Phương pháp giải:

Phương pháp: Dựa vào tính chất của hình vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Trong các hình: hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân, hình thoi thì hình thoi là hình có hai đường chéo không bằng nhau

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Theo dấu hiệu nhận biết: Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Dựa vào tính chất của hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thang cân

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Hình vuông có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Sử dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Có hình vuông ABCD( hình vẽ), AC là đường chéo

Xét tam giác ADC có \(\widehat{D}=90{}^\circ \)

\(\begin{align}  & A{{C}^{2}}=A{{D}^{2}}+D{{C}^{2}} \\ & A{{C}^{2}}=2A{{D}^{2}}\,\,\,\,\,(do\,\,\,AD=DC) \\ & {{5}^{2}}=2A{{D}^{2}} \\ & \Rightarrow A{{D}^{2}}=12,5 \\\end{align}\)

Chọn C

Phương pháp giải:

Phương pháp: Dựa vào hai dấu hiệu nhận biết:

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

+ Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi\(\left\{ \begin{align}  & EH\bot EF \\ & EH=EF \\\end{align} \right.\)

Mà 

\(\left\{ \begin{array}{l}EH//BD;\,\,\,EF//AC\\EH = \frac{1}{2}BD;\,\,EF = \frac{1}{2}AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EH \bot EF\\EH = EF\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\DB = AC\end{array} \right..\)

Chọn A

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết:

+) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông

Lời giải chi tiết:

Cách giải: Hình chữ nhật AMNP là hình vuông \(\Leftrightarrow AM=AP\) .

Mà \(AM=\frac{1}{2}AB;AP=\frac{1}{2}AC(gt)\) nên \(AM=AP\Leftrightarrow AB=AC\).

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì hình chữ nhật AMNP là hình vuông.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

+ Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành thông qua dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật thông qua dấu hiệu nhận biết: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

+ Chứng minh tứ giác EFGH là hình vuông thông qua dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên \(\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180{}^\circ -\widehat{A}}{2}=\frac{180{}^\circ -90{}^\circ }{2}=45{}^\circ \) .

Xét tam giác vuông FGC có

 \(\begin{align}  & \widehat{GFC}=180{}^\circ -\widehat{FGC}-\widehat{C}=180{}^\circ -90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ  \\  & \Rightarrow \widehat{GFC}=\widehat{C} \\ \end{align}\)

Suy ra \(\Delta FGC\) là tam giác vuông cân tại G\(\Rightarrow FG=GC\) .

Chứng minh tương tự:

Xét tam giác vuông EHB có

 \(\begin{align}  & \widehat{BEH}=180{}^\circ -\widehat{EHB}-\widehat{B}=180{}^\circ -90{}^\circ -45{}^\circ =45{}^\circ  \\  & \Rightarrow \widehat{BEH}=\widehat{B} \\ \end{align}\)

Suy ra tam giác EBH vuông cân tại H \(\Rightarrow EH=HB\) .

Mà \(BH=HG=GC(gt)\) nên \(FG=EH=HG\) .

Lại có: \(\left. \begin{align}  & EH\bot BC(gt) \\  & FG\bot BC(gt) \\ \end{align} \right\}\Rightarrow EH\parallel FG\) ( định lí từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác EFGH có:

\(\begin{align}  & EH=FG(cmt) \\  & EH\parallel FG(cmt) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Tứ giác EFGH là hình bình hành(dhnb)

Mà \(\widehat{H}=90{}^\circ \) ( do \(EH\bot BC\) ) nên hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Mặt khác \(EH=HG(cmt)\) nên hình chữ nhật EFGH là hình vuông.

b) Ta có: \(HG=\frac{BC}{3}=\frac{9}{3}=3cm\)

Do đó độ dài cạnh hình vuông EFGH là 3cm.

Phương pháp giải:

Phương pháp:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết:

+ Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành ,ta chứng minh được AMCK là hình bình hành.

+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật, ta chứng minh được hình bình hành AMCK là hình chữ nhật

b) Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành .Ta chứng minh được tứ giác AKMB là hình bình hành

c) Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông để tìm ra điều kiện tam giác ABC vuông cân.

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow AM\bot BC\Rightarrow \widehat{AMC}=90{}^\circ \)

Xét tứ giác AMCK có:

\(\begin{align}  & AI=IC(gt) \\ & MI=IK(gt) \\ & AC\cap MK=I(gt) \\\end{align}\)

Suy ra tứ giác AMCK là hình bình hành (dhnb).

Lại có: \(\widehat{AMC}=90{}^\circ (cmt)\) nên hình bình hành AMCK là hình chữ nhật.

b) Ta có:

\(AK\parallel MC\) ( do AMCK là hình chữ nhật), \(M\in BC(gt)\Rightarrow AK\parallel BM\)

Mà \(BM=MC\) ( do AM là trung tuyến), \(AK=MC\) (do AMCK là hình chữ nhật) nên \(AK=BM\) (tính chất bắc cầu)

Xét tứ giác ABMK có:

\(\begin{align}  & AK=BM(cmt) \\ & AK\parallel BM(cmt) \\\end{align}\)

Suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.

c) Hình chữ nhật AMCK là hình vuông \(\Leftrightarrow AM=MC\)

Mà \(MC=\frac{1}{2}BC(gt)\) nên \(AM=MC\Leftrightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)

Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(AM=\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow \) tam giác ABC vuông tại A.

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCK là hình vuông.

Phương pháp giải:

Phương pháp: Vẽ thêm điểm M trên tia đối của tia CD sao cho \(CM=AK\) . Từ đó \(AK+CE=CM+CE=EM\) . Bài toán đưa về việc chứng minh \(EM=BE\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Trên tia đối của tia CD lấy điểm M  sao cho \(CM=AK\) . Ta có: \(AK+CE=CM+CE=EM\).

Ta cần chứng minh \(EM=BE\) .

Xét \(\Delta BAK\) và \(\Delta BCM\) có:

\(AK=CM\) ( cách vẽ)

\(\begin{align} & \widehat{A}=\widehat{C}=90{}^\circ (gt) \\  & BA=BC(gt) \\  & \Rightarrow \Delta BAK=\Delta BCM(c.g.c) \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{CBM};\widehat{\,\,AKB}=\widehat{CMB}\) ( góc tương ứng)

Mà \(\widehat{ABK}=\widehat{KBE}\) (gt) nên \(\widehat{KBE}=\widehat{CBM}\) (bắc cầu).

Ta có:

\(\widehat{EBM}=\widehat{EBC}+\widehat{CBM}=\widehat{EBC}+\widehat{KBE}=\widehat{KBC}=\widehat{AKB}(slt)=\widehat{CMB}\)

Suy ra tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân).

 \(\begin{align}  & \Rightarrow BE=EM \\  & \Rightarrow AK+CE=CM+CE=EM=BE \\  & \Rightarrow AK+CE=BE\,\,\,\,\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết tam giác cân và hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC cân khi và chỉ khi nó có hai góc bằng nhau đúng \( \Rightarrow \left( I \right)\) đúng.

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi \( \Rightarrow \) (II) sai

Chọn B.