35 bài tập vận dụng Những hằng đẳng thức đáng nhớLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : Để biểu thức \(9{x^2} + 30x + a\) là bình phương của một tổng thì giá trị của \(a\) phải là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(9{{x}^{2}}+30x+a={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.5+a\) Để \(9{{x}^{2}}+30x+a\) là bình phương của một tổng thì \(a={{5}^{2}}=25\) Khi đó, ta có: \(9{{x}^{2}}+30x+25={{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.5+{{5}^{2}}={{\left( 3x+5 \right)}^{2}}\) Chọn B. Câu hỏi 2 : Tính giá trị của các biểu thức: \(a)\dfrac{{{{63}^2} - {{47}^2}}}{{{{215}^2} - {{105}^2}}}\) \(b)\dfrac{{{{437}^2} - {{363}^2}}}{{{{537}^2} - {{463}^2}}}\) \(c)\;{x^3} - {x^2}y + \dfrac{1}{3}x{y^2} - \dfrac{1}{{27}}{y^3}\) tại \(x = 2\) và \(y = 3\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(a)\dfrac{{{63}^{2}}-{{47}^{2}}}{{{215}^{2}}-{{105}^{2}}}=\dfrac{(63-47).\left( 63+47 \right)}{\left( 215-105 \right).\left( 215+105 \right)}=\dfrac{16.110}{110.320}=\dfrac{1}{20}\) \(b)\dfrac{{{437}^{2}}-{{363}^{2}}}{{{537}^{2}}-{{463}^{2}}}=\dfrac{(437-363).\left( 437+363 \right)}{\left( 537-463 \right).\left( 537+463 \right)}=\dfrac{74.800}{74.1000}=\dfrac{4}{5}\) \(c){{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+\dfrac{1}{3}x{{y}^{2}}-\dfrac{1}{27}{{y}^{3}}={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{3}y+3.x.{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}={{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}\) Tại \(x=2,y=3\) ta có: \({{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}={{\left( 2-\dfrac{1}{3}.3 \right)}^{3}}={{1}^{3}}=1\) Câu hỏi 3 : Rút gọn các biểu thức sau: \(a)\;2x{\left( {2x - 1} \right)^2} - 3x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 4x{\left( {x + 1} \right)^2}\) \(b)\;{\left( {a - b + c} \right)^2} - {\left( {b - c} \right)^2} + 2ab - 2ac\) \(c)\;{(3x + 1)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}\) \(d)\;{\left( {a + b + c} \right)^2} + {\left( {a - b - c} \right)^2} + {(b - c - a)^2} + {\left( {c - a - b} \right)^2}\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}a)\;2x{\left( {2x - 1} \right)^2} - 3x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 4x{\left( {x + 1} \right)^2}\\ = 2x.\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2.2x.1 + {1^2}} \right) - 3x\left( {{x^2} - {3^2}} \right) - 4x.\left( {{x^2} + 2.x.1 + {1^2}} \right)\\ = 2x.\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 3x\left( {{x^2} - 9} \right) - 4x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\ = 2x.4{x^2} - 2x.4x + 2x.1 - 3x.{x^2} + 3x.9 - 4x.{x^2} - 4x.2x - 4x.1\\ = 8{x^3} - 8{x^2} + 2x - 3{x^3} + 27x - 4{x^3} - 8{x^2} - 4x\\ = {x^3} - 16{x^2} + 25x\end{array}\) \(\begin{array}{l}b)\;{\left( {a - b + c} \right)^2} - {\left( {b - c} \right)^2} + 2ab - 2ac\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac - \left( {{b^2} - 2.b.c + {c^2}} \right) + 2ab - 2ac\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac - {b^2} + 2bc - {c^2} + 2ab - 2ac\\ = {a^2}\end{array}\) \(\begin{array}{l}c){\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}\\ = {\left( {\left( {3x + 1} \right) - \left( {3x + 5} \right)} \right)^2}\\ = {\left( {3x + 1 - 3x - 5} \right)^2}\\ = {( - 4)^2} = 16\end{array}\) \(\begin{array}{l}d){\left( {a + b + c} \right)^2} + {\left( {a - b - c} \right)^2} + {\left( {b - c - a} \right)^2} + {\left( {c - a - b} \right)^2}\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc + {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac + 2bc\\ + {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ac + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab - 2ac - 2bc\\ = 4{a^2} + 4{b^2} + 4{c^2} \end{array}\) Câu hỏi 4 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(x\) ta luôn có: \(a) - {x^2} + 4x - 5 < 0\) \(b)\;{x^6} + 3{x^3} + 3 > 0\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(a)-{{x}^{2}}+4x-5=-{{x}^{2}}+2.x.2-{{2}^{2}}-1=-\left( {{x}^{2}}-2.x.2+{{2}^{2}} \right)-1=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}-1\le -1\) \(\Rightarrow -{{x}^{2}}+4x-5<0\) với mọi giá trị của \(x\). \(b){{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}+2.