Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1

Đề bài

Câu 1 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $BC,{\rm{ }}DB,{\rm{ }}AD,{\rm{ }}AC$ tại $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$. Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?

A

Hình thang
B

Hình bình hành
C

Hình chữ nhật
D

Hình vuông

Câu 2 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $AE;AF$ lần lượt là các đường cao của tam giác $SAB$ và tam giác $SAD$. Gọi $M$ là giao điểm của $SC$ với $ (AEF) $. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A

$SC \bot \left( {AFB} \right).$
B

$SC \bot \left( {ABCD} \right)$
C

$SC \bot \left( {AED} \right).$
D

$SC \bot AM$

Câu 3 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $O$ là tâm của $ABCD$ và $I$ là trung điểm của $SC$. Khẳng định nào sau đây sai ?

A

$IO \bot \left( {ABCD} \right).$
B

$BC \bot SB.$
C

$\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $BD.$
D

Tam giác $SCD$ vuông ở $D.$

Câu 4 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.

A

$30^\circ $.
B

$45^\circ $.
C

$60^\circ $.
D

$75^\circ $.

Câu 5 :

Trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $S$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} $.
B

$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {CD} $(Với $S$ là điểm tùy ý).
C

Nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $ thì $ABCD$ là hình bình hành
D

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ khi và chỉ khi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Câu 6 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC)$ và $AB \bot BC.$ Số các mặt của tứ diện $S.ABC$ là tam giác vuông là:

A

$1.$
B

$3.$
C

$2.$
D

$4.$

Câu 7 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết $SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$. Tính góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$.

A

$30^\circ $.
B

$45^\circ $.
C

$60^\circ $.
D

$75^\circ $.

Câu 8 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chọn khẳng định sai?

A

Góc giữa $AC$ và $B'D'$ bằng $90^\circ $.
B

Góc giữa $B'D'$ và $AA'$ bằng $60^\circ $.
C

Góc giữa $AD$ và $B'C$ bằng $45^\circ $.
D

Góc giữa $BD$ và $A'C'$ bằng $90^\circ $.

Câu 9 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Câu 10 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu $H$ của $S$ trên $(ABC)$ là

A

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
B

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
C

Trọng tâm tam giác $ABC.$
D

Giao điểm hai đường thẳng $AC$ và $BD.$

Câu 11 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$ và $SB$. Khẳng định nào sau đây sai?

A

$\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$.
B

$BD \bot \left( {IJK} \right)$.
C

Góc giữa $SC$ và $BD$ có số đo $60^\circ $.
D

$BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Câu 12 :

Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\tan \alpha = \dfrac{1}{2}$. Gọi $\beta $ là góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :

A

$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
B

$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C

$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D

$\beta = {60^0}$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A

Hình thang
B

Hình bình hành
C

Hình chữ nhật
D

Hình vuông

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác đinh thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$.

- Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN,MQ$ bằng cách sử dụng tính chất $\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}AB\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MQ\end{array} \right. $ $\Rightarrow MQ{\rm{//}}AB$

Tương tự ta có: $MN{\rm{//}}CD,\,\,NP{\rm{//}}AB,\,\,QP{\rm{//}}C{\rm{D}}$.

Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành

lại có $MN \bot MQ\left( {do\,AB \bot CD\,} \right)$.

Vậy tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.

Câu 2 :

A

$SC \bot \left( {AFB} \right).$
B

$SC \bot \left( {ABCD} \right)$
C

$SC \bot \left( {AED} \right).$
D

$SC \bot AM$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh $SC \bot \left( {AEF} \right).$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.$

Vậy: $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\left( 1 \right)$

Tương tự : $AF \bot SC\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AEF} \right).$

Mà $AM \subset \left( {AEF} \right)$ nên $AM \bot SC$.

Câu 3 :

A

$IO \bot \left( {ABCD} \right).$
B

$BC \bot SB.$
C

$\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $BD.$
D

Tam giác $SCD$ vuông ở $D.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng và định nghĩa mặt phẳng trung trực để xét tính đúng, sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

Có $IO$ là đường trung bình tam giác $SAC$ nên $IO//SA$ nên $IO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên A đúng.

Có $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB$ nên B đúng

Và $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD$ nên phương án D đúng.

Đáp án C sai vì nếu $\left( {SAC} \right)$ là mặt phẳng trung trực của $BD$ $ \Rightarrow BD \bot AC$(vô lý).

Câu 4 :

A

$30^\circ $.
B

$45^\circ $.
C

$60^\circ $.
D

$75^\circ $.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$ bởi định nghĩa: là góc giữa $SA$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABC} \right)$.

- Tính góc tìm được ở trên, sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ suy ra

$AH = BH = CH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}$.

Ta có: $SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,HA} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha $

$ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \alpha = 60^\circ $.

