Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1

Đề bài

Câu 1 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $BC,{\rm{ }}DB,{\rm{ }}AD,{\rm{ }}AC$ tại $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$. Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?

  • A

    Hình thang

  • B

    Hình bình hành

  • C

    Hình chữ nhật

  • D

    Hình vuông

Câu 2 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(AE;AF\) lần lượt là các đường cao của tam giác \(SAB\) và tam giác $SAD$. Gọi \(M\) là giao điểm của \(SC\) với \( (AEF) \). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

  • A

    \(SC \bot \left( {AFB} \right).\)

  • B

    \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\)

  • C

    \(SC \bot \left( {AED} \right).\)

  • D

    \(SC \bot AM\)

Câu 3 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A

    \(IO \bot \left( {ABCD} \right).\)

  • B

    \(BC \bot SB.\)

  • C

    \(\left( {SAC} \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(BD.\)

  • D

    Tam giác \(SCD\) vuông ở \(D.\)

Câu 4 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.

  • A

    \(30^\circ \).

  • B

    \(45^\circ \).

  • C

    \(60^\circ \).

  • D

    \(75^\circ \).

Câu 5 :

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cho tứ giác \(ABCD\) và một điểm \(S\) tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

    \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \).

  • B

    \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {CD} \)(Với \(S\) là điểm tùy ý).

  • C

    Nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) thì \(ABCD\) là hình bình hành

  • D

    \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Câu 6 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\) và \(AB \bot BC.\) Số các mặt của tứ diện \(S.ABC\) là tam giác vuông là:

  • A

    \(1.\)

  • B

    \(3.\)

  • C

    \(2.\)

  • D

    \(4.\)

Câu 7 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng \(a\) và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết \(SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$.

  • A

    \(30^\circ \).

  • B

    \(45^\circ \).

  • C

    \(60^\circ \).

  • D

    \(75^\circ \).

Câu 8 :

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Chọn khẳng định sai?

  • A

    Góc giữa $AC$ và \(B'D'\) bằng $90^\circ $.

  • B

    Góc giữa \(B'D'\) và \(AA'\) bằng $60^\circ $.

  • C

    Góc giữa $AD$ và \(B'C\) bằng $45^\circ $.

  • D

    Góc giữa $BD$ và \(A'C'\) bằng $90^\circ $.

Câu 9 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

  • A

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

  • B

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

  • C

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

  • D

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Câu 10 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu \(H\) của $S$ trên \((ABC)\) là

  • A

    Tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\)

  • B

    Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

  • C

    Trọng tâm tam giác \(ABC.\)

  • D

    Giao điểm hai đường thẳng \(AC\) và \(BD.\)

Câu 11 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I\), \(J\), \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\) và \(SB\). Khẳng định nào sau đây sai?

  • A

    \(\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).

  • B

    \(BD \bot \left( {IJK} \right)\).

  • C

    Góc giữa \(SC\) và \(BD\) có số đo \(60^\circ \).

  • D

    \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Câu 12 :

Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)\(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\). Gọi \(\beta \) là góc giữa $SC$$\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :

  • A

    $\sin \beta  = \dfrac{1}{2}$.

  • B

    $\cot \beta  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

  • C

    $\tan \beta  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

  • D

    $\beta  = {60^0}$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $BC,{\rm{ }}DB,{\rm{ }}AD,{\rm{ }}AC$ tại $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$. Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?

  • A

    Hình thang

  • B

    Hình bình hành

  • C

    Hình chữ nhật

  • D

    Hình vuông

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác đinh thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Xác định góc giữa hai đường thẳng \(MN,MQ\) bằng cách sử dụng tính chất \(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}AB\\\left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MQ\end{array} \right. $ $\Rightarrow MQ{\rm{//}}AB$

Tương tự ta có: \(MN{\rm{//}}CD,\,\,NP{\rm{//}}AB,\,\,QP{\rm{//}}C{\rm{D}}\).

Do đó tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành

 lại có \(MN \bot MQ\left( {do\,AB \bot CD\,} \right)\).

