) Vậy đẳng thức đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Giả sử Q là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho

a) \(k \in Q\)

b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)

  • A Mọi số nguyên dương đều thuộc Q.
  • B Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q.
  • C Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q.
  • D Mọi số nguyên đều thuộc Q.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Với mọi \(n \in N*\) giá trị của tổng \({S_n} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2}\) là:

  • A \({{n\left( {{n^2} - 1} \right)} \over 3}\)         
  • B \({{n\left( {2{n^2} - 1} \right)} \over 3}\)\({{n\left( {2{n^2} - 1} \right)} \over 3}\)
  • C \({{n\left( {4{n^2} - 1} \right)} \over 3}\)
  • D Đáp án khác.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn \(n \in N*\) và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1\), loại đáp án A và B.

Ta chứng minh đáp án C đúng với mọi \(n \in N*\) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử \({S_n} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2n - 1} \right)^2} = {{n\left( {4{n^2} - 1} \right)} \over 3}\,\,\left( * \right)\) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh:

\({S_{k + 1}} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)^2} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2\left( {k + 1} \right) - 1} \right)^2} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k + 1} \right)^2} = {1^2} + {3^2} + ... + {\left( {2k - 1} \right)^2} + {\left( {2k + 1} \right)^2}  \cr   &  = {{k\left( {4{k^2} - 1} \right)} \over 3} + {\left( {2k + 1} \right)^2} = {{k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right) + 3{{\left( {2k + 1} \right)}^2}} \over 3} = {{\left( {2k + 1} \right)\left( {2{k^2} - k + 6k + 3} \right)} \over 3}  \cr   &  = {{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {4{k^2} + 8k + 3} \right)} \over 3} = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {4{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]} \over 3}. \cr} \)

Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi \(n \in N*\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Với mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}\) là:

  • A \({1 \over {n + 1}}\)
  • B \({n \over {n + 1}}\)
  • C \({n \over {n + 2}}\)
  • D \({{n + 1} \over {n + 2}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh hoặc có thể sử dụng nhận xét:\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\,\,\forall k \in N*\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được \({S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {n \over {n + 1}}\,\,\left( * \right)\)

Thật vậy, với n = 1 ta có \({S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} = {1 \over {1 + 1}}\)

Giả sử (*) đúng đến n = k, khi đó ta có: \({S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {k \over {k + 1}}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{k + 1} \over {k + 2}}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}  \cr   &  = {k \over {k + 1}} + {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{k\left( {k + 2} \right) + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{{k^2} + 2k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{{{\left( {k + 1} \right)}^2}} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = {{\left( {k + 1} \right)} \over {\left( {k + 2} \right)}}. \cr} \)

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Cách 2:

Ta có nhận xét sau: \({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\,\,\forall k \in N*\), do đó:

\({S_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = 1 - {1 \over {n + 1}} = {n \over {n + 1}}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Với mọi \(n \in N*\) thì \({S_n} = {13^n} - 1\) chia hết cho:

  • A 13
  • B 6
  • C 8
  • D 5

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Thử với n = 1, ta thấy \({S_1} = 12\), vậy ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh \({S_n}\,\, \vdots \,\,6.\)

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có \({13^1} - 1 = 12\,\, \vdots \,\,6\), ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh \({S_n} = {13^n} - 1\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N*\).

Giả sử khẳng đinh trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {13^k} - 1\,\, \vdots \,\,6,\)  ta chứng minh đúng đến n = k + 1, tức là \({S_{k + 1}} = {13^{k + 1}} - 1\) cũng chia hết cho 6.

Ta có: \({S_{k + 1}} = {13^{k + 1}} - 1 = {13.13^k} - 1 = {13.13^k} - 13 + 12 = 13\left( {{{13}^k} - 1} \right) + 12\).

Theo giả thiết quy nạp ta có: \({S_k} = {13^k} - 1\,\, \vdots \,\,6,\) mà \(12\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,6.\)

Vậy \({S_n} = {13^n} - 1\,\, \vdots \,\,6\,\,\forall n \in N*\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

(a) \(k \in Q\)                                      (b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q,\,\,\forall n \ge k\).

