Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Sử dụng kiến thức: số nguyên tố chẵn nhỏ nhất là 2.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Tổng 3 số nguyên tố là 578 là số chẵn, nên trong 3 số nguyên tố có ít nhất 1 số là số chẵn.

Ta đã biết số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố có tổng là 578 là số 2.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Áp dụng kiến thức tổng của 2 số nguyên là số lẻ thì 1 trong 2 số đó phải là số chẵn.

- Áp dụng kiến thức số nguyên tố chẵn nhỏ nhất là 2.

- Áp dụng dấu hiệu chia hết của 1 số. VD: dấu hiệu số chia hết cho 11 là tổng các chữ số hàng lẻ - tổng các chữ số hàng chẵn(hoặc ngược lại) chia hết cho 11.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

- Tổng của 2 số nguyên tố không thể bằng 13675 và 1899966447 được. Vì nếu có tồn tại 2 số nguyên tố có tổng là 13675 và 1899966447 (2 số này đều là số lẻ), thì 1 số nguyên tố chắc chắn là số chẵn (mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2).

Ta có:

\(\begin{align} & 13675-2=13673:11=1243 \\ & 1899966447-2=1899966445\vdots 5 \\ \end{align}\)  

Như vậy 13675 và 189996647 không là tổng của 2 số nguyên tố.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

+) Số 0 và số 1 không phải số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Vì tích của hai số tự nhiên là số nguyên tố nên một số phải là 1 (vì nếu cả hai số khác 1 thì tích hai số đó ra là một hợp số).

Gọi số còn lại là \(a,\,\,a\) là số nguyên tố.

Theo bài ra ta có: \(1 + a\) cũng là số nguyên tố.  Xét hai trường hợp:

- TH1: Nếu \(1 + a\) là số lẻ thì a là số chẵn. Do a là số nguyên tố nên \(a = 2\)

- TH2: Nếu \(1 + a\) là số chẵn thì \(1 + a = 2\) (Vì \(1 + a\) là số nguyên tố) \( \Rightarrow a = 1\) ( loại vì 1 không phải số nguyên tố)

Vậy hai số tự nhiên phải tìm là \(1\)  và \(2.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d,\,\,e\)  là các số nguyên tố \(\left( {d > e} \right)\)

Theo bài ra ta có: \(a = b + c = d - e\)

\( \Rightarrow a > 2 \Rightarrow a\)  là số nguyên tố lẻ.

\( \Rightarrow b + c = d - e\) là số lẻ.

\( \Rightarrow d,\,\,e\) phải có một trong hai số là số chẵn.

Mà \(d,\,\,e\) là hai số nguyên tố \( \Rightarrow e = 2\) (vì \(2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất).

\( \Rightarrow d\) là số nguyên tố lẻ.

Vì \(b + c\) cũng là số lẻ \( \Rightarrow b,\,\,c\) phải có một số chẵn và một số lẻ.

Giả sử \(c\) chẵn \( \Rightarrow c = 2\) (vì \(2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất).

\( \Rightarrow c = e = 2\)

\( \Rightarrow a = b + 2 = d - 2 \Rightarrow d = b + 4\)

Vậy ta cần tìm số nguyên tố \(b\)  sao cho \(b + 2\)  và \(b + 4\)  cùng là số nguyên tố

+) Với \(b = 2\) (loại, vì \(b\)  là số lẻ)

+) Với \(b = 3 \Rightarrow b + 2 = 3 + 2 = 5\) là số nguyên tố

            \(b + 4 = 3 + 4 = 7\) là số nguyên tố

+) Với  \(b > 3 \Rightarrow b = 3k + 1;b = 3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

     \(b = 3k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow b + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên là hợp số.

     \(b = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3\left( {k + 2} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên là hợp số

\( \Rightarrow b > 3\) (loại)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow b = 3\\ \Rightarrow a = b + c = 3 + 2 = 5.\end{array}\)

Vậy số nguyên tố phải tìm là \(5.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Nếu \(pq + 11\) là số nguyên tố thì nó phải là số lẻ (Vì là số nguyên tố lớn hơn \(2\)).

\( \Rightarrow \) Ít nhất một trong các số \(p\) và  \(q\)  phải chẵn, tức là: \(p = 2\) hoặc \(q = 2.\)

a) Giả sử: \(p = 2 \Rightarrow 7p + q = 7.2 + q = 14 + q\)

\( \Rightarrow pq + 11 = 2q + 11\)

 +) Nếu \(q = 2 \Rightarrow 14 + q = 14 + 2 = 16\) là hợp số.

 +) Nếu \(q = 3 \Rightarrow 14 + q = 14 + 3 = 17\) và \(6 + 11 = 17\) đều là các số nguyên tố.

Nếu \(q\)  là số nguyên tố lớn hơn 3 thì nó không chia hết cho \(3 \Rightarrow q = 3k + 1;\,\,\,\,q = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

   Với \(q = 3k + 1 \Rightarrow 14 + q = 14 + 3k + 1 = 3k + 15 = 3\left( {k + 5} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số

   Với \(q = 3k + 2 \Rightarrow 2q + 11 = 2\left( {3k + 2} \right) + 11 = 6k + 15 = 3\left( {2k + 5} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên là hợp số

\( \Rightarrow p = 2\) và \(q = 3.\)

b) Giả sử: \(q = 2\).

