Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 3Đề bài
Câu 1 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu tâm $I\left( {6,3, - 4} \right)$ tiếp xúc với $Ox$ có bán kính $R$ bằng:
Câu 2 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { - 3;0; - 1} \right)$ và điểm $A\left( {0;2;1} \right)$. Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b $ là:
Câu 3 :
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\), khi đó cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ đó là:
Câu 4 :
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là:
Câu 5 :
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.
Câu 6 :
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
Câu 7 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vector $\vec a = \left( {2;3; - 5} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = \left( {0; - 3;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = \left( {1; - 2;3} \right)$. Tọa độ vector $\vec n = 3\vec a + 2\vec b - \vec c$ là:
Câu 8 :
Hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;1;b} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;2;c} \right)\) cùng phương thì:
Câu 9 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:
Câu 10 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 4; - 2;0} \right)\), \(C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) kẻ từ đỉnh \(D\) bằng:
Câu 11 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :
Câu 12 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,4, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0, - 2,1} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Đường kính mặt cầu $\left( S \right)$ là
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu tâm $I\left( {6,3, - 4} \right)$ tiếp xúc với $Ox$ có bán kính $R$ bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Mặt cầu tiếp xúc \(Ox\) nếu \(d\left( {I,Ox} \right) = R\). Lời giải chi tiết :
Bán kính $R = d\left[ {I,Ox} \right] = \sqrt {y_I^2 + z_I^2} = 5$.
Câu 2 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;1; - 2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( { - 3;0; - 1} \right)$ và điểm $A\left( {0;2;1} \right)$. Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b $ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), tìm tọa độ \(\overrightarrow {AM} \). - Sử dụng điều kiện hai véc tơ bằng nhau tìm \(x;y;z\). Lời giải chi tiết :
Ta có $2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {5;2; - 3} \right)$. Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), suy ra $\overrightarrow {AM} = \left( {x;y - 2;z - 1} \right)$. Theo giả thiết, suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y - 2 = 2\\z - 1 = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\\z = - 2\end{array} \right.\).
Câu 3 :
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\), khi đó cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ đó là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính cô sin góc hợp bởi hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{ - 1.2 - 1.1 - 1.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} }} \) $= - \dfrac{3}{{\sqrt {15} }} = - \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{15}} = - \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}$
Câu 4 :
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Hình chiếu của \(M\left( {x;y;z} \right)\) có hình chiếu trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ \(\left( {0;y;z} \right)\). Lời giải chi tiết :
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(N\left( {0;2; - 1} \right)\).
Câu 5 :
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \). Lời giải chi tiết :
Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = - 1,b = 2,c = 1,d = - 3\). Ta có công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} = 3\)
Câu 6 :
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Điều kiện cần và đủ để \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) Lời giải chi tiết :
Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a = - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu. Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = - 1,b = - 1,c = - 1,d = - 8\) có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu. Xét phương án C có \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\). Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b = - \dfrac{1}{2},c = - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\) Không phải là phương trình mặt cầu.
Câu 7 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vector $\vec a = \left( {2;3; - 5} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = \left( {0; - 3;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = \left( {1; - 2;3} \right)$. Tọa độ vector $\vec n = 3\vec a + 2\vec b - \vec c$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức \(k\overrightarrow a \pm l\overrightarrow b = \left( {k{a_1} \pm l{b_1};k{a_2} \pm l{b_2};k{a_3} \pm l{b_3}} \right)\) Lời giải chi tiết :
$\vec n = 3\left( {2;3; - 5} \right) + 2\left( {0; - 3;4} \right) - \left( {1; - 2;3} \right) = \left( {5;5; - 10} \right)$
Câu 8 :
Hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;1;b} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;2;c} \right)\) cùng phương thì:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai véc tơ cùng phương \(\overrightarrow {{u_1}} = k\overrightarrow {{u_2}} \) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2k\\1 = 2k\\b = kc\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{2}\\a = - 1\\b = \dfrac{1}{2}c\end{array} \right. \Rightarrow c = 2b\)
Câu 9 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Nhận xét trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) rồi suy ra kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi \(G'\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\). Ta có \(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \). Suy ra \(G'\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên có tọa độ \(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right).\)
Câu 10 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 4; - 2;0} \right)\), \(C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) kẻ từ đỉnh \(D\) bằng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tính thể tích tứ diện và diện tích tam giác \(ABC\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4;0; - 3} \right),\) \(\overrightarrow {AD} = \left( {2;3; - 3} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 25;0} \right)\) Diện tích tam giác ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{25}}{2}$ Thể tích tứ diện \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{{25}}{2}\). Suy ra độ dài đường cao \(h = d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3\).
Câu 11 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1,2, - 4} \right);{\rm{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\rm{ }} và {\rm{ }}C\left( {2,2,3} \right)$. Mặt cầu $(S) $ đi qua $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(xOy) $ có bán kính là :
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Gọi tọa độ tâm \(I\) thỏa mãn phương trình mặt phẳng. - Mặt cầu tâm \(I\) đi qua \(3\) điểm nếu \(IA = IB = IC\), từ đó tìm \(I\) và suy ra phương trình mặt cầu. Lời giải chi tiết :
Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$ nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A,B,C$ nên ta có \(IA = IB = IC = R\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y = - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = - 2\end{array} \right.\). Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$. Có \(IA = \sqrt {26} = R\)
Câu 12 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,4, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0, - 2,1} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Đường kính mặt cầu $\left( S \right)$ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Gọi tọa độ tâm mặt cầu theo tham số của đường thẳng \(d\). - \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B \Leftrightarrow IA = IB\), từ đó tìm được tọa độ \(I\) và bán kính \(IA\) suy ra đường kính \(2IA\). Lời giải chi tiết :
Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ thuộc $d$, ta có $I\left( {1 + 2t,2 - t,1 + t} \right)$. Vì mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ . Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\) \( \Leftrightarrow {(2t - 1)^2} + {(t + 2)^2} + {(2 + t)^2} = {(1 + 2t)^2} + {(4 - t)^2} + {t^2}\) \( \Leftrightarrow - 4t + 4t + 4 + 4t + 4 = 4t - 8t + 16\) \( \Leftrightarrow 8t = 8\) \( \Leftrightarrow t = 1\) Suy ra $I\left( {3,1,2} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt {9 + 9 + 1} = \sqrt {19} \) Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt {19} \) |