  • A Mọi số nguyên dương đều thuộc Q
  • B Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc Q
  • C Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc Q
  • D Mọi số nguyên đều thuộc Q

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Giả sử Q là tập hợp con của tập các số nguyên dương sao cho

(a) \(k \in Q\)                                      (b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q,\,\,\forall n \ge k\).

\( \Rightarrow \) Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k  đều thuộc Q.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho tổng: \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{\left( {4n - 3} \right)\left( {4n + 1} \right)}}\). Tính \({S_3}\). 

  • A \({S_3} = \frac{1}{5}\)  
  • B \({S_3} = \frac{2}{9}\)
  • C \({S_3} = \frac{3}{{13}}\)
  • D \({S_3} = \frac{4}{{17}}\)  

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính tổng 3 số hạng đầu của \({S_n}.\)

Lời giải chi tiết:

\({S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{{45}} + \frac{1}{{117}} = \frac{3}{{13}}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?

Bài toán: Chứng minh quy nạp: \({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)

Chứng minh: Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k\,\,\,(k \ne 1)\)

Ta có: \({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4}\)

Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy:

\({1^3} + {2^3} + ... + {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

Vậy đẳng thức đúng với \(n = k + 1\)

Áp dụng nguyên lí quy nạp toán học ta suy ra đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.

  • A Đúng   
  • B Sai       
  • C Không đúng, không sai           
  • D Vừa đúng vừa sai

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Phép chứng minh thiếu mất bước cơ sở kiểm tra mệnh đề đúng với \(n = 1\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Một học sinh chứng minh mệnh đề ''\({8^n} + 1\) chia hết cho 7, \(\forall n \in {N^*}\)''  (*) như sau:

+) Giả sử (*) đúng với \(n = k\), tức là \({8^k} + 1\) chia hết cho 7.

+) Ta có:\({8^{k + 1}} + 1 = 8\left( {{8^k} + 1} \right) - 7\), kết hợp với giả thiết \({8^k} + 1\) chia hết cho 7 nên suy ra được \({8^{k + 1}} + 1\) chia hết cho 7. Vậy đẳng thức (*) đúng với mọi \(n \in {N^*}\).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A Học sinh trên chứng minh đúng
  • B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp 
  • C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp                  
  • D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng các bước chứng minh quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Thiếu bước 1 là kiểm tra với \(n = 1\), khi đó ta có \({8^1} + 1 = 9\) không chia hết cho 7.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:

A(n) : “Nếu ab là những số nguyên dương mà \(\max \left\{ {a;b} \right\} = n\) thì \(a = b\)”

Chứng minh :

Bước 1: A(1):”Nếu a, b là những số nguyên dương mà \(\max \left\{ {a;b} \right\} = 1\) thì \(a = b\)”

Mệnh đề A(1) đúng vì \(\max \left\{ {a;b} \right\} = 1\) và a, b là những số nguyên dương thì \(a = b = 1\).

Bước 2: Giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi \(k \ge 1\).

Bước 3: \(\max \left\{ {a;b} \right\} = k + 1 \Rightarrow \max \left\{ {a - 1;b - 1} \right\} = k + 1 - 1 = k\)

Do A(k) là mệnh đề đúng nên \(a - 1 = b - 1 \Rightarrow a = b \Rightarrow \) A(k+1) đúng.

Vậy A(n) đúng với mọi \(n \in {N^*}\)

  • A Bước 1            
  • B Bước 2
  • C Bước 3
  • D Không có bước nào sai

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết phương pháp quy nạp toán học. 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a,\,\,b \in {N^*}\)  không suy ra \(a - 1,\,\,b - 1 \in {N^*}\) .

Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp \(\left\{ {a - 1;\;\;b - 1} \right\}.\)

Vậy sai ở bước 3.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Chị X gửi ngân hàng 20 000 000 đồng với lãi suất 0,5%/ tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi tháng sau). Hỏi sau 1 năm chị X nhận được bao nhiêu tiền, biết trong một năm đó chị X không rút tiền lần nào vào lãi suất không thay đổi (số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)?

