30 bài tập trắc nghiệm phép đối xứng trục

Làm bài

Quảng cáo

Câu hỏi 1 :

Trong các chữ cái "H, A, T, R, U, N, G" có bao nhiêu chữ cái có trục đối xứng.

  • A \(4.\)
  • B  \(3.\)  
  • C \(5.\)    
  • D \(2.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Các từ có trục đối xứng là "H, A, T, U".

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 Hình nào dưới đây không có trục đối xứng?

 

  • A Tam giác cân.            
  • B  Hình thang cân.                     
  • C Hình elip.                               
  • D Hình bình hành.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hình bình hành không có trục đối xứng.

Chọn: D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Ảnh \(A'\) của \(A(4; -3)\) qua phép đối xứng trục \(d\) với \(d : 2x  - y = 0\) có tọa độ là:

  • A A’(-2; 7)                                  
  • B \(A'\left( -\frac{24}{5};\frac{7}{5} \right)\)                
  • C  \(A'\left( \frac{24}{5};\frac{7}{5} \right)\)                
  • D  \(A'\left( 12;\frac{7}{5} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng d’ qua A và vuông góc với d.

Tìm giao điểm H của d và d’. Khi đó H là trung điểm của AA’.

Áp dụng công thức tìm tọa độ trung điểm \(\left\{ \begin{align} {{x}_{A}}+{{x}_{A'}}=2{{x}_{H}} \\ {{y}_{A}}+{{y}_{A'}}=2{{y}_{H}} \\ \end{align} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A’\) là ảnh của A qua phép đối xứng trục d. Gọi d’ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d, khi đó phương trình d’ có dạng: x + 2y + c = 0.

Vì \(A\in d’\) nên \(4+2\left( -3 \right)+c=0\Rightarrow c=2\). Khi đó \(\left( d' \right):x+2y+2=0\)

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow H\left( -\frac{2}{5};-\frac{4}{5} \right)\Rightarrow \) H là trung điểm của AA’. Khi đó

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2.\left( { - \frac{2}{5}} \right) - 4 =  - \frac{{24}}{5}\\{y_{A'}} = 2\left( { - \frac{4}{5}} \right) + 3 = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - \frac{{24}}{5};\frac{7}{5}} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Hình gồm 2 đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?

  • A  Không có                               
  • B Một                                        
  • C  Hai                                         
  • D  Vô số.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hình gồm 2 đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có trục đối xứng duy nhất là đường thẳng nối tâm  của 2 đường tròn đó.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1 ; 3), B(2 ; -4), C(3 ; -2) và điểm G và trọng tâm tam giác ABC. Ảnh G’ của G qua phép đối xứng trục Ox có tọa độ là :

  • A  \(G'\left( -2;1 \right)\)                                  
  • B  \(G'\left( 2;1 \right)\)                                    
  • C  \(G'\left( 2;-1 \right)\)                                  
  • D  \(G'\left( 1;2 \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC : \(\left\{ \begin{align} {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3} \\ {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \\ \end{align} \right.\)

Tìm ảnh của G qua phép đối xứng trục Ox, nếu G(a ; b) thì G’(a ; -b).

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{align} {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\frac{1+2+3}{3}=2 \\ {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\frac{3-4-2}{3}=-1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow G\left( 2;-1 \right)\Rightarrow G'\left( 2;1 \right)\) right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A  Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó.
  • B Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
  • C  Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
  • D  Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng bán kính của nó.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết:

Phép đối xứng trục bảo toàn độ dài của vector chứ không bảo toàn phương và hướng của vector, chính vì vậy đáp án A sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình \(2x-y+3=0.\) Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xung trục Ox có phương trình là:

  • A \(2x+y+3=0.\)          
  • B \(2x-y-3=0.\)           
  • C \(-2x+y-3=0.\)          
  • D \(-2x-y+3=0.\)

     

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp:

Lấy hai điểm bất kì thuộc \(d\) và cho đối xứng qua \(Ox\) ta được hai điểm mới.

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này ta được phương trình cần tìm.

Cách giải:

Xét hai điểm \(A\left( 0;3 \right),B\left( -\frac{3}{2};0 \right)\in d\).

