Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 12

Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 3

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k \ne 0$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} $
B

$\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OM'} $
C

$\overrightarrow {OM'} = - k\overrightarrow {OM} $
D

$\overrightarrow {OM'} = \left| k \right|\overrightarrow {OM} $

Câu 2 :

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là:

A

${S_{xq}} = \pi {r^2}h$
B

${S_{xq}} = \pi rh$
C

${S_{xq}} = 2\pi rh$
D

${S_{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$

Câu 3 :

Cho hàm số $y = {x^\alpha }$ có đồ thị như hình dưới. Điều kiện của $\alpha $ là:

A

$\alpha > 0$
B

$\alpha = 0$
C

$\alpha < 0$
D

$\alpha < 1$

Câu 4 :

Cho một mặt cầu bán kính bằng $1$. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

A

$\min V = 4\sqrt 3 $
B

$\min V = 8\sqrt 3 $
C

$\min V = 9\sqrt 3 $
D

$\min V = 16\sqrt 3 $

Câu 5 :

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A

Góc giữa hai đường sinh đối xứng qua trục của mặt nón bằng góc ở đỉnh của mặt nón.
B

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều ngoại tiếp hình nón đó, khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
C

Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh.
D

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó, khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Câu 6 :

Cho hàm số $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

Hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định
B

Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục $Oy$
C

Hàm số đã cho có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$
D

Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoành.

Câu 7 :

Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý, $\log \left( {a{b^2}} \right)$ bằng

A

$2\log a + \log b$
B

$\log a + 2\log b$
C

$2\left( {\log a + \log b} \right)$
D

$\log a + \dfrac{1}{2}\log b$

Câu 8 :

Thể tích khối nón có bán kính đáy $r$, độ dài đường sinh $l$ là:

A

$V = \dfrac{1}{3}\pi r\sqrt {{l^2} - {r^2}} $
B

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}l$
C

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} + {r^2}} $
D

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} - {r^2}} $

Câu 9 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:

A

$f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
B

$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
C

$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$
D

$f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right)$

Câu 10 :

Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A

$y = {x^2} - 2$
B

$y = {x^4} + {x^2} - 2$
C

$y = {x^4} - {x^2} - 2$
D

$y = {x^2} + x - 2$

Câu 11 :

Cho giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right) - x}}{x} = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in {\mathbb{N}^*}$ và $\left( {a,b} \right) = 1$. Giá trị biểu thức ${a^2} + {b^2}$ là:

A

$10$
B

$9$
C

$3$
D

$37$

Câu 12 :

Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ là tam giác đều cạnh $a = 4$ và biết diện tích tam giác $A'BC$ bằng $8$ . Tính thể tích khối lăng trụ?

A

$8$
B

$8\sqrt 3 $
C

$\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}$
D

$16\sqrt 3 $

Câu 13 :

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A

Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
B

Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
C

Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
D

Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

Câu 14 :

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x+\sin 2x$ là:

A

${{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$
B

${{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$
C

${{x}^{2}}-2x\cos 2x+C$
D
${{x}^{2}}+2\cos 2x+C$

Câu 15 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x \right) = - \left( {\sqrt 5 - 2} \right){x^2}$ trên $\mathbb{R}$. Chọn kết luận đúng:

A

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B

Hàm số không xác định tại $x = 0$.
C

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D

Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Câu 16 :

Cho các số thực dương $ a, b, x, y $ với $a \ne 1$, $b \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A

${\log _a}b.lo{g_b}a = 1$
B

$\ln \dfrac{x}{{\sqrt y }} = \ln x - \dfrac{1}{2}\ln y$
C

${\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}y = {\log _a}\left( {x{y^3}} \right)$
D

${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$

Câu 17 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right) + 3 = 0$ là:

A

$4$
B

$3$
C

$2$
D

$1$

Câu 18 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Hàm số có hai điểm cực trị.
B

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $ - 4.$
C

Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $ - 3.$
D

Hàm số có một điểm cực tiểu.

Câu 19 :

Phép vị tự tỉ số $k > 0$ biến khối chóp có thể tích $V$ thành khối chóp có thể tích $V'$. Khi đó:

A

$\dfrac{V}{{V'}} = k$
B

$\dfrac{{V'}}{V} = {k^2}$
C

$\dfrac{V}{{V'}} = {k^3}$
D

$\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}$

Câu 20 :

Hình vẽ sau đây là hình trải phẳng của khối đa diện đều nào?

A

không có khối đa diện đều nào
B

hình lập phương
C

mười hai mặt đều
D

hai mươi mặt đều

Câu 21 :

Chọn kết luận đúng:

A

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha < 0$.
B

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha < 0$.
C

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha \ne 0$.
D

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $0 < \alpha < 1$.

Câu 22 :

Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?

A

Hàm số đa thức bậc ba.
B

Hàm số đa thức bậc hai.
C

Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.
D

Cả B và C đều đúng.

Câu 23 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là $16c{m^2}$, diện tích một mặt bên là $8\sqrt 3 c{m^2}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}$
B

$\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}$
C

$\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}$
D

$4c{m^3}$

Câu 24 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \dfrac{{ - 1}}{2}$
B

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \dfrac{1}{2}$
C

Hàm số luôn đồng biến trên $R$
D

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \dfrac{1}{2}$

Câu 25 :

Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?

A

hình hộp chữ nhật
B

hình lập phương
C

hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều
D

hình chóp có đáy là hình thoi

Câu 26 :

Biết rằng hai đường cong $y={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}-20x+5$ và $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-3x-1$ tiếp xúc nhau tại một điểm duy nhất. Tìm tọa độ điểm đó.

A
$\left( 2;-7 \right)$
B
$\left( 1;-5 \right)$
C
$\left( 3;-1 \right)$
D

$\left( 0;\ 5 \right)$

Câu 27 :

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = 4{x^3} + m{x^2} - 12x$ đạt cực tiểu tại điểm $x = - 2$.

A

$m = - 9$.
B

$m = 2.$
C

Không tồn tại $m.$
D

$m = 9.$

Câu 28 :

Công thức nào sau đây là công thức tăng trưởng mũ?

A

$T = A.{e^{Nr}}$
B

$T = N.{e^{Ar}}$
C

$T = r.{e^{NA}}$
D

$T = A.{e^{N - r}}$

Câu 29 :

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

A

vuông góc với trục hoành
B

vuông góc với trục tung.
C

nằm bên trái trục tung
D

nằm phía trên trục hoành

Câu 30 :

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = - {x^3} - {x^2} + mx + 1$ nghịch biến trên $R$?

