Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 5Đề bài
Câu 1 :
Một hình hộp đứng có hai đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Câu 2 :
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(4{a^3}\), đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({a^2}\). Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Câu 3 :
Cho hàm số $y = \dfrac{5}{{x - 2}}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 4 :
Bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3}\) có tập nghiệm là:
Câu 5 :
Cho hình đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) có cạnh bằng a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 6 :
Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
Câu 8 :
Khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường thẳng \(AB\) với \(A,B\) lần lượt là trung điểm của \(MN,PQ\) ta được một hình trụ có đường kính đáy:
Câu 9 :
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {x - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Câu 10 :
Chọn mệnh đề đúng:
Câu 11 :
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào? 
Câu 12 :
Cho số nguyên dương $n \ge 2$, số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số thực $b$ nếu:
Câu 13 :
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2}$.
Câu 14 :
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
Câu 15 :
Chọn mệnh đề đúng:
Câu 16 :
Tính giá trị của biểu thức \({3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\) có kết quả là:
Câu 17 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $R$ có bảng biến thiên:  Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?
Câu 18 :
Cho hai hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng \(a\). Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai hình chóp đó bằng nhau?
Câu 19 :
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
Câu 20 :
Hình trụ có bán kính \(r = 5cm\) và chiều cao \(h = 3cm\) có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?
Câu 21 :
Giải bất phương trình \({\log _{0,7}}\left( {{{\log }_6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}} \right) < 0\)
Câu 22 :
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x - 3}}\) là:
Câu 23 :
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\), độ dài đường sinh \(l\) và chiều cao \(h\) là:
Câu 24 :
Xét hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) có đồ thị dưới đây, chọn kết luận đúng: 
Câu 25 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Câu 26 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng: 
Câu 27 :
Nếu điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba nằm ở trục hoành thì:
Câu 28 :
Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là:
Câu 29 :
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Câu 30 :
Giải phương trình $\log_{3}\left( {2x-1} \right) = 2$ , ta có nghiệm là:
Câu 31 :
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101 Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
Câu 32 :
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
Câu 33 :
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
Câu 34 :
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
Câu 35 :
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ? 
Câu 36 :
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{x - 2}}\) có đồ thị là\(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\)thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).
Câu 37 :
Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)$ ta được:
Câu 38 :
Đơn giản biểu thức $A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}$ ta được:
Câu 39 :
Tìm TXĐ của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\dfrac{\pi }{2}}}\)
Câu 40 :
Nếu $\log_a b{\rm{ }} = {\rm{ }}p$ thì $\log_a{a^2}{b^4}$ bằng:
Câu 41 :
Cho hàm số \(y = {3^x} + \ln 3\). Chọn mệnh đề đúng:
Câu 42 :
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
Câu 43 :
Tập hợp nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\) là:
Câu 44 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0\\{3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1\end{array} \right.$. Chọn khẳng định đúng:
Câu 45 :
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân \(AB = AC = a;\widehat {BAC} = {120^0}\) và $AB'$ vuông góc với $\left( {A'B'C'} \right)$ . Mặt phẳng $\left( {AA'C'} \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ một góc \({30^0}\). Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:
Câu 46 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:  Bất phương trình \(f\left( x \right) < {e^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi:
Câu 47 :
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng \(a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
Câu 48 :
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2x - y\).
Câu 49 :
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng $100$ triệu đồng với kì hạn $3$ tháng, lãi suất $2\% $ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm $100$ triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
Câu 50 :
Cho hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 3$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$ có $4$ nghiệm phân biệt.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Một hình hộp đứng có hai đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Vẽ hình và dựa vào số trục đối xứng của hình thoi. Lời giải chi tiết :
Một hình hộp đứng có hai đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có 3 mặt phẳng đối xứng.