Ảnh của \(A,B\) qua phép đối xứng trục \(Ox\) là \(A'\left( 0;-3 \right),B'\left( -\frac{3}{2};0 \right)\).

\(\overrightarrow{A'B'}=\left( -\frac{3}{2};3 \right)\) nên \(d'\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 2;1 \right)\)  làm véc tơ pháp tuyến.

Phương trình \(d':2\left( x-0 \right)+1\left( y+3 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y+3=0\).

Chọn A.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Tìm m để \(\left( C \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+2my+8=0\) là ảnh của đường tròn \(\left( C' \right):\,\,{{\left( x-10 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5\) qua phép đối xứng trục d, biết đường thẳng d có phương trình \(x=4.\)

  • A  \(m=-2\)                                
  • B  \(m=2\)                                 
  • C  \(m=3\)                                 
  • D  \(m=-3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xác định tâm I và I’ của 2 đường tròn (C) và (C’). I là ảnh của I’ qua phép đối xứng trục d.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( -2;-m \right)\) là ảnh của tâm \(I'\left( 10;3 \right)\) của đườngtròn \(\left( C' \right)\) qua phép đối xứng trục d.

II’ là đường thẳng đi qua I’ và vuông góc với d nên có phương trình  y = 3.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng x = 4 và y = 3 \(\Rightarrow H\left( 4;3 \right)\) là trung điểm của II’ \(\Rightarrow I\left( -2;3 \right)\)

\(\Leftrightarrow m=-3\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Hình nào sau đây có nhiều trục đối xứng nhất ?

  • A  Hình thoi                               
  • B  Hình vuông                            
  • C  Hình elip                                
  • D  Hình tròn.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Liệt kê các trục đối xứng của từng hình.

Lời giải chi tiết:

Hình thoi có 2 trục đối xứng.

Hình vuông có 4 trục đối xứng.

Elip có 2 trục đối xứng

Hình tròn có vô số trục đối xứng là các đường thẳng đi qua tâm.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong mặt phẳng Oxy cho parabol \(\left( P \right):4{{x}^{2}}-7x+3\). Phép đối xứng trục Oy biến (P) thành (P’) có phương trình:

  • A  \(y=4{{x}^{2}}+7x-3\)                                                 
  • B  \(y=4{{x}^{2}}+7x+3\)                        
  • C  \(y=-4{{x}^{2}}+7x-3\)                                                           
  • D  \(y=-4{{x}^{2}}-7x+3\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phép đối xứng trục Oy có: \(\left\{ \begin{align} x=-x' \\ y=y' \\ \end{align} \right.\)

Thay vào phương trình (P) để tìm phương trình (P’).

Lời giải chi tiết:

Phép đối xứng trục Oy có: \(\left\{ \begin{align} x=-x' \\ y=y' \\ \end{align} \right.\)

Thay vào phương trình (P) ta có: \(y=4{{\left( -x \right)}^{2}}-7\left( -x \right)+3=4{{x}^{2}}+7x+3\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C’): \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x-2y+23=0\) và đường thẳng d: x – y + 2 = 0, phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục d là:

  • A  \(\left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-12y+26=0\)                         
  • B  \(\left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-14y+47=0\)
  • C  \(\left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x-6y+53=0\)                           
  • D  \(\left( C' \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-6y+12=0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi I và R là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d là đường tròn có tâm là ảnh của I qua phép đối xứng trục d và có bán kính bằng R

Lời giải chi tiết:

Đường tròn (C) có tâm I(5; 1), bán kính \(R=\sqrt{25+1-23}=\sqrt{3}\).

Ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d là đường tròn có tâm là ảnh của I qua phép đối xứng trục d và có bán kính bằng \(\sqrt{3}\).

Gọi I’ là ảnh của I qua phép đối xứng trục d. Gọi d’ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với d ta có phương trình d’ có dạng x + y + c = 0.

\(I\in d'\Rightarrow 5+1+c=0\Rightarrow c=-6\Rightarrow \left( d' \right):x+y-6=0\)

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow H\left( 2;4 \right)\) là trung điểm của II’, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_H} - {x_I}\\{y_{I'}} = 2{y_H} - {y_I}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2.2 - 5 =  - 1\\{y_{I'}} = 2.4 - 1 = 7\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( { - 1;7} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-14y+47=0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn \(\left( C \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\) và \(\left( C' \right):\,\,{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\). Viết phương trình trục đối xứng của \(\left( C \right)\) và \(\left( C' \right)\)

  • A  \(y=x+1\)                               
  • B  \(y=x-1\)                                
  • C  \(y=-x+1\)                              
  • D  \(y=-x-1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định tâm I và I’ của đường tròn (C) và (C’).