A

$m < - 3$
B

$m \le - \dfrac{1}{3}$
C

$m < 3$
D

$m \ge - \dfrac{1}{3}$

Câu 31 :

Tìm $m$ để $({C_m})$ : $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2$ có $3$ điểm cực trị là $3$ đỉnh của một tam giác vuông cân.

A

$m = - 4$
B

$m = - 1$
C

$m = 1$
D

$m = 3$

Câu 32 :

Gọi $m\;$ là giá trị để hàm số $y = \dfrac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ có giá trị nhỏ nhất trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $ - 2.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

${m^2} \ne 16$
B

$3 < m < 5$
C

$\left| m \right| = 5$
D

$\left| m \right| < 5$

Câu 33 :

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Câu 34 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{3x + 1}}{{x + 2}}\left( C \right).$ Các đường tiệm cận của (C) cùng với 2 trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng:

A

$8$ đvdt
B

$6$ đvdt
C

$4$ đvdt
D

$10$ đvdt

Câu 35 :

Tìm $m$ để phương trình ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} + m = 0$ có nghiệm trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.

A

$m \geqslant - 2$
B

$m > 2$
C

$m \leqslant - 2$
D

$m < 2$

Câu 36 :

Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3{\text{ }}\left( C \right)$.Tồn tại hai tiếp tuyến của $(C)$ phân biệt và có cùng hệ số góc $k$, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục $Ox, Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA = 2017.OB.$ Hỏi có bao nhiêu giá trị của $k$ thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Câu 37 :

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A

${\log _{0,5}}a > {\log _{0,5}}b \Leftrightarrow a > b > 0$
B

$\log x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$
C

${\log _2}x > 0 \Leftrightarrow x > 1$
D

${\log _{\dfrac{1}{3}}}a = {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0$

Câu 38 :

Cho các số dương $a, b, c, d$. Biểu thức $S = \ln \dfrac{a}{b}+ \ln \dfrac{b}{c} + \ln \dfrac{c}{d}+\ln \dfrac{d}{a}$ bằng:

A

$0$
B

$1$
C

$\ln (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a})$
D

$\ln (abcd)$

Câu 39 :

Cho $a, b$ là các số thực, thỏa mãn $0 < a < 1 < b$, khẳng định nào sau đây là đúng?

A

${\log _b}a + {\log _a}b < 0$
B

${\log _b}a > 1$
C

${\log _a}b > 0$
D

${\log _a}b + {\log _b}a \ge 2$

Câu 40 :

Phương trình ${2^{{{\log }_5}\left( {x + 3} \right)}} = x$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$0$

Câu 41 :

Tập hợp nghiệm của phương trình ${\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)$ là:

A

$\left\{ {0;1} \right\}$
B

$\left\{ {0;{{2.3}^{50}}} \right\}$
C

$\left\{ 0 \right\}$
D

$R$

Câu 42 :

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{3x + 1}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;\,\, - \frac{1}{3}} \right).$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A
$F(x)=\ln (-3x-1)+C.$
B
$F(x)=\frac{1}{3}\ln (3x+1)+C.$
C
$F(x) = \frac{1}{3}\ln ( - 3x - 1) + C.$
D
$F(x) = \ln \left| {3x + 1} \right| + C.$

Câu 43 :

Cho hình chóp $S.\,ABC$ có $AB = AC = 4,\,BC = 2,\,SA = 4\sqrt 3 $, $\widehat {SAB} = \widehat {SAC} = 30^0$. Tính thể tích khối chóp $S.\,ABC.$

A
${V_{S.\,ABC}} = 8$.
B
${V_{S.\,ABC}} = 6$.
C
${V_{S.\,ABC}} = 4$.
D
${V_{S.\,ABC}} = 12$.

Câu 44 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a.$ Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{{4{a^3}}}{3}$ . Gọi $\alpha $ là góc giữa $SC$ và mặt đáy, tính $\tan \alpha .$

A

$\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
B

$\tan \alpha = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$
C

$\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$
D

$\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$

Câu 45 :

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng $V$ và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy $R$ bằng:

A

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
B

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.
C

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
D

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.

Câu 46 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC);AC = b,AB = c,\widehat {BAC} = \alpha $. Gọi $B',C'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SC$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $A.{\rm{ }}BCC'B'$ theo $b,c,\alpha $

A

$R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } $
B

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}$
C

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
D

$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$

Câu 47 :

Gọi $m$ là số chữ số cần dùng khi viết số $2^{30}$ trong hệ thập phân và $n$ là số chữ số cần dùng khi viết số $30^2$ trong hệ nhị phân. Ta có tổng $m + n$ bằng

A

$18$
B

$20$
C

$19$
D

$21$

Câu 48 :

Hỏi có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong đoạn $\left[ { - 2017;2017} \right]$ để phương trình $\log mx = 2\log \left( {x + 1} \right)$ có nghiệm duy nhất?

A

$2017$
B

$4014$
C

$2018$
D

$4015$

Câu 49 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018$ có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2};{x_3}$. Tính giá trị biểu thức $P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}.$

A

$P = {3.2^{2018}}$
B

$P = - 2018$
C

$P = 0$
D

$P = {2^{2019}}$

Câu 50 :

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục và có đạo hàm cấp hai trên $R$. Đồ thị của các hàm số $y = f(x),y = f'(x),y = f''(x)$ lần lượt là các đường cong nào trong hình vẽ bên.

A

$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$
B

$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)$
C

$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right)$
D

$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right)$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k \ne 0$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$. Chọn mệnh đề đúng:

A

$\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} $
B

$\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow {OM'} $
C

$\overrightarrow {OM'} = - k\overrightarrow {OM} $
D

$\overrightarrow {OM'} = \left| k \right|\overrightarrow {OM} $

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành $M'$ nếu $\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} $.

Câu 2 :

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là:

A

${S_{xq}} = \pi {r^2}h$
B

${S_{xq}} = \pi rh$
C

${S_{xq}} = 2\pi rh$
D

${S_{xq}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ: ${S_{xq}} = 2\pi rh$.

Câu 3 :

Cho hàm số $y = {x^\alpha }$ có đồ thị như hình dưới. Điều kiện của $\alpha $ là:

A

$\alpha > 0$
B

$\alpha = 0$
C

$\alpha < 0$
D

$\alpha < 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng dáng đồ thị hàm số lũy thừa $y = {x^\alpha }$:

Lời giải chi tiết :

Quan sát hình vẽ các dáng đồ thị của hàm số lũy thừa ta thấy điều kiện của $\alpha $ ứng với các đồ thị bài cho là $\alpha < 0$.