Lập luận tương tự a) ta được  \(p = 3\) và \(q = 2.\)

Vậy các số nguyên tố phải tìm là: \(p = 2\) và \(q = 3\) hoặc \(p = 3\)  và \(q = 2.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm số nguyên tố cùng nhau:

Hai số nguyên tố được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước chung lớn nhất bằng 1

Lời giải chi tiết:

a) Giả sử \(a\) và \(ab + 4\)  cùng chia hết cho một số tự nhiên \(d\,\,\,\,\left( {d \ne 0} \right)\)

Như vậy thì  \(ab \vdots d \Rightarrow \left( {ab + 4} \right) - ab \vdots d \Rightarrow 4\, \vdots \,d\)

\( \Rightarrow d \in \left\{ {1;2;4} \right\}\)

Nhưng \(a\)  không chia hết cho \(2\)  và \(4\)  vì \(a\) là số  lẻ.

\( \Rightarrow d\)  chỉ có thể bằng \(1.\)

\( \Rightarrow \) Các số \(a\)  và \(ab + 4\)  nguyên tố cùng nhau (đpcm)

b) Các số nguyên tố lớn hơn \(3\)  có dạng: \(3k + 1;3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

Có ba số mà chỉ có hai dạng nên tồn tại hai số thuộc cùng một dạng

\( \Rightarrow \) Hiệu của chúng là \(d\)  hoặc \(2d\)  chia hết cho \(3.\)

\( \Rightarrow d\)  chia hết cho \(3.\)

Mặt khác \(d\)  chia hết cho \(2\)  vì \(d\)  là hiệu của hai số lẻ.

Vậy \(d\)  chia hết cho \(6.\)

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với  \(k \in \mathbb{N}\) thì \(k\)  có dạng: \(3t,\,\,\,3t + 1,\,\,3t + 2\,\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)

Nếu \(k = 3t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow k + 99 = 3t + 99 = 3\left( {t + 33} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 1\,\,\left( {t \in N} \right) \Rightarrow k + 77 = 3t + 1 + 77 = 3t + 78 = 3\left( {t + 26} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 2\left( {t \in N} \right) \Rightarrow k + 1 = 3t + 2 + 1 = 3t + 3 = 3\left( {t + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Do đó trong ba số \(k + 1,\,\,\,k + 77,\,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) luôn có một số chia hết cho \(3\)

Khi đó, để  \(k + 1,\,\,k + 77,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) cùng là số nguyên tố thì phải có một số bằng 3

Mà \(3 < k + 77 < k + 99 \Rightarrow k + 1 = 3 \Rightarrow k = 2\)

Thử lại \(k = 2 \Rightarrow k + 1 = 3,\,\,k + 77 = 79,\,\,k + 99 = 101\) đều là số nguyên tố.

Vậy \(k = 2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với  \(p = 2 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.2^2} - 3 = 5;2{p^2} + 3 = {2.2^2} + 3 = 11\) đều là số nguyên tố

Với \(p = 3 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.3^2} - 3 = 15\) không là số nguyên tố

Với \(p = 5 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.5^2} - 3 = 47;\,\,\,2{p^2} + 3 = {2.5^2} + 3 = 53\) đều là số nguyên tố

Với \(p > 5 \Rightarrow p = 5k \pm 1;p = 5k \pm 2\left( {k \in N} \right)\)

+) Với \(p = 5k \pm 1 \Rightarrow 2{p^2} + 3 = 2{\left( {5k \pm 1} \right)^2} + 3 = 50{k^2} \pm 20k + 5 > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số

+) Với \(p = 5k \pm 2 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = 2{\left( {5k \pm 2} \right)^2} - 3 = 50{k^2} \pm 40k + 5 > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số

Vậy \(p = 2,\,\,p = 5\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Phương pháp giải:

+)  Nếu phép chia số \(a\) cho số \(b\) được thương là \(q\) và số dư là \(r\) thì ta viết: \(a = b.q + r\,\,\,\,\) \(\left( {a,\,\,b,\,\,q,\,\,r \in \mathbb{N};\,\,\,b \ne 0;\,\,r < b} \right).\)

+) Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng tích các thừa số nguyên tố.

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

Lời giải chi tiết:

Gọi số nguyên tố cần tìm là \(p\,\,\,\left( {p < 200} \right).\)

Ta có:  \(p = 60k + r\,\,\,\,\left( {k,r \in {\mathbb{N}^*};\,\,\,0 < r < 60} \right)\)

\( \Rightarrow p = {2^2}.3.5k + r\)

Vì \({2^2}.3.5k\) chia hết cho \(2,\) cho \(3,\) cho \(5\) và \(p\) là số nguyên tố.