{{x}^{3}}.\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}={{\left( {{x}^{3}}+\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4}\) \(\Rightarrow {{x}^{6}}+3{{x}^{3}}+3>0\) với mọi giá trị của \(x\). Câu hỏi 5 : Cho \(x + y = 3\). Tính giá trị của biểu thức: \(A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(A={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}-4x-4y+1=\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)-\left( 4x+4y \right)+1={{\left( x+y \right)}^{2}}-4\left( x+y \right)+1\) Tại \(x+y=3\) , ta có: \(A={{3}^{2}}-4.3+1=-2\) Câu hỏi 6 : Cho \({x^2} + {y^2} = 25\) và \(xy = 12\), giá trị của \({\left( {x - y} \right)^2}\)là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \({{\left( x-y \right)}^{2}}={{x}^{2}}-2.x.y+{{y}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy\) Tại \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25\) và \(xy=12\) ta có: \({{\left( x-y \right)}^{2}}=25-2.12=1\) Chọn B. Câu hỏi 7 : Rút gọn biểu thức: \(a)A = \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\) \(b)B = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\) \(c)C = 9{x^2} - 2xy + \dfrac{1}{9}{y^2} - 2\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết
\(\begin{array}{l}a)\;A = \left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = \left( {{x^2} - 3x + {3^2}} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {54 + {x^3}} \right)\\A = {x^3} + {3^3} - 54 - {x^3}\\A = 27 - 54 = - 27\end{array}\) \(\begin{array}{l}b)\;B = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\\B = {\left( {\left( {x - 1} \right) + \left( {x + 1} \right)} \right)^2} + 5\\B = {\left( {x - 1 + x + 1} \right)^2} + 5\\B = {\left( {2x} \right)^2} + 5 = 4{x^2} + 5\end{array}\) \(\begin{array}{l}c)\;C = 9{x^2} - 2xy + \dfrac{1}{9}{y^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.\dfrac{1}{3}y + {\left( {\dfrac{1}{3}y} \right)^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right)^2} - 2\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) + {\left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y} \right) - \left( {3x + \dfrac{1}{3}y} \right)} \right)^2}\\C = {\left( {3x - \dfrac{1}{3}y - 3x - \dfrac{1}{3}y} \right)^2}\\C = {\left( { - \dfrac{2}{3}y} \right)^2} = \dfrac{4}{9}{y^2}\end{array}\) Câu hỏi 8 : Chứng minh đẳng thức: \({\left( {a + b + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {c + a} \right)^2}\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết
\(\begin{array}{l}VT = {\left( {a + b + c} \right)^2} + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\VT = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac + {a^2} + {b^2} + {c^2}\\VT = \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} + 2ac + {c^2}} \right)\\VT = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} + {\left( {a + c} \right)^2}\\ \Rightarrow VT = VP\end{array}\) \(\Rightarrow \) Đpcm Câu hỏi 9 : Tính giá trị biểu thức: \(a)\;A = {y^2} + 4y + 4\) tại \(y = 98\); \(b)B = {x^3} - 3{x^2} + 8x - 1\) tại \(x = 1\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(a)\ A={{y}^{2}}+4y+4={{y}^{2}}+2.2.y+{{2}^{2}}={{\left( y+2 \right)}^{2}}\) Tại \(y=98\) ta có: \(A={{\left( 98+2 \right)}^{2}}={{100}^{2}}=10000\) \(b)\ B={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+8x-1={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.1+3.x{{.1}^{2}}-{{1}^{3}}+5x={{\left( x-1 \right)}^{3}}+5x\) Tại \(x=1\) ta có: \(B={{(1-1)}^{2}}+5.1=5\). Câu hỏi 10 : Tìm \(x\) biết: \({\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} = - 10\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết
\(\begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} = - 10\\{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = - 10\\{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1 - 6{x^2} + 12x - 6 = - 10\\12x - 4 = - 10\\12x = - 10 + 4\\12x = - 6\\x = -\dfrac{{ 1}}{2}\end{array}\) Câu hỏi 11 : Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 6\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức với đa thức\(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái. Sau đó, rút gọn giải phương trình tìm \(x\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 2x + x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - x - 2} \right) = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - {x^2} + x + 2 = 6\\ \Leftrightarrow 5x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\) Vậy \(x = 0.\) Chọn C. Câu hỏi 12 : Tìm hệ số của \(xy\) trong khai triển của \({\left( {x + 3y} \right)^2} + {\left( {xy - 3} \right)^2}\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để khai triển và rút gọn biểu thức. Từ đó, nhận ra hệ số của \(xy\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}{\left( {x + 3y} \right)^2} + {\left( {xy - 3} \right)^2}\\ = {x^2} + 2.x.3y + {\left( {3y} \right)^2} + {\left( {xy} \right)^2} - 2.xy.3 + {3^2}\\ = {x^2} + 6xy + 9{y^2} + {x^2}{y^2} - 6xy + 9\\ = {x^2} + 9{y^2} + {x^2}{y^2} + 9\end{array}\) Vậy hệ số của \(xy\) trong biểu thức bằng 0. Chọn C. Câu hỏi 13 : Viết biểu thức dưới dạng bình phương một tổng, hiệu: Câu 1: \({x^2} - 5x + \frac{{25}}{4}\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết: \({x^2} - 5x + \frac{{25}}{4}\). \(\begin{array}{l} = {x^2} - 2.\frac{5}{2}x + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\\ = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2}\end{array}\) Chọn A. Câu 2: \({x^2}{y^2} + 8x{y^2} + 16{y^2}\).
Đáp án: D Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết: \({x^2}{y^2} + 8x{y^2} + 16{y^2}\). \(\begin{array}{l} = {\left( {xy} \right)^2} + 2.\left( {xy} \right)\left( {4y} \right) + {\left( {4y} \right)^2}\\ = {\left( {xy + 4y} \right)^2}\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 14 : Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn: Câu 1: \({\left( {2x - 1} \right)^2} - 4x\left( {x + 3} \right) = 17\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và quy tắc nhân đơn thức với đa thức, phá ngoặc, thu gọn giải ra được \(x\) thỏa mãn. Lời giải chi tiết: \({\left( {2x - 1} \right)^2} - 4x\left( {x + 3} \right) = 17\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.1 + {1^2} - 4.{x^2} - 4x.3 = 17\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 - 4{x^2} - 12x = 17\\ \Leftrightarrow - 16x = 16\\ \Leftrightarrow x = - 1\end{array}\) Vậy \(x = - 1.\) Chọn C. Câu 2: \(\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - {x^2} + 4 = 0\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\); \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để rút ra nhân tử chung và giải. Lời giải chi tiết: \(\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - {x^2} + 4 = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2.2x + {2^2}} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {x - 2 + x - 3 - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 5 - x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 7.\) Chọn B. Câu hỏi 15 : Sử dụng các hằng đẳng thức để tính: \({41^2};\,\,{19^2};\,\,28.32\) Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\); \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để tách \(41 = 40 + 1;\,\,\)\(19 = 20 - 1;\,\)\(28.32 = \left( {30 - 2} \right)\left( {30 + 2} \right).\) Lời giải chi tiết: \({41^2} = {\left( {40 + 1} \right)^2} = {40^2} + 2.40.1 + {1^2}\)\( = 1600 + 80 + 1 = 1681\) \({19^2} = {\left( {20 - 1} \right)^2} = {20^2} - 2.20 + 1\)\( = 400 - 40 + 1 = 361\) \(28.32 = \left( {30 - 2} \right)\left( {30 + 2} \right)\)\( = {30^2} - {2^2} = 900 - 4 = 896\) Câu hỏi 16 : Rút gọn biểu thức \(A = \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\). Tính giá trị của \(A\) với \(x = 4;\,y = 1\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để rút gọn \(A\) sau đó thay \(x = 4;y = 1\) vào \(A\) để tính giá trị của biểu thức. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}A = \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 2.4x + {4^2}} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {x - 4} \right)^2} - {\left( {xy + 1} \right)^2}\end{array}\) Thay \(x = 4;\,y = 1\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left( {4 - 4} \right)^2} - {\left( {4.1 + 1} \right)^2}\)\( = - {5^2} = - 25\) Vậy \(A = - 25\) khi \(x = 4,\,\,y = 1.\) Chọn A. Câu hỏi 17 : Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x + 2} \right)^3} - \left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 5} \right) = 8\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái. Sau đó, rút gọn giải ra \(x\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^3} - \left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 5} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} + {2^3} - \left( {{x^2}.x + 5{x^2} + {x^2} + 5x} \right) = 8\\ \Leftrightarrow {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 - {x^3} - 6{x^2} - 5x = 8\\ \Leftrightarrow 7x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\) Vậy \(x = 0.\) Chọn C. Câu hỏi 18 : Giá trị của biểu thức \(A = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3}\) với \(x = 8;\,\,\,y = 6\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) chuyển biểu thức thành lập phương một tổng rồi thay \(x = 8;\,\,\,y = 6\) để tính toán thuận tiện. Lời giải chi tiết: \(A = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3}\)\( = {x^3} + 3.{x^2}.2y + 3x{.2^2}{y^2} + {\left( {2y} \right)^3}\)\( = {\left( {x + 2y} \right)^3}\) Với \(x = 8;\,\,\,y = 6\)\( \Rightarrow A = {\left( {8 + 2.6} \right)^3} = {20^3} = 8000\) Chọn C. Câu hỏi 19 : Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn: Câu 1: \({\left( {2x - 1} \right)^3} - 8x\left( {{x^2} + \frac{3}{4}} \right) = - 13\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) và quy tắc nhân đơn thức với đa thức, phá ngoặc, thu gọn giải ra được \(x\) thỏa mãn. Lời giải chi tiết: \({\left( {2x - 1} \right)^3} - 8x\left( {{x^2} + \frac{3}{4}} \right) = - 13\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2} + 3.2x - 1 - 8x.{x^2} - 8x.\frac{3}{4} = - 13\\ \Leftrightarrow 8{x^3} - 12{x^2} + 6x - 1 - 8{x^3} - 6x = - 13\\ \Leftrightarrow - 12{x^2} = - 12\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = - 1.\) Chọn A. Câu 2: \({\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 4{x^2} = 0\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái. Sau đó, rút gọn giải ra \(x\). Lời giải chi tiết: \({\left( {x + 1} \right)^3} - \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 4{x^2} = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + 3.{x^2} + 3.x + 1 - \left( {{x^2}.x - {x^2} + 2x - 2} \right) - 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + {x^2} - 2x + 2 - 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = - 3\end{array}\) Vậy \(x = - 3\). Chọn C. Câu hỏi 20 : Viết biểu thức dưới dạng lập phương một tổng, hiệu. Tính giá trị của các biểu thức với \(x = 2\). Câu 1: \(A = \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) để rút gọn rồi thay \(x = 2\) vào tính \(A\). Lời giải chi tiết: \(A = \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1\) với \(x = 2\) \(A = \frac{1}{8}{x^3} + \frac{3}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + 1\)\( = {\left( {\frac{1}{2}x} \right)^3} + 3.{\left( {\frac{1}{2}x} \right)^2} + 3.\left( {\frac{1}{2}x} \right) + 1\)\( = {\left( {\frac{1}{2}x + 1} \right)^3}\) Thay \(x = 2\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left( {\frac{1}{2}.2 + 1} \right)^3} = {2^3} = 8\) Vậy với \(x = 2\) thì \(A = 8.\) Chọn B. Câu 2: \(B = {x^3} - 12{x^2} + 48x\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) để rút gọn rồi thay \(x = 2\) vào tính \(B\). Lời giải chi tiết: \(B = {x^3} - 12{x^2} + 48x\) với \(x = 2\) \(B = {x^3} - 12{x^2} + 48x\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.4 + 3.x{.4^2} - {4^3} + {4^3}\)\( = {\left( {x - 4} \right)^3} + 64.\) Thay \(x = 2\) vào \(A\)\( \Rightarrow A = {\left( {2 - 4} \right)^3} + 64 = {\left( { - 2} \right)^3} + 64\)\( = - 8 + 64 = 56.\) Chọn D. Câu hỏi 21 : Biết rằng \(a \in \mathbb{N},\,\)\(a\) chia 3 thì dư 2. Tìm số dư trong phép chia \({a^3}\) chia cho 3 thì dư mấy?
