Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ của phân thức 

- Quy đồng mẫu các phân thức, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

a) \(A=\left( \frac{2}{x-2}-\frac{2}{x+2} \right).\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{8}\) (ĐK: \(x\ne -2;x\ne 2\))

\(\begin{align} & A=\left( \frac{2}{x-2}-\frac{2}{x+2} \right).\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{8} \\& =\frac{2x+4-2x+4}{(x-2)(x+2)}.\frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{8} \\ & =\frac{8}{(x-2)(x+2)}.\frac{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{8} \\ & =\frac{x+2}{x-2}. \\\end{align}\)

b) \(B=x-\frac{xy}{x+y}-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\) (ĐK: \(x\ne \pm y\))

\(\begin{align} & B=x-\frac{xy}{x+y}-\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}} \\ & =\frac{x({{x}^{2}}-{{y}^{2}})-xy(x-y)-{{x}^{3}}}{(x+y)(x-y)} \\ & =\frac{{{x}^{3}}-x{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}-{{x}^{3}}}{(x+y)(x-y)} \\ & =\frac{-{{x}^{2}}y}{(x+y)(x-y)} \\\end{align}\)

\(\begin{align} & c)C=\frac{2{{x}^{2}}+4x+8}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3}:\frac{{{x}^{3}}-8}{(x+1)(x-3)} \\& DKXD:x\ne 3;x\ne \pm 1 \\ & C=\frac{2({{x}^{2}}+2x+4)}{{{x}^{2}}(x-3)-(x-3)}.\frac{(x+1)(x-3)}{(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)} \\ & C=\frac{2(x+1)(x-3)}{(x-3)({{x}^{2}}-1)(x-2)} \\ & C=\frac{2}{(x-1)(x-2)}. \\\end{align}\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Biến đổi mẫu thức đã cho về dạng \({{(A+B)}^{2}}+C\)

- Đánh giá biểu thức, từ đó tìm GTLN của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta có: \(\frac{5}{{{x}^{2}}-6x+10}=\frac{5}{{{x}^{2}}-6x+9+1}=\frac{5}{{{(x-3)}^{2}}+1}\)

Vì \({{(x-3)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{(x-3)}^{2}}+1\ge 1\Rightarrow \frac{1}{{{(x-3)}^{2}}+1}\le 1\Rightarrow \frac{5}{{{(x-3)}^{2}}+1}\le 5\)

Vậy GTLN của phân thức là \(5\).

Dấu “=” xảy ra khi \({{\left( x-3 \right)}^{2}}=0\) hay \(x=3\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ của phân thức;

- Cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số, và thu gọn.

- Biến đổi phân thức thu gọn được và đánh giá.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x}\)  (ĐK: \(x\ne 1\))

\(\begin{align}  & P=\left( \frac{x-1}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x} \\& =\left( \frac{x-1}{3x+{{x}^{2}}-2x+1}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right):\frac{{{x}^{2}}+1}{1-x} \\ & =\left( \frac{x-1}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{1-3x+{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1} \right).\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{{{x}^{2}}-2x+1-1+3x-{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-x-1}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}.\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{-{{x}^{2}}-1}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)}.\frac{1-x}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1} \\\end{align}\)

b) Ta có:  \(P=\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}\Rightarrow \frac{1}{P}={{x}^{2}}+x+1={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\forall x\ne 1\)

Vậy GTNN của P là \(\frac{3}{4}\) khi \(x=-\frac{1}{2}.\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

- Thu gọn phân thức

- Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên

- Phân biệt được thế nào là số nguyên tố để loại nghiệm

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

a) \(Q=\left( \frac{{{x}^{3}}+3x}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+27}+\frac{3}{{{x}^{2}}+9} \right):\left( \frac{1}{x-3}-\frac{6x}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27} \right)\) (ĐK: \(x\ne \pm 3\))

\(\begin{align} & Q=\left( \frac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+27}+\frac{3}{{{x}^{2}}+9} \right):\left( \frac{1}{x-3}-\frac{6x}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+9x-27} \right) \\& =\left( \frac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}(x+3)+9(x+3)}+\frac{3}{{{x}^{2}}+9} \right):\left( \frac{1}{x-3}-\frac{6x}{{{x}^{2}}(x-3)+9(x-3)} \right) \\ & =\frac{{{x}^{2}}+3x+3x+9}{\left( {{x}^{2}}+9 \right)\left( x+3 \right)}:\frac{{{x}^{2}}+9-6x}{\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}+9 \right)} \\& =\frac{{{(x+3)}^{2}}}{({{x}^{2}}+9)(x+3)}.\frac{(x-3)({{x}^{2}}+9)}{{{(x-3)}^{2}}} \\ & =\frac{x+3}{x-3}. \\\end{align}\)

b) Ta có Q = \(\frac{x+3}{x-3}\),\(|x|=2\Leftrightarrow x=\pm 2\)