\( \Rightarrow r\) không chia hết cho \(2,\) cho \(3,\) cho \(5.\)

Mà \(0 < r < 60\) và \(r\) là hợp số nên \(r = 49\)

\( \Rightarrow p = 60k + 49.\)

Mặt khác \(p < 200\)

\( \Rightarrow p = 60.1 + 49 = 109\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Hoặc  \(p = 60.2 + 49 = 169 = {13^2}\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy số nguyên tố cần tìm là \(109.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

a) Với: \(n = 3k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 1} \right)\left( {3k + 1} \right) = 3k\left( {3k + 1} \right) + 3k + 1.\)

\( \Rightarrow {n^2}\) chia 3 dư 1 ( Vì \(3k\left( {k + 1} \right) \vdots 3;3k \vdots 3\))

Với: \(n = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n^2} = \left( {3k + 2} \right)\left( {3k + 2} \right) = 3k\left( {3k + 2} \right) + 2\left( {3k + 2} \right)\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 6k + 4\\ = 3k\left( {3k + 2} \right) + 3\left( {2k + 1} \right) + 1\end{array}\)

Vì \(3k\left( {3k + 2} \right)\,\, \vdots \,\,3,\,\,\,3\left( {2k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

\( \Rightarrow {n^2}\) chia \(3\) dư \(1.\) 

b) Vì \(p\)  là số nguyên tố lớn hơn \(3\)  nên \(p\)  không chia hết cho \(3.\)

Vậy \({p^2}\) chia cho \(3\)  dư \(1\)  tức là \({p^2} = 3k + 1 \Rightarrow {p^2} + 2003 = 3k + 1 + 2003 = 3k + 2004\,\, \vdots \,\,3\)

(Vì \(3k\,\, \vdots \,\,3;\,\,\,2004\,\, \vdots \,\,3\)).

Vậy \({p^2} + 2003\) là hợp số.

Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

Lời giải chi tiết:

a) Tổng của ba hợp số khác nhau nhỏ nhất bằng: \(4 + 6 + 8 = 18\)

\( \Rightarrow \) Số \(17\) không viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau

b) Gọi \(2k + 1\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) là một số lẻ bất kì lớn hơn \(17.\)

Ta luôn có \(2k + 1 = 4 + 9 + \left( {2k - 12} \right)\)

Cần chứng minh \(2k - 12\) là hợp số chẵn lớn hơn \(4.\)

  Ta có: \(2k - 12 = 2\left( {k - 6} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\)  nên \(2k - 12\) là hợp số.

Vì \(2k + 1 > 17 \Rightarrow 2k > 16 \Rightarrow k > 8\)

\( \Rightarrow 2k - 12 > 16 - 12 = 4\)

Vậy mọi số lẻ lớn hơn \(17\)  đều viết được dưới dạng tổng của ba hợp số khác nhau (đpcm).

Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

a) Mọi số tự nhiên lớn hơn \(3\)  khi chia cho \(6\)  chỉ có thể xảy ra một trong \(6\)  trường hợp: dư \(0,\) dư \(1,\) dư \(2,\)  dư \(3,\)  dư \(4\) và  dư \(5.\)

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(0\)  thì \(p = 6k \Rightarrow p\) là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(1\)  thì \(p = 6k + 1.\)

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(2\)  thì \(p = 6k + 2 = 2\left( {3k + 1} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\)  nên \(p\)  là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(3\)  thì \(p = 6k + 3 = 3\left( {2k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên \(p\)  là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\) dư \(4\)  thì \(p = 6k + 4 = 2\left( {3k + 2} \right) > 2\) và chia hết cho \(2\) nên \(p\)  là hợp số.

+) Nếu p chia \(6\)  dư \(5\)  thì \(p = 6k + 5\)

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn \(3\) chia cho \(6\) chỉ có thể dư \(1\)  hoặc dư \(5,\)  tức là \(p = 6k + 1\)  hoặc \(p = 6k + 5\)

b) Nếu \(p\)  có dạng \(p = 6k + 1 \Rightarrow 8p + 1 = 8\left( {6k + 1} \right) + 1 = 48k + 9 = 3\left( {16k + 3} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên số này là hợp số.

\( \Rightarrow p\)  không có dạng \(p = 6k + 1\) mà có dạng  \(p = 6k + 5 \Rightarrow 4p + 1 = 4\left( {6k + 5} \right) + 1 = 24k + 21 = 3\left( {8k + 7} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên là số này là hợp số.

Vậy \(4p + 1\) là hợp số (đpcm).

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất: Số tự nhiên nằm giữa hai số nguyên tố lẻ liên tiếp thì phải là hợp số.

Lời giải chi tiết:

Từ \(p,\,\,q\)  là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nên \(\frac{{p + q}}{2}\) là số tự nhiên.

Do vai trò của \(p,\,\,q\)  như nhau nên giả sử: \(p < q \Rightarrow 2p < p + q < 2q \Leftrightarrow p < \frac{{p + q}}{2} < q\)

Vậy \(\frac{{p + q}}{2}\) là số tự nhiên và nằm giữa \(2\) số nguyên tố lẻ liên tiếp.

\( \Rightarrow \frac{{p + q}}{2}\) là hợp số.

Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) Suy ra, các số đó đều chia hết cho \(d\). Lập luận để chứng minh \(d = 1\).