Câu 2 :
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng \(4{a^3}\), đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng \({a^2}\). Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng tỉ số thể tích để tính \({V_{SABM}}\). Áp dụng công thức tính thể tích để suy ra \({d_{M;\left( {SAB} \right)}}\) Lời giải chi tiết :
Vì M là trung điểm của SD nên \(\frac{{{V_{SABM}}}}{{{V_{SABD}}}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{1}{2}\) Mà \(\frac{{{V_{SABD}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{SABD}} = \frac{1}{2}.4{a^3} = 2{a^3}\) \( \Rightarrow {V_{SABM}} = {a^3} = \frac{1}{3}.d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{SAB}} \Leftrightarrow d\left( {M;\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{a^3}}}{{{a^2}}} = 3a\)
Câu 3 :
Cho hàm số $y = \dfrac{5}{{x - 2}}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left( {a;b} \right)$ sẽ đồng biến (nghịch biến) trên $\left( {a;b} \right)$ nếu $f'\left( x \right) \geqslant 0\left( { \leqslant 0} \right),\forall x \in \left( {a,b} \right)$ và chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm thuộc $\left( {a;b} \right)$. Lời giải chi tiết :
Ta có: $y' = - \dfrac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0$ $\forall x \in D$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$
Câu 4 :
Bất phương trình \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3}\) có tập nghiệm là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng \(a > 1 \Rightarrow {a^x} < {a^y} \Leftrightarrow x < y\) Lời giải chi tiết :
\({\left( {\sqrt 2 } \right)^{{x^2} - 2x}} \le {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;3} \right]\)
Câu 5 :
Cho hình đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) có cạnh bằng a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Khối đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) là hình lập phương. - Xác định số mặt của hình lập phương. - Tính diện tích một mặt, sau đó nhân với 6. Lời giải chi tiết :
Khối đa diện đều loại \(\left\{ {4;3} \right\}\) là hình lập phương. Khối lập phương có 6 mặt là hình vuông cạnh a. Diện tích một mặt là \({a^2}\). Vậy tổng diện tích các mặt của hình lập phương đó là: \(S = 6{a^2}\).
Câu 6 :
Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 đường tiệm cận?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = a\) hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = a \Rightarrow y = a\) được gọi là TCN của đồ thị hàm số. Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {\mkern 1mu} y = \infty \Rightarrow x = {x_0}\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số. Lời giải chi tiết :
Đáp án A: Đồ thị hàm số chỉ có \(1\) đường tiệm cận \(y = 0\). Đáp án B: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 9}}\) có 1 TCN là \(y = 0\) và 2 TCĐ là \(x = \pm 3\) nên có \(3\) tiệm cận. Đáp án C: Đồ thị hàm số có \(2\) tiệm cận là \(y = 1,x = 1\). Đáp án D: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{|x|{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }} \\=\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1}}{-x{\sqrt {1 + \dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^2}} }}=-1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 8} }} = 1\) Đồ thị hàm số chỉ có \(2\) tiệm cận là \(y = \pm 1\).
Câu 7 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên:
Hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\) từ đó suy ra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số \(y = - 2f\left( x \right).\) Lời giải chi tiết :
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,0} \right)\) và \(\left( {2;\, + \infty } \right).\) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\,\,2} \right).\) Xét hàm số: \(y = - 2f\left( x \right)\) ta có: \(y' = - 2f'\left( x \right).\) Hàm số đồng biến \( \Leftrightarrow - 2f'\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\) Vậy hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) đồng biến \( \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\,2} \right].\)
Câu 8 :
Khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường thẳng \(AB\) với \(A,B\) lần lượt là trung điểm của \(MN,PQ\) ta được một hình trụ có đường kính đáy:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật quanh đường trung bình của nó. Lời giải chi tiết :
Hình trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật \(MNPQ\) quanh đường trung bình \(AB\) ta sẽ được hình trụ có đường cao \(AB\), đường sinh \(MQ,NP\) và bán kính đáy \(MA,NA,BP,BQ\), đường kính đáy \(MN,PQ\). Do đó đường kính đáy của hình trụ là \(MN\).
Câu 9 :
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}\left( {x - 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) > 0.\) Hàm số \(y = {\log _a}f\left( x \right)\) nghịch biến trên TXĐ \( \Leftrightarrow 0 < a < 1.\) Lời giải chi tiết :
Xét hàm số \(y = {\log _{\frac{e }{3}}}\left( {x - 1} \right)\) có TXĐ: \(D = \left( {1; + \infty } \right)\) và \(a = \frac{e }{3} < 1\) \( \Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 10 :
Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Ta có: Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai. \(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1\).
