30 bài tập đạo hàm cấp caoLàm bàiQuảng cáo
Câu hỏi 1 : Cho \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 5,\) tính \(f''\left( 1 \right).\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức đạo hàm cơ bản để tính. Lời giải chi tiết: Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,\,\,f''\left( x \right) = 6x - 4 \Rightarrow f''\left( 1 \right) = 2.\) Chọn B. Câu hỏi 2 : Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\), giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), sử dụng bảng đạo hàm cơ bản. Lời giải chi tiết: \(\begin{align} & f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\Rightarrow f''\left( x \right)=6x \\ & \Rightarrow f''\left( 1 \right)=6 \\ \end{align}\) Chọn A. Câu hỏi 3 : Hàm số \(y=\frac{x}{x-2}\) có đạo hàm cấp hai là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp 1, sau đó tính đạo hàm cấp 2. Lời giải chi tiết: \(\begin{align} y'=\frac{1.\left( x-2 \right)-x.1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \\ y''=\frac{\left( -2 \right)'{{\left( x-2 \right)}^{2}}-\left( -2 \right).\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)'}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4\left( x-2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}} \\ \end{align}\) Chọn D. Câu hỏi 4 : Hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}\) có đạo hàm cấp ba là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Cách 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp tính lần lượt đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba. Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) trước khi tính đạo hàm. Lời giải chi tiết: Cách 1: \(\begin{align} y'=3{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)'=6x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \\ y''=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+6x.2\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x \\ \,\,\,\,\,\,=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+24{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\ y'''=12\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x+24.2x.\left( {{x}^{2}}+1 \right)+24{{x}^{2}}.2x \\ \,\,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48{{x}^{3}} \\ \,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1+2\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2{{x}^{2}} \right)=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\) Cách 2: \(\begin{align} y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1 \\ y'=6{{x}^{5}}+12{{x}^{3}}+6x \\ y''=30{{x}^{4}}+36{{x}^{2}}+6 \\ y'''=120{{x}^{3}}+72x=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\) Chọn C. Câu hỏi 5 : Hàm số \(y=\sqrt{2x+5}\) có đạo hàm cấp hai bằng:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\,\,\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u'\), và sử dụng công thức lũy thừa \(\sqrt[m]{{{x}^{n}}}={{x}^{\frac{n}{m}}}\) Lời giải chi tiết: \(\begin{align} y'=\frac{\left( 2x+5 \right)'}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}={{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}}} \\ y''=-\frac{1}{2}.{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}-1}}.\left( 2x+5 \right)' \\ \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{2}{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{3}{2}}}.2 \\ \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{{{\left( 2x+5 \right)}^{\frac{3}{2}}}}=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}} \\ \end{align}\) Chọn C. Câu hỏi 6 : Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=\tan x\) bằng:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( \frac{1}{u} \right)'=\frac{-u'}{{{u}^{2}}}\) Lời giải chi tiết: \(\begin{align} y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ y''=\frac{-\left( {{\cos }^{2}}x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\) Chọn D. Câu hỏi 7 : Cho hàm số \(f\left( x \right)={{\left( 2x+5 \right)}^{5}}\). Có đạo hàm cấp 3 bằng:
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u’\) Lời giải chi tiết: \(\begin{align} f'\left( x \right)=5{{\left( 2x+5 \right)}^{4}}\left( 2x+5 \right)'=10{{\left( 2x+5 \right)}^{4}} \\ f''\left( x \right)=40{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\left( 2x+5 \right)'=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}} \\ f'''\left( x \right)=240{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\left( 2x+5 \right)'=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}} \\ \end{align}\) Chọn B. Câu hỏi 8 : Giả sử \(h\left( x \right)=5{{\left( x+1 \right)}^{3}}+4\left( x+1 \right)\). Tập nghiệm của phương trình \(h''\left( x \right)=0\) là:
Đáp án: C Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số và giải phương trình \(h''\left( x \right)=0\) Lời giải chi tiết: \(\begin{align} h'\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4 \\ h''\left( x \right)=30\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1 \\ \end{align}\) Chọn C. Câu hỏi 9 : Xét \(y=f\left( x \right)=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\). Phương trình \({{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8\) có nghiệm \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là:
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số đã cho. Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( \sin u \right)'=u'.\cos u;\,\,\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\) +) Giải phương trình lượng giác. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = - 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f''\left( x \right) = - 4\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f'''\left( x \right) = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\end{array}\) Chọn A. Câu hỏi 10 : Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=-\frac{1}{x}\). Xét hai mệnh đề: (I): \(y''=f''\left( x \right)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\) (II): \(y'''=f'''\left( x \right)=-\frac{6}{{{x}^{4}}}\) Mệnh đề nào đúng?