  • A 21 233 000 đồng
  • B 21 235 000 đồng
  • C 21 234 000 đồng
  • D 21 200 000 đồng

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính số tiền sau n tháng gửi:  \(T = A{\left( {1 + r\% } \right)^n}\) với r% là lãi suất hàng tháng; A là số tiền gửi ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có sau 1 năm tức 12 tháng thì chị X nhận được số tiền là:\(T = A{\left( {1 + r\% } \right)^{12}}\)

Chị X gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất \(0,5\% \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}A = {20.10^6}\\r = 0,5\% \end{array} \right.\)

Khi đó \(T = {20.10^6}{\left( {1 + 0,5\% } \right)^{12}} = 21234000\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Với mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = {4^n} + 15n - 1\) chia hết cho

  • A 6
  • B 4
  • C 9
  • D 12

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thử với n = 2, ta thấy \({S_2} = {4^2} + 15.2 - 1 = 45\), vậy ta sẽ dùng quy nạp để chứng minh \({S_n}\,\, \vdots \,\,9.\)

Lời giải chi tiết:

Với n = 2 ta có \({S_2} = {4^2} + 15.2 - 1 = 45\), ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh \({S_n} = {4^n} + 15n - 1\) chia hết cho 9 với mọi số nguyên dương n.

Với n = 1 ta có \({S_1} = 4 + 15 - 1 = 18\) chia hết cho 9 \( \Rightarrow \) Khẳng định trên đúng với n = 1.

Giả sử khẳng đinh trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {4^k} + 15k - 1\,\,\, \vdots \,\,\,9\),  ta chứng minh đúng đến n = k + 1, tức là \({S_k} = {4^{k + 1}} + 15\left( {k + 1} \right) - 1\) cũng chia hết cho 9.

Ta có: \({S_k} = {4^{k + 1}} + 15\left( {k + 1} \right) - 1 = {4.4^k} + 15k + 14 = 4\left( {{4^k} + 15k - 1} \right) - 45k + 18\).

Theo giả thiết quy nạp ta có: \({S_k} = {4^k} + 15k - 1\,\,\, \vdots \,\,\,9\) mà \(\left( { - 45k + 18} \right)\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,9.\)

Vậy \({S_n} = {4^n} + 15n - 1\) chia hết cho 9 với mọi số nguyên dương n.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\), bất đẳng thức nào sau đây đúng?

  • A \({3^n} > 4n + 1\)
  • B \({3^n} > 4n + 2\)
  • C \({3^n} > 3n + 2\)
  • D Đáp án khác

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 2 ta có: \({3^2} = 9 > 3.2 + 2\)

Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức đúng với n = 2, giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là \({3^k} > 3k + 2\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần phải chứng minh \({3^{k + 1}} > 3\left( {k + 1} \right) + 2 = 3k + 5\)

Ta có: \({3^{k + 1}} = {3.3^k} > 3\left( {3k + 2} \right) = 9k + 6 > 3k + 5\). Vậy bất đằng thức đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Với mọi số nguyên dương n, tổng 2 + 5 + 8 + … + (3n – 1)  là:

  • A \({{n\left( {3n + 1} \right)} \over 2}\)
  • B \({{n\left( {3n - 1} \right)} \over 2}\)
  • C \({{n\left( {3n + 2} \right)} \over 2}\)
  • D \({{3{n^2}} \over 2}\)  

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 2\) , ta loại được các đáp án B, C và D.

Ta chứng minh \({{S}_{n}}=2+5+8+\ldots +\left( 3n-1 \right)~=\dfrac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\,\,\,\left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương n bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({{S}_{k}}=2+5+8+\ldots +\left( 3k-1 \right)=\dfrac{k\left( 3k+1 \right)}{2}\). Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k+1, tức là cần chứng minh \({{S}_{k+1}}=2+5+8+\ldots +\left( 3\left( k+1 \right)-1 \right)=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3\left( k+1 \right)+1 \right)}{2}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\)

Ta có:

\(\begin{align}   {{S}_{k+1}}=2+5+8+\ldots +\left( 3\left( k+1 \right)-1 \right)\\=2+5+8+\ldots +\left( 3k-1 \right)+\left( 3k+2 \right)  \\ =\dfrac{k\left( 3k+1 \right)}{2}+3k+2\\=\dfrac{3{{k}^{2}}+k+6k+4}{2}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( 3k+4 \right)}{2}\end{align}\)

Do đó (*) đúng đến n = k + 1.