Câu 11 :
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số. - Tìm các điểm đi qua. Lời giải chi tiết :
Nhận xét: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = 1$ và tiệm cận đứng là \(x = - 1\) Đồ thị hàm số đi qua 2 điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) và \(\left( {0;\, - 2} \right)\) Đáp án C và D không có tiệm cận đứng là \(x = - 1\) \(\Rightarrow\) Loại đáp án C và D Xét đáp án A và B đều có tiệm cận đứng là \(x = - 1\) và tiệm cận ngang là $y = 1$ Vì đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;\,0} \right)\) \(\Rightarrow\) thay $x = 2, y = 0$ vào hàm số thì chỉ có đáp án A thỏa mãn
Câu 12 :
Cho số nguyên dương $n \ge 2$, số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số thực $b$ nếu:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Cho số thực $b$ và số nguyên dương $n\left( {n \ge 2} \right)$. Số $a$ được gọi là căn bậc $n$ của số $b$ nếu ${a^n} = b$.
Câu 13 :
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình ${2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2}$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Để giải phương trình mũ này ta đưa về cùng cơ số, sau đó cho số mũ bằng nhau rồi tìm x. Lời giải chi tiết :
\({2^{{x^2} + x - 1}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + x - 1}} = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow {x^2} + x - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
Câu 14 :
Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = - \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{{m{x^2}}}{3} + 4$ đạt cực đại tại $x = 2?$
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Bước 1: Tính $y',y''$. - Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số: + $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{gathered} f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\f''\left( {{x_0}} \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ + $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{gathered}f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \hfill \\ f''\left( {{x_0}} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ - Bước 3: Kết luận. Lời giải chi tiết :
TXĐ $D = \mathbb{R}$ $y' = - {x^2} + \dfrac{2}{3}mx \Rightarrow y'' = - 2x + \dfrac{2}{3}m$ Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = 2$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y'(2) = 0 \hfill \\ y''\left( 2 \right) < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - {2^2} + \dfrac{2}{3}m.2 = 0 \hfill \\ - 2.2 + \dfrac{2}{3}m. < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 4 + \dfrac{4}{3}m = 0 \hfill \\- 4 + \dfrac{2}{3}m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. $ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3 \hfill \\m < 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 3$
Câu 15 :
Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức ${\log _a}{a^b} = b$ với $0<a\ne 1$. Lời giải chi tiết :
Ta có: ${\log _2}16 = {\log _2}{2^4} = 4$; ${\log _3}81 = {\log _3}{3^4} = 4$ nên ${\log _2}16 = {\log _3}81$.
Câu 16 :
Tính giá trị của biểu thức \({3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\) có kết quả là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức \(\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\dfrac{m}{n}}},\,\,{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,{3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{25^{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}\\ = {3^2}{.5^{2 + 2\sqrt 2 }}:{5^{2 + 2\sqrt 2 }}\\ = {3^2}\\ = 9\end{array}\)
Câu 17 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $R$ có bảng biến thiên: Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Nhận xét dáng đồ thị suy ra hệ số $a$. - Tìm điểm đi qua và đối chiếu các đáp án Lời giải chi tiết :
Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 4. Ngoài cùng bên phải của $y' < 0 \Rightarrow a < 0 \Rightarrow $Loại đáp án A Thay điểm $\left( {0;0} \right)$ vào các hàm số ở đáp án B, C, D Điểm $\left( {0;0} \right)$ chỉ thuộc vào đồ thị hàm số $y = - {x^4} + 2{x^2}$
Câu 18 :
Cho hai hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng \(a\). Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai hình chóp đó bằng nhau?
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Sử dụng tính chất: Hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng nhau. - Sử dụng dấu hiệu: Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau. Lời giải chi tiết :
Vì cả hai hình chóp tam giác đều có cách cạnh đáy bằng nhau và bằng \(a\) nên chúng chỉ cần có các cạnh bên bằng nhau là đủ.
Câu 19 :
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\).