Với  \(x=2\Rightarrow Q=\frac{2+3}{2-3}=-5\)

Với  \(x=-2\Rightarrow Q=\frac{-2+3}{-2-3}=\frac{-1}{5}\)

c) \(Q=\frac{x+3}{x-3}=\frac{x-3+6}{x-3}=1+\frac{6}{x-3}\)

\(Q\in Z\Leftrightarrow 1+\frac{6}{x-3}\in Z\Leftrightarrow \frac{6}{x-3}\in Z\Leftrightarrow x-3\in U(6)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 6 \right\}\)

Bảng giá trị:

Nhận thấy trong các giá trị \(x\) tìm được, chỉ có \(2\)  và \(5\)  là số nguyên tố.

Vậy các giá trị \(x\) cần tìm là  \(x=2\) và \(x=5.\)

Phương pháp giải:

Phương pháp:  

- Biến đổi các biểu thức hữu tỉ

- Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn giản hơn

- Thực hiện tính toán

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Ta có 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{x - y - z}}{x} = \frac{{y - z - x}}{y} = \frac{{z - x - y}}{z}\\ \Rightarrow 1 - \frac{{y + z}}{x} = 1 - \frac{{z + x}}{y} = 1 - \frac{{x + y}}{z}\\ \Rightarrow - \frac{{y + z}}{x} = - \frac{{z + x}}{y} = - \frac{{x + y}}{z}\\ \Rightarrow \frac{{y + z}}{x} = \frac{{z + x}}{y} = \frac{{x + y}}{z} = \frac{{y + z + z + x + x + y}}{{x + y + z}} = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = 2x\\z + x = 2y\\x + y = 2z\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left( {1 + \frac{y}{x}} \right)\left( {1 + \frac{z}{y}} \right)\left( {1 + \frac{x}{z}} \right) = \left( {\frac{{x + y}}{x}} \right)\left( {\frac{{y + z}}{y}} \right)\left( {\frac{{z + x}}{z}} \right) = \frac{{2z}}{x}.\frac{{2x}}{y}.\frac{{2y}}{z} = 8\end{array}\)

Vậy \(S=8.\)

Phương pháp giải:

+) Điều kiện để phân thức có nghĩa khi và chỉ khi mẫu thức khác 0.

+) Thu gọn phân thức đại số.

+) Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước.

+) Điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên

Lời giải chi tiết:

a) \(P = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left[ {2 - \frac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right]\)

ĐK: \(x \ne 3;x \ne  - 3\).

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} - \frac{{{x^2} - 1}}{{9 - x{}^2}}} \right):\left[ {2 - \frac{{x + 5}}{{x + 3}}} \right]\\\,\,\,\, = \left( {\frac{x}{{x + 3}} - \frac{2}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 1}}{{(x - 3)(x + 3)}}} \right):\left( {\frac{{2x + 6 - x - 5}}{{x + 3}}} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\frac{{x(x - 3) - 2(x + 3) + {x^2} - 1}}{{(x + 3)(x - 3)}}} \right):\frac{{x + 1}}{{x + 3}}\\\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} - 5x - 7}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} + 2x - 7x - 7}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{(2x - 7)(x + 1)}}{{(x + 3)(x - 3)}}.\frac{{x + 3}}{{x + 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{2x - 7}}{{x - 3}}.\end{array}\)

b) Tìm P biết |x| = 1.

\(|x| = 1 \Leftrightarrow x =  \pm 1\,\,(tmdk)\)

Với \(x = 1 \Rightarrow P = \frac{{2.1 - 7}}{{1 - 3}} = \frac{5}{2}.\)

Với \(x =  - 1 \Rightarrow P = \frac{{2.( - 1) - 7}}{{ - 1 - 3}} = \frac{9}{4}.\)

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Ta có \(P = \frac{{2x - 7}}{{x - 3}} = \frac{{2(x - 3) - 1}}{{x - 3}} = 2 - \frac{1}{{x - 3}}\)

\(P \in Z \Leftrightarrow 2 - \frac{1}{{x - 3}} \in Z \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 3}} \in Z \Leftrightarrow x - 3 \in U(1) = {\rm{\{ }} - 1;1\} .\).

Bảng giá trị:

Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = 4\) thì P nhận giá trị nguyên.

Phương pháp giải:

- Biến đổi biểu thức bằng cách rút gọn, thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn để tìm ra giá trị của biểu thức.

