Bài 30 trang 67 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trên tia \(AG\) lấy điểm \(G’\) sao cho \(G\) là trung điểm của \(AG’\).

a) So sánh các cạnh của tam giác \(BGG’\) với các đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác \(BGG’\) với các cạnh của tam giác \(ABC.\)

Lời giải chi tiết

a) So sánh các cạnh của \(∆BGG’\) với các đường trung tuyến của \(∆ABC.\)

Gọi \(M, N, E\) lần lượt là trung điểm của \(BC, CA, AB.\)

- Vì \(G\) là trọng tâm của \(∆ABC \Rightarrow GA =\dfrac{2}{3}AM\)

Mà \(GA = GG’\) (\(G\) là trung điểm của \(AG’\))

  \( \Rightarrow GG' = \dfrac{2}{3} AM\)

- Vì \(G\) là trọng tâm của \(∆ABC\) \( \Rightarrow GB = \dfrac{2}{3} BN\)

- Ta có:  

\(GM =\dfrac{1}{2} AG\) (do \(G\) là trọng tâm) và \(AG = GG'\) (giả thiết)

\( \Rightarrow GM = \dfrac{1}{2} GG'\), do đó \(MG=MG'.\)

Xét \(∆GMC\) và \(∆G’MB\) có: 

+) \(GM = MG'\) (chứng minh trên)

+) \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))

+) \( {\widehat {GMC} = \widehat {G'MB}} \) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \( ∆GMC=∆G’MB\) (c.g.c)

 \( \Rightarrow BG' = CG\) (Hai cạnh tương ứng)

Mà \(CG = \dfrac{2}{3}  CE\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)) 

 \( \Rightarrow BG' = \dfrac{2}{3} CE\)

Vậy \(GG' = \dfrac{2}{3}AM,GB = \dfrac{2}{3}BN,G'B = \dfrac{2}{3}CE\)

Hay mỗi cạnh của \(∆BGG’\) bằng  \(\dfrac{2}{3}\) đường trung tuyến của \(∆ABC.\)

b) So sánh các đường trung tuyến của \(∆BGG’\) với các cạnh của \(∆ABC.\)

- Ta có: \(BM\) là đường trung tuyến \(∆BGG’\)

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BM = \dfrac{1}{2} BC\).

Gọi \(I\) là trung điểm \(BG\) 

Vì \(IG = \dfrac{1}{2} BG\) (do \(I\) là trung điểm \(BG\))

\(GN = \dfrac{1}{2}BG\) (\(G\) là trọng tâm)

\( \Rightarrow  IG = GN\)

Xét  \(∆IGG’\) và \(∆NGA\) có:

+) \(IG = GN\) (chứng minh trên)

+) \(GG' = GA\) (giả thiết)

+) \(\widehat {IGG'} = \widehat {NGA}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \(∆IGG’ = ∆NGA\) (c.g.c) 

\( \Rightarrow  IG' = AN\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow  IG' = \dfrac{{AC}}{2}\)

- Gọi \(K\) là trung điểm \(BG'\) \( \Rightarrow  GK\) là trung tuyến của \(∆BGG’\)

Vì \(GE = \dfrac{1}{2} GC\) (\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\))

\(BG' = GC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  GE =\dfrac{1}{2} BG'\)

Mà \(K\) là trung điểm \(BG’\) \( \Rightarrow KG’ = EG\)

Vì \(∆GMC = ∆G’MB\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow\)   \(\widehat {GCM} = \widehat {G'BM}\) (hai góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow  CE // BG’\) \( \Rightarrow\)   \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (2 góc đồng vị)

Xét \(∆AGE\) và \(∆GG’K\) có:

+) \(EG = KG’\) (chứng minh trên)

+) \(AG = GG'\) (giả thiết)

+) \(\widehat {AGE} = \widehat {AG'B}\) (chứng minh trên)

Vậy \(∆AGE = ∆GG’K\) (c.g.c)

\( \Rightarrow AE = GK\) ( 2 cạnh tương ứng)

Mà \(AE = \dfrac{1}{2}AB\)

\(\Rightarrow  GK =  \dfrac{1}{2} AB\)

Vậy \(BM = \dfrac{1}{2}BC,G'I = \dfrac{1}{2}AC,GK = \dfrac{1}{2}AB\) 

Hay mỗi đường trung tuyến của \(∆BGG’\) bằng một nửa cạnh của tam giác \(ABC\)