Đề số 1 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 6

Đề bài

Bài 1  (2,5 điểm).

Tính:

a) $A = \left( { - 1436} \right) - \left( { - 1586 + \left| { - 532} \right|} \right)$$- \left( {568 + 468} \right) + 1434$

b) $B = \dfrac{{{{18}^6}{{.2}^{12}}{{.4}^3}{{.9}^3}}}{{{{16}^3}{{.6}^9}{{.27}^3}}}$

Bài 2 (2 điểm).

a) Tìm số nguyên $x$ sao cho: ${\left| { - 2} \right|^{10}} - (x + 24)$ $= 80 - \left[ {( - 4){{.5}^2} + {2^4}.5} \right]$

b) Tìm các cặp số nguyên $\left( {x;y} \right)$ sao cho: $\left| {x - 4} \right| + \left| {y + 5} \right| = 1$

Bài 3 (2,0 điểm).

Số học sinh khối THCS của trường THPT Chuyên Hà Nội – Amsterdam tham gia thi độ nghi thức trong khoảng từ $800$ đến $1000$ em, được xếp thành các hàng. Nếu xếp mỗi hàng$20$ thì dư $9$ em; nếuxếp mỗi hàng $30$ thì thiếu $21$ em; nếuxếp mỗi hàng $35$ thì thiếu $26$ em. Hỏi có tất cả bao nhiêu em dự thi nghi thức đội?

Bài 4 (2,5 điểm).

Cho đoạn thẳng AB có độ dài $9cm$, điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho $AC = 3cm$. Điểm D nằm giữa hai điểm B và C sao cho $CD = \dfrac{1}{3}DB$.

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng CB, CD và AD.

b) Chứng minh điểm D là trung điểm của AB.

Bài 5  (1 điểm).

a) Tìm số tự nhiên $a$ nhỏ nhất sao cho khi $a$ chia cho $5$; cho $7$; cho $9$ có số dư theo thứ tự là $4\,;\,\,2\,;\,\,7.$

b) (Dành riêng cho lớp 6A) Tính: $A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} +  \cdot  \cdot  \cdot  + {2017.2018^2}$

Lời giải chi tiết

Bài 1.

$\begin{array}{l}a)\,\,A = \left( { - 1436} \right) - \left( { - 1586 + \left| { - 532} \right|} \right) - \left( {568 + 468} \right) + 1434\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ( - 1436) - \left( { - 1586 + 532} \right) - \left( {568 + 468} \right) + 1434\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ( - 1436) + 1586 - 532 - 568 - 468 + 1434\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\rm{[}}( - 1436) - 568{\rm{]}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{(1586}}\,\,{\rm{ + 1434)}} - \,(532 + 468)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,( - 2004) + 3020 - 1000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,1016 - 1000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,16\\b)\,\,B = \dfrac{{{{18}^6}{{.2}^{12}}{{.4}^3}{{.9}^3}}}{{{{16}^3}{{.6}^9}{{.27}^3}}} = \dfrac{{{{\left( {{{2.3}^2}} \right)}^6}{{.2}^{12}}.{{\left( {{2^2}} \right)}^3}.{{\left( {{3^2}} \right)}^3}}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^3}.{{\left( {2.3} \right)}^9}.{{\left( {{3^3}} \right)}^3}}} = \dfrac{{{2^6}{{.3}^{12}}{{.2}^{12}}{{.2}^6}{{.3}^6}}}{{{2^{12}}{{.2}^9}{{.3}^9}{{.3}^9}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {{2^6}{{.2}^{12}}{{.2}^6}} \right).\left( {{3^{12}}{{.3}^6}} \right)}}{{\left( {{2^{12}}{{.2}^9}} \right).\left( {{3^9}{{.3}^9}} \right)}} = \dfrac{{{2^{24}}{{.3}^{18}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{18}}}} = \dfrac{{{2^{21}}{{.2}^3}{{.3}^{18}}}}{{{2^{21}}{{.3}^{18}}}} = {2^3}.\end{array}$

Bài 2:

$\begin{array}{l}a)\;{\left| { - 2} \right|^{10}} - (x + 24) = 80 - \left[ {( - 4){{.5}^2} + {2^4}.5} \right]\\\;\;\;\;\;{2^{10}} - (x + 24)\;\;\; = 80 - \left[ {( - 4).25 + 16.5} \right]\\\;\;\;\;1024 - (x + 24) = 80 - \left[ { - 100 + 80} \right]\\\;\;\;\;1024 - x - 24 = 80 + 100 - 80\\\;\;\;\;1024 - 24 - x = 80 - 80 + 100\\\;\;\;\;\;1000 - x\;\;\;\;\;\;\; = 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 1000 - 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\;x\;\;\;\;\;\;\; = 900.\end{array}$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| \ge 0\\\left| {y + 5} \right| \ge 0\end{array} \right.\,\,$ (với mọi $x \in \mathbb{Z}\,,\,\,\,y \in \mathbb{Z}$)

Vì $1 = 1 + 0 = 0 + 1$ nên suy ra$\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 0\\\left| {y + 5} \right| = 1\end{array} \right.\,\,$hoặc $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,$

+) Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,$

$\left| {x - 4} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,x - 4 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 4$

$\left| {y + 5} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 1$hoặc $y + 5 = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,y =  - 4$  hoặc $y =  - 6$

  Với trường hợp 1 có hai cặp (x; y) thỏa mãn là $x = 4\,;\,\,y =  - 4\,$ và $x = 4\,;\,\,y =  - 6$.

+) Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - 4} \right| = 1\\\left| {y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\,\,$

$\left| {x - 4} \right| = 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x - 4 = 1$hoặc $x - 4 =  - 1\,\,\, \Rightarrow \,\,x = 5$  hoặc $x = 3$

$\left| {y + 5} \right| = 0\,\, \Rightarrow \,\,y + 5 = 0\,\,\, \Rightarrow \,\,y =  - 5$

 Với trường hợp 2 có hai cặp (x; y) thỏa mãn là $x = 3\,\,;\,\,y =  - 5\,$ và $x = 5\,\,;\,\,y =  - 5$.

Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài: $\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {4; - 4} \right);\;\left( {4; - 6} \right);\;\left( {3; - 5} \right);\;\left( {5; - 5} \right)} \right\}.$

Bài 3

Gọi $x$là số học sinh dự thi nghi thức đội$(800 < x < 1000)$.

Nếu xếp mỗi hàng $20$ thì dư $9$ em nên ta có $(x - 9)\,\, \vdots \,\,20$.

Nếu xếp mỗi hàng $30$ thì thiếu $21$em, tức là nếuxếp mỗi hàng $30$ thì sẽ dư 9 em, do đó $(x - 9)\,\, \vdots \,\,30$.

Nếu xếp mỗi hàng $35$ thì thiếu $26$em, tức là nếuxếp mỗi hàng $35$ thì sẽ dư 9 em, do đó $(x - 9)\,\, \vdots \,\,35$.

Vậy $(x - 9)\,\, \vdots \,\,20\,\,;\,\,(x - 9)\,\, \vdots \,\,30\,\,;\,\,(x - 9)\,\, \vdots \,\,35$suy ra $x - 9 \in BC\,(20;\,\,30;\,\,35)$

Ta có: $20\, = {2^2}.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,30 = 2.3.5\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,35 = 5.7$.

$BCNN(20\,;\,\,30\,;\,\,35) = {2^2}.3.5.7 = 420$.

$BC{\rm{ }}(20;{\rm{ 30}};{\rm{ 35}}) = B\left( {420} \right) = \left\{ {0;{\rm{ 420}};{\rm{ 840}};{\rm{ 126}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}$

Do đó: $x - 9 \in \left\{ {0;{\rm{ 42}}0;{\rm{ 84}}0;{\rm{ 126}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}$

Suy ra $x \in \left\{ {9;{\rm{ 429}};{\rm{ 849}};{\rm{ 1269}};{\rm{ }} \ldots } \right\}$

Lại có $800 < x < 1000$ nên$x = 849$ .

Vậy có tất cả $849$ em dự thi nghi thức đội.

Bài 4:

a) Trên tia AB ta có $AC < AD\;\;\left( {do\;\;3cm < 9cm} \right)$nên C là điểm nằm giữa hai điểm A và B$\begin{array}{l} \Rightarrow AC + CB = AB\\ \Rightarrow CB = AB - AC = 9 - 3 = 6\,\,(cm)\end{array}$

+) Vì điểm D nằm giữa hai điểm B và C nên CD + DB = BC   (*)

Theo đề bài $CD = \dfrac{1}{3}DB$ , thay vào (*) ta được:

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{3}DB + DB = BC\\ \Rightarrow \dfrac{4}{3}DB = BC\\ \Rightarrow DB = 6:\dfrac{4}{3} = 4,5\,\,(cm)\\ \Rightarrow CD = \dfrac{1}{3}DB = 4,5:3 = 1,5\,cm\end{array}$

Trên tia BA ta có$BD < BA\;\;\left( {do\;\;4,5cm < 9cm} \right)$ nên D là điểm nằm giữa hai điểm B và A

$\begin{array}{l} \Rightarrow BD + DA = BA\\ \Rightarrow DA = BA - BD = 9 - 4,5 = 4,5\,\,\,(cm)\\ \Rightarrow AD = 4,5cm\end{array}$

b) Theo chứng minh trên ta có D là điểm nằm giữa hai điểm B và A.

Lại có AD = DB = 4,5cm.

Từ đó suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Bài 5.

a) Theo đề bài ta có:

a chia cho 5 dư 4 nên $\left( {a - 4} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow 4\left( {a - 4} \right)\; \vdots \;5 \Leftrightarrow \left( {4a - 16} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;5$

a chia cho 7 dư 2 nên $\left( {a - 2} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow 4\left( {a - 2} \right)\; \vdots \;7 \Leftrightarrow \left( {4a - 8} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;7$

a chia cho 9  dư 7 nên $\left( {a - 7} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow 4\left( {a - 7} \right)\; \vdots \;9 \Leftrightarrow \left( {4a - 28} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;9$

$\Rightarrow \left( {4a - 1} \right)$ chia hết cho $5,\;7,\;9.$

Hay $\left( {4a - 1} \right) = BC\left( {5;\;7;\;9} \right)$

Mà $a$ nhỏ nhất $\Rightarrow \left( {4a - 1} \right) = BCNN\left( {5;\;7;\;9} \right) = 5.7.9 = 315.$

$\Rightarrow 4a - 1 = 315 \Leftrightarrow 4a = 316 \Leftrightarrow a = 79.$

Vậy $a = 79$ là số cần tìm.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} + ..... + {2017.2018^2}\\ = 1.2.\left( {3 - 1} \right) + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 1} \right) + ....... + 2017.2018.\left( {2019 - 1} \right)\\ = \left( {1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019} \right) - \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + .....2017.2018} \right)\end{array}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}M = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019\\N = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...... + 2017.2018\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}4M = 1.2.3.4 + 2.3.4.\left( {5 - 1} \right) + 3.4.5.\left( {6 - 2} \right) + ..... + 2017.2018.2019.\left( {2020 - 2016} \right)\\\;\;\;\;\;\; = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.1 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ........ + 2017.2018.2019.2020 - 2016.2017.2018.2019\\\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019.2020\\ \Rightarrow M = \dfrac{{2017.2018.2019.2020}}{4} = 505.2017.2018.2019.\end{array}$

$\begin{array}{l}3N = 1.2.3 + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 2} \right) + ...... + 2017.2018.\left( {2019 - 2016} \right)\\\;\;\;\;\; = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ....... + 2017.2018.2019 - 2016.2017.2018\\\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019\\ \Rightarrow N = \dfrac{{2017.2018.2019}}{3} = 673.2017.2018.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = M - N = 505.2017.2018.2019 - 673.2017.2018\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018\left( {505.2019 - 673} \right)\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.1019528.\end{array}$

Xem thêm: Lời giải chi tiết Đề kiểm tra học kì 1 (Đề thi học kì 1) môn Toán 6 tại Tuyensinh247.com

Loigiaihay.com