Áp dụng \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right. \Rightarrow a \pm b \vdots m\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(UCLN\left( {2n,2n + 1} \right) = d\) với \(d \in {\mathbb{N}^*}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n \vdots d\\2n + 1 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2n + 1} \right) - 2n \vdots d \Rightarrow 2n + 1 - 2n \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d\\ \Rightarrow d \in U\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow d = 1\\ \Rightarrow \left( {2n,2n + 1} \right) = 1\end{array}\)

Vậy \(2n\) và \(2n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) Suy ra, các số đó đều chia hết cho \(d\). Lập luận  để chứng minh \(d = 1\).

Áp dụng thêm \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right. \Rightarrow a \pm b \vdots m\) và \(a \vdots b \Rightarrow k.a \vdots b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(2n + 5\) và \(4n + 12\) với \(n \in \mathbb{N}\).

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}2n + 5 \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\left( {2n + 5} \right) \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4n + 10 \vdots d\\4n + 12 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {4n + 12} \right) - \left( {4n + 10} \right) \vdots d\)

\( \Rightarrow 4n + 12 - 4n - 10 \vdots d\)

\( \Rightarrow 2 \vdots d\)

\( \Rightarrow d \in U\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}\)

Vì \(2n\) chẵn nên \(2n + 5\) là số tự nhiên lẻ.

Với \(d = 2\) thì \(2n + 5 \vdots 2\) (Vô lý) \( \Rightarrow d = 2\) (loại)

\( \Rightarrow d = 1\)

\( \Rightarrow \)\(2n + 5\) và \(4n + 12\) là hai số nguyên tố cùng nhau với \(n \in \mathbb{N}\).

Phương pháp giải:

+) Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng \(2k + 1\) và \(2k + 3\) với \(k \in \mathbb{N}\).

Lời giải chi tiết:

Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp có dạng \(2n + 1\) và \(2n + 3\) với \(n \in \mathbb{N}\).

Gọi \(d = UCLN\left( {2n + 3,2n + 1} \right)\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 3 \vdots d\\2n + 1 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {2n + 3} \right) - \left( {2n + 1} \right) \vdots d \Rightarrow 2 \vdots d\)

\( \Rightarrow d \in U\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}\)

Với \(d = 2\)(loại) do \(2n + 1\) và \(2n + 3\) là hai số tự nhiên lẻ.

\( \Rightarrow d = 1\)

\( \Rightarrow \)\(2n + 1\) và \(2n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau với \(n \in \mathbb{N}\).

Vậy hai số tự nhiên lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải:

Để chứng minh là phân số tối giản ta chỉ cần chứng minh tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d = UCLN\left( {3n + 2,5n + 3} \right)\) với \(n \in \mathbb{N}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n + 2 \vdots d\\5n + 3 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5.\left( {3n + 2} \right) \vdots d\\3.\left( {5n + 3} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}15n + 10 \vdots d\\15n + 9 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right) \vdots d\)

\( \Rightarrow 15n + 10 - 15n - 9 \vdots d\)

\( \Rightarrow 1 \vdots d\)

\( \Rightarrow d \in U\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\}\)

\( \Rightarrow d = 1\)

Suy ra, \(3n + 2\) và \(5n + 3\) là hai số nguyên cùng nhau.

Vậy \(\frac{{3n + 2}}{{5n + 3}}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên \(n\).

Phương pháp giải:

Chứng minh bằng phản chứng.

Lời giải chi tiết:

Giả sử  phản chứng, \(ab\) và \(a - b\) không phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

Suy ra, \(ab\) và \(a - b\) có ít nhất một ước chung là số nguyên tố.

Gọi \(d\) là ước nguyên tố chung của \(ab\) và \(a - b\).

Ta có : \(\left( {ab;a - b} \right) = d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab \vdots d\\a - b \vdots d\end{array} \right.\)

Với \(d\) là số nguyên tố và \(ab \vdots d\) suy ra \(a \vdots d\) hoặc \(b \vdots d\).

Giả sử, \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots d\\a - b \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow b \vdots d \Rightarrow \)\(d\) là ước chung của \(a\) và \(b\) (mâu thuẫn với giả thiết \(a{;^{}}b\) là hai số nguyên tố cùng nhau).

Vậy \(ab\) và \(a - b\) cũng là hai số nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải:

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \(1\), chỉ có hai ước là \(1\) và chính nó.

- Lưu ý: Số \(0\) và \(1\) không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

Lời giải chi tiết:

Số nguyên tố lớn nhất nhưng nhỏ hơn \(30\) là \(29\). Do đó bạn Nguyễn sinh ngày \(29\).

Số nguyên tố nhỏ nhất là \(2\). Do đó bạn Nguyễn sinh tháng \(2\).

Vậy bạn Nguyễn sinh ngày \(29/2\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Tính chất: Với \(p = 3k \pm 1,\,\,\,k \in {\mathbb{Z}^ + }\) thì \({p^4}\) chia cho 3 dư 1.

+) Tính chất: Nếu \(a\) chia hết cho số nguyên tố \(p\)  và \(a > p\) thì \(a\) là hợp số.

Lời giải chi tiết:

Xét \(p = 2 \Rightarrow {p^4} + 2 = {2^4} + 2 = 18\) là hợp số (ktm).

