Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân hai phân thức đại số: \(\frac{A}{B}.\frac{C}{D} = \frac{{A.C}}{{B.D}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\frac{{8 - 2x}}{{x + 4}} = \frac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\frac{{2(4 - x)}}{{x + 4}} = \frac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\frac{{ - 2(x - 4)}}{{x + 4}} = \frac{{ - 3}}{2}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân nhiều phân thức đại số.

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\frac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\frac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \frac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\frac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\frac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \frac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tìm phân thức chưa biết, chia hai phân thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \frac{x}{{{x^2} - 1}}\\\Rightarrow Q = \frac{x}{{{x^2} - 1}}:\frac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \frac{x}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{5x}} = \frac{x}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{5x}} = \frac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Vận dụng quy tắc nhân phân thức đại số và tìm \(x\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{{x + 1}} \cdot \frac{{x + 1}}{{x + 2}} \cdot \frac{{x + 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{x + 3}}{{x + 4}} \cdot \frac{{x + 4}}{{x + 5}} \cdot \frac{{x + 5}}{{x + 6}} = 1\\\Leftrightarrow \frac{1}{{x + 6}} = 1\\ \Leftrightarrow x + 6 = 1\\ \Leftrightarrow x =  - 5\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chia, nhân nhiều phân thức đại số, thứ tự thực hiện dãy phép tính.

Lời giải chi tiết:

\(P = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\frac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\frac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \frac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\, \cdot \,\,\frac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\, \cdot \,\,\frac{{ - \left( {2 - x} \right)}}{{(x + 2)(2 - x)}} = \frac{{ - 1}}{{2 - x}} = \frac{1}{{x - 2}}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân chia hai hay nhiều phân thức, áp dụng tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng, thứ tự thực hiện phép tính, rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng, rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(a)\,\frac{{3{x^2} - 6xy + 3{y^2}}}{{5{x^2} - 5xy + 5{y^2}}}\,\,:\,\,\frac{{10x - 10y}}{{{x^3} + {y^3}}}\)

\( = \,\,\frac{{3{x^2} - 6xy + 3{y^2}}}{{5{x^2} - 5xy + 5{y^2}}}\, \cdot \,\,\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{10x - 10y}}\)

\( = \frac{{3({x^2} - 2xy + {y^2})}}{{5({x^2} - xy + {y^2})}} \cdot \frac{{(x + y)({x^2} - xy + {y^2})}}{{10(x - y)}}\)

\( = \frac{{3{{(x - y)}^2}}}{{5({x^2} - xy + {y^2})}} \cdot \frac{{(x + y)({x^2} - xy + {y^2})}}{{10(x - y)}} = \frac{{3({x^2} - {y^2})}}{{50}}.\)

\(b)\frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\frac{{3x}}{{{x^2} - 36}}\)

\( = \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\left( {\frac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \frac{{3x}}{{{x^2} - 36}}} \right)\)

\( = \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{3{x^2} - 3x + 3 + 3x}}{{{x^2} - 36}}\)

\( = \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{3{x^2} + 3}}{{(x - 6)(x + 6)}}\)

\( = \frac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{3({x^2} + 1)}}{{(x - 6)(x + 6)}} = \frac{3}{{x + 6}}.\)