Câu 4 :

Cho một mặt cầu bán kính bằng $1$. Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng bằng bao nhiêu?

A

$\min V = 4\sqrt 3 $
B

$\min V = 8\sqrt 3 $
C

$\min V = 9\sqrt 3 $
D

$\min V = 16\sqrt 3 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trong các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp một mặt cầu, hình tứ diện đều có thể tích nhỏ nhất.

- Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh $a$ là $r = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}}$

- Thể tích tứ diện đều cạnh $a$ là $\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh $a$

Bán kính mặt cầu nội tiếp $r = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = 1 \Rightarrow a = 2\sqrt 6 $

Thể tích tứ diện đều đó là $V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = 8\sqrt 3 $

Câu 5 :

Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A

Góc giữa hai đường sinh đối xứng qua trục của mặt nón bằng góc ở đỉnh của mặt nón.
B

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều ngoại tiếp hình nón đó, khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
C

Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh.
D

Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó, khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng định nghĩa về diện tích xung quanh hình nón (SGK hình học 12 cơ bản và nâng cao)

Lời giải chi tiết :

+ Đáp án A: đúng.

+ Đáp án B: Sai vì diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

+ Đáp án C: đúng.

+ Đáp án D: đúng.

Câu 6 :

Cho hàm số $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

Hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định
B

Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục $Oy$
C

Hàm số đã cho có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$
D

Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoành.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hàm số logarit như:

- Hàm số $y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)$ xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

- Khi $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên TXĐ.

- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục $Oy$.

Lời giải chi tiết :

- Hàm số $y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x$ có tập xác định $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

- Vì $0 < \dfrac{\pi }{4} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên TXĐ

- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục $Oy$

- Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục hoành (vì $x > 0$)

Câu 7 :

Với $a$ và $b$ là hai số thực dương tùy ý, $\log \left( {a{b^2}} \right)$ bằng

A

$2\log a + \log b$
B

$\log a + 2\log b$
C

$2\left( {\log a + \log b} \right)$
D

$\log a + \dfrac{1}{2}\log b$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức biến đổi logarit: $\log \left( {xy} \right) = \log x + \log y;\;\;\log {x^n} = n\log x$ với $x;y$ là các số thực dương.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\log \left( {a{b^2}} \right) = \log a + \log {b^2} = \log a + 2\log b$

Câu 8 :

Thể tích khối nón có bán kính đáy $r$, độ dài đường sinh $l$ là:

A

$V = \dfrac{1}{3}\pi r\sqrt {{l^2} - {r^2}} $
B

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}l$
C

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} + {r^2}} $
D

$V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} - {r^2}} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính độ dài đường cao hình nón dựa vào công thức ${l^2} = {r^2} + {h^2}$.

- Tính thể tích khối nón $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${l^2} = {r^2} + {h^2} \Rightarrow h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} $

Do đó $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} - {r^2}} $

Câu 9 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D$ và ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$, khi đó:

A

$f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
B

$f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$
C

$f\left( {{x_1}} \right) = f\left( {{x_2}} \right)$
D

$f\left( {{x_2}} \right) < f\left( {{x_1}} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D$ thì với mọi ${x_1},{x_2} \in D$ mà ${x_1} > {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.

Câu 10 :

Hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A

$y = {x^2} - 2$
B

$y = {x^4} + {x^2} - 2$
C

$y = {x^4} - {x^2} - 2$
D

$y = {x^2} + x - 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào đồ thị hàm số, nhận biết các điểm thuộc đồ thị hàm số và các điểm cực trị của đồ thị từ đó chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có dạng là 1 parabol có đỉnh là $\left( {0; - 2} \right) \Rightarrow $ loại đáp án A, D.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left( {1;\,\,0} \right)$ và $\left( { - 1;\,\,0} \right),$ thay tọa độ các điểm này vào công thức hàm số ở đáp án B và C thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

có 1 điểm cực trị có tọa là $\left( {0; - 2} \right)$

Câu 11 :

A

$10$
B

$9$
C

$3$
D

$37$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng giới hạn cơ bản $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1$ tìm giới hạn đã cho và suy ra $a,b$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right) - x}}{x}$$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\dfrac{{2\ln \left( {2x + 1} \right)}}{x} - 1} \right]$ $ = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{x} - 1$ $ = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {2.\dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{{2x}}} \right] - 1$ $ = 2.2 - 1 = 3$

Do đó $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{1} \Rightarrow a = 3,b = 1$ (do $a,b$ nguyên dương và $\left( {a,b} \right) = 1$.

Vậy ${a^2} + {b^2} = {3^2} + {1^2} = 10$.

Câu 12 :

Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ là tam giác đều cạnh $a = 4$ và biết diện tích tam giác $A'BC$ bằng $8$ . Tính thể tích khối lăng trụ?

A

$8$
B

$8\sqrt 3 $
C

$\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}$
D

$16\sqrt 3 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tính độ dài đường cao $AA'$ và diện tích đáy ${S_{\Delta ABC}}$.

- Tính thể tích khối lăng trụ theo công thức $V = Sh$.

Lời giải chi tiết :

Gọi D là trung điểm của BC ta có:

Tam giác ABC đều nên $AD \bot BC$ và $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BC$

$ \Rightarrow BC \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow BC \bot A'D \Rightarrow \Delta A'BC$cân tại A’

Tam giác ABC đều cạnh $a = 4 \Rightarrow AD = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 $

${S_{\Delta A'BC}} = \dfrac{1}{2}A'D.BC \Rightarrow A'D = \dfrac{{2{S_{\Delta A'BC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.8}}{4} = 4$

Xét tam giác vuông AA’D có: $AA' = \sqrt {A'{D^2} - A{D^2}} = \sqrt {16 - 12} = 2$

${S_{ABC}} = \dfrac{{{4^2}\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 $

Vậy ${V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2.4\sqrt 3 = 8\sqrt 3 $

Câu 13 :

Mệnh đề nào dưới đây sai?