Đáp án: C Phương pháp giải: Đặt \(a = 3m + 2\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right),\) khai triển \({a^3}\) qua hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và xét các hạng tử chia 3 dư mấy. Lời giải chi tiết: Vì số tự nhiên \(a\) chia 3 dư 2 nên ta đặt \(a = 3m + 2\,\,\,\left( {m \in \mathbb{N}} \right)\) \( \Rightarrow {a^3} = {\left( {3m + 2} \right)^3}\)\( = {\left( {3m} \right)^3} + 3.{\left( {3m} \right)^2}.2 + 3.\left( {3m} \right){.2^2} + {2^3}\)\( = 27{m^3} + 54{m^2} + 36m + 8\) Vì \(27{m^3} \vdots 3;\,\,54{m^2} \vdots 3;\,\,36m \vdots 3;\,\,8 = 2.3 + 2\) nên \({a^3}\) chia 3 dư 2. Chọn C. Câu hỏi 22 : Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) = - 1\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\) để khai triển vế trái. Sau đó, rút gọn giải ra \(x\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}{\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.3x + {3^2} - \left( {{x^2} + 5x + 2x + 10} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 - {x^2} - 7x - 10 = - 1\\ \Leftrightarrow - x - 1 = - 1\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\) Vậy \(x = 0.\) Chọn C. Câu hỏi 23 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 4{x^2} - 4x + 2021\) là
Đáp án: D Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) chuyển biểu thức thành \(A = {\left( {a - b} \right)^2} + m \ge m\,\,\,\forall x\) (\(m\) là hằng số). Khi đó, \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a - b = 0.\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(A = 4{x^2} - 4x + 2021\)\( = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x + 1 + 2020\)\( = {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020\) Vì \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} + 2020 \ge 2020\,\,\forall x\)\( \Leftrightarrow A \ge 2020\,\,\,\forall x\) Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\) Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2020\) khi \(x = \frac{1}{2}.\) Chọn D. Câu hỏi 24 : Chứng minh rằng \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc\) Phương pháp giải: Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để biến đổi vế trái thành vế phải. Lời giải chi tiết: Ta có: \(VT = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right)c + {c^2}\) \( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = VP\) (đpcm) Câu hỏi 25 : Rút gọn các biểu thức Câu 1: \(A = \left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {{a^2} - 3a + 9} \right)\left( {{a^2} + 3a + 9} \right)\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right);{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) để tạo \(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) và sau đó sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) để thu gọn. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}A = \left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {{a^2} - 3a + 9} \right)\left( {{a^2} + 3a + 9} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {a - 3} \right)\left( {{a^2} + 3a + 9} \right)\left( {a + 3} \right)\left( {{a^2} - 3a + 9} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {{a^3} - {3^3}} \right)\left( {{a^3} + {3^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {{a^3} - 27} \right)\left( {{a^3} + 27} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {{a^3}} \right)^2} - {27^2} = {a^6} - 729\end{array}\) Chọn C. Câu 2: \(B = \left( {x - 2y + 1} \right)\left( {x + 2y + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4{y^2} + 1} \right)\)
