Phương pháp giải:

Số dương \(a\) có căn bậc hai số học là \(\sqrt a .\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(36\) có căn bậc hai số học là \(\sqrt {36}  = 6.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Với số dương \(a\), số \(\sqrt a \) được gọi là căn bậc hai số học của số \(a\).

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {16}  = 4\), vì \(4 \ge 0\) và \({4^2} = 16\).

Vậy căn bậc hai số học của \(16\) là \(4\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Khai căn bậc hai của một số.  \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A,\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(T = \sqrt 4  + \sqrt {25}  - \sqrt 9  = 2 + 5 - 3 = 4\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Với số thực dương \(a\) có 2 căn bậc hai là \(\sqrt a \) và \( - \sqrt a .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(9\) có \(2\) căn bậc hai là \(3\) và \( - 3.\) 

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Số \(a > 0\) có căn bậc hai số học là \(\sqrt a .\)

Lời giải chi tiết:

Số \(4\) có căn bậc hai số học là: \(\sqrt 4  = 2\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Căn bậc hai số học của số dương \(a\) là \(\sqrt a .\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có căn bậc hai số học của \(144\) là \(\sqrt {144}  = 12.\) 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Đáp án A, B sai vì \(0,0121\) có hai căn bậc hai là \(0,11\) và \( - 0,11.\)

Đáp án D sai vì \(\sqrt {0,0121}  = 0,11.\)

Đáp C và câu E đúng.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 4  = 2 \Rightarrow 4\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(2\) và \( - 2.\)

\(\sqrt {49}  = 7 \Rightarrow 49\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(7\) và \( - 7.\)

\(\sqrt {0,01}  = 0,1 \Rightarrow 0,01\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(0,1\)  và \( - 0,1.\)

\(\sqrt {0,0009}  = 0,03 \Rightarrow 0,0009\) có \(2\)  căn bậc hai  là: \(0,03\)  và \( - 0,03.\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt 3 \) và \(\sqrt 2 \)

Ta có: \(3 > 2 \Rightarrow \sqrt 3  > \sqrt 2 .\)

b) \(5\) và \(\sqrt 5 \)

Ta có: \(5 = \sqrt {25} ;\,\,\,25 > 5 \Rightarrow \sqrt {25}  > 5\,\,\,hay\,\,\,5 > \sqrt 5 .\)

c) \(2\) và \(\sqrt 8  - 1\)

Ta có: \(3 = \sqrt 9 ,\,\,\,9 > 8 \Rightarrow \sqrt 9  > \sqrt 8 \)

\( \Rightarrow \sqrt 9  - 1 > \sqrt 8  - 1 \Leftrightarrow 3 - 1 > \sqrt 8  - 1 \Leftrightarrow 2 > \sqrt 8  - 1.\)

d) \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } } \) và \(\sqrt {1 + \sqrt 6 } \)

Ta có: \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  = \sqrt {\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }  = \sqrt {\sqrt {5 + 2\sqrt 5  + 1} }  = \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}} }  = \sqrt {\sqrt 5  + 1} .\)

Vì \(\sqrt 5  < \sqrt 6  \Rightarrow \sqrt 5  + 1 < \sqrt 6  + 1 \Rightarrow \sqrt {\sqrt 5  + 1}  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} \)

 Vậy  \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }  < \sqrt {\sqrt 6  + 1} .\)

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Biến đổi \(x\) sau đó thay giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện và tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\) khi \(x = 9.\)

Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,\,x \ne 1.\)

Khi \(x = 9\,\,\left( {tm} \right)\)  ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9  + 1}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{{3 + 1}}{{3 - 1}} = 2.\)

Vậy \(x = 9\) thì \(A = 2.\)

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}3 + \sqrt x  \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 0.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Rút gọn \(A\), sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\begin{array}{l}A = \sqrt {2\sqrt 5  + 6}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + 2018\\A = \sqrt {{1^2} + 2.\sqrt 5 .1 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + 2018\\A = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \left| {\sqrt 5  - 1} \right| + 2018\\A = \left| {1 + \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5  - 1} \right| + 2018\\A = 1 + \sqrt 5  - \sqrt 5  + 1 + 2018\,\,\left( {Do\,\,1 + \sqrt 5  > 0;\,\,\sqrt 5  - 1 > 0} \right)\\A = 2020\,\\ \Rightarrow A \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Vậy \(A\) là một số nguyên.