A

Hai khối hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
B

Hai khối lăng trụ có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
C

Hai khối lập phương có diện tích toàn phần bằng nhau thì có thể tích bằng nhau
D

Hai khối chóp có diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chuẩn hóa các khối đa diện để xét tính đúng sai của đáp án

Lời giải chi tiết :

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: ${S_{tp}} = {S_{xq}} + 2ab = 2h\left( {a + b} \right) + 2ab.$

Thể tích hình hộp chữ nhật: $V = abh.$

Thể tích của lăng trụ là: $V = {S_d}.h.$

Diện tích toàn phần của khối lập phương: ${S_{tp}} = 6{a^2}.$

Thể tích của khối lập phương: $V = {a^3}.$

Thể tích khối chóp là: $V = \dfrac{1}{3}{S_d}.h.$

Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.

Câu 14 :

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=2x+\sin 2x$ là:

A

${{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$
B

${{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$
C

${{x}^{2}}-2x\cos 2x+C$
D
${{x}^{2}}+2\cos 2x+C$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

$f\left( x \right)=2x+\sin 2x $ $\Rightarrow F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{\left( 2x+\sin 2x \right)dx}$ $={{x}^{2}}-\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$

Câu 15 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm $f'\left( x \right) = - \left( {\sqrt 5 - 2} \right){x^2}$ trên $\mathbb{R}$. Chọn kết luận đúng:

A

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B

Hàm số không xác định tại $x = 0$.
C

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
D

Hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý mở rộng:

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $K$.

a) Nếu $f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in K$ và $f'\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên $K$.

b) Nếu $f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in K$ và $f'\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên $K$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $f'\left( x \right) = - \left( {\sqrt 5 - 2} \right){x^2} \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 16 :

Cho các số thực dương $ a, b, x, y $ với $a \ne 1$, $b \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A

${\log _a}b.lo{g_b}a = 1$
B

$\ln \dfrac{x}{{\sqrt y }} = \ln x - \dfrac{1}{2}\ln y$
C

${\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}y = {\log _a}\left( {x{y^3}} \right)$
D

${\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Chọn cơ số thích hợp nhất (thường là số xuất hiện nhiều lần)

+ Tính các logarit cơ số đó theo a và b

+ Sử dụng các công thức ${\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}};{\log _c}\left( {{a^m}.{b^n}} \right) = m{\log _c}a + n{\log _c}b$, biểu diễn logarit cần tính theo logarit cơ số đó

Lời giải chi tiết :

A: ${\log _a}b.{\log _b}a = {\log _a}b.\dfrac{1}{{{{\log }_a}b}} = 1 \Rightarrow $ A đúng

B: $\ln \dfrac{x}{{\sqrt y }} = \ln x - \ln \sqrt y = \ln x - \ln {y^{\dfrac{1}{2}}} = \ln x - \dfrac{1}{2}\ln y \Rightarrow $B đúng

C: ${\log _a}x + {\log _{\sqrt[3]{a}}}y = {\log _a}x + {\log _{{a^{\frac{1}{3}}}}}y = {\log _a}x + 3{\log _a}y = {\log _a}x + {\log _a}{y^3} = {\log _a}x{y^3} \Rightarrow $ C đúng

D:${\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}(xy) \Rightarrow $ D sai

Câu 17 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f\left( x \right) + 3 = 0$ là:

A

$4$
B

$3$
C

$2$
D

$1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = m.$

+) Dựa vào BBT để xác định số giao điểm của các đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $Pt \Leftrightarrow 2f\left( x \right) = - 3 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{3}{2}.\;\;\left( * \right)$

Số nghiệm của phương trình $\left( * \right)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ và đường thẳng $y = - \dfrac{3}{2}.$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y = - \dfrac{3}{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại 4 điểm phân biệt.

$ \Rightarrow Pt\;\;\left( * \right)$ có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 18 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Hàm số có hai điểm cực trị.
B

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $ - 4.$
C

Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $ - 3.$
D

Hàm số có một điểm cực tiểu.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhận xét tính đúng sai của từng đáp án và kết luận.

Lời giải chi tiết :

A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là $x = - 1;{\rm{ }}x = 0;{\rm{ }}x = 1.$

C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.

D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là $x = - 1$ và $x = 1.$

Câu 19 :

Phép vị tự tỉ số $k > 0$ biến khối chóp có thể tích $V$ thành khối chóp có thể tích $V'$. Khi đó:

A

$\dfrac{V}{{V'}} = k$
B

$\dfrac{{V'}}{V} = {k^2}$
C

$\dfrac{V}{{V'}} = {k^3}$
D

$\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Phép vị tự tỉ số $k > 0$ biến khối chóp có thể tích $V$ thành khối chóp có thể tích $V'$. Khi đó $\dfrac{{V'}}{V} = {k^3}$.

Câu 20 :

Hình vẽ sau đây là hình trải phẳng của khối đa diện đều nào?

A

không có khối đa diện đều nào
B

hình lập phương
C

mười hai mặt đều
D

hai mươi mặt đều

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Quan sát hình vẽ ta thấy nó có $12$ mặt và mỗi mặt là một ngũ giác đều.

Vậy hình vẽ trên là hình trải phẳng của khối mười hai mặt đều.

Câu 21 :

Chọn kết luận đúng:

A

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha < 0$.
B

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha < 0$.
C

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha \ne 0$.
D

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $0 < \alpha < 1$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ trên tạp khảo sát $\left( {0; + \infty } \right)$.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha > 0$ nên A và C sai.

Hàm số $y = {x^\alpha }\left( {\alpha \ne 0} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ nếu $\alpha < 0$ nên B đúng, D sai.

Câu 22 :

Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?

A

Hàm số đa thức bậc ba.
B

Hàm số đa thức bậc hai.
C

Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.
D

Cả B và C đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát dạng đồ thị và đối chiếu với các đáp án bài cho.

Lời giải chi tiết :

Dạng đồ thị đã cho có thể là của hàm số bậc hai hoặc hàm bậc bốn trùng phương.

