Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng định nghĩa: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó. Một định nghĩa khác tương đương: hợp số là số chia hết cho các số khác ngoài 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Số a phải là số tự nhiên > 1 và có nhiều hơn 2 ước thì a mới là hợp số.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Dùng định nghĩa số nguyên tố và hợp số

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

- Các số nguyên tố là: 79, vì 79 chỉ có ước là 1 và 79

- Các số hợp số là: 77; 121; 387.

Vì  \(77 \vdots  7\); \(  121 \vdots  11\) nên  \(387 \vdots 3\)  (do \(3+8+7=18 \vdots 3\)).

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức số nguyên tố: số nguyên tố là số chỉ có ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: \(0\) là bội của tất cả các số nên A sai.

Đáp án B: Bội cung của \(a,b\) chia hết cho cả \(a,b\) nên \(BC\left( {a,b} \right)\) không thể là số nguyên tố nên B đúng.

Đáp án C: Vì \(a\) và \(b\) là \(2\) số nguyên tố khác nhau nên không thể có bội chung là số chính phương (số chính phương là bình phương của \(1\) số) nên C sai.

Đáp án D: Ước chung của \(2\) số nguyên tố khác nhau chỉ là \(1\), không thể khác \(1\) nên D sai.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta thấy chỉ có đáp án D đúng vì 14 và 15 chỉ có duy nhất một ước chung là 1.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Xác nhận từng câu xem câu nào đúng câu nào sai. Lưu ý: 

Số nguyên tố là số khác 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Nhớ lại : Số nguyên gồm số nguyên âm, số nguyên dương và số 0.

Lời giải chi tiết:

a) Sai. Ta có thể chỉ ra có rất nhiều số có tận cùng là 3 ; 7 ; 9 nhưng lại là hợp số. Ví dụ : Số 5 và số 2 là số nguyên tố, nhưng tận cùng của nó khác 3 ; 7 ; 9. Và 9 là hợp số, 39 có tận cùng là 9 nhưng là hợp số không phải số nguyên tố. Số 303 là hợp số vì nó chia hết cho 3,……

b) Sai. Số 0 là số nguyên nhỏ hơn 1. Tuy nhiên thì số 0 không phải là số nguyên âm, cũng không phải là số nguyên dương.

c) Đúng. Hai tia đối nhau là hai tia chung gốc và tạo thành một đường thẳng.

d) Đúng. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất. 

Vậy chỉ có câu B là sai

Chọn B

Phương pháp giải:

Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn \(10\) rồi viết tập hợp

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \(1\), chỉ có hai ước là \(1\) và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \(1\), chỉ có hai ước là \(1\) và chính nó.

Nên các số nguyên tố nhỏ hơn \(10\) là: \(2,3,5,7\)

Tập hợp cần tìm là: \(\left\{ {2;3;5;7} \right\}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Áp dụng định nghĩa số nguyên tố và hợp số.

- Áp dụng: số nguyên tố chẵn duy  nhất là 2.

- Số 0; 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đáp án A:  Sai vì 0 và 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là số tự nhiên.

Đáp án C: Sai vì 1 không phải là hợp số.

Đáp án D:  Sai vì 7 không phải là hợp số.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Thực hiện phép tính để tìm ra kết quả.

- Áp dụng định nghĩa hợp số để tìm ra đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{align} & A.\,\,\,15-5+3=13. \\ & B.\,\,\,7.2+1=14+1=15. \\& C.\,\,\,14.6:4=84:4=21. \\ & D.\,\,\,6.4-12.2=24-24=0. \\\end{align}\)

Ta có 15 có ước là 1; 3; 5 và 15; 21 có ước là 1; 3; 7 và 21 nên 15 và 21 là hợp số.

0 không là số nguyên tố cũng không là hợp số.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Sử dụng kiến thức về số tự nhiên.

- Cách thực hiện phép toán.

- Sử dụng dấu hiệu của số chia hết.

-Sử dụng kiến thức về số nguyên tố và hợp số

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

+) \(11.7.4+7.10\)  là hợp số vì: \(11.7.4+7.11=11.7(4+1)=11.7.5\) chia hết cho 11, 7 và 5.

+) \({{3}^{4}}-8\)  là số nguyên tố vì: \({{3}^{4}}-8=81-8=73\)

+) \(155555\) là hợp số vì: \(155555\vdots 5\).