Đáp án: D Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để thu gọn biểu thức. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}B = \left( {x - 2y + 1} \right)\left( {x + 2y + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4{y^2} + 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\left( {x + 1} \right) - 2y} \right]\left[ {\left( {x + 1} \right) + 2y} \right]\left( {{x^2} + 2x + 1 + 4{y^2}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 1 - 2y} \right)\left( {x + 1 + 2y} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 4{y^2}} \right]\\\,\,\,\,\, = \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2y} \right)}^2}} \right].\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\, = {\left( {x + 1} \right)^4} - {\left( {2y} \right)^4}\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 26 : Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn: Câu 1: \({\left( {x - 1} \right)^3} - \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) + 3{x^2} = 23\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) và \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để rút gọn và tìm \(x.\) Lời giải chi tiết: \({\left( {x - 1} \right)^3} - \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right) + 3{x^2} = 23\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 - \left( {{x^3} - {3^3}} \right) + 3{x^2} = 23\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - 1 - {x^3} + 27 = 23\\ \Leftrightarrow 3x = - 3\\ \Leftrightarrow x = - 1\end{array}\) Vậy \(x = - 1\). Chọn B. Câu 2: \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) = - 10x\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\,\,\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2};\,\,\,{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)để rút gọn và tìm \(x.\) Lời giải chi tiết: \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 3} \right)^2} - \left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) = - 10x\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - \left( {4{x^2} - 9} \right) = - 10x\\ \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 1 - {x^2} - 6x - 9 - 4{x^2} + 9 = - 10x\\ \Leftrightarrow - {x^2} - 10x + 1 = - 10x\\ \Leftrightarrow {x^2} = 1\\ \Rightarrow x = \pm 1\end{array}\) Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = -1.\) Chọn A. Câu hỏi 27 : Biết \(x + y = 3\), tính giá trị của biểu thức \(A = {x^3} - 2{y^2} + {y^3} - 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\)
Đáp án: C Phương pháp giải: Chuyển biểu thức \(A\) về ẩn \(x + y\) và \(xy\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức: \(\begin{array}{l}{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right);\\{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2} \Rightarrow {A^2} + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} - 2AB\end{array}\) Sau đó thay \(x + y = 3\) vào \(A\) và rút gọn \(A\). Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}A = {x^3} - 2{y^2} + {y^3} - 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = {x^3} + {y^3} - 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) - 4} \right] + 6\end{array}\) Thay \(x + y = 3\) vào \(A\) được: \(\begin{array}{l}A = 3\left[ {{3^2} - 3xy} \right] - 2\left[ {{3^2} - 2xy} \right] + xy\left[ {3.3 - 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = 3\left( {9 - 3xy} \right) - 2\left( {9 - 2xy} \right) + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 27 - 9xy - 18 + 4xy + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 15\end{array}\) Vậy \(A = 15\) với \(x + y = 3\). Chọn C. Câu hỏi 28 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} - x + 1\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(\begin{array}{l}A = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\\ = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \;Min\;A = \dfrac{3}{4}\;\end{array}\) Dấu “=” xảy ra khi \({{\left( x-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=0\) hay \(x=\dfrac{1}{2}\). Chọn B. Câu hỏi 29 : Giá trị lớn nhất của biểu thức \(B = - 9{x^2} + 2x - \dfrac{2}{9}\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(B=-9{{x}^{2}}+2x-\dfrac{2}{9}=-{{\left( 3x \right)}^{2}}+2.3x.