Phương pháp giải:

Phương pháp giải: ĐKXĐ của phân thức: Mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết:

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức: phân tích đa thức thành nhân tử, nhân - chia phân thức.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

ĐKXĐ: \(x\ne 0;\,\,y\ne 0;\,\,x\ne y.\)

\(\frac{\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}=\frac{(x+y)(x-y)}{x}:\frac{y-x}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{x}.\frac{xy}{y-x}=-y(x+y).\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức:

+) Áp dụng công thức của các hằng đẳng thức đáng nhớ.

+) Phân tích đa thức thành nhân tử.

+) Rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{x - 3}}{{2x + 6}}:\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = \frac{{x - 3}}{{2(x + 3)}}.\frac{1}{{{{(x - 3)}^2}}} = \frac{1}{{2(x - 3)(x + 3)}} = \frac{1}{{2({x^2} - 9)}}\).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: ĐKXĐ của phân thức: Mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

ĐK:  \(3{{x}^{2}}+6x\ne 0\Leftrightarrow 3x(x+2)\ne 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x\ne 0 \\ & x\ne -2 \\\end{align} \right.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức quy đồng mẫu các phân thức; nhân chia phân thức; phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

\(\begin{align}  & \left( \frac{2x}{3x+1}-1 \right):\left( 1-\frac{8{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-1} \right)=\left( \frac{2x-3x-1}{3x+1} \right):\left( \frac{9{{x}^{2}}-1-8{{x}^{2}}}{9{{x}^{2}}-1} \right) \\ & =\frac{-x-1}{3x+1}:\frac{{{x}^{2}}-1}{9{{x}^{2}}-1}=\frac{-x-1}{3x+1}.\frac{9{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}-1} \\ & =\frac{-(x+1)}{3x+1}.\frac{(3x+1)(3x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{1-3x}{x-1}. \\\end{align}\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: Sử dụng kỹ năng tính toán.

Lời giải chi tiết:

Lời giải :

Khi x = - 2 ta có : \(A=\frac{3(-2)-2}{{{(-2)}^{2}}+2}=\frac{-8}{6}=\frac{-4}{3}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:  Sử dụng kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ ; tìm điều kiện để biểu thức có giá trị nguyên.

+) Tìm ĐKXĐ của B.

+) Tách B về dạng \(B=a+\frac{b}{MS},\,\,a,\,\,b\in Z.\)

+) Đề \(B\in Z\) thì \(\frac{b}{MS}\in Z\Leftrightarrow MS\in U\left( b \right).\)

+) Tìm U(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.

+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.

Lời giải chi tiết:

Lời giải :

ĐKXĐ: \(x\ne 2.\)

Ta có: \(B=\frac{x-1}{x-2}=1+\frac{1}{x-2}\)

\(B=1+\frac{1}{x-2}\in Z\Leftrightarrow \frac{1}{x-2}\in Z\Leftrightarrow x-2\in U(1)=\left\{ \pm 1 \right\}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức: ĐKXĐ của phân thức ; quy đồng mẫu các phân thức ; nhân chia phân thức đại số.

\(A = \frac{{\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}}}\)

b) Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức: ĐKXĐ của phân thức; nhân chia phân thức đại số, phân tích đa thức thành nhân tử và thu gọn.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

a) ĐK:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 1 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 2\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{\frac{{{x^4} + 1}}{{{x^3} - 1}} - x}}{{\frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^4} + 1 - {x^4} + x}}{{{x^3} - 1}}:\frac{{x(x - 1) - 2({x^2} + x + 1)}}{{{x^3} - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{1 + x}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - x - 2{x^2} - 2x - 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 1}}{{ - {x^2} - 3x - 2}}\\\,\,\,\,\,\, = - \frac{{x + 1}}{{(x + 1)(x + 2)}}\\\,\,\,\,\,\, = - \frac{1}{{x + 2}}.\end{array}\)

b) ĐK: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {x^2} + x \ne 0\\{x^4} - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}B = \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} + {x^2} + x}}:\frac{1}{{{x^4} - x}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} + 1}}{{x({x^2} + x + 1)}}.x({x^3} - 1)\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} + 1}}{{x({x^2} + x + 1)}}.\frac{{x(x - 1)({x^2} + x + 1)}}{1}\\\,\,\,\,\, = (x - 1)({x^2} + 1).\end{array}\)

Phương pháp giải:

a) Phương pháp giải: Sử dụng kiến thức: ĐKXĐ của phân thức; cộng, trừ phân thức đại số, phân tích đa thức thành nhân tử và thu gọn.

b) Phương pháp giải:

+) Xét xem giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ hay không.

+) Nếu x thỏa mãn thì thay giá trị của x vào biểu thức P vừa rút gọn được và tính giá trị biểu thức.

c) Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ của P.

+) Tách B về dạng \(P=a+\frac{b}{MS},\,\,a,\,\,b\in Z.\)

+) Đề \(P\in Z\) thì \(\frac{b}{MS}\in Z\Leftrightarrow MS\in U\left( b \right).\)

+) Tìm U(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.