Câu 5 :

Trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cho tứ giác $ABCD$ và một điểm $S$ tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A

$\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} $.
B

$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {CD} $(Với $S$ là điểm tùy ý).
C

Nếu $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} $ thì $ABCD$ là hình bình hành
D

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 $ khi và chỉ khi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

A. Sai vì $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow B \equiv C$ (Vô lí)

B. Sai vì: Gọi $O$ và $O'$ theo thứ tự là trung điểm của $AC$ và $BD$. Ta có

$\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} $ và $\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO'} \Leftrightarrow \overrightarrow {SO} = \overrightarrow {SO'} \Leftrightarrow O \equiv O'$ điều này không đúng nếu $ABCD$ không phải là hình bình hành.

C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

D. sai vì: Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0
\end{array}$

Hay $O$ là trung điểm $MN$. Điều này chưa chắc đúng nên D sai.

Câu 6 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot (ABC)$ và $AB \bot BC.$ Số các mặt của tứ diện $S.ABC$ là tam giác vuông là:

A

$1.$
B

$3.$
C

$2.$
D

$4.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chứng minh tam giác $SBC$ vuông bằng cách chứng minh $SB \bot BC$, sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết :

Có $AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại $B.$

Ta có $SA \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB,\Delta SAC$ là các tam giác vuông tại $A.$

Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC$ là tam giác vuông tại $B.$

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông.

Câu 7 :

A

$30^\circ $.
B

$45^\circ $.
C

$60^\circ $.
D

$75^\circ $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$: là góc giữa $SC$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABCD} \right)$.

- Tính góc ở trên bởi tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC$

$ \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA} = \alpha $

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $ \Rightarrow AC = a\sqrt 2 ,SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$ $ \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \alpha = 30^\circ $.

Câu 8 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Chọn khẳng định sai?

A

Góc giữa $AC$ và $B'D'$ bằng $90^\circ $.
B

Góc giữa $B'D'$ và $AA'$ bằng $60^\circ $.
C

Góc giữa $AD$ và $B'C$ bằng $45^\circ $.
D

Góc giữa $BD$ và $A'C'$ bằng $90^\circ $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định góc giữa các đường thẳng và kết luận (sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ).

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BB'} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$ $ = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC} = 0$

(vì $\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {90^0}$ và $\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^0}$)

Do đó: $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = {90^0} \Rightarrow \widehat {\left( {AA',B'D'} \right)} = {90^0}$

Câu 9 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

A

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
B

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
C

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
D

$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cộng véc tơ : xen điểm $G$ vào các véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CD} $ với chú ý :

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 $ và ${\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2}$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$

$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$

Lại có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$

Câu 10 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu $H$ của $S$ trên $(ABC)$ là

A

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$
B

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$
C

Trọng tâm tam giác $ABC.$
D

Giao điểm hai đường thẳng $AC$ và $BD.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M,N,P$ lần lượt là hình chiếu của $S$ lên các cạnh $AB,BC,AC$

$ \Rightarrow \widehat {SMH} = \widehat {SNH} = \widehat {SPH} \Rightarrow \Delta SMH = \Delta SNH = \Delta SPH.$

$ \Rightarrow HM = HN = HP \Rightarrow $ $H$ là tâm dường tròn nội tiếp của $\Delta ABC.$

Câu 11 :

A

$\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$.
B

$BD \bot \left( {IJK} \right)$.
C

Góc giữa $SC$ và $BD$ có số đo $60^\circ $.
D

$BD \bot \left( {SAC} \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, mặt phẳng song song mặt phẳng để xét tính đúng, sai của các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Do $IJ\;{\rm{//}}\;AC$ và $IK{\rm{//}}SA$ nên $\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$. Vậy A đúng.

Do $BD \bot AC$ và $BD \bot SA$ nên $BD \bot \left( {SAC} \right)$ nên D đúng.

Do $BD \bot \left( {SAC} \right)$ và $\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)$ nên $BD \bot \left( {IJK} \right)$ nên B đúng.

Vậy C sai.

Câu 12 :

A

$\sin \beta = \dfrac{1}{2}$.
B

$\cot \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
C

$\tan \beta = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.
D

$\beta = {60^0}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SB$ và $\left( {ABCD} \right)$, tính $SO$.

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$ và tính tỉ số lượng giác của góc đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng đáy.

Do đó $\alpha = \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO}$ và $\beta = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}$.

Hình thoi $ABCD$ có $AC = 2a,\widehat {ADC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ADC$ đều $ \Rightarrow AD = 2a$

Tam giác $AOD$ vuông tại $O$ nên $OD = \sqrt {A{D^2} - A{O^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \Rightarrow OB = a\sqrt 3 $.

Lại có $\tan \alpha = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{OB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy $\tan \beta = \tan \widehat {SCO} = \dfrac{{SO}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Bài liên quan