\dfrac{1}{3}-{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{9} \\ =-\left( {{\left( 3x \right)}^{2}}-2.3x.\dfrac{1}{3}+{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}} \right)-\dfrac{1}{9}\\ =-{{\left( 3x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}-\dfrac{1}{9}\le -\dfrac{1}{9}\) \(\Rightarrow \ Max\ B=-\dfrac{1}{9}\). Dấu “=” xảy ra khi \({{\left( 3x-\dfrac{1}{3} \right)}^{2}}=0\) hay \(x=\dfrac{1}{9}\). Chọn D. Câu hỏi 30 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = 25{x^2} - 2x + 1\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(B=25{{x}^{2}}-2x+1={{\left( 5x \right)}^{2}}-2.5x.\dfrac{1}{5}+{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{24}{25}={{\left( 5x-\dfrac{1}{5} \right)}^{2}}+\dfrac{24}{25} \) Vì \({{\left( 5x-\dfrac{1}{5} \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(B\ge \dfrac{24}{25}\) với mọi \(x\). \(B=\dfrac{24}{25}\) khi \(x=\dfrac{1}{25}\) Kết luận: \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{24}{25}\) khi \(x=\dfrac{1}{25}\) Chọn A. Câu hỏi 31 : Bạn Nam có 1 tấm bìa hình vuông có kích thước là \(\left( {2x + 5} \right)cm\), bạn cắt từ tấm bìa ra một hình vuông nhỏ hơn có kích thước là \(\left( {x + 5} \right)cm\). Hỏi diện tích phần giấy bìa bạn Nam đã cắt bỏ từ tấm bìa hình vuông ban đầu? Nếu thay \(x = 2cm\) thì diện tích phần giấy bìa bỏ đi là bao nhiêu?
Đáp án: D Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết Diện tích tấm bìa hình vuông ban đầu của bạn Nam là: \({{S}_{1}}=(2x+5).\left( 2x+5 \right)={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\ c{{m}^{2}}\) Diện tích hình vuông lúc sau của bạn Nam là: \({{S}_{2}}=(x+5).\left( x+5 \right)={{\left( x+5 \right)}^{2}}\ c{{m}^{2}}\) Diện tích phần giấy bìa bạn Nam đã cắt bỏ từ tấm bìa hình vuông ban đầu là: \({{S}_{1}}-{{S}_{2}}={{\left( 2x+5 \right)}^{2}}-{{\left( x+5 \right)}^{2}}=\left( 2x+5-\left( x+5 \right) \right).\left( 2x+5+x+5 \right)=x.\left( 3x+10 \right)\ c{{m}^{2}}\) Nếu thay \(x=2cm\) thì diện tích phần giấy bìa bỏ đi là: \({{S}_{1}}-{{S}_{2}}=2.\left( 3.2+10 \right)=32\ c{{m}^{2}}\). Vậy diện tích phần bìa bỏ đi là \(32c{{m}^{2}}\). Câu hỏi 32 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(a)\;A = 4 - {x^2} + 2x\) \(b)\;B = 4x - {x^2}\) \(c)\;C = {x^2} - 3x + {y^2} + y + 4\)
Đáp án: A Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Hướng dẫn giải chi tiết \(a)\ A=4-{{x}^{2}}+2x=-\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+5=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\) Vì \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(A=-{{\left( x-1 \right)}^{2}}+5\le 5\) với mọi \(x\). \(A=5\) khi \(x=1\). Kết luận: \(A\) đạt giá trị lớn nhất là \(5\) khi \(x=1\). \(b)\ B=4x-{{x}^{2}}=-\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)+4=-\left( {{x}^{2}}-2.2.x+{{2}^{2}} \right)+4=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\) Vì \({{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\) với mọi \(x\) nên \(B=-{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\le 4\) với mọi \(x\). \(B=4\) khi \(x=2\). Kết luận: \(B\) đạt giá trị lớn nhất là \(4\) khi \(x=2\). \(c)\ C={{x}^{2}}-3x+{{y}^{2}}+y+4=\left[ {{x}^{2}}-2.x.\dfrac{3}{2}+{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}} \right]+\left[ {{y}^{2}}+2.x.