\(\begin{array}{l}c)\frac{{x - 1}}{{{x^2} - 4x + 4}}\, \cdot \,\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^3} - 1}}\, \cdot \,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 2}}\\= \frac{{x - 1}}{{{{(x - 2)}^2}}}\, \cdot \,\frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\, \cdot \,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 2}}\\= \frac{1}{{x - 2}}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\left( {\frac{{3x}}{{1 - 3x}} + \frac{{2x}}{{3x + 1}}} \right):\frac{{6{x^2} + 10x}}{{1 - 6x + 9{x^2}}}\\= \frac{{3x(3x + 1) + 2x(1 - 3x)}}{{(1 - 3x)(3x + 1)}}:\frac{{2x(3x + 5)}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\= \frac{{3{x^2} + 5x}}{{(1 - 3x)(3x + 1)}} \cdot \frac{{{{(1 - 3x)}^2}}}{{2x(3x + 5)}}\\= \frac{{x(3x + 5)}}{{(1 - 3x)(3x + 1)}} \cdot \frac{{{{(1 - 3x)}^2}}}{{2x(3x + 5)}} = \frac{{1 - 3x}}{{2(3x + 1)}}.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc nhân chia hai hay nhiều phân thức, áp dụng tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng để tính thuận tiện nhất, thứ tự thực hiện phép tính, rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng, rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\left( {\frac{9}{{{x^3} - 9x}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 3x}} - \frac{x}{{3x + 9}}} \right)\\= \left( {\frac{9}{{x({x^2} - 9)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{x(x + 3)}} - \frac{x}{{3(x + 3)}}} \right)\\= \left( {\frac{9}{{x(x - 3)(x + 3)}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right):\left( {\frac{{x - 3}}{{x(x + 3)}} - \frac{x}{{3(x + 3)}}} \right)\\= \frac{{9 + x(x - 3)}}{{x(x - 3)(x + 3)}}:\frac{{3(x - 3) - x.x}}{{3x(x + 3)}}\\= \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x(x - 3)(x + 3)}}:\frac{{ - {x^2} + 3x - 9}}{{3x(x + 3)}}\\= \frac{{{x^2} - 3x + 9}}{{x(x - 3)(x + 3)}} \cdot \frac{{3x(x + 3)}}{{ - ({x^2} - 3x + 9)}}\\= \frac{{ - 3}}{{x - 3}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\frac{{x - 2}}{{{x^2} + 3x + 2}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 5x + 6}}\\= \frac{{x - 2}}{{{x^2} + x + 2x + 2}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x - 3x + 6}}\\= \frac{{x - 2}}{{x(x + 1) + 2(x + 1)}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{x(x - 2) - 3(x - 2)}}\\= \frac{{x - 2}}{{(x + 1)(x + 2)}}\, \cdot \,\frac{{x + 2}}{{(x - 2)(x - 3)}}\\= \frac{1}{{(x + 1)(x - 3)}}.\end{array}\)

\(c)\frac{{{x^2} + 1}}{{3x}}:\frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}:\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}:\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 1}}{{3x}} \cdot \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{{x^2} + x}}{{{x^3} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

\( = \frac{{x - 1}}{{3x}} \cdot \frac{{x(x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}\)

\( = \frac{{x + 1}}{{3({x^2} + x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{3(x + 1)}}.\)

\(d)\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{{x^2} + 6x}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}:\frac{{x + 4}}{{x - 4}}\)

\( = \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x - 4}}{{x + 4}}\)

\( = \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} \cdot \left( {\frac{{{x^2} + 6x}}{{x + 4}} - \frac{{x - 4}}{{x + 4}}} \right)\)

\( = \frac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + 6x - x + 4}}{{x + 4}}\)

\( = \frac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + 5x + 4}}{{x + 4}}\)

\( = \frac{{x + 3}}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \frac{{(x + 1)(x + 4)}}{{x + 4}} = \frac{{x + 3}}{{x - 1}}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tìm đa thức chưa biết, nhân chia hai phân thức, rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn

Lời giải chi tiết:

\( \begin{array}{l}a)\,\,\frac{{x + 2y}}{{{x^3} - 8{y^3}}}\, \cdot \,M = \frac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}\\M = \frac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}}:\frac{{x + 2y}}{{{x^3} - 8{y^3}}}\\M = \frac{{5{x^2} + 10xy}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \frac{{{x^3} - 8{y^3}}}{{x + 2y}}\\M = \frac{{5x(x + 2y)}}{{{x^2} + 2xy + 4{y^2}}} \cdot \frac{{(x - 2y)({x^2} + 2xy + 4{y^2})}}{{x + 2y}}\\M = 5x(x - 2y).\end{array}\)

b) \(M:\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 1}}\)

\(\begin{array}{l}M = \frac{{x + 1}}{{{x^3} - 1}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{2x + 2}}\\M = \frac{{x + 1}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} \cdot \frac{{{x^2} + x + 1}}{{2(x + 1)}}\\M = \frac{1}{{2(x - 1)}}.\end{array}\)            

c) \(\frac{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}{{{x^4} - {y^4}}}\, \cdot \,M = \frac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}}\)

\(\begin{array}{l}M = \frac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}}:\frac{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}{{{x^4} - {y^4}}}\\M = \frac{{x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2} + {y^3}}} \cdot \frac{{{x^4} - {y^4}}}{{{x^2} + xy - 2{y^2}}}\\M = \frac{{x + y}}{{{x^2}(x + y) + {y^2}(x + y)}} \cdot \frac{{({x^2} - {y^2})({x^2} + {y^2})}}{{{x^2} + 2xy - xy - 2{y^2}}}\\M = \frac{{x + y}}{{(x + y)({x^2} + {y^2})}} \cdot \frac{{(x - y)(x + y)({x^2} + {y^2})}}{{{x^2} + 2xy - xy - 2{y^2}}}\\M = \frac{{x + y}}{{(x + y)({x^2} + {y^2})}} \cdot \frac{{(x - y)(x + y)({x^2} + {y^2})}}{{x(x + 2y) - y(x + 2y)}}\\M = \frac{{x + y}}{{(x + y)({x^2} + {y^2})}} \cdot \frac{{(x - y)(x + y)({x^2} + {y^2})}}{{(x + 2y)(x - y)}}\end{array}\)

\(M = \frac{{x + y}}{{x + 2y}}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc chia hai phân thức, thứ tự thực hiện phép tính, rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng, rút gọn.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}Q = 1 + \left( {\frac{{x + 1}}{{{x^3} + 1}} - \frac{1}{{x - {x^2} - 1}} - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3} - {x^2} + x}}\\Q = 1 + \left( {\frac{{x + 1}}{{{x^3} + 1}} + \frac{1}{{{x^2} - x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}}} \right):\frac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3} - {x^2} + x}}\\Q = 1 + \frac{{x + 1 + x + 1 - 2({x^2} - x + 1)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}}:\frac{{{x^3} - 2{x^2}}}{{{x^3} - {x^2} + x}}\\Q = 1 + \frac{{x + 1 + x + 1 - 2{x^2} + 2x - 2}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} \cdot \frac{{{x^3} - {x^2} + x}}{{{x^3} - 2{x^2}}}\\Q = 1 + \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} \cdot \frac{{x({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}(x - 2)}}\\Q = 1 + \frac{{ - 2x(x - 2)}}{{(x + 1)({x^2} - x + 1)}} \cdot \frac{{x({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}(x - 2)}}\\Q = 1 + \frac{{ - 2}}{{x + 1}}\\Q = \frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}}\\Q = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử, quy tắc nhân chia nhiều phân thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{5^2} - 1}}{{{3^2} - 1}}:\frac{{{9^2} - 1}}{{{7^2} - 1}}:\frac{{{{13}^2} - 1}}{{{{11}^2} - 1}}:...:\frac{{{{55}^2} - 1}}{{{{53}^2} - 1}}\\A = \frac{{{5^2} - 1}}{{{3^2} - 1}} \cdot \frac{{{7^2} - 1}}{{{9^2} - 1}} \cdot \frac{{{{11}^2} - 1}}{{{{13}^2} - 1}} \cdot  \cdot  \cdot \frac{{{{53}^2} - 1}}{{{{55}^2} - 1}}\\A = \frac{{4.6}}{{2.4}} \cdot \frac{{6.8}}{{8.10}} \cdot \frac{{10.12}}{{12.14}} \cdot  \cdot  \cdot \frac{{52.54}}{{54.56}}\\A = \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{{10}} \cdot \frac{{10}}{{14}} \cdot  \cdot  \cdot \frac{{52}}{{56}}\\A = 3 \cdot \frac{6}{{56}} = \frac{9}{{28}}.\end{array}\)

Chọn A.