Trục đối xứng của 2 đường tròn (C) và (C’) là đường thẳng đi qua H và nhận \(\overrightarrow{II'}\) là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 1;2 \right)\), đường tròn \(\left( C' \right)\) có tâm \(I'\left( 3;0 \right)\)

Gọi \(H\) là trung điểm của II’ ta có \(H\left( 2;1 \right)\)

Trục đối xứng của 2 đường tròn (C) và (C’) là đường thẳng đi qua H và nhận \(\overrightarrow{II'}=\left( 2;-2 \right)=2\left( 1;-1 \right)\) là 1 VTPT \(\Rightarrow \) Trục đối xứng của 2 đường tròn (C) và (C’) có phương trình \(1\left( x-2 \right)-1\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow x-2-y+1=0\Leftrightarrow y=x-1\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A  Phép đối xứng trục biến một vector thành một vector bằng nó.
  • B  Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó.
  • C  Phép đối xứng trục biến một tam giác thành một tam giác bằng nó.
  • D  Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng với bán kính của nó.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Lời giải chi tiết:

Phép đối xứng trục không bào toàn hướng của vector.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng d có phương trình \(x-y+1=0\) và hai điểm\(A\left( 3;1 \right);B\left( 7;5 \right)\). Tìm điểm M thuộc d sao cho \(MA+MB\) nhỏ nhất ?

  • A  \(M\left( -\frac{9}{2};\frac{7}{2} \right)\)                
  • B  \(M\left( \frac{9}{2};-\frac{7}{2} \right)\)
  • C \(M\left( \frac{7}{2};\frac{9}{2} \right)\)                 
  • D  \(M\left( \frac{7}{2};-\frac{9}{2} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, ta có : \(MA=MA’\)

Áp dụng BĐT tam giác ta có \(\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\Rightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

Ta dễ dàng kiểm tra được A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, ta có : \(MA=MA’\)

\(\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng hay \(M=A'B\cap d\).

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với d nên có phương trình \(x+y-4=0\,\,\left( d' \right)\).

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow \) Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\)  là trung điểm của AA’ \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} {{x}_{A'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=0 \\ {{y}_{A'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{H}}=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'\left( 0;4 \right)\) 

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng A’B là : \(\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-4}{5-4}\Leftrightarrow \frac{x}{7}=y-4\Leftrightarrow x-7y+28=0\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M=A'B\cap d\Rightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x - 7y + 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\y = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hàm số \(\left( C \right):\,\,y=\left| x \right|\)  Giả sử \(\left( C' \right)\) đối xứng với \(\left( C \right)\) qua đường thẳng \(x=1\). Khi đó, đồ thị \(\left( C' \right)\) có dạng :

  • A  \(y=\left| x+1 \right|\)                                 
  • B  \(y=\left| x-1 \right|\)                                  
  • C  \(y=\left| x+2 \right|\)                                 
  • D  \(y=\left| x-2 \right|\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\left( C \right):\,\,y=\left| x \right|=\left[ \begin{align} x\,\,khi\,\,x\ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right) \\ -x\,\,khi\,\,x<0\,\,\,\left( {{d}_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

Tìm ảnh của \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) qua phép đối xứng qua trục la đường thẳng x = 1.

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):\,\,y=\left| x \right|=\left[ \begin{align} x\,\,khi\,\,x\ge 0\,\,\,\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right) \\ -x\,\,khi\,\,x<0\,\,\,\left( {{d}_{2}} \right) \\ \end{align} \right.\)

\({{d}_{1}}\cap \left( x=1 \right)=A\left( 1;1 \right)\)

Lấy \(B\left( 2;2 \right)\in {{d}_{1}}\Rightarrow \) đường thẳng đi qua B và vuông góc với \(\left( x=1 \right)\) có phương trình y = 2.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng x = 1 và y = 2 \(\Rightarrow H\left( 1;2 \right)\)

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường thẳng x = 1 \(\Rightarrow H\) là trung điểm của BB’ \(\Rightarrow B'\left( 0;2 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB’ là \(\frac{x-1}{0-1}=\frac{y-1}{2-1}\Leftrightarrow -x+1=y-1\Leftrightarrow x+y=2\)

\(\Rightarrow x+y=2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y = x qua đường thẳng x = 1.