+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

a) ĐK: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 \ne 0\\x + 4 \ne 0\\1 - x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right) \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 4\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{10x}}{{{x^2} + 3x - 4}} - \frac{{2x - 3}}{{x + 4}} + \frac{{x + 1}}{{1 - x}}\\\,\,\,\, = \frac{{10x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}} - \frac{{2x - 3}}{{x + 4}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \frac{{10x - (2x - 3)(x - 1) - (x + 1)(x + 4)}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{10x - 2{x^2} + 2x + 3x - 3 - {x^2} - 4x - x - 4}}{{(x - 1)(x + 4)}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ - 3{x^2} + 10x - 7}}{{(x - 1)(x + 4)}} = - \frac{{ - (x - 1)(3x - 7)}}{{(x - 1)(x + 4)}} = \frac{{ - 3x + 7}}{{x + 4}}.\end{array}\)

b) 

Ta có:  \(P=\frac{-3x+7}{x+4}\)

Khi \(x=-1(t/m)\Rightarrow P=\frac{-3.(-1)+7}{-1+4}=\frac{10}{3}\)

Vậy khi \(x=-1\) thì \(P=\frac{10}{3}.\)

c)

\(P+1=\frac{-3x+7}{x+4}+1=\frac{-3x+7+x+4}{x+4}=\frac{-2x+11}{x+4}=-2+\frac{19}{x+4}\)

\(x\in Z\) để \(P+1\in Z\Rightarrow \left( x+4 \right)\in U\left( 19 \right)=\left\{ \pm 1;\,\pm 19 \right\}\)

Vậy \(x\in \left\{ -25;-5;-3;15 \right\}\)thì \(P+1\in Z\).

Phương pháp giải:

a) Phương pháp giải:

+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.

+) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Lời giải:

a) ĐK:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}Q = \left[ {\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{3x}}{{{x^3} + x}}\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \frac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right]:\frac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{1}{{x - 1}}} \right].\frac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\frac{{{x^2} + 1}}{3} = \frac{{{x^2} + 1}}{3}.\end{array}\)

b) Ta có Q = \(\frac{{{x}^{2}}+1}{3}\),

\({{x}^{2}}\ge 0\,\,\forall x\Rightarrow {{x}^{2}}+1\ge 1\,\,\forall x\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+1}{3}\ge \frac{1}{3}\forall x\)

Vậy  \(Max\,\,Q=\frac{1}{3}.\)

Phương pháp giải:

Phương pháp giải : Phát hiện tính quy luật của biểu thức. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn gian hơn. Và sử dụng kỹ năng tính toán thường gặp.

Lời giải chi tiết:

Lời giải :

Từ \(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\Rightarrow {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}={{z}^{2}}\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-{{z}^{2}}=-2xy\).

Tương tự ta có : \(\left\{ \begin{align}  & {{y}^{2}}+{{z}^{2}}-{{x}^{2}}=-2yz \\  & {{z}^{2}}+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-2zx \\ \end{align} \right.\)                  

Do đó: \(A=\frac{xy}{-2xy}+\frac{yz}{-2yz}+\frac{zx}{-2zx}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}\)

Vậy \(A=-\frac{3}{2}.\)

Phương pháp giải:

-          Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

-          Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức

Lời giải chi tiết:

Đk: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1.\)  

\(A = \frac{{{x^2} - x}}{{2(x - 1)}} = \frac{{x(x - 1)}}{{2(x - 1)}} = \frac{x}{2}(x \ne 1)\).

Với \(x = 4\)(tmdk) ta thay \(x = 4\) vào A ta được: \(A = \frac{4}{2} = 2.\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Giải phương trình \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\)

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,(tmdk)\end{array}\)

Vậy giá trị của phân thức \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) bằng \(0\) khi \(x = 1\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức.

+) Đặt ẩn phụ

+) Thực hiện biến đổi biểu thức và tính toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}A = {\left( {2x + 2y - z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z - x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x - y} \right)^2}\\A = {\left( {2x + 2y + 2z - 3z} \right)^2} + {\left( {2y + 2z + 2x - 3x} \right)^2} + {\left( {2z + 2x + 2y - 3y} \right)^2}\end{array}\).

Đặt \(t = 2x + 2y + 2z\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {\left( {t - 3z} \right)^2} + {\left( {t - 3x} \right)^2} + {\left( {t - 3y} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {t^2} - 6tz + 9{z^2} + {t^2} - 6tx + 9{x^2} + {t^2} - 6ty + 9{y^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} - 3t(2x + 2y + 2z) + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} - 3t.t + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{t^2} - 3{t^2} + 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9({x^2} + {y^2} + {z^2})\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9.5 = 45.\end{array}\)

Vậy \(A = 45\).

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chia hai phân thức, thứ tự thực hiện phép tính, rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng, rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Q = 1 + \left( {\frac{{x + 1}}{{{x^3} + 1}} - \frac{1}{{x - {x^2} - 1}} - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3} - {x^2} + x}}\\Q = 1 + \left( {\frac{{x + 1}}{{{x^3} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} - x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3} - {x^2} + x}}\\Q = 1 + \frac{{x + 1 + x + 1 - 2({x^2} - x + 1)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}:\frac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3} - {x^2} + x}}\\Q = 1 + \frac{{x + 1 + x + 1 - 2{x^2} + 2x - 2}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} \cdot \frac{{{x^3} - {x^2} + x}}{{{x^3} - 2{x^2}}}\\Q = 1 + \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} \cdot \frac{{x({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}(x - 2)}}\\Q = 1 + \frac{{ - 2x(x - 2)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} \cdot \frac{{x({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}(x - 2)}}\\Q = 1 + \frac{{ - 2}}{{x + 1}}\\Q = \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}\\Q = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\end{array}\)

Chọn C.