Vậy \({{S}_{n}}=2+5+8+\ldots +\left( 3n-1 \right)=\dfrac{n\left( 3n+1 \right)}{2}\) đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Với mọi số nguyên dương n thì \({S_n} = {5.2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}\) chia hết cho:

  • A 5
  • B 7
  • C 4
  • D 19

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 5.2 + {3^2} = 19\,\, \vdots \,\,19\)

Ta sẽ chứng minh Sn chia hết cho 19 với mọi số nguyên dương n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {5.2^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}\) chia hết cho 19, ta chứng minh \({S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}}\) cũng chia hết cho 19.

Ta có:

\(\eqalign{  & {S_{k + 1}} = {5.2^{3\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{3\left( {k + 1} \right) - 1}} = {5.2^{3k - 2 + 3}} + {3^{3k - 1 + 3}} = {5.2^{3k - 2}}{.2^3} + {3^{3k - 1}}{.3^3} = {8.5.2^{3k - 2}} + {27.3^{3k - 1}}  \cr   &  = {8.5.2^{3k - 2}} + {8.3^{3k - 1}} + {19.2^{3k - 1}} = 8\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right) + {19.2^{3k - 1}} \cr} \)

Có \(\left( {{{5.2}^{3k - 2}} + {3^{3k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,19\) (giả thiết quy nạp), \(19\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {19.2^{3k - 1}}\,\, \vdots \,\,19 \Rightarrow {S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,19.\)

Vậy Sn chia hết cho19 với mọi số nguyên dương n.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Với mọi số nguyên dương n, tổng \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho

  • A 6
  • B 4
  • C 9
  • D 12

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: \({S_1} = 1 + 11 = 12\), không chia hết cho 9 nên loại đáp án C.

Với n = 2 ta có \({S_2} = {2^3} + 11.2 = 30\) không chia hết cho 4 và 12 nên loại đáp án B và D.

Ta sẽ chứng minh \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.

Giả sử khẳng định trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 11k\) chia hết cho 6, ta chứng minh khẳng định trên đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 6.

Ta có: \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 11k + 11 = {k^3} + 11k + 3{k^2} + 3k + 12 = \left( {{k^3} + 11k} \right) + 12 + 3\left( {{k^2} + k} \right)\)

Có: \({k^3} + 11k\) chia hết cho 6 (giả thiết quy nạp), 12 chia hết cho 6, ta cần chứng minh \(3\left( {{k^2} + k} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 6.

k và k + 1 là 2 số nguyên dương liên tiếp nên \(k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow 3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,2,\) kết hợp với \(3k\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\) và 2; 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(3\left( {{k^2} + k} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\) chia hết cho 3.2 = 6.

Vậy \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 11\left( {k + 1} \right)\) cũng chia hết cho 6 hay \({S_n} = {n^3} + 11n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên dương n.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Với mọi số nguyên dương n > 1. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

  • A \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {20}}\)
  • B \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {21}}\)
  • C \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {17}}\)
  • D \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Với n = 2 ta có: \({1 \over {2 + 1}} + {1 \over {2 + 2}} = {7 \over {12}} \Rightarrow \) Loại được các đáp án A, B, C. Ta chứng minh \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}\) đúng với mọi số nguyên dương n > 1.

Bất đẳng thức đúng với n = 2. Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là  \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần phải chứng minh \({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)

Ta có:

\(\eqalign{  & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {k + 1 + k - 1}} + {1 \over {k + 1 + k}} + {1 \over {k + 1 + k + 1}}  \cr   &  > {{13} \over {24}} - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}}. \cr} \)

Cần chứng minh \( - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{  &  - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} = {{ - 4{k^2} - 6k - 2 + 2{k^2} + 4k + 2 + 2{k^2} + 3k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}}  \cr   &  = {{k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}} = {1 \over {\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}} > 0  \cr   &  \Rightarrow  - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > 0  \cr   &  \Rightarrow {{13} \over {24}} - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > {{13} \over {24}} \cr} \)

Bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Gọi \({S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}},\,\forall n = 1;\;2;\;3.....\) thì kết quả nào sau đây là đúng