Câu 23 :

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có diện tích đáy là $16c{m^2}$, diện tích một mặt bên là $8\sqrt 3 c{m^2}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

A

$\dfrac{{32\sqrt 2 }}{3}c{m^3}$
B

$\dfrac{{32\sqrt {13} }}{3}c{m^3}$
C

$\dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}c{m^3}$
D

$4c{m^3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi $E$ là trung điểm của $AB$, tính $OE,SE \Rightarrow SO$.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O = AC \cap BD$. Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Vì chóp $S.ABCD$ đều nên $ABCD$ là hình vuông $ \Rightarrow {S_{ABCD}} = A{B^2} = 16 \Rightarrow AB = 4\left( {cm} \right) = AD$

Gọi $E$ là trung điểm của AB$ \Rightarrow OE$ là đường trung bình của tam giác ABD$ \Rightarrow OE//AD \Rightarrow OE \bot AB$ và $OE = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.4 = 2\left( {cm} \right)$

$\left. \begin{array}{l}OE \bot AB\\SO \bot AB\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right) \Rightarrow AB \bot SE$

$ \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SE.AB = 8\sqrt 3 \Rightarrow SE = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{{AB}} = \dfrac{{16\sqrt 3 }}{4} = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OE \Rightarrow \Delta SOE$ vuông tại O$ \Rightarrow SO = \sqrt {S{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {48 - 4} = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \left( {cm} \right)$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt {11} .16 = \dfrac{{32\sqrt {11} }}{3}\left( {c{m^3}} \right)$

Câu 24 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \dfrac{{ - 1}}{2}$
B

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = \dfrac{1}{2}$
C

Hàm số luôn đồng biến trên $R$
D

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên, tìm các tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết :

$x = \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$y = - \dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - \infty ;\,\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {\dfrac{1}{2};\, + \infty } \right)$

Câu 25 :

Hình nào sau đây không có mặt cầu ngoại tiếp?

A

hình hộp chữ nhật
B

hình lập phương
C

hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều
D

hình chóp có đáy là hình thoi

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng dấu hiệu nhận biết các hình có mặt cầu ngoại tiếp:

- Hình hộp chữ nhật và hình lập phương đều có mặt cầu ngoại tiếp.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp.

- Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Lời giải chi tiết :

- Hình hộp chữ nhật và hình lập phương đều có mặt cầu ngoại tiếp nên A và B đúng.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nên C đúng.

- Hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn thì có mặt cầu ngoại tiếp nên D sai vì hình thoi không nội tiếp được đường tròn.

Câu 26 :

Biết rằng hai đường cong $y={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+15{{x}^{2}}-20x+5$ và $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-3x-1$ tiếp xúc nhau tại một điểm duy nhất. Tìm tọa độ điểm đó.

A
$\left( 2;-7 \right)$
B
$\left( 1;-5 \right)$
C
$\left( 3;-1 \right)$
D

$\left( 0;\ 5 \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Điểm $A\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)$ là điểm tiếp xúc của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & f\left( x \right)=g\left( x \right) \\ & f'\left( x \right)=g'\left( x \right) \\\end{align} \right..$

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là:

$\begin{array}{l}
\;\;\;\;{x^4} - 6{x^3} + 15{x^2} - 20x + 5 = {x^3} - 2{x^2} - 3x - 1\\
\Leftrightarrow {x^4} - 7{x^3} + 17{x^2} - 17x + 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x - 3 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = - 5\\
x = 3 \Rightarrow y = - 1\\
x = 2 \Rightarrow y = - 7
\end{array} \right..
\end{array}$

Khi đó ta thấy đáp án A, B, C đều có khả năng đúng.

Ta có: $f'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-18x+30x-20;\ \ g'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-4x-3.$

$\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\\
\Leftrightarrow 4{x^3} - 18{x^2} + 30x - 20 = 3{x^2} - 4x - 3\\
\Leftrightarrow 4{x^3} - 21{x^2} + 34x - 17 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 17x + 17} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = \frac{{17 + \sqrt {17} }}{8}\\
x = \frac{{17 - \sqrt {17} }}{8}
\end{array} \right..
\end{array}$

Kết hợp nghiệm của hai hệ phương trình ta thấy nghiệm chung duy nhất là $x=1\Rightarrow \left( 1;-5 \right)$ là điểm tiếp xúc.

Câu 27 :

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = 4{x^3} + m{x^2} - 12x$ đạt cực tiểu tại điểm $x = - 2$.

A

$m = - 9$.
B

$m = 2.$
C

Không tồn tại $m.$
D

$m = 9.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính $y',y''$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để $x = {x_0}$ là cực trị của hàm số:

+ $x = {x_0}$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) < 0\end{array} \right.$

+ $x = {x_0}$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.$

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}y' = 12{x^2} + 2mx - 12\\y'' = 24x + 2m\end{array} \right.$ .

Từ giả thiết bài toán ta phải có $y'\left( { - 2} \right) = 48 - 4m - 12 = 0 \Leftrightarrow m = 9.$

Thay vào $y''\left( { - 2} \right) = - 48 + 2m = - 48 + 18 = - 30 < 0$.

Khi đó, hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$.

Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn .

Câu 28 :

Công thức nào sau đây là công thức tăng trưởng mũ?

A

$T = A.{e^{Nr}}$
B

$T = N.{e^{Ar}}$
C

$T = r.{e^{NA}}$
D

$T = A.{e^{N - r}}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Công thức lãi kép (hoặc công thức tăng trưởng mũ):

$T = A.{e^{Nr}}$, ở đó $A$ là số tiền gửi ban đầu, $r$ là lãi suất, $N$ là số kì hạn.

Câu 29 :

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

A

vuông góc với trục hoành
B

vuông góc với trục tung.
C

nằm bên trái trục tung
D

nằm phía trên trục hoành

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Phương trình đường tiệm cận ngang có dạng $y = {y_0}$ nên nó vuông góc với đường thẳng $x = 0$, hay vuông góc trục tung.

Câu 30 :

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = - {x^3} - {x^2} + mx + 1$ nghịch biến trên $R$?

A

$m < - 3$
B

$m \le - \dfrac{1}{3}$
C

$m < 3$
D

$m \ge - \dfrac{1}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính $f'\left( x \right)$.

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in R$ và $y' = 0$ tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

Chú ý:

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$. Khi đó:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\\f\left( x \right) \le 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\end{array}$

Lời giải chi tiết :

Ta có : $y' = - 3{x^2} - 2x + m$

Để hàm số $y$ là hàm số nghịch biến trên $R$ thì $y' \le 0,\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow - 3{x^2} - 2x + m \le 0,\forall x \in R$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < 0\\\Delta ' = 1 + 3m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{3}$.

Câu 31 :

Tìm $m$ để $({C_m})$ : $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2$ có $3$ điểm cực trị là $3$ đỉnh của một tam giác vuông cân.