- Vận dụng kiến thức đã học để chứng minh yêu cầu của đề bài.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & a)\ A=\left( \frac{3-x}{x+3}.\frac{{{x}^{2}}+6\text{x}+9}{{{x}^{2}}-9}+\frac{x}{x+3} \right):\frac{3{{\text{x}}^{2}}}{x+3}\ \ \ \ \ \left( DK:\ \ x\ne 0,\ x\ne \pm 3 \right) \\  & \Leftrightarrow A=\left[ \frac{(3-x){{(x+3)}^{2}}}{(x+3)(x+3)(x-3)}+\frac{x}{x+3} \right].\frac{x+3}{3{{\text{x}}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow A=\left[ \frac{-(x+3)}{x+3}+\frac{x}{x+3} \right].\frac{x+3}{3{{\text{x}}^{2}}} \\  & \Leftrightarrow A=\left( \frac{-x-3+x}{x+3} \right).\left( \frac{x+3}{3{{\text{x}}^{2}}} \right) \\  & \Leftrightarrow A=\frac{(-3)}{3{{\text{x}}^{2}}}=\frac{-1}{{{x}^{2}}}. \\ \end{align}\)

b) Tại \(x=\frac{-1}{2}\), ta có: \(A=\frac{-1}{{{\left( \frac{-1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{-1}{\frac{1}{4}}=-4.\)

c) Ta có \({{x}^{2}}>0\ \ \forall x\ne 0\Rightarrow \frac{1}{{{x}^{2}}}>0\ \ \forall x\ne 0\Rightarrow -\frac{1}{{{x}^{2}}}<0\ \forall x\ne 0.\)

Suy ra \(A=\frac{-1}{{{x}^{2}}}<0\) với \(x\ne 0.\)

Chọn D

Phương pháp giải:

- Biến đổi biểu thức bằng cách rút gọn, thay giá trị biến vào biểu thức rút gọn để tìm ra giá trị của biểu thức.

- Vận dụng kiến thức đã học để chứng minh yêu cầu của đề bài.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & a)\ A=\left( \frac{x}{{{x}^{2}}-4}+\frac{\text{2}}{2-x}+\frac{1}{x+2} \right):\left( x-2+\frac{10-{{x}^{2}}}{x+2} \right)\ \ \ \left( DK:\ \ x\ne \pm 2 \right) \\ & \Leftrightarrow A=\left[ \frac{x}{(x+2)(x-2)}-\frac{2(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{x-2}{(x+2)(x-2)} \right]:\left[ \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}+\frac{10-{{x}^{2}}}{x+2} \right] \\ & \Leftrightarrow A=\left[ \frac{x-2(x+2)+x-2}{(x+2)(x-2)} \right]:\left[ \frac{{{x}^{2}}-4+10-{{x}^{2}}}{x+2} \right] \\ & \Leftrightarrow A=\left[ \frac{x-2\text{x}-4+x-2}{(x+2)(x-2)} \right]:\left( \frac{6}{x+2} \right) \\ & \Leftrightarrow A=\frac{-6}{(x+2)(x-2)}.\frac{x+2}{6} \\ & \Leftrightarrow A=\frac{-1}{x-2} \\\end{align}\)

b) Tại \(x=\frac{1}{2}\), ta có:

\(A=\frac{-1}{\frac{1}{2}-2}=\frac{-1}{\frac{-3}{2}}=\frac{2}{3}\)

c) Điều kiện \(x\ne \pm 2.\) Ta có:

\(A<0\Leftrightarrow -\frac{1}{x-2}<0\Leftrightarrow x-2>0\Leftrightarrow x>2.\)

Vậy \(x>2\) thì \(A<0.\)

Chọn A

Phương pháp giải:

1. Tìm điều kiện xác định của phân thức, rút gọn và thay \(a =  - 2\) để tính được giá trị của \(P\).

2. Biến đổi vế trái của đẳng thức về vế phải.

Lời giải chi tiết:

1. Phân thức xác định khi và chỉ khi \({a^2} - a \ne 0 \Leftrightarrow a\left( {a - 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\a \ne 1\end{array} \right.\)

\(P = \frac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} - a}} = \frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}} = \frac{{a + 1}}{a}.\)

Thay \(a =  - 2\) vào biểu thức \(P\) ta được: \(P = \frac{{a + 1}}{a} = \frac{{ - 2 + 1}}{{ - 2}} = \frac{1}{2}.\)

2. \(\left( {\frac{x}{{2 + x}} - \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{x + 3}}{{4 - {x^2}}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{4 - {x^2}}} + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\,\,\left( {x \ne  \pm 2} \right)\)

Biến đổi vế trái của đẳng thức ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{x}{{2 + x}} - \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{x + 3}}{{4 - {x^2}}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} - 3}}{{4 - {x^2}}} + 1} \right) = \left( {\frac{x}{{2 + x}} + \frac{1}{{2 - x}} - \frac{{x + 3}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}} \right):\left( {\frac{{{x^2} - 3 + 4 - {x^2}}}{{4 - {x^2}}}} \right)\\ = \frac{{x\left( {2 - x} \right) + \left( {x + 2} \right) - x - 3}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}:\frac{1}{{4 - {x^2}}} = \frac{{2x - {x^2} + x + 2 - x - 3}}{{4 - {x^2}}}.\left( {4 - {x^2}} \right)\\ =  - {x^2} + 2x - 1 =  - {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array}\)