  • A \({S_n} = \frac{{n - 1}}{n}\)
  • B \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)                        
  • C \({S_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\)
  • D \({S_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy: \({S_1} = \frac{1}{2} = \frac{1}{{1 + 1}}\,\,;\,\,\,\,{S_2} = \frac{2}{3} = \frac{2}{{2 + 1}};\;{S_3} = \frac{3}{4} = \frac{3}{{3 + 1}}\,\,;\,\,\,\,{S_4} = \frac{4}{5} = \frac{4}{{4 + 1}}.\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{n}{{n + 1}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1)  bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{2}\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{k}{{k + 1}}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{k + 1 + 1}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right).\left( {k + 2} \right)}} = \frac{k}{{k + 1}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{{k + 1}}{{k + 2}} = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Kí hiệu \(n! = n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...3.2.1,\,\forall 1,2,3...\)

Với \(S = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + 2007.2007!\) thì giá trị của \(S\) là bao nhiêu

  • A \(S = 2.2007!\)
  • B \(S = 2008! - 1\)
  • C \(S = 2008!.\)
  • D \(S = 2008! + 1.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Đặt \({S_n} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + n.n!\)  

Ta thấy: \({S_1} = 1 = 2! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_2} = 5 = 3! - 1\) ;  \({S_3} = 23 = 4! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_4} = 119 = 5! - 1\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \left( {n + 1} \right)! - 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = 1.1! = 1\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + k.k! = \left( {k + 1} \right)! - 1\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \left( {k + 1 + 1} \right)! - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = \left( {k + 1} \right)! - 1 + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!\)

\( = \left( {k + 1} \right)!\left( {1 + k + 1} \right) - 1 = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 2} \right) - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1 = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh. 

\( \Rightarrow S = {S_{2017}} = 2008! - 1\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), tổng \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2}\) là:

  • A \({S_n} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
  • B \({S_n} = \frac{{(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)
  • C \({S_n} = \frac{{n(n + 1)}}{6}\)
  • D \({S_n} = \frac{{n(2n + 1)}}{6}\)   

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy: \({S_1} = 1 = \frac{{1.2.3}}{6}\,\,;\,\,\,\,{S_2} = 5 = \frac{{2.3.5}}{6};\;\;{S_3} = 14 = \frac{{3.4.7}}{6}\,;\,\,\,\,{S_4} = 30 = \frac{{4.5.9}}{6}\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = {1^2} = 1 = \frac{{1.2.3}}{6}\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = {1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\left[ {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right]}}{6} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)}}{6}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + {\left( {k + 1} \right)^2} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {\left( {k + 1} \right)^2}\)

\( = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + 6{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{6} = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6} = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), tổng \({S_n} = \frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}}\) là:  

  • A \({S_n} = \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)
  • B \({S_n} = \frac{3}{4} + \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)
  • C \({S_n} = \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}} - \frac{3}{4}\)
  • D \({S_n} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy: \({S_1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{4} - \frac{5}{{12}}\,\,;\,\,\,\,{S_2} = \frac{5}{9} = \frac{3}{4} - \frac{7}{{36}};\;\;{S_3} = \frac{2}{3} = \frac{3}{4} - \frac{9}{{108}}\,\)  

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1)  bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{4} - \frac{5}{{12}}\,\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{3}{4} - \frac{{2\left( {k + 1} \right) + 3}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}}\)

        \( = \frac{3}{4} - \frac{{3\left( {2k + 3} \right) - 4\left( {k + 1} \right)}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{6k + 9 - 4k - 4}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^k}}} = VP\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?

  • A Mạnh thu được 122 mảnh       
  • B Mạnh thu được 123 mảnh
  • C Mạnh thu được 120 mảnh
  • D Mạnh thu được 121 mảnh

Đáp án: D

Phương pháp giải:

 Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước 1: Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1 + 1 = 7

Công thức đúng với \(n = 1\)

Bước 2: Giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là \(S\left( k \right) = 6k + 1\)

Sang bước thứ \(k + 1,\) Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong \(S\left( k \right)\)  mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra.