Xét \(p = 3 \Rightarrow {p^4} + 2 = {3^4} + 2 = 83\) là số nguyên tố.

Xét \(p > 3\) và \(p\) là số nguyên tố thì \(p = 3k \pm 1,\,\,\,k \in {\mathbb{Z}^ + }\)

\( \Rightarrow {p^4}\) có dạng \(3n + 1,\,\,n \in {\mathbb{Z}^ + }\)

\( \Rightarrow {p^4} + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3\left( {n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\) và lớn hơn 3 nên là hợp số.

Vậy \(p = 3\) thì \({p^4} + 2\) là số nguyên tố.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào mệnh đề: Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3.

Lời giải chi tiết:

Ta có mệnh đề: Trong ba số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3.

Xét ba số tự nhiên liên tiếp: \({2^n} - 1;\,\,{2^n};\,\,{2^n} + 1\) có một số chia hết cho 3.

Mà \({2^n}\) không chia hết cho 3 với mọi \(n.\)

\( \Rightarrow \) Một trong hai số \({2^n} - 1;\,\,\,{2^n} + 1\) phải có một số chia hết cho 3

Với \(n > 2 \Rightarrow {2^n} - 1 > 3;\,\,\,{2^n} + 1 > 3\)

\( \Rightarrow \) Trong hai số \({2^n} - 1;\,\,{2^n} + 1\) phải có ít nhất một số là hợp số.

Với \(n = 6 \Rightarrow {2^n} - 1 = {2^6} - 1 = 63;\)\({2^n} + 1 = {2^6} + 1 = 65\) đều là hợp số.

Vậy hai số \({2^n} - 1;\,\,\,{2^n} + 1\) đồng thời là hợp số.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Tính chất: Nếu \(a\) chia hết cho số nguyên tố \(p\) và \(a > p\) thì \(a\) là hợp số.

Lời giải chi tiết:

Với \(p = 2 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.2^2} - 3 = 5;\)\(2{p^2} + 3 = {2.2^2} + 3 = 11\) đều là số nguyên tố.

Với \(p = 3 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.3^2} - 3 = 15\) không là số nguyên tố.

Với \(p = 5 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = {2.5^2} - 3 = 47;\)\(2{p^2} + 3 = {2.5^2} + 3 = 53\) đều là số nguyên tố.

Với \(p > 5 \Rightarrow p = 5k \pm 1;\,\,p = 5k \pm 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

+) Với \(p = 5k \pm 1 \Rightarrow 2{p^2} + 3 = 2{\left( {5k \pm 1} \right)^2} + 3\)\( = 50{k^2} \pm 20k + 5 > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số

+) Với \(p = 5k \pm 2 \Rightarrow 2{p^2} - 3 = 2{\left( {5k \pm 2} \right)^2} - 3\)\( = 50{k^2} \pm 40k + 5 > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số

Vậy \(p = 2,\,\,p = 5\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Dựa vào tính chất: Tổng của ba số nguyên tố đã cho là số chẵn thì trong ba số đó phải có một số bằng 2.

Lời giải chi tiết:

Tổng ba số \(\left( {3n - 4} \right) + \left( {4n - 5} \right) + \left( {5n - 3} \right) = 12n - 12\) là số chẵn nên trong ba số phải có một số là số chẵn và là số nguyên tố.

\( \Rightarrow \) số đó bằng \(2\)

Vì \(4n - 5\) là số lẻ nên ta có các trường hợp:

TH1: \(3n - 4 = 2 \Rightarrow 3n = 6 \Rightarrow n = 2\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}3n - 2 = 2\\4n - 5 = 3\\5n - 3 = 7\end{array} \right.\) đều là số nguyên tố \( \Rightarrow n = 2\) thỏa mãn bài toán.

TH2: \(3n - 3 = 2 \Rightarrow 5n = 5 \Rightarrow n = 1\)

Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}3n - 4 = 3.1 - 4\,\,\left( {ktm} \right)\\4n - 5 = 4.1 - 5\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\5n - 3 = 5.1 - 3 = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow n = 1\) không thỏa mãn.

Vậy \(n = 2.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Tính chất chia hết liên quan đến sô nguyên tố:

Nếu \(ab\,\, \vdots p\) (\(p\) là số nguyên tố) thì  \(a\,\, \vdots p\) hoặc  \(b\,\, \vdots p.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có với mọi số tự nhiên \(d \in {\mathbb{N}^*}\) ta đều có thể viết được \(d = {d_1}.{d_2}\,\,\,\left( {{d_1},{d_2} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Từ \(ab = cd\) ta có các trường hợp:

TH1: Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) thì không có số lẻ nào hoặc chỉ có hai số lẻ.

Khi đó \(a + b + c + d\) là số chẵn lớn hơn  \(2.\)

Vậy \(a + b + c + d\) là hợp số.

TH2: Một trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là số chẵn còn lại ba số lẻ.

Điều này không xảy ra vì \(ab = cd.\)

TH3: Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\)  có ba số chẵn và một số lẻ.