Phương pháp giải:

Dựa vào các hằng đẳng thức và công thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left[ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.\) để biến đổi và rút gọn \(A.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right)\sqrt {2 - \sqrt 3 } } \\\,\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt 2 \sqrt {2 - \sqrt 3 } \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt {2\left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}} \left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 3  - 1 > 0} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {\left( {3 - 1} \right)\left( {4 - \sqrt {15} } \right)}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {2\left( {4 - \sqrt {15} } \right)} \\\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 \sqrt 3  + 3} \\\,\,\, = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - \sqrt 3  > 0} \right)\\\,\,\, = 5 - 3 = 2.\end{array}\)

Vậy \(A = 2\)  là một số nguyên.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\( \eqalign{& a)\,3x - 7\sqrt x  + 4 = 3x - 3\sqrt x  - 4\sqrt x  + 4  \cr &  = 3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - 4\left( {\sqrt x  - 1} \right)  \cr  &  = \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {3\sqrt x  - 4} \right).  \cr & b)\,x\sqrt x  - x - 4 = {\left( {\sqrt x } \right)^3} - x - 8 + 4  \cr  &  = \left[ {{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - 8} \right] - \left( {x - 4} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x  + 4} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)  \cr  &  = \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {x + \sqrt x  + 2} \right).  \cr  & c)\,3x\sqrt x  - 7x + 17\sqrt x  - 5  \cr  &  = 3x\sqrt x  - x - 6x + 2\sqrt x  + 15\sqrt x  - 5  \cr &  = x\left( {3\sqrt x  - 1} \right) - 2\sqrt x \left( {3\sqrt x  - 1} \right) + 5\left( {3\sqrt x  - 1} \right)  \cr &  = \left( {3\sqrt x  - 1} \right)\left( {x - 2\sqrt x  + 5} \right).  \cr} \)

\( \eqalign{& d)\,x\sqrt x  + 5x + 8\sqrt x  + 4  \cr  &  = x\sqrt x  + x + 4x + 4\sqrt x  + 4\sqrt x  + 4  \cr  &  = x\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 4\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 4\left( {\sqrt x  + 1} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x + 4\sqrt x  + 4} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 1} \right){\left( {\sqrt x  + 2} \right)^2}.  \cr  & e)\,x - \sqrt x  - 2001.2002  \cr  &  = x - \sqrt x  - 2001\left( {2001 + 1} \right)  \cr &  = x - \sqrt x  - {2001^2} - 2001  \cr  &  = \left( {\sqrt x  - 2001} \right)\left( {\sqrt x  + 2001} \right) - \left( {\sqrt x  + 2001} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 2001} \right)\left( {\sqrt x  - 2002} \right).  \cr  & f)\,2x\sqrt x  + x - 5\sqrt x  - 4  \cr &  = 2x\sqrt x  + 2x - x - \sqrt x  - 4\sqrt x  - 4  \cr &  = 2x\left( {\sqrt x  + 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 4\left( {\sqrt x  + 1} \right)  \cr &  = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {2x - \sqrt x  - 4} \right). \cr}  \)

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) và \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \,\left( {A,B \ge 0} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {0,{{04.30}^2}}  = \sqrt {0,{2^2}{{.30}^2}}  = \sqrt {0,{2^2}} .\sqrt {{{30}^2}} \) \( = 0,2.30 = 6\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức bằng cách sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 2} \right)}^2}}  - \sqrt 5  = \left| {\sqrt 5  - 2} \right| - \sqrt 5  = \sqrt 5  - 2 - \sqrt 5  =  - 2\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - 2 > 0} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Sử dụng công thức \(\sqrt {{f^2}\left( x \right)}  = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,\,\,f\left( x \right) \ge 0\\ - f\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) < 0\end{array} \right..\) 

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \({\left( {2 - x} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 - x} \right)}^2}}  + x - 3 = \left| {2 - x} \right| + x - 3\\ = 2 - x + x - 3\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\,\,x < 2 \Rightarrow 2 - x > 0} \right)\\ =  - 1.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)  và trục căn thức ở mẫu.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 }  + \frac{2}{{\sqrt 5  + \sqrt 3 }}\\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2.\sqrt 3 .1 + {1^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.\sqrt 5 .1 + {1^2}}  + \frac{{2\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}\\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 1} \right)}^2}}  + \frac{{2\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{{5 - 3}}\\ = \left| {\sqrt 3  + 1} \right| + \left| {\sqrt 5  - 1} \right| + \frac{{2\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)}}{2}\\ = \sqrt 3  + 1 + \sqrt 5  - 1 + \sqrt 5  - \sqrt 3  = 2\sqrt 5 .\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(P = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 }  - \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + 2\sqrt 2  + 1}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 2\sqrt 2  + 1}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2  + 1} \right| - \left| {\sqrt 2  - 1} \right| = \left( {\sqrt 2  + 1} \right) - \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - 1 > 0} \right)\\ = \sqrt 2  + 1 - \sqrt 2  + 1 = 2.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt 1  + \sqrt 4  + \sqrt 9  + \sqrt {16} \)\( = \sqrt {{1^2}}  + \sqrt {{2^2}}  + \sqrt {{3^2}}  + \sqrt {{4^2}} \)\( = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\frac{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2}} }}\)\( = \frac{{\left| { - 2} \right| + \left| { - 4} \right| + \left| { - 6} \right|}}{{\left| { - 3} \right| + \left| { - 5} \right| + \left| { - 7} \right|}}\)\( = \frac{{2 + 4 + 6}}{{3 + 5 + 7}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