Vậy tứ giác \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

Câu 2 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(AE;AF\) lần lượt là các đường cao của tam giác \(SAB\) và tam giác $SAD$. Gọi \(M\) là giao điểm của \(SC\) với \( (AEF) \). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

  • A

    \(SC \bot \left( {AFB} \right).\)

  • B

    \(SC \bot \left( {ABCD} \right)\)

  • C

    \(SC \bot \left( {AED} \right).\)

  • D

    \(SC \bot AM\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh \(SC \bot \left( {AEF} \right).\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.\)

Vậy: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\left( 1 \right)\)

Tương tự : \(AF \bot SC\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow SC \bot \left( {AEF} \right).\)

Mà \(AM \subset \left( {AEF} \right)\) nên \(AM \bot SC\).

Câu 3 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Gọi \(O\) là tâm của \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khẳng định nào sau đây sai ?

  • A

    \(IO \bot \left( {ABCD} \right).\)

  • B

    \(BC \bot SB.\)

  • C

    \(\left( {SAC} \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn \(BD.\)

  • D

    Tam giác \(SCD\) vuông ở \(D.\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện đường thẳng vuông góc mặt phẳng và định nghĩa mặt phẳng trung trực để xét tính đúng, sai của từng đáp án.

Lời giải chi tiết :

\(IO\)   là đường trung bình tam giác \(SAC\)   nên \(IO//SA\)   nên \(IO \bot \left( {ABCD} \right)\)  nên A đúng.

\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot SB\)  nên B đúng

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD\) nên phương án D đúng.

Đáp án C sai vì nếu \(\left( {SAC} \right)\) là mặt phẳng trung trực của \(BD\) \( \Rightarrow BD \bot AC\)(vô lý).

Câu 4 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cạnh huyền $BC = a$. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm$BC$. Biết $SB = a$. Tính số đo của góc giữa $SA$ và $\left( {ABC} \right)$.

  • A

    \(30^\circ \).

  • B

    \(45^\circ \).

  • C

    \(60^\circ \).

  • D

    \(75^\circ \).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa \(SA\) và \(\left( {ABC} \right)\) bởi định nghĩa: là góc giữa \(SA\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABC} \right)\).

- Tính góc tìm được ở trên, sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) suy ra

\(AH = BH = CH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\).

Ta có: \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA,HA} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha \)

$ \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{SH}}{{AH}} = \sqrt 3  \Rightarrow \alpha  = 60^\circ $.

Câu 5 :

Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cho tứ giác \(ABCD\) và một điểm \(S\) tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

    \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \).

  • B

    \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {CD} \)(Với \(S\) là điểm tùy ý).

  • C

    Nếu \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) thì \(ABCD\) là hình bình hành

  • D

    \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

A. Sai vì \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow B \equiv C\) (Vô lí)

B. Sai vì: Gọi \(O\) và \(O'\) theo thứ tự là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Ta có

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \) và \(\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {SO}  = \overrightarrow {SO'}  \Leftrightarrow O \equiv O'\) điều này không đúng nếu \(ABCD\) không phải là hình bình hành.

C. Đúng – Chứng minh tương tự như ý B.

D. sai vì: Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Khi đó:

$\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} \\
\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {ON} \\
\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow 0
\end{array}$

Hay \(O\) là trung điểm \(MN\). Điều này chưa chắc đúng nên D sai.

Câu 6 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot (ABC)\) và \(AB \bot BC.\) Số các mặt của tứ diện \(S.ABC\) là tam giác vuông là:

  • A

    \(1.\)

  • B

    \(3.\)

  • C

    \(2.\)

  • D

    \(4.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chứng minh tam giác \(SBC\) vuông bằng cách chứng minh \(SB \bot BC\), sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Lời giải chi tiết :

\(AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác vuông tại \(B.\)

Ta có \(SA \bot (ABC) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB,\Delta SAC\) là các tam giác vuông tại \(A.\)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) là tam giác vuông tại \(B.\)

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông.

Câu 7 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng \(a\) và $SA \bot \left( {ABCD} \right)$. Biết \(SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$.

  • A

    \(30^\circ \).

  • B

    \(45^\circ \).

  • C

    \(60^\circ \).

  • D

    \(75^\circ \).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa $SC$ và $\left( {ABCD} \right)$: là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của nó trên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Tính góc ở trên bởi tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA} = \alpha \)

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) \( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 ,SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\) $ \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \alpha  = 30^\circ $.