Chẳng hạn:  \(a,\,\,b,\,\,c\)  chẵn và \(d\)  lẻ. Từ \(ab = cd \Rightarrow ab \vdots d\)

Nếu \(d\) là số nguyên tố thì \(a \vdots d\) hoặc \(b \vdots d\)

Giả sử \(b \vdots d \Rightarrow b = kd \Rightarrow ab = akd = cd\) hay \(c = ka\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d = a + kd + ka + d = \left( {k + 1} \right)\left( {a + d} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d\) là hợp số.

Nếu \(d = {d_1}.{d_2}\) ,từ \(ab = cd \Rightarrow ab = c{d_1}{d_2}\)

Ta có: \(a = {k_1}{d_1};b = {k_2}{d_2}\) (hoặc \(a = {k_1}{d_2};\,\,\,b = {k_2}{d_1}\))

\( \Rightarrow ab = cd = {k_1}{k_2}{d_1}{d_2} = {k_1}{k_2}d \Rightarrow c = {k_1}{k_2}\)

Vậy \(a + b + c + d = {k_1}{d_1} + {k_2}{d_2} + {k_1}{k_2} + {d_1}{d_2}\)\( = \left( {{k_1} + {d_2}} \right)\left( {{k_2} + {d_1}} \right)\)

Do \({k_2},\,\,{k_2},\,{d_1},\,{d_2} \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(a + b + c + d\) là hợp số.

Vậy \(a + b + c + d\) là hợp số.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Áp dụng kiến thức về số nguyên.

- Áp dụng kiến thức định nghĩa số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Tích hai số là một số nguyên tố  nên một trong hai số là 1, số còn lại gọi là a là số nguyên tố.

Theo đề bài a + 1 cũng là số nguyên tố nên xét 2 thường hợp.

+) Nếu a + 1 là số lẻ thì a là chẵn, do a là nguyên tố nên a là 2.

+) Nếu a + 1 là chẵn thì a + 1 = 2 vì 1 + 2 là số nguyên tố khi đó a = 1 không phải là số nguyên tố (loại).

 Vậy hai số cần tìm là 1 và 2.

Phương pháp giải:

Đặt ƯCLN của chúng là d suy ra mỗi số đều chia hết cho d, sau đó ta tìm cách chứng minh \(d = 1\)

Lời giải chi tiết:

Đặt ƯCLN\(\left( {2n + 1;6n + 5} \right) = d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {6n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {2n + 1} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {6n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {6n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\\left( {6n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\left( {6n + 5} \right) - \left( {6n + 3} \right)} \right]\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow \left( {6n + 5 - 6n - 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 2\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\}\end{array}\)

Mặt khác \(2n + 1\) là số lẻ nên \(d \ne 2\) \( \Rightarrow d = 1\)

Vậy \(2n + 1\) và \(6n + 5\) là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.

Phương pháp giải:

Xét hai trường hợp với \(n = 0\) và \(n > 0\), dựa vào tính chất chia hết và tính chất chia hết cho 3 để kết luận.

+ Dấu hiệu chia hết cho 3 : Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

+ Tính chất chia hết của một tổng: Nếu \(a \vdots c\,\,,\,\,\,b \vdots c\,\, \Rightarrow \left( {a + b} \right) \vdots c\)

Lời giải chi tiết:

Nếu \(n = 0\) thì \({2019^n} + 6 = {2019^0} + 6 = 7\)là số nguyên tố.

Nếu \(n > 0\) thì \({2019^n} + 6\)là hợp số, (vì \(2019 \vdots 3\) và \(6 \vdots 3\) nên \({2019^n} + 6\,\, \vdots 3\)

Vậy \(n = 0\) thì \({2019^n} + 6\) là số nguyên tố.

Chọn D

Phương pháp giải:

+) Tính chất chẵn lẻ của một số nguyên tố.

+) Số \(2\) là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(p\) là số nguyên tố nên ta xét:

TH1: \(p < 3 \Rightarrow p = 2.\)

Ta có: \({p^2} + 2 = {2^2} + 2 = 8\) là hợp số (mâu thuẫn với đề bài).

\( \Rightarrow p = 2\) không thỏa mãn.

TH2: \(p = 3 \Rightarrow {p^2} + 2 = {3^2} + 2 = 11\) là số nguyên tố.

\( \Rightarrow {p^3} + 2 = {3^3} + 2 = 29\) là số nguyên tố.

Vậy \(p = 3\) thỏa mãn trường hợp \(p,\,\,{p^2} + 2\) là các số nguyên tố thì \({p^3} + 2\) cũng là số nguyên tố.

TH3: \(p > 3 \Rightarrow p = 3k + 1\) hoặc \(p = 3k + 2.\)  

+) Với \(p = 3k + 1\) ta có:

\({p^2} + 2\) cũng là số nguyên tố \( \Rightarrow {\left( {3k + 1} \right)^2} + 2 = 9{k^2} + 6k + 1 + 2 = 9{k^2} + 6k + 3\,\, \vdots \,\,2\)

\( \Rightarrow \) Trường hợp \(p = 3k + 1\) không thỏa mãn bài toán.

+)  Với \(p = 3k + 2\) ta có:

\({p^2} + 2 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 2 = 9{k^2} + 12k + 4 + 2 = 9{k^2} + 12k + 6\,\, \vdots \,\,3\)

\( \Rightarrow p > 3\) không có trường hợp nào thỏa mãn.