 Áp dụng: Với \(a,b \ge 0\), nếu \(a < b\) thì \(\sqrt a  < \sqrt b \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2 = \sqrt {{2^2}}  = \sqrt 4 \)

Vì \(3 < 4\) nên \(\sqrt 3  < \sqrt 4  = 2\)

Vậy \(\sqrt 3  < 2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \left| {2 + \sqrt 3 } \right|\\ = 2 - \sqrt 3  + 2 + \sqrt 3  = 4.\,\,\,\,\left( {do\,\,\,2 - \sqrt 3  > 0} \right).\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi \(5 - 2\sqrt 6  = {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2};\,\,7 - 4\sqrt 3  = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(5 - 2\sqrt 6  = 2 - 2\sqrt 2 .\sqrt 3  + 3\)\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 2 .\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)\( = {\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)^2}\)

\(7 - 4\sqrt 3  = 4 - 2.2.\sqrt 3  + 3\)\( = {2^2} - 2.2.\sqrt 3  + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\)\( = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  + \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } \\\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \\\,\,\, = \left| {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right| + \left| {2 - \sqrt 3 } \right|\\\,\,\, = \sqrt 3  - \sqrt 2  + 2 - \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - \sqrt 3  < 0,\,\,\,2 - \sqrt 3  > 0} \right)\\\,\,\, = 2 - \sqrt 2 \,.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{2a\sqrt {{a^2}}  + \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2}} }}{{3a + \sqrt {{a^2}} }} = \frac{{2a.\left| a \right| + \sqrt {{a^2}} }}{{3a + \left| a \right|}}\\ = \frac{{2{a^2} + a}}{{3a + a}}\,\,\,\,\left( {do\,\,\,a > 0 \Rightarrow \left| a \right| = a} \right)\\ = \frac{{a\left( {2a + 1} \right)}}{{4a}} = \frac{{2a + 1}}{4}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}}  - 3\sqrt {{a^2}}  + 2\sqrt {{b^2}}  = \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right|\)

Vì \(a < 0 < b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b < 0\\a < 0\\b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a - b} \right| = b - a\\\left| a \right| =  - a\\\left| b \right| = b\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {a - b} \right| - 3\left| a \right| + 2\left| b \right| = b - a - 3\left( { - a} \right) + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = b - a + 3a + 2b\\ = 2a + 3b.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Biến đổi: \(x = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\)

Tính \(\sqrt x \) thay vào biểu thức A rồi tính A.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x = 3 - 2\sqrt 2 \) \( = 2 - 2.\sqrt 2 .1 + 1\)\( = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \sqrt x  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt 2  - 1} \right| = \sqrt 2  - 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  - 1 > 0} \right).\)

Thay \(x = \sqrt 2  - 1\) và A ta có: \(A = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - 1 + 1}} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2 }}\)

Chọn A.  

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 3} \right)}^2}}  - \sqrt 5  = \left| {\sqrt 5  - 3} \right| - \sqrt 5  = 3 - \sqrt 5  - \sqrt 5  = 3 - 2\sqrt 5 .\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5  - 3 < 0} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = {\left( {\sqrt {2\sqrt 2  - \sqrt 5 }  + \sqrt {2\sqrt 2  + \sqrt 5 } } \right)^2}\\ = {\left( {\sqrt {2\sqrt 2  - \sqrt 5 } } \right)^2} + 2\sqrt {\left( {2\sqrt 2  - \sqrt 5 } \right)\left( {2\sqrt 2  + \sqrt 5 } \right)}  + {\left( {\sqrt {2\sqrt 2  + \sqrt 5 } } \right)^2}\\ = 2\sqrt 2  - \sqrt 5  + 2\sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}  + 2\sqrt 2  + \sqrt 5 \,\,\,\left( {do\,\,2\sqrt 2  - \sqrt 5  > 0} \right)\\ = 4\sqrt 2  + 2\sqrt {8 - 5} \\ = 4\sqrt 2  + 2\sqrt 3 .\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Với \(x > 3\) thì biểu thức đã cho đã xác định.