Đáp án: D Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp hai và đạo hàm cấp ba của hàm số ban đầu, sử dụng công thức \(\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\), đối chiếu với hai mệnh đề của đề bài cho, xét tính đúng sai của các mệnh đề. Lời giải chi tiết: \(\begin{align} y'=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ y''=-\frac{\left( {{x}^{2}} \right)'}{{{x}^{4}}}=-\frac{2x}{{{x}^{4}}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}} \\ y'''=-2.\frac{-\left( {{x}^{3}} \right)'}{{{x}^{6}}}=\frac{2.3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=\frac{6}{{{x}^{4}}} \\ \end{align}\) Chọn D. Câu hỏi 11 : Cho hàm số \(y=\sin 2x\). Hãy chọn câu đúng?
Đáp án: B Phương pháp giải: Tính các đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số, sau đó thử từng đáp án để chọn được đáp án đúng. Lời giải chi tiết: \(y'=2\cos 2x;\,\,y''=-4\sin 2x=-4y\Leftrightarrow 4y+y''=0\) Chọn B. Câu hỏi 12 : Hàm số \(y=x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) có đạo hàm cấp hai bằng:
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, đạo hàm của 1 thương. Lưu ý các hàm số hợp. Lời giải chi tiết: \(\begin{align}y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x.\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ y''=\frac{4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right).\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{\frac{4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{4{{x}^{3}}+4x-2{{x}^{3}}-x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ \end{align}\) Chọn C. Câu hỏi 13 : Nếu \(f''\left( x \right)=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\), thì f(x) bằng:
Đáp án: D Phương pháp giải: Thử từng đáp án. Lời giải chi tiết: Đáp án A: \(\begin{align} y=\frac{1}{\cos x} \\ y'=\frac{-\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\ y''=\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\) Đáp án B: \(\begin{align} y=-\frac{1}{\cos x} \\ y'=\frac{\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\ y''=-\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{-{{\cos }^{3}}x-2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x} \\ \end{align}\) Đáp án C: \(\begin{align} y=\cot x \\ y'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\ y'=\frac{2\sin x\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\cos x}{{{\sin }^{3}}x} \\ \end{align}\) Đáp án D: \(\begin{align} y=\tan x \\ y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\ y''=\frac{-2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\) Chọn D. Câu hỏi 14 : Với \(f\left( x \right)={{\sin }^{3}}x+{{x}^{2}}\) thì \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\) bằng:
Đáp án: D Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số trên, sau đó thay \(x=-\frac{\pi }{2}\) và tính \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\) Lời giải chi tiết: \(\begin{align} f'\left( x \right)=3{{\sin }^{2}}x\left( \sin x \right)'+2x=3{{\sin }^{2}}x\cos x+2x \\ f''\left( x \right)=3.\left( {{\sin }^{2}}x \right)'.\cos x+3{{\sin }^{2}}x.\left( \cos x \right)'+2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x\left( \sin x \right)'\cos x-3{{\sin }^{2}}x.\sin x+2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x{{\cos }^{2}}x-3{{\sin }^{3}}x+2 \\ f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=6\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right){{\cos }^{2}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)-3{{\sin }^{3}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)+2=3+2=5. \\ \end{align}\) Chọn D. Câu hỏi 15 : Cho hàm số \(y=\sin x\). Chọn câu sai ?
Đáp án: D Phương pháp giải: Tính đạo hàm cấp một, hai, ba, biến đổi các công thức lượng giác và suy ra đáp án sai. Lời giải chi tiết: \(y'=\cos x=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án A đúng. \(y''=-\sin x=\sin \left( x+\pi \right)\Rightarrow \) Đáp án B đúng. \(y'''=-\cos x=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án C đúng. Chọn D. Câu hỏi 16 : Cho hàm số \(y=\cos x\). Khi đó \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\) bằng:
Đáp án: A Phương pháp giải: Tính đạo hàm các cấp của hàm số ban đầu và suy ra quy luật của các đạo hàm cấp cao, sau đó suy ra \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\) Lời giải chi tiết: \(\begin{align} y'\left( x \right)=-\sin x \\ y''\left( x \right)=-\cos x \\ y'''\left( x \right)=\sin x \\ {{y}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=\cos x=y \\ {{y}^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)=-\sin x=y' \\ {{y}^{\left( 6 \right)}}\left( x \right)=-\cos x=y'' \\ {{y}^{\left( 7 \right)}}\left( x \right)=\sin x=y''' \\ .... \\ \end{align}\) Ta có: \(2018=504.4+2\Rightarrow {{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)=y''\left( x \right)=-\cos x\) Chọn A. Câu hỏi 17 : Đạo hàm cấp 4 của hàm số \(y=\sin 5x.\sin 3x\) là :
Đáp án: A Phương pháp giải: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng \(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left( \cos \left( a+b \right)-\cos \left( a-b \right) \right)\) Lời giải chi tiết: \(\begin{align} y=\sin 5x.\sin 3x=-\frac{1}{2}\left( \cos 8x-\cos 2x \right) \\ \Rightarrow y'=-\frac{1}{2}\left( -8\sin 8x+2\sin 2x \right)=4\sin 8x-\sin 2x \\ \,\,\,\,\,\,y''=32\cos 8x-2\cos 2x \\ \,\,\,\,\,\,y'''=-256\sin 8x+4\sin 2x \\ \,\,\,\,\,\,{{y}^{\left( 4 \right)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x \\ \end{align}\) Chọn A. Câu hỏi 18 : Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\) trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc chuyển động khi t = 2 là:
Đáp án: B Phương pháp giải: \(a=s''\), tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\), sau đó tính \(a\left( 2 \right)\). Lời giải chi tiết: Ta có : \(\begin{align} a=v'=\left( s' \right)'=s'' \\ s'=3{{t}^{2}}-4t+4 \\ s''=6t-4=a \\ a\left( 2 \right)=6.2-4=8\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right) \\ \end{align}\) Chọn B. Câu hỏi 19 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}.\) Tìm \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right).\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Tính các đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba và suy ra quy luật. Lời giải chi tiết: Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+1}{-\left( x-1 \right)}=-x-1-\frac{1}{x-1}\) Có \(\begin{align} & f'\left( x \right)=-1+\frac{1!}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};f''\left( x \right)=-\frac{2!}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},{{f}^{\left( 3 \right)}}=\frac{3!}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}};.... \\ & \Rightarrow {{f}^{\left( 30 \right)}}=-\frac{30!}{{{\left( x-1 \right)}^{31}}}=\frac{30!}{{{\left( 1-x \right)}^{31}}} \\ \end{align}\) Đáp án B. Câu hỏi 20 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{2x-1}\) Tính \(f'''\left( 1 \right)\)
Đáp án: A Phương pháp giải: +) Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau đó thay \(x=1\) vào để tính \(f'''\left( 1 \right)\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Rightarrow f''\left( x \right)=\frac{-\left( \sqrt{2x-1} \right)'}{2x-1}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}}\) \(\Rightarrow f'''\left( x \right)=\frac{\left( \sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}} \right)'}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{2x-1}}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=3\) Chọn A. Câu hỏi 21 : Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}}\). Đạo hàm cấp 2018 của hàm số \(f\left( x \right)\) là:
Đáp án: B Phương pháp giải: \(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}} = \dfrac{{{x^2} - 1 + 1}}{{1 - x}} = - x - 1 + \dfrac{1}{{1 - x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = - 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,f'''\left( x \right) = \dfrac{{2.3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} = \dfrac{{2.3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\.......\\ \Rightarrow {f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{ - 2.3...2018}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} = - \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} = \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\end{array}\) Chọn B.
Câu hỏi 22 : Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2}\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng mối quan hệ: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\) để tính gia tốc \(a\) tại thời điểm \(t\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t;\,\,\,a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t - 6\) Do đó tại \(t = 3s\) thì \(a = 12m/{s^2}\) (loại A, C) Tại \(t = 4s\) thì \(a = 18m/{s^2}\) (loại B) Chọn D. Câu hỏi 23 : Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\) là:
Đáp án: D Phương pháp giải: Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(y' = \left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,y'' = \left( {\cos x} \right)' = - \sin x\). Chọn D. Câu hỏi 24 : Cho hàm số \(y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án: D Phương pháp giải: Rút gọn biểu thức. Tính \(y''\) và kiểm tra từng đẳng thức. Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}} = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}}\\ = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}} = \sin x + \cos x\end{array}\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x,\,\,y'' = - \sin x - \cos x = - y\\ \Rightarrow y'' + y = 0\end{array}\) Chọn D. Câu hỏi 25 : Hàm số nào sau đây thỏa mãn đẳng thức \(xy - 2y' + xy'' = - 2\cos x\).
Đáp án: A Phương pháp giải: Tính \(y',\,\,y''\) của các hàm số ở từng đáp án sau đó thay vào đẳng thức đề bài cho xem có thỏa mãn hay không? Lời giải chi tiết: Xét đáp án A ta có: \(\begin{array}{l}y' = \cos x - x\sin x,\,\,y'' = - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right) = - 2\sin x - x\cos x\\ \Rightarrow xy - 2y' + xy'' = {x^2}\cos x - 2\cos x + 2x\sin x - 2x\sin x - {x^2}\cos x = - 2\cos x\end{array}\) Vậy đáp án A đúng. Chọn A. Câu hỏi 26 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}\) và \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}}\)
Đáp án: D Phương pháp giải: +) Tính \(f'\left( x \right),\,\,f''\left( x \right) \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right),\,\,g'\left( x \right) \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right)\) +) Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\). Lời giải chi tiết: Ta có \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 1 \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right) = 6\sin 5x - 1\\g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right) = 2\sin 3x - 3\end{array}\) Ta có \(\dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \dfrac{{6\sin 5x - 1 + 1}}{{2\sin 3x + 3 - 3}} = \dfrac{{6\sin 5x}}{{2\sin 3x}} = 3\dfrac{{\sin 5x}}{{\sin 3x}}\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\sin 5x}}{{\sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}.5}}{{\dfrac{{\sin 3x}}{{3x}}.3}} = 5\). Chọn D. Câu hỏi 27 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) mà \(f''\left( {{x_0}} \right) = 6\) .
Đáp án: B Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(f'\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 3 \Rightarrow f''\left( x \right) = - 2x + 4\) \(f''\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow - 2{x_0} + 4 = 6 \Leftrightarrow {x_0} = - 1\) Ta có \(f'\left( { - 1} \right) = - 8,\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}\). Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({x_0} = - 1\) là \(y = - 8\left( {x + 1} \right) + \dfrac{{16}}{3} = - 8x - \dfrac{8}{3}\). Câu hỏi 28 : Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\). Tính \(y''\left( 0 \right)\).
Đáp án: B Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 4\end{array}\) Chọn B. Câu hỏi 29 : Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}.\) Tìm \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right):\)
Đáp án: B Phương pháp giải: Lời giải chi tiết: Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{1-x}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=-\,1-x+\frac{1}{1-x}\Rightarrow \,\,{f}'\left( x \right)=-\,1+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\,1+{{\left( 1-x \right)}^{-\,2}}.\) Suy ra \({f}''\left( x \right)=\,2.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}=2!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}\Rightarrow \,\,{f}'''\left( x \right)=2.3.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}=3!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}.\) Vậy \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,31}}.\) Chọn B. Câu hỏi 30 : Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp 2 là \(6x\).
Đáp án: C Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính đạo hàm cơ bản \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\). Lời giải chi tiết: Xét đáp án A: \(y' = 2.3{x^2} = 6x \Rightarrow y'' = 6\). Xét đáp án B: \(y' = 2x \Rightarrow y'' = 2\). Xét đáp án C: \(y' = 3{x^2} \Rightarrow y'' = 3.2x = 6x\). Chọn C. Quảng cáo
|