Vậy \(p,\,\,{p^2} + 2\) là số nguyên tố thi \({p^3} + 2\) cũng là số nguyên tố.

Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

+) Nếu \(ab \vdots p\) (\(p\) là số nguyên tố)  thì  \(a \vdots p\) hoặc \(b\,\, \vdots p.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có với mọi số tự nhiên \(d \in {\mathbb{N}^*}\) ta đều có thể viết được  \(d = {d_1}.{d_2}\,\,\left( {{d_1},\,\,{d_2} \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Từ \(ab = cd\) ta có các trường hợp:

1) Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) thì không có số lẻ nào hoặc chỉ có hai số lẻ.

Khi đó \(a + b + c + d\) là số chẵn lớn hơn 2

Vậy \(a + b + c + d\) là hợp số.

2) Một trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là số chẵn còn lại ba số lẻ.

Điều này không xảy ra vì \(ab = cd\)

3) Trong bốn số \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) có ba số chẵn và một số lẻ.

Chẳng hạn: \(a,\,\,b,\,\,c\)  chẵn và \(d\)  lẻ.

Từ \(ab = cd \Rightarrow ab \vdots d\)

Nếu \(d\)  là số nguyên tố thì \(a \vdots d\) hoặc \(b \vdots d\)

Giả sử \(b \vdots d \Rightarrow b = kd \Rightarrow ab = akd = cd\) hay \(c = ka\,\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d = a + kd + ka + d = \left( {k + 1} \right)\left( {a + d} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c + d\) là hợp số.

Nếu \(d = {d_1}.{d_2},\) từ \(ab = cd \Rightarrow ab = c{d_1}{d_2}\)

Ta có: \(a = {k_1}{d_1},b = {k_2}{d_2}\) (hoặc \(a = {k_1}{d_2},b = {k_2}{d_1}\))

\( \Rightarrow ab = cd = {k_1}{k_2}{d_1}{d_2} = {k_1}{k_2}d \Rightarrow c = {k_1}{k_2}\)

Vậy \(a + b + c + d = {k_1}{d_1} + {k_2}{d_2} + {k_1}{k_2} + {d_2}{d_2} = \left( {{k_1} + {d_2}} \right)\left( {{k_2} + {d_1}} \right).\)

Do \({k_1},\,\,{k_2},\,\,{d_1},\,\,{d_2} \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(a + b + c + d\) là hợp số.

Vậy \(a + b + c + d\) là hợp số (đpcm).

Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung của hai số đó và \(d\) là số nguyên tố.

+) Tìm điều kiện của \(n\) để \(d\) là những số nguyên tố khác \(1\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của \(9n + 24\) và \(3n + 4\) và \(d\) là số nguyên tố.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9n + 24 \vdots d\\3n + 4 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1.\left( {9n + 24} \right) \vdots d\\3.\left( {3n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}9n + 24 \vdots d\\9n + 12 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {9n + 24} \right) - \left( {9n + 12} \right) \vdots d\)

\( \Rightarrow 9n + 24 - 9n - 12 \vdots d\)

\( \Rightarrow 12 \vdots d \Rightarrow d \in U\left( {12} \right)\)

Mà \(d\) là số nguyên tố nên \(d \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Để \(9n + 24\) và \(3n + 4\) là các số nguyên tố cùng nhau thì \(d = 1;\,\,d \ne 2,\,\,d \ne 3.\)

+) Để \(d \ne 2\) thì có ít nhất một trong hai số \(9n + 24\) và \(3n + 4\) không chia hết cho \(2\) khi đó có ít nhất một trong hai số \(9n + 24\) và \(3n + 4\) là số lẻ.

\(9n + 24\) lẻ khi và chỉ khi \(9n\) lẻ \( \Rightarrow \)\(n\) lẻ.

\(3n + 4\) lẻ khi và chỉ khi \(3n\) lẻ \( \Rightarrow \)\(n\) lẻ.

+) \(d \ne 3\) hiển nhiên vì \(3n + 4\) không chia hết cho \(3\).

Vậy với \(n\) là số tự nhiên lẻ thì \(9n + 24\) và \(3n + 4\) là các số nguyên tố cùng nhau.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung của hai số tự nhiên đã cho.

+) Lập luận để chứng minh \(d = 1\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab + 4\,\,\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\,\, \vdots d\\ab + 4\, \vdots d\end{array} \right.\).

Vì \(a\, \vdots d\) nên \(ab \vdots d\) mà \(ab + 4 \vdots d\) suy ra \(4 \vdots d\).

\( \Rightarrow d \in U\left( 4 \right) = \left\{ {1;2;4} \right\}\)

Mặt khác, \(a\) là số tự nhiên lẻ nên \(d \ne 2{,^{}}d \ne 4\).

Do đó, \(d = 1\).

Vậy \(a\) và \(ab + 4\) nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải:

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \(1\), chỉ có hai ước là \(1\) và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\), có nhiều hơn hai ước.

Lời giải chi tiết:

Số \(2019\) có tổng các chữ số là \(2 + 0 + 1 + 9 = 12\).