Biến đổi: \(x - 1 - 2\sqrt {x - 2}  = {\left( {\sqrt {x - 2}  - 1} \right)^2}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Với \(x > 3\) thì biểu thức đã cho đã xác định.

\(A = \frac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} } }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\) \( = \frac{{\sqrt {x - 2 - 2\sqrt {x - 2}  + 1} }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\)\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2}  - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\)\( = \frac{{\left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}}\)

Với \(x > 3 \Rightarrow \sqrt {x - 2}  - 1 > 0\)\( \Rightarrow \left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right| = \sqrt {x - 2}  - 1.\)

\( \Rightarrow A = \frac{{\left| {\sqrt {x - 2}  - 1} \right|}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}} = \frac{{\sqrt {x - 2}  - 1}}{{\sqrt {x - 2}  - 1}} = 1.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}P = \sqrt {7 + \sqrt 8  + \sqrt {12}  + \sqrt {24} } \\ = \sqrt {7 + \sqrt {4.2}  + \sqrt {4.3}  + \sqrt {4.6} } \\ = \sqrt {7 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 3  + 2\sqrt 6 } \\ = \sqrt {2 + 3 + 1 + 2\sqrt 2  + 2\sqrt 3  + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3  + 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2  + \sqrt 3  + 1} \right|\\ = \sqrt 2  + \sqrt 3  + 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2  + \sqrt 3  + 1 > 0} \right).\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn về bình phương của một hiệu sau đó áp dụng công thức để đưa biểu thức ra ngoài dấu căn.

Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 }  + \sqrt {7 - 2\sqrt {12} }  + ... + \sqrt {199 - 2\sqrt {9900} } \\ = \sqrt {2 - 2.\sqrt 2  + 1}  + \sqrt {3 - 2.\sqrt 3 .\sqrt 2  + 2}  + \sqrt {4 - 2.2.\sqrt 3  + 3}  + ..... + \sqrt {100 - 2.\sqrt {100.99}  + 99} \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + .... + \sqrt {{{\left( {\sqrt {100}  - \sqrt {99} } \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2  - 1} \right| + \left| {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right| + ... + \left| {10 - \sqrt {99} } \right|\\ = \sqrt 2  - 1 + \sqrt 3  - \sqrt 2  + \sqrt 4  - \sqrt 3  + ... + 10 - \sqrt {99} \,\,\,\left( {do\,\,\sqrt 2  - 1 > 0,.....,\,\,10 - \sqrt {99}  > 0} \right)\\ = 10 - 1 = 9.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phân tích biểu thức ở trong căn thành nhân tử.

Lời giải chi tiết:

Với các giá trị của \(x\) để biểu thức đã cho xác định ta có:

\(\sqrt {3x - 5\sqrt x  - 2} \)\( = \sqrt {3x - 6\sqrt x  + \sqrt x  - 2} \)\( = \sqrt {3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 2} \right)} \)\( = \sqrt {\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {3\sqrt x  + 1} \right)} \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Biến đổi: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\)

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) + 10} \end{array}\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Khi đó, \(A\) trở thành:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {y\left( {y + 3} \right) + 10}  = \sqrt {{y^2} + 3y + 10} \\\,\,\,\, = \sqrt {{y^2} + 2.y.\frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{{31}}{4}}  = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}} \end{array}\)

Vì \({\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall y \Rightarrow {\left( {y + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}\,\,\,\forall y\)

\( \Rightarrow A = \sqrt {{{\left( {y + \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{{31}}{4}}  \ge \frac{{\sqrt {31} }}{2}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow y =  - \frac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 3x =  - \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.3 + 9 - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x + 3} \right)^2} = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 3 = \sqrt 6 \\2x + 3 =  - \sqrt 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 6 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 6 }}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy GTNN của \(A\) là \(\frac{{\sqrt {31} }}{2}\)  khi \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 6 }}{2}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

- Phá trị tuyệt đối: \(\left| A \right| = \left[ \begin{array}{l}\,\,A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{a - b}}.\sqrt {{4^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{{a - b}}.4\left| {a - b} \right|\\ = \dfrac{1}{{a - b}}.4\left( {a - b} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,a > b \Rightarrow a - b > 0} \right)\\ = 4.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,\,B \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

\(5\sqrt 9  - 3\sqrt 4  = 5.3 - 3.2 = 15 - 6 = 9\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,\,B \ge 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(A = 3\sqrt {80}  - 2\sqrt {20} \) \( = 3\sqrt {{4^2}.5}  - 2\sqrt {{2^2}.5} \)\( = 3.4\sqrt 5  - 2.2\sqrt 5  = 8\sqrt 5 \)

Chọn B.