A

$m = - 4$
B

$m = - 1$
C

$m = 1$
D

$m = 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A\left( {0;c} \right)$ lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

$ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0$

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ {x^2} = m \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị $ \Leftrightarrow $ pt $y' = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $$m > 0$$ \Rightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \hfill \\x = \sqrt m \hfill \\ x = - \sqrt m \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị là: $A(0;2);\,\,\,B( - \sqrt m ;2 - {m^2});\,\,C(\sqrt m ;2 - {m^2})$

$\overrightarrow {AB} = \left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right)$

Dễ thấy $∆ ABC$ cân tại $A,$ để $∆ ABC$ vuông cân thì nó phải vuông tại $A$

$ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - m + {m^4} = 0$ $ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\{m^3} - 1 = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện $m > 0$ ta có $m = 1$

Câu 32 :

Gọi $m\;$ là giá trị để hàm số $y = \dfrac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}$ có giá trị nhỏ nhất trên $\left[ {0;3} \right]$ bằng $ - 2.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A

${m^2} \ne 16$
B

$3 < m < 5$
C

$\left| m \right| = 5$
D

$\left| m \right| < 5$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chứng minh hàm số luôn đơn điệu trên $\left[ {0;3} \right]$ từ đó suy ra GTNN của hàm số đã cho trên $\left[ {0;3} \right]$

Cho $GTNN = - 2,$ giải phương trình tìm $m.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = \dfrac{{x - {m^2}}}{{x + 8}},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne - 8 \Rightarrow y' = \dfrac{{1.8 - 1.\left( { - {m^2}} \right)}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} = \dfrac{{{m^2} + 8}}{{{{\left( {x + 8} \right)}^2}}} > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \ne - 8$

$ \Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng: $\left( { - \infty ; - 8} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( { - 8; + \infty {\rm{\;}}} \right)$

$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} {\mkern 1mu} y = y(0) = - \dfrac{{{m^2}}}{8} = - 2 \Rightarrow m = \pm 4$

Suy ra, $\left| m \right| < 5$.

Câu 33 :

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}$ là:

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$x = {x_o}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu: $\left[ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } \,f\left( x \right) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } \,f\left( x \right) = - \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$y = {y_o}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $\left[ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \,f\left( x \right) = {y_o} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \,f\left( x \right) = {y_o} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận là

- Tiệm cận đứng $x = 2$

- Tiệm cận ngang $y = - 1$

Câu 34 :

Cho hàm số $y = \dfrac{{3x + 1}}{{x + 2}}\left( C \right).$ Các đường tiệm cận của (C) cùng với 2 trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích bằng:

A

$8$ đvdt
B

$6$ đvdt
C

$4$ đvdt
D

$10$ đvdt

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm các tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hàm số.

- Diện tích hình chữ nhật $S = ab$.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x + 1}}{{x + 2}}$ có:

- Tiệm cận đứng là $x = - 2$.

- Tiệm cận ngang là $y = 3$.

Diện tích hình chữ nhật được tạo bởi 2 tiệm cận là: $S=\left| -2 \right|.\left| 3 \right|=6$ đvdt

Câu 35 :

Tìm $m$ để phương trình ${x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} + m = 0$ có nghiệm trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.

A

$m \geqslant - 2$
B

$m > 2$
C

$m \leqslant - 2$
D

$m < 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Nêu mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình và số giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$.

- Khảo sát hàm số $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ trên $\left( { - \infty ;1} \right]$ và từ đó suy ra điều kiện của $m$.

Lời giải chi tiết :

Ta có số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ và đường thẳng d: $y = - m$.

Xét hàm số (C): $y = {x^5} + {x^3} - \sqrt {1 - x} $ có: $y' = 5{x^4} + 3{x^2} + \dfrac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} > 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right)$$ \Rightarrow $ hàm số luôn đồng biến trên $\left( { - \infty ;1} \right]$.

Lại có $y\left( 1 \right) = 2$.

Ta có BBT:

Theo BBT ta thấy pt có nghiệm $ \Leftrightarrow - m \leqslant 2 \Leftrightarrow m \geqslant - 2$.

Câu 36 :

A

$0$
B

$1$
C

$2$
D

$3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Ta có tính chất sau: Mọi đường thẳng nối các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc của đồ thị hàm số bậc ba luôn đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số đó

(điểm uốn là điểm thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có hoành độ là nghiệm của phương trình $y''=0$)

Lời giải chi tiết :

Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 9;y'' = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = -2$

Điểm uốn của đồ thị hàm số là $U\left( -2;1 \right)$

Xét đường thẳng $d$ đi qua $U\left( -2;1 \right)$ có phương trình $y = {k_d}\left( {x + 2} \right) + 1$ hay $y = {k_d}x + 2{k_d} + 1$

$d$ cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A\left( { - \dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}};0} \right),B\left( {0;2{k_d} + 1} \right)$

$OA = 2017.OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}}} \right| = 2017\left| {2{k_d} + 1} \right| \Leftrightarrow {k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}};{k_d} = - \dfrac{1}{2}$

Nếu ${k_d} = - \dfrac{1}{2}$ thì $y = - \dfrac{1}{2}x$ nên $A \equiv B$ (loại)

Khi đó ta có hệ số góc của $d$ là ${k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}}$

Do đó có 2 đường thẳng $d$ thỏa mãn

Từ đó suy ra có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn bài toán.

Câu 37 :

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?

A

${\log _{0,5}}a > {\log _{0,5}}b \Leftrightarrow a > b > 0$
B

$\log x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1$
C

${\log _2}x > 0 \Leftrightarrow x > 1$
D

${\log _{\dfrac{1}{3}}}a = {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Ta có

$\begin{array}{l}{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b > c{\rm{ }}\left( {a > 1} \right)\\{\log _a}b > {\log _a}c \Leftrightarrow b < c{\rm{ }}\left( {0 < a < 1} \right)\end{array}$

Lời giải chi tiết :

${\log _{0.5}}a > {\log _{0.5}}b \Leftrightarrow a < b{\rm{ }}$ vì $0,5 <1$ suy ra A sai.

$\log x < 0 \Leftrightarrow \log x < \log 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1$ suy ra B đúng.

${\log _2}x > 0 \Leftrightarrow {\log _2}x > {\log _2}1 \Leftrightarrow x > 1$ suy ra C đúng.

${\log _{\dfrac{1}{3}}}a = {\log _{\dfrac{1}{3}}}b \Leftrightarrow a = b > 0{\rm{ }}$suy ra D đúng.