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Áp dụng công thức \({a^m}.{b^m} = {\left( {ab} \right)^m}.\) - Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = {a^2} - {b^2}\). Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}P = {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)^{2020}}{\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)^{2021}}\\\,\,\,\,\, = {\left[ {\left( {2\sqrt 6 - 5} \right)\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)} \right]^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right)\\\,\,\,\, = {\left( {24 - 25} \right)^{2020}}.\left( {2\sqrt 6 + 5} \right) = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\)
Câu 20 :
Hình trụ có bán kính \(r = 5cm\) và chiều cao \(h = 3cm\) có diện tích toàn phần gần với số nào sau đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2} = 2\pi .5.3 + 2\pi {.5^2} \approx 251,3c{m^2}\)
Câu 21 :
Giải bất phương trình \({\log _{0,7}}\left( {{{\log }_6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}} \right) < 0\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải bất phương trình logarit cơ bản với chú ý về cơ số $a>1$ và $0<a<1$. Lời giải chi tiết :
${\log _{0,7}}({\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}) < 0$ . Đkxđ: $\left\{ \begin{array}{l}{\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0\\\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < x < - 2\\x > 2\end{array} \right.(*)$ \(\begin{array}{l}{\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0,{7^0} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 6 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} - 6 > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 5{\rm{x}} - 24}}{{x + 4}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{(x - 8)(x + 3)}}{{x + 4}} > 0\end{array}\) Xét dấu \(f\left( x \right) = \dfrac{{(x - 8)(x + 3)}}{{x + 4}}\):  Vậy \( - 4 < x < - 3\) hoặc \(x > 8\). Kết hợp với điều kiện ta được \( - 4 < x < - 3\) hoặc \(x > 8\).
Câu 22 :
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x - 3}}\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\) là \(I\left( { - \dfrac{d}{c};\dfrac{a}{c}} \right)\) Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = \dfrac{3}{2}\) và tiệm cận ngang \(y = - \dfrac{1}{2}\) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - x + 1}}{{2x - 3}}\) là \(\left( {\dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
Câu 23 :
Công thức tính thể tích khối nón có bán kính đáy \(r\), độ dài đường sinh \(l\) và chiều cao \(h\) là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Công thức tính thể tích khối nón: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)
Câu 24 :
Xét hàm số \(y = {x^\alpha }\) trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\) có đồ thị dưới đây, chọn kết luận đúng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các dáng đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha }\) ứng với các điều kiện khác nhau của \(\alpha \):  Lời giải chi tiết :
Từ hình vẽ ta thấy \(1 < {2^\alpha } < 2 \Rightarrow 0 < \alpha < 1\) .
Câu 25 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Xét tính đúng, sai của từng đáp án. Sử dụng các định nghĩa GTLN, GTNN, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số. Lời giải chi tiết :
Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $y = 3$ là giá trị cực đại của hàm số nên A sai. Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 0$ nên B đúng và C sai. Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty $.
Câu 26 :
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Chọn kết luận đúng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Quan sát bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Lời giải chi tiết :
Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.
Câu 27 :
Nếu điểm cực đại của đồ thị hàm số bậc ba nằm ở trục hoành thì:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Hàm số bậc ba luôn có ${y_{CD}} > {y_{CT}}$ nên nếu ${y_{CD}} = 0$ thì ${y_{CT}} < 0$. Do đó điểm cực tiểu của đồ thị hàm số luôn nằm dưới trục hoành.
Câu 28 :
Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng chú ý về logarit: - Không có logarit của số âm, nghĩa là $b > 0$. - Cơ số phải dương và khác $1$, nghĩa là $0 < a \ne 1$. Lời giải chi tiết :
Điều kiện để ${\log _a}b$ có nghĩa là $0 < a \ne 1,b > 0$.
Câu 29 :
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức logarit: ${a^{{{\log }_a}b}} = b;\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b;\ln {a^n} = n\ln a$ Lời giải chi tiết :
\({e^{\ln 2}} + \ln ({e^2}.\sqrt[3]{e}) = 2 + \ln {e^{\dfrac{7}{3}}} = 2 + \dfrac{7}{3} = \dfrac{{13}}{3}\)
Câu 30 :
Giải phương trình $\log_{3}\left( {2x-1} \right) = 2$ , ta có nghiệm là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải phương trình logarit cơ bản \({\log _a}x = m \Leftrightarrow x = {a^m}\) Lời giải chi tiết :
${\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow 2x = 10 \Leftrightarrow x = 5$
Câu 31 :
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101 Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cắt trục tung thì giao điểm có hoành độ \(x = 0\) Thay \(x = 0\) vào $f(x)$ để tìm \(y\). Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} - 3\) cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\) Với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y = - 3\).