\dfrac{1}{2}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}} \right]+\dfrac{3}{2}={{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}\) Vì \({{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall x\) và \({{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0,\forall y\) nên \(C={{\left( x-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{3}{2},\forall x,y\). \(C=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2};y=-\dfrac{1}{2}\). Kết luận: \(C\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2};y=-\dfrac{1}{2}\). Câu hỏi 33 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\); \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để biến đổi biểu thức \(A\) thành tổng các bình phương. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}A = {\left( {2x + y} \right)^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\\\,\,\,\,\, = 4{x^2} + 2.2x.y + {y^2} - 4xy + 4x - 6y + 10\\\,\,\,\, = 4{x^2} + 4x + 1 + {y^2} - 6y + 9 + 4xy - 4xy\\\,\,\,\, = {\left( {2x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2}\end{array}\) Vì \({\left( {2x + 1} \right)^2} \ge {\rm{0}}\,\,\,\forall x;\,\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\forall y\) \( \Rightarrow A \ge 0\,\,\,\forall x,y\) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = 3\end{array} \right.\) Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\y = 3\end{array} \right.\). Chọn B. Câu hỏi 34 : Cho \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\). Phương pháp giải: Dựa vào điều kiện \(a + b + c = 0\) ta có \( - a - b = c\) Ta thay \(c = - a - b\) và \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) và áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) khai triển, rút gọn được \(3abc\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow c = - a - b\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = {a^3} + {b^3} + {\left( { - a - b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - {\left( {a + b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^3} + {b^3} - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}\\ = - 3ab\left( {a + b} \right)\\ = 3ab\left( { - a - b} \right) = 3abc\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\) Vậy với \(a + b + c = 0\) ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\). Câu hỏi 35 : Cho các số thực \(x,\,\,y,\,\,z \ne 0\) thỏa mãn: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0.\) Chứng minh rằng \(\frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} = 3\). Phương pháp giải: Bước 1: Chứng minh rằng \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\) bằng cách đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b;\,\,\frac{1}{z} = c\) và sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) khai triển \({a^3} + {b^3} + {c^3}\) dựa vào \(a + b + c = 0 \Leftrightarrow c = - a - b\), rút gọn được \(3abc\). Bước 2: Biến đổi \(\frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}}\) bằng cách nhân cả tử và mẫu của mỗi hạng tử lần lượt với \(z,\,x,\,y\) thu gọn bằng cách áp dụng kết quả của bước 1: \(\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\)để chứng minh \(VT = 3.\) Lời giải chi tiết: Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\,\frac{1}{y} = b;\,\,\frac{1}{z} = c\,\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ne 0} \right).\) \( \Rightarrow a + b + c = 0 \Leftrightarrow c = - a - b\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = {a^3} + {b^3} + {\left( { - a - b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - {\left( {a + b} \right)^3}\\ = {a^3} + {b^3} - \left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^3} + {b^3} - {a^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} - {b^3}\\ = - 3ab\left( {a + b} \right) = 3ab\left( { - a - b} \right) = 3abc.\end{array}\) Vậy với \(a + b + c = 0\) ta có \({a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\). Từ đó ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}} = \frac{3}{{xyz}}\) \( \Rightarrow \frac{{xy}}{{{z^2}}} + \frac{{yz}}{{{x^2}}} + \frac{{zx}}{{{y^2}}} = \frac{{xyz}}{{{z^3}}} + \frac{{xyz}}{{{x^3}}} + \frac{{xyz}}{{{y^3}}}\) \( = xyz\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right) = xyz.\frac{3}{{xyz}} = 3\)(đpcm) Quảng cáo
|