+) \(11111121\)  là hợp số vì: \(11111121\vdots 3\,\,(1+1+1+1+1+1+2+1=9\vdots 3)\)

+) \(\overline{abcabc}+22\)  là hợp số vì

\(\begin{align} & \,\,\,\,\overline{abcabc}+22 \\ & =1001.\overline{abc}+22 \\ & =11.91.\overline{abc}+2.11 \\ & =11.(91.\overline{abc}+2)\,\,\vdots \,\,11 \\ \end{align}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(51=3.17;\ \ 81={{3}^{4}};\ \ 91=13.7\) nên các số 51, 81, 91 đều có nhiều hơn 2 ước.

Số 71 chỉ có hai ước là 1 và 71.

Vậy trong các số đã cho, số 71 là số nguyên tố.

Chọn B 

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa:

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

- Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Chú ý: Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 10 và 15 đều có nhiều hơn hai ước nên là hợp số do đó các tập hợp {3; 10; 7; 13} và {13; 15; 17; 19}  không là tập hợp chỉ gồm các số nguyên tố.

Số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số nên {1; 2; 5; 7} cũng không là tập hợp chỉ gồm các số nguyên tố.

Tập hợp chỉ gồm các số nguyên tố là {3; 5; 7; 11}.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xác định x và y dựa vào tính chất đã học của số nguyên tố và số nguyên âm ta có thể xác định được. sau đó tính \(x + y\) rồi suy ra đối số của nó.

Lời giải chi tiết:

\(x\) là số nguyên tố lớn nhất có hai chữ số \( \Rightarrow x = 97\)

\(y\) là số nguyên âm lớn nhất \( \Rightarrow y =  - 1\)

\( \Rightarrow x + y = 97 + \left( { - 1} \right) = 96\)

\( \Rightarrow \) số đối của \(x + y\) là \( - 96\)

Chọn D

Phương pháp giải:

Dựa vào khái niệm số nguyên tố:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

a) +) Với \(p = 2\)

\( \Rightarrow p + 2 = 2 + 2 = 4\) (loại vì 4 là hợp số)

\(p + 4 = 2 + 4 = 6\) (loại vì 6 là hợp số)

  +) Với \(p = 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow p + 2 = 3 + 2 = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,p + 4 = 3 + 4 = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

  +) Với \(p > 3 \Rightarrow p\) có dạng: \(p = 3k + 1;p = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

-          Với \(p = 3k + 1\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)

\( \Rightarrow p + 2\) là hợp số (loại)

-          Với  \(p = 3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

\( \Rightarrow p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3\left( {k + 2} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)

\(p + 4\) là hợp số (loại)

Vậy \(p = 3.\)

b) Số nguyên tố lớn hơn \(3\) sẽ có dạng:  \(3k + 1;\,\,\,3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

+) Nếu \(p = 3k + 1 \Rightarrow p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\) là số nguyên tố (Vô lý vì  \(3\left( {k + 1} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên là hợp số)

\( \Rightarrow p = 3k + 1\) loại.

\( \Rightarrow \) p phải có dạng \(3k + 2\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) (Thật vậy, \(p + 2 = 3k + 2 + 2 = 3k + 4 = 3\left( {k + 1} \right) + 1\) là số nguyên tố)

\( \Rightarrow p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3\left( {k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Mặt khác: p là 1 số nguyên tố lớn hơn 3 cũng như  lớn hơn 2 nên p phải là 1 số nguyên tố lẻ

\( \Rightarrow p + 1\) là một số chẵn.

 \( \Rightarrow p + 1\,\, \vdots \,\,2\)

Mà \(\left( {3;2} \right) = 1 \Rightarrow p + 1 \vdots 6\)  (Đpcm)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cách chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(a = \underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,1}2\underbrace {111...1}_{n\,\,chu\,\,so\,1} = \underbrace {111...1}_{n + 1\,\,chu\,\,so\,\,1}\underbrace {00...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} + \underbrace {111...1}_{n + 1\,\,chu\,\,so\,\,1}\)

Ta có: \(\underbrace {111....1}_{n + 1\,\,\,chu\,\,so\,\,\,1}\underbrace {000....0}_{n\,\,chu\,\,\,so\,\,\,0}\,\, \vdots \,\,\underbrace {111....1}_{n + 1\,\,\,chu\,\,so\,\,\,1}.\)

\( \Rightarrow a > \underbrace {111...1}_{n + 1\,\,chu\,\,so\,1}\) và  \(a \vdots \underbrace {111...1}_{n + 1\,\,\,chu\,\,so\,\,1}\) nên \(a\)  là hợp số (đpcm).

b) Tổng các chữ số của \(C\)  là: \(2011\left( {2 + 7} \right) = 2011.9 > 9\) và chia hết cho \(9\)  nên \(C\)  là hợp số.

