Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\dfrac{{16{x^2}y(x + y)}}{{12xy(x + y)}} = \dfrac{{16x.xy(x + y)}}{{12xy(x + y)}} = \dfrac{{4x}}{3}$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\dfrac{{54{{(x - 3)}^3}}}{{63{{(3 - x)}^2}}} = \dfrac{{54{{(x - 3)}^3}}}{{63{{(x - 3)}^2}}} = \dfrac{6}{7}(x - 3)$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Kết hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và thực hiện phép tính chia để thu được biểu thức rút gọn.

Lời giải chi tiết:

$A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}} = {{\left( {{{\left( {3x} \right)}^2} + 2.3x.2 + {2^2}} \right)\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}} = {{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}} = \left( {3x + 2} \right)\left( {3x - 2} \right) = 9{x^2} – 4$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\dfrac{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \dfrac{{5({x^2} - 2xy + {y^2})}}{{(x - y)(x + y)}} = \dfrac{{5{{(x - y)}^2}}}{{(x - y)(x + y)}} = \dfrac{{5(x - y)}}{{x + y}}$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{7y(3y - x)}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{ - 7y(x - 3y)}} = \dfrac{{ - x}}{{7y}}$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\dfrac{{{x^3} + 2{x^2} - 3x - 6}}{{{x^2} + x - 2}} = \dfrac{{({x^3} + 2{x^2}) - 3x - 6}}{{{x^2} - x + 2x - 2}} = \dfrac{{{x^2}(x + 2) - 3(x + 2)}}{{x(x - 1) + 2(x - 1)}} = \dfrac{{(x + 2)({x^2} - 3)}}{{(x - 1)(x + 2)}} = \dfrac{{{x^2} - 3}}{{x - 1}}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

$\begin{align} & \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{3x}=\frac{(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)}{3x(x-2)}=\frac{{{x}^{3}}-8}{3x(x-2)} \\ & \Rightarrow \frac{{{x}^{3}}-8}{3x(x-2)}=\frac{{{x}^{3}}-8}{......} \\\end{align}$

Vậy đa thức cần tìm là $3x(x-2)$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

-          Phân tích đa thức thành nhân tử.

-          Rút gọn phân thức đại số.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\frac{{2x + 6}}{{(x + 3)(x - 2)}} = \frac{{2(x + 3)}}{{(x + 3)(x - 2)}} = \frac{2}{{x - 2}}.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

a)      $\dfrac{{5(x - y) - 3(y - x)}}{{10(x - y)}} = \dfrac{{5(x - y) + 3(x - y)}}{{10(x - y)}} = \dfrac{{8(x - y)}}{{10(x - y)}} = \dfrac{4}{5}$

b)      $\dfrac{{{x^2} + 4x + 3}}{{2x + 6}} = \dfrac{{{x^2} + x + 3x + 3}}{{2(x + 3)}} = \dfrac{{x(x + 1) + 3(x + 1)}}{{2(x + 3)}} = \dfrac{{(x + 1)(x + 3)}}{{2(x + 3)}} = \dfrac{{x + 1}}{2}$ .

c)      $\dfrac{{{y^2} - {x^2}}}{{{x^2} - 3xy + 2{y^2}}} = \dfrac{{(y - x)(y + x)}}{{{x^2} - xy - 2xy + 2{y^2}}} = \dfrac{{(x + y)(y - x)}}{{x(x - y) - 2y(x - y)}} = \dfrac{{ - (x + y)(x - y)}}{{(x - y)(x - 2y)}} = \dfrac{{ - (x + y)}}{{x - 2y}}.$

d)      $\dfrac{{2{x^3} - 7{x^2} - 12x + 45}}{{3{x^3} - 19{x^2} + 33x - 9}} = \dfrac{{2{x^3} + 5{x^2} - 12{x^2} - 30x + 18x + 45}}{{3{x^3} - {x^2} - 18{x^2} + 6x + 27x - 9}} = \dfrac{{{x^2}(2x + 5) - 6x(2x + 5) + 9(2x + 5)}}{{{x^2}(3x - 1) - 6x(3x - 1) + 9(3x - 1)}}$

 $= \dfrac{{(2x + 5)({x^2} - 6x + 9)}}{{(3x - 1)({x^2} - 6x + 9)}} = \dfrac{{2x + 5}}{{3x - 1}}.$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

a)         $A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\text{x}} + 81}}$  với $2 < x < 6$.