3. Ta có:

\(\begin{array}{l}A = {\left( {m - 1} \right)^3} - \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {m - 3} \right) - 2m\\ = {m^3} - 3{m^2} + 3m - 1 - \left( {{m^3} - 3{m^2} + m - 3} \right) - 2m\\ = {m^3} - 3{m^2} + m - 1 - {m^3} + 3{m^2} - m + 3\\ = 2.\end{array}\)

Vì \(2\) là số nguyên tố nên \({\left( {m - 1} \right)^3} - \left( {{m^2} + 1} \right)\left( {m - 3} \right) - 2m\) là số nguyên tố với mọi \(m.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Nhân phá ngoặc hoặc qui đồng rồi rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}  & a)\,\,\left( x-3 \right)\left( x-6 \right)+x\left( 4-x \right) \\ & ={{x}^{2}}-6x-3x+18+4x-{{x}^{2}} \\ & =-5x+18. \\\end{align}\)                                         \(\begin{align}  & c)\,\,{{\left( x+4 \right)}^{2}}-25+\left( 3+x \right)\left( 3-x \right) \\ & ={{x}^{2}}+8x+16-25+9-{{x}^{2}} \\ & =8x. \\\end{align}\)  

\(\begin{align}  & b)\,\,\frac{5x}{x-1}+\frac{3x-8}{x-1}\ \ \ \left( DK:\ \ x\ne 1 \right) \\ & =\frac{5x+3x-8}{x-1} \\ & =\frac{8x-8}{x-1} \\ & =\frac{8\left( x-1 \right)}{x-1}=8. \\\end{align}\)                                   \(\begin{align}  & d)\,\,\frac{2x-1}{x}+\frac{2x+5}{4x-3}+\frac{2{{x}^{2}}+x+3}{3x-4{{x}^{2}}}\ \ \ \ \left( Dk:\ \ x\ne 0,\ \ x\ne \frac{3}{4} \right) \\ & =\frac{\left( 2x-1 \right)\left( 3-4x \right)-x\left( 2x+5 \right)+\left( 2{{x}^{2}}+x+3 \right)}{x\left( 3-4x \right)} \\ & =\frac{6x-8{{x}^{2}}-3+4x-2{{x}^{2}}-5x+2{{x}^{2}}+x+3}{x\left( 3-4x \right)} \\ & =\frac{-8{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}}{\text{x}\left( 3-4\text{x} \right)} \\ & =\frac{\text{2}x\left( -4x+3 \right)}{x\left( 3-4x \right)}=2 \\\end{align}\) 

Chọn A

Phương pháp giải:

a) Quy đồng, thực hiện phép tính theo quy tắc, rút gọn.

b) Biến đổi biểu thức P về dạng 1 bình phương cộng 1 số.

c) Thực hiện phép chia đa thức P cho \({x^2} + 1\). Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia đó phải có số dư bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\)

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\8 - {x^3} \ne 0\\x + 2 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne  \pm 2\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}} = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 8}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {{x^2} - 4} \right)\\\;\;\; = \frac{{x + 2 + {x^2}}}{{{x^2} - 4}}.\left( {{x^2} - 4} \right) = {x^2} + x + 2.\end{array}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

\(P = {x^2} + x + 2 = \left( {{x^2} + x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{7}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}\) với mọi \(x \ne  \pm 2\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\)

Vậy \({\min _P} = \frac{7}{4}\) đạt được khi \(x =  - \frac{1}{2}\)

c) Tìm các số nguyên x để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\).

Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia trên phải có số dư là 0 \( \Rightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\)

Vậy \(x =  - 1.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức.

+) Đặt ẩn phụ

+) Thực hiện biến đổi biểu thức và tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}A = {\left( {2x + 2y - z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z - x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x - y} \right)^2}\\A = {\left( {2x + 2y + 2z - 3z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z + 2x - 3x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x + 2y - 3y} \right)^2}\end{array}\).

Đặt \(t = 2x + 2y + 2z\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {\left( {t - 3z} \right)^2} + {\left( {t - 3x} \right)^2} + {\left( {t - 3y} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^2} - 6tz + 9{z^2} + {t^2} - 6tx + 9{x^2} + {t^2} - 6ty + 9{y^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} - 3t(2x + 2y + 2z) + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} - 3t.t + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} - 3{t^2} + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9.5 = 45.\end{array}\)

Vậy \(A = 45\).