Phương pháp giải:

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn \(1\)  và có nhiều hơn \(2\) ước.

+) Để chứng minh một số tự nhiên \(a > 1\)  là hợp số, chỉ cần chỉ ra một ước khác \(1\)  và \(a.\) 

+) Tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích: \(a\,\, \vdots \,\,m \Rightarrow ka\,\, \vdots \,\,m\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Nếu \(p = 2 \Rightarrow 8p - 1 = 15\) là hợp số (ktm).

Nếu \(p = 3 \Rightarrow 8p - 1 = 23\) là số nguyên tố và \(8p + 1 = 25\) là hợp số (tm).

Nếu \(p > 3 \Rightarrow p = 3k + 1;\,\,\,p = 3k + 2\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\)

 Với \(p = 3k + 1\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow 8p + 1 = 8\left( {3k + 1}+1 \right) = 24k + 9 = 3\left( {8k + 3} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\)  nên \(8p + 1\) là hợp số.

 Với \(p = 3k + 2\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right) \Rightarrow 8p - 1 = 8\left( {3k + 2} \right) - 1 = 24k + 15 = 3\left( {8k + 5} \right) > 3\) và chia hết cho \(3\) nên \(8p - 1\) là hợp số. (vô lý)

Vậy \(8p + 1\) là hợp số khi \(8p - 1\) và \(p\)  là các số nguyên tố.

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa: Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng \(1\).

- Tìm ước chung lớn nhất của hai số.

Lời giải chi tiết:

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

\(7 = 1.7\)

\(18 = {1.2.3^2}\)

\( \Rightarrow UCLN\left( {7,18} \right) = 1\)

Vậy \(7\) và \(18\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải:

Xác định ước chung lớn nhất của hai số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}18 = {2.3^2}\\54 = {2.3^3}\end{array} \right. \Rightarrow UCLN\left( {18,54} \right) = 18\)

Vì \(18 \ne 1\) nên \(18\) và \(54\) không phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải:

+) Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \(1\), chỉ có \(2\) ước là \(1\) và chính nó.

+) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

+) Tính chất: Nếu \(a\) chia hết cho số nguyên tố \(p\) và \(a > p\) thì \(a\) là hợp số.

Lời giải chi tiết:

+) Với\(p = 2\) ta có: \(p + 6 = 8\) không phải là số nguyên tố.

\( \Rightarrow p = 2\) không thỏa mãn.

+) Với \(p = 3 \Rightarrow p + 6 = 3 + 6 = 9\) không phải là số nguyên tố.

\( \Rightarrow p = 3\) không thỏa mãn.

Vậy \(p = 2,p = 3\) không thỏa mãn.

+) Với \(p = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}p + 6 = 5 + 6 = 11\\p + 8 = 5 + 8 = 13\\p + 12 = 5 + 12 = 17\\p + 14 = 5 + 14 = 19\end{array} \right.\)

Các số \(11;\,\,\,13;\,\,\,17;\,\,19\) đều là các số nguyên tố.

\( \Rightarrow p = 5\) thỏa mãn.

+) Với \(p > 5 \Rightarrow p = 5k + 1,\,\,\,p = 5k + 2,\,\,\)\(p = 5k + 3,\,\,p = 5k + 4\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Nếu \(p = 5k + 1\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 14 = 5k + 1 + 14\)\( = 5k + 15 = 5\left( {k + 3} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Nếu \(p = 5k + 2\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 8 = 5k + 2 + 8\)\( = 5k + 10 = 5\left( {k + 2} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Nếu \(p = 5k + 3\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 12 = 5k + 3 + 12\)\( = 5k + 15 = 5\left( {k + 3} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Nếu \(p = 5k + 4\,\,\,\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)\( \Rightarrow p + 6 = 5k + 4 + 6\)\( = 5k + 10 = 5\left( {k + 2} \right) > 5\) và chia hết cho 5 nên là hợp số.