Câu 38 :

Cho các số dương $a, b, c, d$. Biểu thức $S = \ln \dfrac{a}{b}+ \ln \dfrac{b}{c} + \ln \dfrac{c}{d}+\ln \dfrac{d}{a}$ bằng:

A

$0$
B

$1$
C

$\ln (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a})$
D

$\ln (abcd)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức: $\ln a + \ln b = \ln (a.b)$

Lời giải chi tiết :

$S = \ln \dfrac{a}{b} + \ln \dfrac{b}{c} + \ln \dfrac{c}{d} + \ln \dfrac{d}{a} = \ln \left( {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{d}.\dfrac{d}{a}} \right) = \ln 1 = 0$

Câu 39 :

Cho $a, b$ là các số thực, thỏa mãn $0 < a < 1 < b$, khẳng định nào sau đây là đúng?

A

${\log _b}a + {\log _a}b < 0$
B

${\log _b}a > 1$
C

${\log _a}b > 0$
D

${\log _a}b + {\log _b}a \ge 2$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: $0 < a < 1$ nên hàm số $y = {\log _a}x$ nghịch biến, do đó $b > 1$ nên ${\log _a}b < {\log _a}1 = 0$.

Vì $b > 1$ nên hàm số $y = {\log _b}x$ đồng biến, do đó $a < 1$ nên ${\log _b}a < {\log _b}1 = 0$.

Vậy ${\log _a}b < 0;{\log _b}a < 0 \Rightarrow {\log _a}b + {\log _b}a < 0$.

Câu 40 :

Phương trình ${2^{{{\log }_5}\left( {x + 3} \right)}} = x$ có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Logarit cơ số $2$ hai vế đưa về phương trình logarit.

- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về phương trình mũ với ẩn mới.

- Giải phương trình mới bằng phương pháp xét hàm đặc trưng.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > - 3.$

Do ${2^{{{\log }_5}\left( {x + 3} \right)}} > 0$ nên để phương trình có nghiệm thì $x > 0.$

Lấy logarit cơ số $2$ của hai vế phương trình, ta được ${\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x$.

Đặt $t = {\log _5}\left( {x + 3} \right) = {\log _2}x$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {5^t}\\x = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {5^t} - 3\\x = {2^t}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow {5^t} - 3 = {2^t} \Leftrightarrow {5^t} = {3.1^t} + {2^t}$

Chia hai vế phương trình cho ${5^t}$, ta được $1 = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}$.

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đường $y = 1$ (hàm hằng) và đồ thị hàm số $y = 3.{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^t} + {\left( {\dfrac{2}{5}} \right)^t}$ (hàm số này nghịch biến vì nó là tổng của hai hàm số nghịch biến).

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. Nhận thấy $t = 1$ thỏa mãn phương trình.

Với $t = 1 \Rightarrow x = {2^t} = 2\left( {TM} \right).$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 41 :

Tập hợp nghiệm của phương trình ${\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right)$ là:

A

$\left\{ {0;1} \right\}$
B

$\left\{ {0;{{2.3}^{50}}} \right\}$
C

$\left\{ 0 \right\}$
D

$R$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > - \dfrac{{{3^{50}}}}{2}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\begin{array}{l}{\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}\left( {{9^{50}} + 4x{{.3}^{50}} + 4{x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 6{x^2} = 4x{.3^{50}} + 4{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 2x{.3^{50}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = {2.3^{50}}\end{array} \right.\end{array}$

Câu 42 :

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{{3x + 1}}$ trên khoảng $\left( { - \infty ;\,\, - \frac{1}{3}} \right).$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A
$F(x)=\ln (-3x-1)+C.$
B
$F(x)=\frac{1}{3}\ln (3x+1)+C.$
C
$F(x) = \frac{1}{3}\ln ( - 3x - 1) + C.$
D
$F(x) = \ln \left| {3x + 1} \right| + C.$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3x + 1}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right| + C = \frac{1}{3}\ln \left( { - \,3x - 1} \right) + C$

Vì $\left| {3x + 1} \right| = - \,3x - 1$ khi $x \in \left( { - \,\infty ; - \frac{1}{3}} \right).$

Câu 43 :

Cho hình chóp $S.\,ABC$ có $AB = AC = 4,\,BC = 2,\,SA = 4\sqrt 3 $, $\widehat {SAB} = \widehat {SAC} = 30^0$. Tính thể tích khối chóp $S.\,ABC.$

A
${V_{S.\,ABC}} = 8$.
B
${V_{S.\,ABC}} = 6$.
C
${V_{S.\,ABC}} = 4$.
D
${V_{S.\,ABC}} = 12$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, dựng chiều cao hình chóp.

- Tính diện tích đáy và chiều cao suy ra thể tích $V = \dfrac{1}{3}Sh$.

Lời giải chi tiết :

Dễ thấy $\Delta SAB = \Delta SAC\left( {c.g.c} \right)$ nên $SB = SC$ hay tam giác $\Delta SBC$ cân.

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ ta có: $AM \bot BC,SM \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $AM$ thì $SH \bot AM,SH \bot BC$ nên $SH$ là đường cao của hình chóp.

Xét tam giác $SAB$ có: $S{B^2} = S{A^2} + A{B^2} - 2SA.AB\cos {30^0} = 16 \Rightarrow SB = 4 \Rightarrow SC = 4$.

Do đó $S{M^2} = \dfrac{{S{B^2} + S{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = 15 \Rightarrow SM = \sqrt {15} $.

Tam giác $ABC$ có $A{M^2} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \dfrac{{B{C^2}}}{4} = 15 \Rightarrow AM = \sqrt {15} $.

Khi đó ${S_{SAM}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 6$.

Do đó: $SH = \dfrac{{2{S_{SAM}}}}{{AM}} = \dfrac{{2.6}}{{\sqrt {15} }} = \dfrac{{4\sqrt {15} }}{5}$.

${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.SH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}AM.BC.SH = \dfrac{1}{6}.\sqrt {15} .2.\dfrac{{4\sqrt {15} }}{5} = 4$.

Câu 44 :

A

$\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$
B

$\tan \alpha = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$
C

$\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$
D

$\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xác định đường cao bằng kiến thức $\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;\,a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a \bot \left( Q \right)$

Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc giữa đường thẳng $d$ và đường thẳng $d'$ là hình chiếu của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right).$

Thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}S.h$

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow SH \bot AB$ (do $\Delta SAB$ cân tại $S$)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB;\,\,\,SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

Hay $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right) \Rightarrow CH$ là hình chiều của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$

Do đó góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc $SCH.$

Ta có ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{1}{3}SH.4{a^2} \Leftrightarrow SH = a$.

Xét tam giác $BHC$ vuông tại $B$, theo định lý Pytago ta có $HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 $

Xét tam giác $SHC$ vuông tại $H$ có $\tan \angle SCH = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Câu 45 :

A

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
B

$R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.
C

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$.
D

$R = \sqrt[{}]{{\dfrac{V}{\pi }}}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tính độ dài đường cao hình trụ theo $V$ và $R$, sử dụng công thức $V = \pi {R^2}h$

- Tính diện tích toàn phần của hình trụ theo $V$ và $R$, sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá GTNN.

Lời giải chi tiết :

Hình trụ đó có chiều cao $h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}$ và diện tích toàn phần

${S_{tp}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \dfrac{{2V}}{R} = 2\pi {R^2} + \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}$

Dấu “=” xảy ra ⇔$2\pi {R^2} = \dfrac{V}{R} \Leftrightarrow {R^3} = \dfrac{V}{{2\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}$

Câu 46 :

A

$R = 2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } $
B

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin 2\alpha }}$
C

$R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$
D

$R = \dfrac{{2\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{\sin \alpha }}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Chứng minh được tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp $ABCC'B'$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Lời giải chi tiết :

Gọi $AA'$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

$AC \bot A'C;\,AB \bot A'B$

Ta chứng minh $AC' \bot A'C'$

$SA \bot A'C;\,AC \bot A'C \Rightarrow A'C \bot AC'$

Mà $AC' \bot SC \Rightarrow AC' \bot A'C'$

Tương tự $AB' \bot A'B'$

Như vậy $B,C,C',B'$ cùng nhìn $AA'$ bằng $1$ góc vuông nên $A,B,C,B',C'$ cùng thuộc $1$ mặt cầu có đường kính là $AA'$ và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tính $BC = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2b\cos \alpha } $

Trong tam giác $ABC:\dfrac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {{b^2} + {c^2} - 2bc\cos \alpha } }}{{2\sin \alpha }}$

Câu 47 :

A

$18$
B

$20$
C

$19$
D

$21$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Số chữ số cần dùng khi viết số $A$ trong hệ thập phân là $[\log A] + 1$ với $[x]$ là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x$

Tổng quát: số chữ số cần dùng khi viết số $A$ trong hệ $n–$phân là $[\log _{n} A] + 1$

Lời giải chi tiết :

Dựa vào 2 kết quả trên ta có

$\begin{array}{l}m = \left[ {\log {2^{30}}} \right] + 1 = \left[ {30\log 2} \right] + 1 = 10\\n = \left[ {{{\log }_2}{{30}^2}} \right] + 1 = \left[ {2{{\log }_2}30} \right] + 1 = 10\\ \Rightarrow m + n = 20\end{array}$

Câu 48 :

Hỏi có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong đoạn $\left[ { - 2017;2017} \right]$ để phương trình $\log mx = 2\log \left( {x + 1} \right)$ có nghiệm duy nhất?

A

$2017$
B

$4014$
C

$2018$
D

$4015$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết quả ${\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x>-1;mx>0$

$\begin{array}{l}\log (m{\rm{x}}) = 2\log (x + 1) \Leftrightarrow m{\rm{x}} = {(x + 1)^2} \Leftrightarrow {x^2} + (2 - m)x + 1 = 0\\\Delta = {m^2} - 4m + 4 - 4 = {m^2} - 4m\end{array}$

Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì có 2 TH:

TH1: Phương trình trên có nghiệm duy nhất: ${m^2} = 4m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right..$

Tuy nhiên giá trị $m = 0$ loại do khi đó nghiệm là $x = -1$.

TH2: Phương trình trên có 2 nghiệm thỏa: ${x_1} \le - 1 < {x_2}$

Nếu có ${x_1} = - 1 \to 1 - (2 - m) + 1 = 0 \to m = 0$, thay lại vô lý

$\begin{array}{l}{x_1} < - 1 < {x_2} \to ({x_1} + 1)({x_2} + 1) < 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0\\ \to 1 + m - 2 + 1 < 0 \Leftrightarrow m < 0.\end{array}$

Như vậy sẽ có các giá trị $-2017; - 2016; …… -1$ và $4$.

Có $2018 $ giá trị.

Câu 49 :

A

$P = {3.2^{2018}}$
B

$P = - 2018$
C

$P = 0$
D

$P = {2^{2019}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-et cho phương trình bậc ba $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\,\left( {a \ne 0} \right)$ có ba nghiệm ${x_1},{x_2},{x_3}$

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = \dfrac{c}{a}\\{x_1}{x_2}{x_3} = - \dfrac{d}{a}\end{array} \right.$

Sau đó biến đổi $f'\left( x \right)$ để tính $P.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018$

$ \Rightarrow f'\left( x \right) = {3.2^{2019}}{x^2} + {3.2^{2019}}x = {3.2^{2019}}x\left( {x + 1} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{1}{{f'\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{1}{{x.\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ${2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018 = 0$ (*)

Vì ${x_1},{x_2},{x_3}$ là ba ngiệm của phương trình (*) nên theo hẹ thức Vi-et ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - 3}}{2}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 0\\{x_1}{x_2}{x_3} = \dfrac{{2018}}{{{2^{2019}}}}\end{array} \right.$

Ta có $P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} - \dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3}}} - \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)$

$ = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} + \dfrac{1}{{{x_3}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)} \right]$

$ = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} - \dfrac{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right]$

$ = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {0 - \dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} + 2\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right)$

$ = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{{0 + 2.\dfrac{{ - 3}}{2} + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}} = 0$

Câu 50 :

A

$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)$
B

$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_3}} \right)$
C

$\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right),\left( {{C_1}} \right)$
D

$\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_3}} \right),\left( {{C_2}} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sau mỗi lần đạo hàm hàm đa thức thì bậc của hàm số giảm đi $1$ đơn vị.

Lời giải chi tiết :

Từ đồ thị ta thấy $(C_1)$ là đồ thị của hàm bậc bốn; $(C_2)$ là đồ thị của hàm bậc ba; $\left( {{C_3}} \right)$là đồ thị hàm bậc hai (parabol) nên $(C_1)$ là đồ thị của $f(x)$; $\left( {{C_2}} \right)$ là đồ thị của $f'\left( x \right)$; $\left( {{C_3}} \right)$ là đồ thị của $f''\left( x \right)$

Bài liên quan