\({{d}_{2}}\cap \left( x=1 \right)=C\left( 1;-1 \right)\)

Lấy \(D\left( 0;0 \right)\in {{d}_{2}}\Rightarrow \) Đường thẳng đi qua D và vuông góc với đường thẳng x = 1 có phương trình y = 0.

Gọi K là giao điểm của đường thẳng x = 1 và y = 0 \(\Rightarrow K\left( 1;0 \right)\)

Gọi D’ là điểm đối xứng với D qua đường thẳng x = 1 \(\Rightarrow K\) là trung điểm của DD’ \(\Rightarrow D'\left( 2;0 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(CD’\) là : \(\frac{x-1}{2-1}=\frac{y+1}{0+1}\Leftrightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow x-y=2\)

\(\Rightarrow x-y=2\) là đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(y=-x\) qua đường thẳng \(x=1\)

 

\( \Rightarrow \left( {C'} \right):\,\,\left[ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - x + 2\\y = x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \left| {x - 2} \right|\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trên tia phân giác ngoài Cx của góc C của tam giác ABC lấy điểm M không trùng với C. Tìm mệnh đề đúng nhất ?

  • A \(MA+MB>CA+CB\)                           
  • B  \(MA+MB<CA+CB\)
  • C  \(MA+MB\ge CA+CB\)                                  
  • D  \(MA+MB\le CA+CB\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Lấy A ‘đối xứng với A qua Cx.

Lời giải chi tiết:

Lấy A’ đối xứng với A qua Cx ta có : 

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MA = MA'\\CA = CA'\end{array} \right.\\ \Rightarrow MA + MB = MA' + MB > A'B = CA' + CB = CA + CB\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho điểm \(A\left( 2;1 \right)\). Tìm điểm B trên trục hoành và điểm C trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.

  • A  \(B\left( 1;0 \right)\) và \(C\left( \frac{5}{4};\frac{5}{4} \right)\)                           
  • B  \(B\left( \frac{5}{3};0 \right)\) và \(C\left( \frac{5}{4};\frac{5}{4} \right)\)
  • C  \(B\left( \frac{5}{3};0 \right)\) và \(C\left( 1;1 \right)\)                              
  • D \(B\left( 1;0 \right)\) và \(C\left( 1;1 \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng với A qua trục Ox và đường thẳng y = x ta có : \(AB=BB',AC=CC’\)

\(\begin{align} C=AB+BC+CA=B'B+BC+CC'\ge B'C' \\ \Rightarrow {{C}_{\min }}=B'C'\Leftrightarrow B=Ox\cap B'C',\,\,C=\left( y=x \right)\cap B'C' \\ \end{align}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng với A qua trục Ox và đường thẳng y = x ta có : \(AB=BB',AC=CC’\)

Dễ thấy \(B'\left( 2;-1 \right)\)

AC’ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng y = x nên có phương trình x + y – 3 = 0.

Gọi H là giao điểm của đường thẳng y = x và x + y – 3 = 0 \(\Rightarrow H\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2} \right)\) là trung điểm của AC’ \(\Rightarrow C'\left( 1;2 \right)\)

Chu vi tam giác ABC

\(\begin{align} C=AB+BC+CA=B'B+BC+CC'\ge B'C' \\ \Rightarrow {{C}_{\min }}=B'C'\Leftrightarrow B=Ox\cap B'C',\,\,C=\left( y=x \right)\cap B'C' \\ \end{align}\)

Phương trình B’C’ :

\(\frac{x-2}{1-2}=\frac{y+1}{2+1}\Leftrightarrow -x+2=\frac{y+1}{3}\Leftrightarrow -3x+6=y+1\Leftrightarrow 3x+y-5=0\)

\(\Rightarrow B\left( \frac{5}{3};0 \right),C\left( \frac{5}{4};\frac{5}{4} \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho x, y thỏa mãn \(x-2y+2=0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-7 \right)}^{2}}}\)

  • A 6
  • B 5
  • C 4
  • D 3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(x-2y+2=0\Rightarrow M\) thuộc đường thẳng \(x-2y+2=0\,\,\left( d \right)\).