Mà \(12\) chia hết cho \(3\) nên \(2019\) chia hết cho \(3\).

Suy ra với mọi \(n\) nguyên dương ta có \({2019^n}\) chia hết cho \(3\).

Lại có \(6\) chia hết cho \(3\)

\( \Rightarrow {2019^n} + 6\) chia hết cho \(3\) với mọi với \(n\) nguyên dương.

\( \Rightarrow {2019^n} + 6\) là hợp số  với mọi với \(n\) nguyên dương.

Do đó để \({2019^n} + 6\) không chia hết cho \(3\) thì \({2019^n} = 1,\)  hay \(n = 0\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

a) Biến đổi \(A\) về dạng tích có chứa thừa số \(32\).

b) Sử dụng tính chất số nguyên tố có thể có dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k + 5\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {9^{23}} + {5.3^{43}}\\A = {\left( {{3^2}} \right)^{23}} + {5.3^{43}}\\A = {3^{46}} + {5.3^{43}}\\A = {3^{43}}\left( {{3^3} + 5} \right)\\A = {3^{43}}.32 \vdots 32\end{array}\)

Vậy \(A\,\, \vdots \,\,32\).

b) Nếu \(p = 5\) thì \(\left( {5 - 1} \right)\left( {5 + 1} \right) = 4.6 = 24 \vdots 24\) (đúng).

Nếu \(p > 5\) thì \(p\) có dạng \(6k + 1\) hoặc \(6k + 5\).

+) Nếu \(p = 6k + 1\) thì \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) \( = \left( {6k + 1 - 1} \right)\left( {6k + 1 + 1} \right)\) \( = 6k.\left( {6k + 2} \right)\)

\( = 6k.2\left( {3k + 1} \right) = 12k\left( {3k + 1} \right)\)

Nếu \(k\) chẵn thì \(12k \vdots 24\) nên \(12k\left( {3k + 1} \right) \vdots 24\) hay \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 24\)

Nếu \(k\) lẻ thì \(3k + 1\) chẵn nên \(12k\left( {3k + 1} \right) \vdots 24\) hay \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 24\)

Do đó nếu \(p = 6k + 1\) thì \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right) \vdots 24\)

+) Nếu \(p = 6k + 5\) thì \(\left( {p - 1} \right)\left( {p + 1} \right)\) \( = \left( {6k + 5 - 1} \right)\left( {6k + 5 + 1} \right)\) \( = \left( {6k + 4} \right).\left( {6k + 6} \right)\)

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

+) Để chứng tỏ một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác 1 và \(a.\)

+) Mệnh đề: Một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có mệnh đề: Một số chính phương hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1.

Áp dụng mệnh đề trên ta xét trường hợp:

Nếu \(a,\,\,b,\,\,c\) đều là các số nguyên tố khác 3 thì \(a,\,\,b,\,\,c\) đều không chia hết cho 3.

Do đó \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) đều chia cho 3 dư 1

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \vdots 3\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} > 3\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2}\) là hợp số.

Vậy trong ba số nguyên tố \(a,\,\,b,\,\,c\) phải có ít nhất một số bằng 3.

Do vai trò của \(a,\,\,b,\,\,c\) như nhau, giả sử \(a = 3\)

Vì \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số nguyên tố liên tiếp nên ta xét các trường hợp:

Nếu \(b = 2,\,\,c = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = {3^2} + {2^2} + {5^2} = 38\) là hợp số.

Nếu \(b = 5,\,\,c = 7 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = {3^2} + {5^2} + {7^2} = 83\) là số nguyên tố.

Vậy ba số nguyên tố liên tiếp cần tìm là \(3;\,\,5;\,\,7.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Tính chất chẵn lẻ của 1 số nguyên tố.

+) Tính chất: ba số lẻ liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3.

Lời giải chi tiết:

Vì mỗi số hạng của dãy là tổng của hai số nguyên tố  nên mỗi số lẻ trong dãy là tổng của hai số và một số lẻ.

Giả sử dãy các số lẻ trong dãy tự nhiên là: \({x_1} = 2 + p;\,\,\)\({x_2} = 2 + p + 2;\,\,\)\({x_3} = 2 + p + 4;.....\) và \(p;\,\,p + 2;\,\,p + 4;\,\,\,p + 6;.....\) là các số nguyên tố lẻ liên tiếp.

Với ba số lẻ liên tiếp luôn có một số chia hết cho 3.

\( \Rightarrow p\,\, \vdots \,\,3,\,\,p\) là số nguyên tố  (là số nguyên tố), \(p + 6 = 9\) là hợp số.

Vậy dãy số lẻ trong dãy các số tự nhiên thỏa mãn chỉ có nhiều nhất ba số: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2 + 3 = 5\\{x_2} = 2 + 3 + 2 = 7\\{x_3} = 2 + 3 + 4 = 9\end{array} \right..\)

Lại có: \(4 = 2 + 2;6 = 3 + 3;8 = 5 + 3;10 = 3 + 7\)

Vậy dãy số tự nhiên liên tiếp có nhiều nhất số hạng là: \(4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9;\,\,10\) (gồm 7 số).

Chọn A.