Câu 32 :
Hình dưới là đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\). Hỏi hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Khi đạo hàm của hàm số mang dấu dương trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Lời giải chi tiết :
Hàm số $y = f'\left( x \right)$ dương trong khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$ $ \Rightarrow $ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {2; + \infty } \right)$
Câu 33 :
Đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3x + 2$ có $2$ điểm cực trị $A,\;B.$ Diện tích tam giác $OAB\;$ với $O(0;0)$ là gốc tọa độ bằng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Xác định tọa độ 2 điểm cực trị $A,\;B.$ - Tính diện tích tam giác $OAB$ theo công thức: $S = \dfrac{1}{2}a.h$ (với $a$ là độ dài đáy, $h$ là độ dài đường cao tương ứng với đáy đã chọn). Lời giải chi tiết :
 $\begin{array}{*{20}{l}}{y = {x^3} - 3x + 2 \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3}\\{y' = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{\;}} \pm 1}\end{array}$ Tọa độ $2$ điểm cực trị : $A(1;{\mkern 1mu} 0),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B( - 1;4)$ Khi đó ${S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.{d(B,OA)} = \dfrac{1}{2}.\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = \dfrac{1}{2}.\left| 1 \right|.\left| 4 \right| = 2$
Câu 34 :
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \leqslant {x_1} < {x_2}< ... < {x_n} \leqslant b$. - Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$. - Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận: + Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$. + Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$. Lời giải chi tiết :
$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M = - 5$
Câu 35 :
Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình vẽ?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Quan sát đồ thị và nhận xét điểm cực đại, cực tiểu, điểm đi qua,… từ đó rút ra kết luận. Lời giải chi tiết :
Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;4} \right)$ nên loại A và D Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và tiếp xúc $Ox$ tại $\left( {2;0} \right)$ nên phương trình hoành độ giao điểm $y = 0$ có 1 nghiệm đơn $x=-1$ và 1 nghiệm kép ${x_{2,3}} = 2$ Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.
Câu 36 :
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{x - 2}}\) có đồ thị là\(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\)thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Tìm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số. - Gọi \(M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\). - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\). - Tìm giao điểm \(A,\,\,B\) của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận. - Tính độ dài đoạn thẳng \(AB:\) \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \). - Giải phương trình tìm \(m\), từ đó tính \(S\). Lời giải chi tiết :
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là \(x = 2\) và \(y = 2\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Gọi \(M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\). Cho \(x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {2 - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{{m - 2}} + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}\). \( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(x = 2\) là \(A\left( {2;\,\dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)\). Cho \(y = 2 \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = 2\). \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\left( {x - m} \right) + \left( {2m - 2} \right)\left( {m - 2} \right) = 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2x + 2m + 2{m^2} - 6m + 4 = 2{m^2} - 8m + 8\\ \Leftrightarrow 2x = 4m - 4 \Leftrightarrow x = 2m - 2\end{array}\) \( \Rightarrow \) Giao điểm của \(d\) và đường thẳng \(y = 2\) là \(B\left( {2m - 2;\,2} \right)\). Ta có: \(AB = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {2m - 4} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)^2} = 20\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - 5{\left( {m - 2} \right)^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\end{array}\) Vậy \(S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8\).
Câu 37 :
Đơn giản biểu thức $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\,\,\,\,(a,b > 0)$ ta được:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức lũy thừa với số mũ hữu tỉ \({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\). Lời giải chi tiết :
Ta có: $P = \left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} - {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{4}}} + {b^{\dfrac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = \left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} - {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\left( {{a^{\dfrac{1}{2}}} + {b^{\dfrac{1}{2}}}} \right) = a - b$ Vậy \(P = a - b\).
Câu 38 :
Đơn giản biểu thức $A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}$ ta được:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng công thức ${a^x}.{a^y} = {a^{x + y}};{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x} = {a^{ - x}}\left( {a > 0,x,y \in R} \right)$. Lời giải chi tiết :
$A = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}.{a^{ - \sqrt 2 + 1}} = {a^{\sqrt 2 - \sqrt 2 + 1}} = a$
Câu 39 :
Tìm TXĐ của hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\dfrac{\pi }{2}}}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng lý thuyết: Lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = {\left( {{x^3} - 27} \right)^{\dfrac{\pi }{2}}}\) xác định khi \({x^3} - 27 > 0 \Leftrightarrow x > 3\).