Gọi \(A\left( 3;5 \right);B\left( 5;7 \right)\Rightarrow T=MA+MB\)

Đưa về bài toán tìm điểm \(M\in d\) sao cho \(MA+MB\) nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(x-2y+2=0\Rightarrow M\) thuộc đường thẳng \(x-2y+2=0\,\,\left( d \right)\).

Gọi \(A\left( 3;5 \right);B\left( 5;7 \right)\Rightarrow T=MA+MB\)

Ta cần tìm điểm \(M\in d\) sao cho \(MA+MB\) nhỏ nhất.

Dễ thấy A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, ta có : \(MA=MA’\)

\(\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng hay \(M=A'B\cap d\).

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với d nên có phương trình \(2x+y-11=0\,\,\left( d' \right)\).

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow \) Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\2x + y - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {4;3} \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng A’B là : x = 5.

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M=A'B\cap d\Rightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {5;\frac{7}{2}} \right) \Rightarrow {T_{\min }} = 6\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hai điểm B và C cố định trên đường tròn \(\left( O;R \right)\). Điểm A thay đổi trên \(\left( O;R \right)\). Gọi H là trực tâm của \(\Delta ABC\) và D là điểm đối xứng của H qua đường thẳng BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A  D luôn nằm trên đường tròn \(\left( O';R \right)\) đối xứng của \(\left( O;R \right)\) qua đường thẳng BC.
  • B  D luôn nằm trên một đường thẳng cố định song song với BC.
  • C  D luôn nằm trên đường trung trực của cạnh BC.
  • D  D luôn nằm trên đường tròn \(\left( O;R \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Vẽ hình và dựa vào các kiên thức về tứ giác nội tiếp.

Lời giải chi tiết:

Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm H qua một cạnh của nó thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đây là một kiến thức cơ bản. Tuy nhiên ta có thể chứng minh lại bài toán này như sau:

Kẻ các đường cao AM, BN, CP và gọi D là điểm đối xứng của H qua BC.

Ta có tứ giác ANHP là một tứ giác nội tiếp, suy ra: \(\widehat{PAN}+\widehat{PHN}={{180}^{o}}\) hay \(\widehat{BAC}+\widehat{BHC}={{180}^{o}}\).

Mặt khác, có D là điểm đối xứng của H qua BC nên \(\widehat{BDC}=\widehat{BHC}\).

Do đó: \(\widehat{BAC}+\widehat{BDC}={{180}^{o}}\).

Suy ra D nằm trên đường tròn (O) ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho \(M\left( {2;3} \right)\). Hỏi điểm nào trong các điểm sau là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng trục \(Ox\)?

  • A \(Q\left( {2; - 3} \right)\)         
  • B \(P\left( {3;2} \right)\)
  • C \(N\left( {3; - 2} \right)\)
  • D \(S\left( { - 2;3} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Điểm \(M'\left( {x; - y} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {x;y} \right)\) qua phép đối xứng trục \(Ox\).

Lời giải chi tiết:

Điểm \(Q\left( {2; - 3} \right)\) là ảnh của điểm \(M\left( {2;3} \right)\) qua phép đối xứng trục \(Ox\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho đường thẳng \(\Delta :\ x+y-2=0\)  Đường thẳng \(\Delta '\) đối xứng với \(\Delta \) qua trục hoành có phương trình:

  • A \(x-y+1=0\)                 
  • B \(x-y-2=0\)                 
  • C  \(x-y+2=0\)                 
  • D \(x+y+2=0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {{x}_{0}};\ 0 \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(Ox\Rightarrow A\left( 2;\ 0 \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) đối xứng với \(\Delta \) qua trục hoành \(\Rightarrow A\in \Delta '\)  

Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(A\) và có hệ số góc \(k\) là: \(y=k\left( x-2 \right)\Leftrightarrow kx-y-2k=0\)  

Gọi \(B\left( 1;\ 1 \right)\in \Delta \Rightarrow B'\left( 1;-k \right)\in \Delta '\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(Ox\)  

\(\Rightarrow d\left( {B;\;Ox} \right) = d\left( {B';\;Ox} \right) \Leftrightarrow \left| k \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
k = - 1 \Rightarrow \Delta ':\;\; - x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\;\;\;\left( {ktm} \right)\\
k = 1 \Rightarrow \Delta ':\;x - y - 2 = 0\;\;\left( {tm} \right)\;
\end{array} \right.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Hình nào trong các hình sau không có trục đối xứng?

  • A  Hình tam giác đều.                
  • B  Hình thoi.                              
  • C  Hình vuông.              
  • D  Hình bình hành.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hình bình hành không có trục đối xứng.

Hình tam giác đều có 3 trục đối xứng.

Hình thoi có 2 trục đối xứng.

Hình vuông có 4 trục đối xứng.

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm ảnh của đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) qua phép đối xứng trục Ox.

  • A  \(\left( C \right):\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).                                              
  • B  \(\left( C \right):\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).                                               
  • C  \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).
  • D \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phép đối xứng trục Ox biến \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x; - y} \right)\); biến đường tròn \(\left( {I\left( {a;b} \right);\,R} \right)\)thành đường tròn \(\left( {I'\left( {a; - b} \right);\,R} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ảnh của đường tròn \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 2\) qua phép đối xứng trục Ox là: \(\left( C \right):\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) có tâm \(I'\left( {1;2} \right)\) bán kính \(R = 2\).

Chọn: C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\). Viết phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng trục Oy.

  • A  \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\).                                            
  • B  \(\left( {C'} \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\).          
  • C  \(\left( C' \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=9\).                                      
  • D  \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 4\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\({_{Oy}}:\,\,\,M\left( {x;y} \right)\, \mapsto M'\,\left( {x';y'} \right)\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' = y\end{array} \right.\)  .

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=9\) có tâm \(I\left( 2;-3 \right)\), bán kính \(R=3\)

 

Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính \(\Rightarrow R'=3\)

Đồng thời, biến tâm \(I\left( 2;-3 \right)\) thành tâm \(I'\left( -2;-3 \right)\)

Phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\).

Chọn: A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hai đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\,\,x - y + 1 = 0;\,\,\left( {\Delta '} \right):\,\,x - y - 5 = 0\). Có bao nhiêu đường thẳng (d) thoả mãn điều kiện phép đối xứng trục (d) biến \(\left( \Delta  \right)\) thành \(\left( {\Delta '} \right)\)?

  • A 0
  • B 1
  • C 2
  • D Nhiều hơn 2

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Có duy nhất 1 đường thẳng (d) thỏa mãn điều kiện phép đối xứng trục (d) biến \(\left( \Delta  \right)\) thành \(\left( {\Delta '} \right)\) là \(\left( d \right):\,\,x - y - 2 = 0\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right);\,\,A'\left( {3;4} \right)\). Nếu \(A' = {D_\Delta }\left( A \right)\) thì đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) có phương trình là

  • A \(\left( \Delta  \right):\,\,x - y + 1 = 0\)
  • B \(\left( \Delta  \right):\,\,x - y - 5 = 0\)           
  • C \(\left( \Delta  \right):\,\,x + y - 5 = 0\)
  • D Kết quả khác

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Do A’ đối xứng A qua \(\left( \Delta  \right)\) nên đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là đường trung trực của AA’. Từ đó xác định điểm đi qua và 1VTPT của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\).

+) Đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có 1 VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) có phương trình \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Do A’ đối xứng A qua \(\left( \Delta  \right)\) nên đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là đường trung trực của AA’. Do đó \(\left( \Delta  \right)\) đi qua trung điểm \(I\left( {2;3} \right)\) của AA’ và nhận \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {2;2} \right)\) là 1 VTPT.

Khi đó ta có phương trình \(\left( \Delta  \right):\,\,2\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho hình vuông \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(I\). Khẳng định nào sau đây là đúng về phép đối xứng trục:

  • A Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua trục \(CD\).
  • B Phép đối xứng trục \(AC\) biến \(D\) thành \(C\).
  • C Phép đối xứng trục \(AC\) biến \(D\) thành \(B\).
  • D Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa phép đối xứng trục.

Lời giải chi tiết:

Do \(ABCD\) nên hai đường chéo \(AC \bot BD\) và \(AC \cap BD\) tại trung điểm của mỗi đường.

\( \Rightarrow AC\) là trung trực của \(BD \Rightarrow \) Đ\(_{AC}\left( D \right) = B\).

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 

  • A Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
  • B Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
  • C Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
  • D Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn bằng đường tròn đã cho.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa phép đối xứng trục.

Lời giải chi tiết:

Khẳng định sai là B. Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng chứ không nhất thiết song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm \(M\left( {2;3} \right)\). Hỏi trong bốn điểm sau điểm nào là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng qua đường thẳng \(d:\,\,x - y = 0\)?

  • A \(\left( {3;2} \right)\)
  • B \(\left( {2; - 3} \right)\)
  • C \(\left( {3; - 2} \right)\)
  • D \(\left( { - 2;3} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đ\(_{Ox}\left[ {M\left( {x;y} \right)} \right] = M'\left( {x';y'} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x\\y' =  - y\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Gọi Đ\(_\Delta \left( M \right) = M'.\)

Bước 1: Dựng phương trình đường thẳng \(d'\) qua M và vuông góc với \(d\).

\( \Rightarrow d':\,\,x + y + c = 0\).

Thay \(M:\,\,2 + 3 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 5 \Rightarrow t:\,\,x + y - 5 = 0\).

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên \(d \Rightarrow H = d \cap d'\).

\( \Rightarrow H\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x + y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Bước 3: Do M, M’ đối xứng nhau qua \(d \Rightarrow H\) là trung điểm của MM’

\( \Leftrightarrow M'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_H} - {x_M}\\y' = 2{y_H} - {y_M}\end{array} \right. \Rightarrow M'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.\frac{5}{2} - 2 = 3\\y' = 2.\frac{5}{2} - 3 = 2\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {3;2} \right)\).

Cách 2: Công thức giải nhanh: \(M' = M - 2nT\)

\(T = \frac{{x - y}}{{{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 3}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\)

\( \Rightarrow M'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2 - 2.1.\frac{{ - 1}}{2} = 3\\y' = 3 - 2.\left( { - 1} \right).\frac{{ - 1}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {3;2} \right)\).

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\). Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục \(d:\,\,x + y - 2 = 0\).

  • A \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)
  • B \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\)
  • C \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
  • D \(\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

- \(\left( {C'} \right) = \) Đ\(_d\left( C \right) \Rightarrow \left( {C'} \right)\) là đường tròn có tâm \(I' = \) Đ\(_d\left( I \right)\) và bán kính \(R' = R\).

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Gọi \(\left( {C'} \right) = \) Đ\(_d\left( C \right) \Rightarrow \left( {C'} \right)\) là đường tròn có tâm \(I' = \) Đ\(_d\left( I \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Tìm \(I' = \) Đ\(_d\left( I \right)\).

Cách 1: Gọi \(I' = \) Đ\(_d\left( I \right)\).

Bước 1: Dựng phương trình đường thẳng \(d'\) qua \(I\) và vuông góc với \(d\).

\( \Rightarrow d':\,\,x - y + c = 0\).

Thay \(I:\,\,1 - \left( { - 1} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 2 \Rightarrow t:\,\,x - y - 2 = 0\).

Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên \(d \Rightarrow H = d \cap d'\).

\( \Rightarrow H\,\,\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {2;0} \right)\).

Bước 3: Do I, I’ đối xứng nhau qua \(d \Rightarrow H\) là trung điểm của II’

\( \Leftrightarrow I'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2{x_H} - {x_I}\\y' = 2{y_H} - {y_I}\end{array} \right. \Rightarrow I'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.2 - 1 = 3\\y' = 2.0 - \left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3;1} \right)\).

Cách 2: Công thức giải nhanh: \(I' = I - 2nT\)

\(T = \dfrac{{x + y - 2}}{{{1^2} + {1^2}}} = \dfrac{{1 + \left( { - 1} \right) - 2}}{2} =  - 1\)

\( \Rightarrow I'\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 1 - 2.1.\left( { - 1} \right) = 3\\y' =  - 1 - 2.1.\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {3;1} \right)\).

Vậy phương trình \(\left( {C'} \right):\,\,\left( {C'} \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Quảng cáo
close