Câu 8 :

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Chọn khẳng định sai?

  • A

    Góc giữa $AC$ và \(B'D'\) bằng $90^\circ $.

  • B

    Góc giữa \(B'D'\) và \(AA'\) bằng $60^\circ $.

  • C

    Góc giữa $AD$ và \(B'C\) bằng $45^\circ $.

  • D

    Góc giữa $BD$ và \(A'C'\) bằng $90^\circ $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định góc giữa các đường thẳng và kết luận (sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ).

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {B'D'}  = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BB'} .\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right)$ $ = \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {BC}  = 0$

(vì $\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BA} } \right) = {90^0}$$\left( {\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^0}$)

Do đó: $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = {90^0} \Rightarrow \widehat {\left( {AA',B'D'} \right)} = {90^0}$

Câu 9 :

Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?

  • A

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

  • B

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

  • C

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

  • D

    $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cộng véc tơ : xen điểm \(G\) vào các véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CD} \) với chú ý :

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)\({\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2}\).

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$

$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$

Lại có:

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {G{\rm{D}}}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC}  + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD}  + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$

Câu 10 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau. Hình chiếu \(H\) của $S$ trên \((ABC)\) là

  • A

    Tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC.\)

  • B

    Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

  • C

    Trọng tâm tam giác \(ABC.\)

  • D

    Giao điểm hai đường thẳng \(AC\) và \(BD.\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(M,N,P\) lần lượt là hình chiếu của $S$ lên các cạnh \(AB,BC,AC\)

\( \Rightarrow \widehat {SMH} = \widehat {SNH} = \widehat {SPH} \Rightarrow \Delta SMH = \Delta SNH = \Delta SPH.\)

\( \Rightarrow HM = HN = HP \Rightarrow \) \(H\) là tâm dường tròn nội tiếp của \(\Delta ABC.\)

 
Câu 11 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I\), \(J\), \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\) và \(SB\). Khẳng định nào sau đây sai?

  • A

    \(\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).

  • B

    \(BD \bot \left( {IJK} \right)\).

  • C

    Góc giữa \(SC\) và \(BD\) có số đo \(60^\circ \).

  • D

    \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng, mặt phẳng song song mặt phẳng để xét tính đúng, sai của các đáp án.

Lời giải chi tiết :

Do \(IJ\;{\rm{//}}\;AC\) và \(IK{\rm{//}}SA\) nên \(\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)\). Vậy A đúng.

Do \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SA\) nên \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) nên D đúng.

Do \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) và \(\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {SAC} \right)\) nên \(BD \bot \left( {IJK} \right)\) nên B đúng.

Vậy C sai.

Câu 12 :

Cho hình thoi $ABCD$ có tâm $O,\widehat {ADC} = {60^0},AC = 2a$. Lấy điểm $S$ không thuộc $\left( {ABCD} \right)$ sao cho $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)\(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\). Gọi \(\beta \) là góc giữa $SC$$\left( {ABCD} \right)$, chọn mệnh đề đúng :

  • A

    $\sin \beta  = \dfrac{1}{2}$.

  • B

    $\cot \beta  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

  • C

    $\tan \beta  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

  • D

    $\beta  = {60^0}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Xác định góc giữa \(SB\)\(\left( {ABCD} \right)\), tính \(SO\).

- Xác định góc giữa \(SC\)\(\left( {ABCD} \right)\) và tính tỉ số lượng giác của góc đó.

Lời giải chi tiết :

\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(OB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng đáy.

Do đó \(\alpha  = \left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,OB} \right) = \widehat {SBO}\)\(\beta  = \left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,OC} \right) = \widehat {SCO}\).

Hình thoi \(ABCD\)\(AC = 2a,\widehat {ADC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ADC\) đều \( \Rightarrow AD = 2a\)

Tam giác \(AOD\) vuông tại \(O\) nên \(OD = \sqrt {A{D^2} - A{O^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3  \Rightarrow OB = a\sqrt 3 \).

Lại có \(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{SO}}{{OB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\tan \beta  = \tan \widehat {SCO} = \dfrac{{SO}}{{OC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

close