Vậy \(p = 5.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Lời giải chi tiết:

Với mọi  \(k \in \mathbb{N}\) ta có:  \(k = 3t,\,k = \,3t + 1,\,\,k = \,3t + 2\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)

Nếu \(k = 3t\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow k + 99 = 3t + 99 = 3\left( {t + 33} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 1\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow k + 77 = 3t + 1 + 77\)\( = 3t + 78 = 3\left( {t + 26} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Nếu \(k = 3t + 2\,\,\,\left( {t \in \mathbb{N}} \right)\)\( \Rightarrow k + 1 = 3t + 2 + 1\)\( = 3t + 3 = 3\left( {t + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\)

Do đó trong ba số \(k + 1,\,\,k + 77,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) luôn có một số chia hết cho 3.

Khi đó, để \(k + 1,\,\,k + 77,\,\,\,k + 99\,\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) cùng là số nguyên tố thì phải có một số bằng 3

Mà \(3 < k + 77 < k + 99\)\( \Rightarrow k + 1 = 3 \Rightarrow k = 2\)

Thử lại \(k = 2 \Rightarrow k + 1 = 3,\,\,\,k + 77 = 79,\,\,\,k + 99 = 101\) đều là số nguyên tố.

Vậy \(k = 2.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Dấu * có thể nhận các giá trị \(\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 3; 4; 6; 9 }\!\!\}\!\!\text{ }\)

- Dùng định nghĩa số nguyên tố để tìm ra số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đáp án A: Vì 43 là số nguyên tố

Đáp án B: 44 không phải là số nguyên tố (44 chia hết cho \(\left\{ 2;\text{ }4;\text{ }\ldots  \right\}\)).

Đáp án C: 46 không phải là số nguyên tố (46 chia hết cho \(\left\{ 1;\,\,2;\text{ 23;}\,\,\text{46} \right\}\)).

Đáp án D: 49 không phải là số nguyên tố (49 chia hết cho \(\left\{ 1;\,\,7;\,\,49 \right\}).\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Dùng phương pháp liệt kê, thử các trường hợp của từng đáp án

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đáp án A:  Hai số đó là: 2;3

Đáp án B: Ba số đó là: 3; 5; 7

Đáp án C: Số tận cùng là 21 chia hết 3 và 7.

Đáp án D:  Số tận cùng là 0; 5 chia hết cho 5

 Số tận cùng là 2; 4; 8 chia hết cho 2

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Áp dụng kiến thức về tập hợp

- Áp dụng kiến thức số nguyên tố và hợp số

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\begin{align} & A.\,\,\,\,0 \notin P \\ & B.\,\,\,\,2\notin P \\ & C.\,\,\,\,\text{ }\!\!\{\!\!\text{ 9;144;255 }\!\!\}\!\!\text{ }\subset \text{P} \\ & D.\,\,\,\,P\subset N \\ \end{align}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Sử dụng kiến thức: số nguyên tố chẵn nhỏ nhất là 2.

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Tổng 3 số nguyên tố là 578 là số chẵn, nên trong 3 số nguyên tố có ít nhất 1 số là số chẵn.

Ta đã biết số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố có tổng là 578 là số 2.

Phương pháp giải:

+) Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số đó.

+) Suy ra, các số đó đều chia hết cho \(d\). Lập luận  để chứng minh \(d = 1\).

Áp dụng thêm \(\left\{ \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right. \Rightarrow a \pm b \vdots m\) và \(a \vdots b \Rightarrow k.a \vdots b\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của hai số \(2n + 1\) và \(3n + 1\)\(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).

\(\begin{array}{l}UCLN\left( {2n + 1,3n + 1} \right) = d\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2n + 1 \vdots d\\3n + 1 \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3.\left( {2n + 1} \right) \vdots d\\2.\left( {3n + 1} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6n + 3 \vdots d\\6n + 2 \vdots d\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {6n + 3} \right) - \left( {6n + 2} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 6n + 3 - 6n - 2 \vdots d\\ \Rightarrow \left( {6n - 6n} \right) + \left( {3 - 2} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 1 \vdots d\\ \Rightarrow d \in U\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\} \Rightarrow d = 1\end{array}\)

Vậy \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\).