Đề kiểm tra 15 phút - Chương 1 - Đề số 3 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại B có trọng tâm là G. Biết rằng $AB = 3$ và $AC = 5$. Tính độ dài của các véctơ $\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}$ và $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}$.

Câu 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi E và F là các điểm xác định bởi $\overrightarrow {AE}  = 2\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AF}  = \dfrac{2 }{ 5}\overrightarrow {AC}$

a.Hãy biểu diễn các véctơ $\overrightarrow {GE}$ và $\overrightarrow {GF}$theo các véctơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$.

b.Chứng minh ba điểm G, E, F thẳng hàng.

Câu 3. Cho tam giác ABC và một đường thẳng $\Delta$. Tìm trên $\Delta$ điểm M sao cho véctơ $2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}$có độ dài ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Theo Pitago $BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {25 - 9}  = 4.$

Gọi M là trung điểm BC. Khi đó $AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {9 + 4}$$\, = \sqrt {13}$ .

Ta có $\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {CB} .$ Suy ra $\left| {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 4$ .

Tương tự $\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GM}$ .

Suy ra $\left| {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GM} } \right| = 2GM$$\, = \dfrac{2 }{3}AM = \dfrac{2\sqrt {13} } { 3}$ .

Câu 2.

a.Ta có

$\eqalign{  & \overrightarrow {GE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AG}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;= 2\overrightarrow {AB}  - {2 \over 3}\overrightarrow {AM}   \cr  & \;\;\;\;\;\;\;= 2\overrightarrow {AB}  - {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\cr& \;\;\;\;\;\;\;= {5 \over 3}\overrightarrow {AB}  - {1 \over 3}\overrightarrow {AC}  \cr}$

$\eqalign{  & \overrightarrow {GF}  = \overrightarrow {AF}  - \overrightarrow {AG}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;= {2 \over 5}\overrightarrow {AC}  - {2 \over 3}\overrightarrow {AM}   \cr  & \;\;\;\;\;\;\; = {2 \over 5}\overrightarrow {AC}  - {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\cr&\;\;\;\;\;\;\; =  - {1 \over 3}\overrightarrow {AB}  + {1 \over {15}}\overrightarrow {AC}  \cr}$

b. Ta có $\overrightarrow {GE}  =  - 5\overrightarrow {GF}$ . Suy ra $\overrightarrow {GE}$ và $\overrightarrow {GF}$ cùng phương nên G, E, F thẳng hàng.

Câu 3.

Gọi I là trung điểm BC và J là trung điểm AI.

Ta có

$2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}$

$= 2\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MI}$

$= 2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MI} } \right) = 4\overrightarrow {MJ}$

Do đó $\left| {2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$$\, = \left| {4\overrightarrow {MJ} } \right| = 4MJ$

Suy ra $2\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}$ có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi 4MJ ngắn nhất. Điều này xảy ra khi M là hình chiếu của J trên $\Delta$ .

 Loigiaihay.com