Câu 40 :
Nếu $\log_a b{\rm{ }} = {\rm{ }}p$ thì $\log_a{a^2}{b^4}$ bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Lần lượt áp dụng các công thức: ${\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y$ ${\log _a}{b^n} = n{\log _a}b$ ${\log _a}a = 1$ Lời giải chi tiết :
Ta có: $\log_a{a^2}{b^4} = \log_a{a^2} + \log_a{b^4} $ $= 2\log_a a + 4\log_a b = 2 + 4p$
Câu 41 :
Cho hàm số \(y = {3^x} + \ln 3\). Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng công thức tính đạo hàm hàm số mũ \(y = {a^x} \Rightarrow y' = {a^x}\ln a\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow y' = {3^x}\ln 3\) Lại có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow {3^x} = y - \ln 3 \Rightarrow y' = \left( {y - \ln 3} \right)\ln 3 = y\ln 3 - {\ln ^2}3\)
Câu 42 :
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm của phương trình \({4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Chia cả hai vế cho $9^x$. - Giải phương trình bậc hai ẩn ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}$. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0 \Leftrightarrow 4 - 13.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} + 9.{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = 1\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x} = \dfrac{4}{9}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow T = 0 + 2 = 2\end{array}\)
Câu 43 :
Tập hợp nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: \(x > - \dfrac{{{3^{50}}}}{2}\) Phương trình đã cho tương đương với: \(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}\left( {{9^{50}} + 4x{{.3}^{50}} + 4{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} = 4x{.3^{50}} + 4{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2x{.3^{50}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {2.3^{50}}\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 44 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0\\{3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1\end{array} \right.$. Chọn khẳng định đúng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tìm ĐKXĐ và giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x - y > 0 \Leftrightarrow x > y\) nên A sai. Xét phương trình thứ nhất của hệ: ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{2x - y}} + 6{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} - 7 = 0$. Đặt \(t = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} > 0\) thì phương trình trở thành \({t^2} + 6t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1(TM)\\t = - 7(L)\end{array} \right.\) Suy ra \({\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^{\frac{{2x - y}}{2}}} = 1 \Leftrightarrow 2x - y = 0\) Phương trình thứ hai của hệ ${3^{{{\log }_9}\left( {x - y} \right)}} = 1 \Leftrightarrow {\log _9}\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 1$. Từ đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x - y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\end{array} \right.\left( {TM} \right)\) Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( { - 1; - 2} \right)\).
Câu 45 :
Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân \(AB = AC = a;\widehat {BAC} = {120^0}\) và $AB'$ vuông góc với $\left( {A'B'C'} \right)$ . Mặt phẳng $\left( {AA'C'} \right)$ tạo với mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ một góc \({30^0}\). Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến. - Tính diện tích đáy \({S_{A'B'C'}}\) và đường cao \(AB'\). - Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức \(V = Sh\) với \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao. Lời giải chi tiết :
 Trong (A’B’C’) kẻ \(B'K \bot A'C'\,\,\left( {K \in A'C'} \right)\) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB' \bot A'C'\left( {AB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\\B'K \bot A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow A'C' \bot \left( {AB'K} \right) \Rightarrow A'C' \bot AK\) \(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'C'} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'C'\\\left( {AA'C'} \right) \supset AK \bot A'C'\\\left( {A'B'C'} \right) \supset B'K \bot A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {AA'C'} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AK;B'K} \right)} = \widehat {AKB'} = {30^0}\) Ta có: \(\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin 120 = \dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{1}{2}B'K.A'C'\\ \Rightarrow B'K = \dfrac{{2{S_{A'B'C'}}}}{{A'C'}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\) \(AB' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AB' \bot B'K \Rightarrow \Delta AB'K\) vuông tại B’ $ \Rightarrow AB' = B'K.tan30 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{a}{2}$ Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AB'.{S_{A'B'C'}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)
Câu 46 :
