Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 4 - Chương 3 – Hình học 7

Đề bài

Cho tam giác ABC trên tia đối của tia AB lấy D sao cho $AD = AB$. Lấy G thuộc AC sao cho $AG = \dfrac{1 }{3}AC.$ Tia DG cắt BC ở E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD; qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau ở F. Gọi M là giao điểm của EF và CD. 

Chứng minh rằng: B, G, M thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Ta có $AD = AB$ (gt) hay A là trung điểm của BD nên CA là trung tuyến của $\Delta BCD$.

Lại có  $AG = \dfrac{1 }{ 3}AC$ (gt) $\Rightarrow$ G là trọng tâm của $\Delta BCD$, mà DG cắt BC tại E.

Do đó E là trung điểm của BC.

Lại có EF // BD (gt) $\Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat E_1}$ (so le trong).

Mặt khác DF // BC (gt)

 $\Rightarrow \widehat {FDE} = \widehat {BED}$ (so le trong).

Do đó $\Delta BED = \Delta FDE$ (g.c.g) $\Rightarrow BE = DF,$ mà $BE = EC$ (cmt) $\Rightarrow EC = DF.$

 Xét  $\Delta DMF$ và $\Delta CME$ có

+) $\widehat F = {\widehat F_2}$ (so le trong do DF// BC);

+) ${\widehat D_3} = \widehat {EC{\rm{D}}}$ (so le trong).

Do đó $\Delta DNF = \Delta CME$ (g.c.g)

$\Rightarrow M{\rm{D}} = MC$ (cạnh tương ứng) hay BM là trung tuyến của  $\Delta BC{\rm{D}}$.

Do đó BM phải đi qua trọng tâm G hay B, G, M thẳng hàng.

Loigiaihay.com