Với $2 < x < 6 \Rightarrow x - 2 > 0$ và $x - 6 < 0.$

$\Rightarrow |x - 2| = x - 2$ và  $|x - 6| = 6 - x.$

$A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\text{x}} + 81}} = \dfrac{{3(x - 2) - 5(6 - x)}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{3x - 6 - 30 + 5x}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{8x - 36}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{4(2x - 9)}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{4}{{2x - 9}}.$

b)      $B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 5x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 2x - 3x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x{\text{[}}x(x - 2) - 3(x - 2){\text{]}}}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x(x - 2)(x - 3)}}$ .

Nếu $x - 2 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 2$ thì $|x - 2| = x - 2 \Rightarrow B = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}.$

Nếu $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$ thì $|x - 2| = 2 - x \Rightarrow B = \dfrac{{x(2 - x)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(3 - x)}} = \dfrac{1}{{3 - x}}.$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

a)      $A = \dfrac{{(2{x^2} + 2x){{(x - 2)}^2}}}{{({x^3} - 4x)(x + 1)}}$ với $x = \dfrac{1}{2}.$

Ta có: $A = \dfrac{{(2{x^2} + 2x){{(x - 2)}^2}}}{{({x^3} - 4x)(x + 1)}} = \dfrac{{2x(x + 1){{(x - 2)}^2}}}{{x({x^2} - 4)(x + 1)}} = \dfrac{{2x(x + 1){{(x - 2)}^2}}}{{x(x - 2)(x + 2)(x + 1)}} = \dfrac{{2(x - 2)}}{{x + 2}}.$

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \dfrac{{2\left( {\dfrac{1}{2} - 2} \right)}}{{\dfrac{1}{2} + 2}} = \dfrac{{2.\left( {\dfrac{{ - 3}}{2}} \right)}}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{{ - 6}}{5}.$

b)      $B = \dfrac{{{x^3} - {x^2}y + x{y^2}}}{{{x^3} + {y^3}}}$ với  $x =  - 5;\,\,y = 10.$

Ta có: $B = \dfrac{{{x^3} - {x^2}y + x{y^2}}}{{{x^3} + {y^3}}} = \dfrac{{x({x^2} - xy + {y^2})}}{{(x + y)({x^2} - xy + {y^2})}} = \dfrac{x}{{x + y}}.$

Thay $x =  - 5;\,\,y = 10.$ vào biểu thức $B$, ta được:

$B = \dfrac{{ - 5}}{{ - 5 + 10}} = \dfrac{{ - 5}}{5} =  - 1.$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc = ({a^3} + {c^3} + 3{a^2}c + 3a{c^2}) - 3{a^2}c - 3a{c^2} + 3abc - {b^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(a + c)^3} - {b^3} - 3ac(a + c - b)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (a + c - b)\left[ {{{(a + c)}^2} + b(a + c) + {b^2}} \right] - 3ac(a + c - b)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = (a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\{(a + b)^2} + {(b + c)^2} + {(c - a)^2} = ({a^2} + 2ab + {b^2}) + ({b^2} + 2bc + {c^2}) + ({c^2} - 2ac + {a^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2ab + 2bc - 2ac\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\ \Rightarrow C = \dfrac{{(a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}}{{2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}} = \dfrac{{a + c - b}}{2}\end{array}$

Phương pháp giải:

- Kết hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và thực hiện phép tính chia để thu được biểu thức rút gọn.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{& P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}  \cr & P = {{\left( {x + 1 + x - 1} \right)\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2.2x.1 + {1^2}} \right)} \over {{x^2} - x + 3x - 3 - {x^2} - 1}}  \cr  & P = {{2x{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \over {2x - 4}} = {{2x{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \over {2\left( {x - 2} \right)}}  \cr  & P = {{x{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \over {x - 2}} \cr}$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{b^3} - {b^2} - 8b + 12}}{{{b^2} + 4 - 4b}} = \dfrac{{{b^3} + 3{b^2} - 4{b^2} - 12b + 4b + 12}}{{{b^2} - 4b + 4}} = \dfrac{{{b^2}(b + 3) - 4b(b + 3) + 4(b + 3)}}{{{{(b - 2)}^2}}}\\ = \dfrac{{(b + 3)({b^2} - 4b + 4)}}{{{{(b - 2)}^2}}} = \dfrac{{(b + 3){{(b - 2)}^2}}}{{{{(b - 2)}^2}}} = b + 3.\end{array}$

Vì $b$ là số nguyên nên $b + 3$ nguyên hay $\dfrac{{{b^3} - {b^2} - 8b + 12}}{{{b^2} + 4 - 4b}}$ là số nguyên.