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Bất phương trình \(f\left( x \right) < {e^x} + m\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Cô lập m, đưa bất phương trình về dạng \(g\left( x \right) < m\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( x \right)\). Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có : \(f\left( x \right) < {e^x} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^x} < m\) Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x}.\) Khi đó : \(\begin{array}{l}f\left( x \right) < {e^x} + m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x} < m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right)\\g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {e^x}\end{array}\) Trên \(\left( { - 1;1} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) < 0;\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\) \( \Rightarrow g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;\;1} \right).\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\\ \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}.\end{array}\)
Câu 47 :
Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $CD$ bằng \(a\sqrt 3 \). Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng \(CD\) và \(SA\) chéo nhau bằng cách tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia và tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song (chính là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng). - Tính diện tích đáy \({S_{ABCD}}\) và chiều cao \(SO\), từ đó tính được thể tích khối chóp. Lời giải chi tiết :
 Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì chóp $S.ABCD$ đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $CD$ và $AB$ Ta có: \(\begin{array}{l}AB//CD \Rightarrow SA \subset \left( {SAB} \right)//CD\\ \Rightarrow d\left( {CD;SA} \right) = d\left( {CD;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}OF \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOF} \right)\) Trong $\left( {SOF} \right)$ kẻ \(OH \bot SF\,\,\left( 1 \right)\) Vì \(AB \bot \left( {SOF} \right) \Rightarrow AB \bot OH\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) Xét tam giác vuông SOF có: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{F^2}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{F^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} - \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} \Rightarrow SO = a\sqrt 3 \) Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .4{a^2} = \dfrac{{4{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
Câu 48 :
Cho $x, y$ là các số thực thỏa mãn \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = 2x - y\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng bất đẳng thức Cô si: $\forall x,y \ge 0$ ta có: $\dfrac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} $ Lời giải chi tiết :
Điều kiện : $x + y >0, x – y > 0$ \({\log _4}\left( {x + y} \right) + {\log _4}\left( {x - y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - {y^2}} \right) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} \ge 4\) Ta có: $P = 2x - y = \dfrac{{x + y + 3(x - y)}}{2} \ge \sqrt {(x + y).3(x - y)} = \sqrt {3({x^2} - {y^2})} = \sqrt {3.4} = 2\sqrt 3 $ Dấu “=” xảy ra khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\{x^2} - {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\left( {x - y} \right)\\3{\left( {x - y} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\x + y = 2\sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 \\y = \sqrt 3 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\) Vậy $Min\,P = 2\sqrt 3 $.
Câu 49 :
Một người lần đầu gửi vào ngân hàng $100$ triệu đồng với kì hạn $3$ tháng, lãi suất $2\% $ một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm $100$ triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được sau 1 năm gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Tính số tiền có được sau 6 tháng đầu. - Tính số tiền có được sau 1 năm gửi tiếp. Sử dụng công thức lãi kép không kì hạn $T = A{\left( {1 + r} \right)^N}$ Lời giải chi tiết :
Số tiền người đó có sau 6 tháng = 2 quý: ${T_1} = 100{\left( {1 + 2\% } \right)^2} = 104,04$ triệu. Số tiền người đó có ngay sau khi gửi thêm $100$ triệu là: $104,04 + 100 = 204,04$ triệu. Số tiền người đó có sau 1 năm = 4 quý nữa là: ${T_2} = 204,04{\left( {1 + 2\% } \right)^4} = 220$ triệu.
Câu 50 :
Cho hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 3$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$ có $4$ nghiệm phân biệt.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ từ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$: Trước hết ta vẽ đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$. Ta có: $y = \left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) \geqslant 0 \hfill \\ - f\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,\,f\left( x \right) \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Do đó đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$ gồm hai phần: +) Phần 1: Giữ lại phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ở phía trên trục hoành. +) Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ở phía dưới trục hoành lên phía trên qua trục hoành sau đó xóa đi phần đồ thị phía dưới trục hoành - Biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào số giao điểm của đường thẳng và đường cong vừa vẽ được. Lời giải chi tiết :
Số nghiệm của pt $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$(*) số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ và đường thẳng $y = m$. Ta có đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ như hình vẽ:  Để pt $(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt. Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 0 \hfill \\ 1 < m < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ |
