10 bài tập tổng hợp Phép cộng và phép trừ các phân thức đại số

Làm bài

Quảng cáo

Câu hỏi 1 :

Phân thức đối của phân thức \(\frac{-x}{x-1}\) là:

  • A \(\frac{x}{x-1}\)                        
  • B \(\frac{x-1}{-x}\)                     
  • C \(\frac{-x}{-x-1}\)                           
  • D  \(\frac{1}{x-1}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức phân thức đối: \(\frac{A}{B}\) có phân thức đối là \(\frac{-A}{B}=-\frac{A}{B}\)

Lời giải chi tiết:

Phân thức đối của phân thức \(\frac{-x}{x-1}\) là \(-\frac{-x}{x-1}=\frac{x}{x-1}\).

Chọn đáp án A. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Thực hiện phép tính sau: \(\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}+\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\)

  • A \(-x\)                              
  • B   \(2x\)                                       
  • C \(\frac{x}{2}\)                        
  • D \(x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức cộng 2 phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta có \(\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+1}+\frac{x}{{{x}^{2}}+1}=\frac{{{x}^{3}}+x}{{{x}^{2}}+1}=\frac{x({{x}^{2}}+1)}{{{x}^{2}}+1}=x.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Thực hiện phép tính sau \(\frac{2x+5}{5{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+\frac{8}{5x{{y}^{2}}}+\frac{2x-1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}\), ta được kết quả là:

 

  • A

     \(\frac{4}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}\)               

  • B  \(\frac{2}{x{{y}^{2}}}\)           
  • C     \(\frac{4}{5{{x}^{2}}{{y}^{2}}}\)                     
  • D  \(\frac{4}{x{{y}^{2}}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức cộng các phân thức khác mẫu và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\frac{2x+5}{5{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+\frac{8}{5x{{y}^{2}}}+\frac{2x-1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}=\frac{2x+5+8x+10x-5}{5{{x}^{2}}{{y}^{2}}}=\frac{20x}{5{{x}^{2}}{{y}^{2}}}=\frac{4}{x{{y}^{2}}}.\)

Chọn D.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Kết quả của bài toán \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x+1)}+...+\frac{1}{(x+9)(x+10)}\) là:

  • A \(\frac{x+20}{x(x+10)}\)               
  • B \(\frac{x+9}{x+10}\)              
  • C \(\frac{1}{x+10}\)           
  • D  \(\frac{1}{x(x+1)...(x+10)}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức \(\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\); cộng 2 phân thức khác mẫu:

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x(x+1)}+...+\frac{1}{(x+9)(x+10)}\)

         \(\begin{align} & =\frac{1}{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}...+\frac{1}{x+9}-\frac{1}{x+10} \\ & =\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+0+...+0-\frac{1}{x+10} \\ & =\frac{2}{x}-\frac{1}{x+10} \\ & =\frac{2x+20-x}{x(x+10)}=\frac{x+20}{x(x+10)}. \\ \end{align}\)

Chọn A.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Thực hiện phép tính :

\(\begin{align} & a)\frac{3x-4}{4{{x}^{2}}{{y}^{5}}}+\frac{9x+4}{4{{x}^{2}}{{y}^{5}}} \\& b)\frac{x+8}{x-1}-\frac{2x-1}{x-1}-\frac{6x+2}{x-1} \\ & c)\frac{5{{x}^{2}}}{5x-6}+\frac{{{x}^{2}}-1}{6-5x}-\frac{7+x-{{x}^{2}}}{5x-6} \\\end{align}\)

  • A \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\frac{3}{{x{y^5}}}\\
    b)\,\, 7\\
    c)\,\,x + 1
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\frac{3}{{x{y^5}}}\\
    b)\,\, - 7\\
    c)\,\,x + 1
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\frac{3}{{x{y^4}}}\\
    b)\,\, - 7\\
    c)\,\,x + 1
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\frac{3}{{x{y^5}}}\\
    b)\,\,  7\\
    c)\,\,x - 1
    \end{array}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

a) Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức cộng phân thức cùng mẫu và rút gọn.

b) Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức trừ các phân thức cùng mẫu, quy tắc phá ngoặc, đổi dấu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

c) Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đổi dấu; cộng, trừ các phân thức cùng mẫu, quy tắc phá ngoặc, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: \(x,y\ne 0.\)

 

\(\frac{3x-4}{4{{x}^{2}}{{y}^{5}}}+\frac{9x+4}{4{{x}^{2}}{{y}^{5}}}=\frac{3x-4+9x+4}{4{{x}^{2}}{{y}^{5}}}=\frac{12x}{4{{x}^{2}}{{y}^{5}}}=\frac{3}{x{{y}^{5}}}.\)

b) Điều kiện: \(x\ne 1.\)

\(\begin{align} & \,\,\,\,\frac{x+8}{x-1}-\frac{2x-1}{x-1}-\frac{6x+2}{x-1} \\& =\frac{x+8-(2x-1)-(6x+2)}{x-1} \\ & =\frac{x+8-2x+1-6x-2}{x-1} \\ & =\frac{-7x+7}{x-1}=\frac{-7(x-1)}{x-1}=-7. \\ \end{align}\)

c) Điều kiện: \(x\ne \frac{6}{5}.\)

\(\begin{align} & \,\,\,\,\frac{5{{x}^{2}}}{5x-6}+\frac{{{x}^{2}}-1}{6-5x}-\frac{7+x-{{x}^{2}}}{5x-6} \\ & =\frac{5{{x}^{2}}}{5x-6}-\frac{{{x}^{2}}-1}{5x-6}+\frac{{{x}^{2}}-x-7}{5x-6} \\ & =\frac{5{{x}^{2}}-{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}-x-7}{5x-6} \\ & =\frac{5{{x}^{2}}-x-6}{5x-6} \\ & =\frac{(x+1)(5x-6)}{5x-6}=x+1. \\ \end{align}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Rút gọn biểu thức:

\(\begin{align}  & a)\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+1)(2x+1)} \\& b)\frac{4{{x}^{2}}-3x+5}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1-2x}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{6}{x-1} \\ \end{align}\)

  • A \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,-\frac{2}{{2x + 1}}\\
    b)\,\,\frac{{  12x}}{{{x^3} - 1}}
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,-\frac{2}{{2x + 1}}\\
    b)\,\,\frac{{ - 12x}}{{{x^3} - 1}}
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,\frac{2}{{2x + 1}}\\
    b)\,\,\frac{{ - 12x}}{{{x^3} - 1}}
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,\frac{2}{{2x + 1}}\\
    b)\,\,\frac{{ 12x}}{{{x^3} - 1}}
    \end{array}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức:

a) Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức quy đồng mẫu nhiều phân thức; cộng các phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

b) Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức quy đồng mẫu nhiều phân thức; cộng, trừ các phân thức cùng mẫu và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện: \(x\ne -1;x\ne -2;x\ne \frac{-1}{2}.\)

\(\begin{align}& \,\,\,\,\frac{1}{x+2}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+1)(2x+1)} \\  & =\frac{(2x+1)(x+1)+2x+1+x+2}{(x+1)(x+2)(2x+1)} \\  & =\frac{2{{x}^{2}}+x+2x+1+2x+1+x+2}{(x+1)(x+2)(2x+1)} \\ & =\frac{2{{x}^{2}}+6x+4}{(x+1)(x+2)(2x+1)} \\ & =\frac{2({{x}^{2}}+3x+2)}{(x+1)(x+2)(2x+1)} \\  & =\frac{2(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(2x+1)}=\frac{2}{2x+1}. \\ \end{align}\)

b) Điều kiện: \(x\ne 1.\)

 

\(\begin{align} & \frac{4{{x}^{2}}-3x+5}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1-2x}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{6}{x-1} \\  & =\frac{4{{x}^{2}}-3x+5-(1-2x)(x-1)-6({{x}^{2}}+x+1)}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)} \\  & =\frac{4{{x}^{2}}-3x+5-x+1+2{{x}^{2}}-2x-6{{x}^{2}}-6x-6}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)} \\  & =\frac{-12x}{{{x}^{3}}-1}. \\ \end{align}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tìm \(a,b,c\) sao cho

\(\begin{align}& a)\frac{4x-7}{{{x}^{2}}-3x+2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2} \\  & b)\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{3}}-3x-2}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{{{(x+1)}^{2}}} \\ \end{align}\)

  • A \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = -3\\
    b = 1
    \end{array} \right.\\
    b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = 1\\
    b =  2
    \end{array} \right.
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = -3\\
    b = 1
    \end{array} \right.\\
    b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = 1\\
    b = - 2
    \end{array} \right.
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = 3\\
    b = 1
    \end{array} \right.\\
    b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = 1\\
    b = 2
    \end{array} \right.
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = 3\\
    b = 1
    \end{array} \right.\\
    b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    a = 1\\
    b = - 2
    \end{array} \right.
    \end{array}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức cộng các phân thức khác mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và đồng nhất hệ số.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\frac{{4x - 7}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{a}{{x - 1}} + \frac{b}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\frac{a}{{x - 1}} + \frac{b}{{x - 2}} = \frac{{a(x - 2) + b(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 2)}} = \frac{{ax - 2a + bx - b}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{(a + b)x - 2a - b}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{4x - 7}}{{{x^2} - 3x + 2}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\ - 2a - b = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(a=3,b=1\) thì \(\frac{4x-7}{{{x}^{2}}-3x+2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}\).

\(b)\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{3}}-3x-2}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{{{(x+1)}^{2}}}\) 

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{x - 2}} + \frac{b}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{a({x^2} + 2x + 1) + b(x - 2)}}{{(x - 2){{(x + 1)}^2}}} = \frac{{a{x^2} + 2ax + a + bx - 2b}}{{(x - 2){{(x + 1)}^2}}} = \frac{{a{x^2} + (2a + b)x + a - 2b}}{{(x - 2){{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 5}}{{{x^3} - 3x - 2}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2a + b = 0\\a - 2b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2.\end{array} \right.\end{array}\)

 

Vậy \(a=1;b=-2\) thì \(\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{3}}-3x-2}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{{{(x+1)}^{2}}}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho \(a, \, b, \, c\)  thỏa mãn \(abc=2017\). Tính giá trị biểu thức sau:

 \[Q = \frac{{2017a}}{{ab + 2017a + 2017}} + \frac{b}{{bc + b + 2017}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}.\]

  • A \(Q=4\)
  • B \(Q=3\)
  • C \(Q=2\)
  • D \(Q=1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn, cộng các phân thức cùng mẫu và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Thay \(2017 = abc\) vào biểu thức  ta có:

\(\begin{array}{l}Q = \frac{{abc.a}}{{ab + abc.a + abc}} + \frac{b}{{bc + b + abc}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{ab(ac)}}{{ab(1 + ac + c)}} + \frac{b}{{b(c + 1 + ac)}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{ac}}{{ac + 1 + c}} + \frac{1}{{ac + 1 + c}} + \frac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \frac{{ac + 1 + c}}{{ac + 1 + c}} = 1.\end{array}\)

Vậy \(Q=1.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Điền phân thức thích hợp vào dấu ‘…..’ : \(\frac{1}{{{x}^{2}}+x}+\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}=.....\)

  • A \(\frac{1}{x+1}\)                   
  • B \(\frac{1}{x+2}\)
  • C \(\frac{2}{x(x+2)}\)                 
  • D \(\frac{x+1}{x(x+2)}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương pháp:  

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử

- Tính hợp lý biểu thức và rút gọn biểu thức

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

\(\begin{align} & \frac{1}{{{x}^{2}}+x}+\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2} \\ & =\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x(x+2)} \\\end{align}\)              

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tìm \(P\) biết:

\(\begin{align}& a)\frac{x-1}{{{x}^{2}}-x+1}-P=\frac{2}{x-1}+\frac{3x}{1-{{x}^{3}}} \\ & b)P+\frac{4x-12}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12}=\frac{3}{x-3}-\frac{{{x}^{2}}}{4-{{x}^{2}}} \\ \end{align}\)

  • A \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,P = - \frac{1}{{x - 1}}\\
    b)\,\,P = \frac{x}{{x + 3}}
    \end{array}\)
  • B \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,P = - \frac{1}{{x - 1}}\\
    b)\,\,P = \frac{x}{{x - 3}}
    \end{array}\)
  • C \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,P =  \frac{1}{{x - 1}}\\
    b)\,\,P = \frac{x}{{x - 3}}
    \end{array}\)
  • D \(\begin{array}{l}
    a)\,\,\,P =  \frac{1}{{x - 1}}\\
    b)\,\,P = \frac{x}{{x + 3}}
    \end{array}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

a) Phương pháp giải:

 Sử dụng quy tắc chuyển vế, trừ các phân thức khác mẫu và rút gọn.

b) Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc chuyển vế, quy tắc đổi dấu, trừ các phân thức khác mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

a)     ĐK: \(x\ne 1\).

\(\begin{align}& \frac{x-1}{{{x}^{2}}-x+1}-P=\frac{2}{x-1}+\frac{3x}{1-{{x}^{3}}} \\  & P=\frac{x-1}{{{x}^{2}}+x+1}-\frac{2}{x-1}-\frac{3x}{1-{{x}^{3}}} \\  & P=\frac{{{(x-1)}^{2}}-2({{x}^{2}}+x+1)+3x}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)} \\  & P=\frac{{{x}^{2}}-2x+1-2{{x}^{2}}-2x-2+3x}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)} \\  & P=\frac{-x{}^{2}-x-1}{(x-1)({{x}^{2}}+x+1)} \\  & P=-\frac{1}{x-1}. \\ \end{align}\)

b) ĐK: \(x\ne \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-2;2;3\}\).

\(\begin{align}  & P+\frac{4x-12}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12}=\frac{3}{x-3}-\frac{{{x}^{2}}}{4-{{x}^{2}}} \\  & P=\frac{3}{x-3}-\frac{{{x}^{2}}}{4-{{x}^{2}}}-\frac{4x-12}{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12} \\  & P=\frac{3}{x-3}+\frac{{{x}^{2}}}{(x-2)(x+2)}-\frac{4x-12}{{{x}^{2}}(x-3)-4(x-3)} \\  & P=\frac{3\left( {{x}^{2}}-4 \right)}{\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)}+\frac{{{x}^{2}}\left( x-3 \right)}{\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)}-\frac{4x-12}{\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)} \\  & P=\frac{3{{x}^{2}}-12+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12}{\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)} \\  & P=\frac{{{x}^{3}}-4x}{(x-3)(x-2)(x+2)} \\  & P=\frac{x({{x}^{2}}-4)}{(x-3)(x-2)(x+2)}=\frac{x}{x-3} \\ \end{align}\)

Đáp án - Lời giải
Quảng cáo
list
close
Gửi bài