Vậy tổng số mảnh giấy ở bước \(k + 1\)  là:  \(S\left( {k + 1} \right) = S\left( k \right) - {\rm{ }}1 + 7 = S\left( k \right) + 6 = 6k + 1 + 6 = 6\left( {k + 1} \right) + 1\)

Vậy công thức Sn đúng với mọi \(n \in N*.\) Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì \(121 = 6.20 + 1.\)  

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Xét hai mệnh đề sau:

I) Với mọi \(n \in {N^*}\), số \({n^3} + 3{n^2} + 5n\) chia hết cho 3.

II) Với mọi \(n \in {N^*}\), ta có \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} > \frac{{13}}{{24}}\)

Mệnh đề nào đúng?

  • A Chỉ I
  • B Chỉ II  
  • C Không có        
  • D Cả I và II

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết:

+)  Ta chứng minh I) đúng.

Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = {1^3} + {3.1^2} + 5.1 = 9 \vdots 3\) đúng.

Giả sử mệnh đề đúng khi \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\), tức là \({u_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k \vdots 3\) .

Ta có \({u_{k + 1}} = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k} \right) + 3{k^2} + 9k + 9 = {u_k} + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right) \vdots 3\)

Kết thúc chứng minh.

+) Mệnh đề II) sai vì với \(n = 1\), ta có \(VT = \frac{1}{2} = \frac{{12}}{{24}} > \frac{{13}}{{24}}\)  Vô lý.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình : \({x^2} - 6x + 1 = 0\). Đặt \({a_n} = x_1^n + x_2^n\). Chọn mệnh đề đúng:

  • A \({a_n}\) không chia hết cho 2
  • B \({a_n}\) không chia hết cho 3 
  • C \({a_n}\) không chia hết cho 5
  • D \({a_n}\) không chia hết cho 6

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng Vi-ét  biến đổi \({a_n}\), dự đoán kết quả và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({a_n} = ({x_1} + {x_2})(x_1^{n - 1} + x_2^{n - 1}) - {x_1}{x_2}(x_1^{n - 2} + x_1^{n - 2})\)

Theo định lí Viét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\) nên ta có:

\({a_n} = 6(x_1^{n - 1} + x_2^{n - 1}) - (x_1^{n - 2} + x_1^{n - 2}) = 6{a_{n - 1}} - {a_{n - 2}}\).

Với \(n = 1 \Rightarrow {a_1} = {x_1} + {x_2} = 6\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({a_n}\) không chia hết cho 5

* Với \(n = 1 \Rightarrow {a_1} = {x_1} + {x_2} = 6\)

\( \Rightarrow {a_1}\)  không chia hết cho 5

* Giả sử \({a_k}\)   không chia hết cho 5 với mọi \(k \ge 1\).

Ta chứng minh \({a_{k + 1}}\)  không chia hết cho 5.

Do \({a_{k + 1}} = 6{a_k} - {a_{k - 1}}\)

Mặt khác: \({a_{k + 1}} = 5{a_k} + ({a_k} - {a_{k - 1}}) = 5{a_k} + 5{a_{k - 1}} - {a_{k - 2}}\)

Vì \({a_{k - 2}}\) không chia hết cho 5 và \(\left\{ \begin{array}{l}5{a_k} \vdots 5\\5{a_{k - 1}} \vdots 5\end{array} \right.\) nên suy ra \({a_{k + 1}}\) không chia hết cho 5.

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Tổng các góc trong của một n – giác lồi \((n \ge 3)\) bằng:

  • A \(\left( {n - 1} \right){.180^0}\)          
  • B \(\left( {n - 2} \right){.90^0}\)
  • C \(\left( {n - 2} \right){.180^0}\)          
  • D \(\left( {n - 1} \right){.90^0}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 3\)  ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}.\)

Với \(n = 4\)  ta có tổng bốn góc trong tứ giác bằng \({360^0}.\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: đáp án C

Chứng minh:

\( \bullet \) Với \(n = 3\) ta có tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}.\)

\( \bullet \) Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với  \(3 \le k < n,\) ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là \(k+1\), thì số cạnh của đa giác kia là \(n - k + 1,\) hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là \(\left( {k - 1} \right){180^0}\) và \(\left( {n - k - 1} \right){180^0}\).

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là \(\left( k-1+n-k-1 \right){{180}^{0}}=\left( n-2 \right){{180}^{0}}\). 

Suy ra mệnh đề đúng với mọi \(n \ge 3.\)

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Quảng cáo
close