Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0; - 2} \right)\,,\,{\rm{ }}\overrightarrow b = \left( { - 2;1;3} \right)\), \(\,\overrightarrow c = \left( { - 4;3;5} \right)\). Tìm hai số thực \(m\), \(n\) sao cho \(m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b = \overrightarrow c \) ta được:
Câu 2 :
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.
Câu 3 :
Hoành độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) là:
Câu 4 :
Véc tơ \(\overrightarrow u = - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) có tọa độ là:
Câu 5 :
Cho hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B( - 1;3;1)\). Tọa độ điểm $M$ nằm trên trục tung sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ .
Câu 6 :
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) thì giá của \(\overrightarrow n \) :
Câu 7 :
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
Câu 8 :
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\). Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì:
Câu 9 :
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x+2y-2z-6=0\) và \(\left( Q \right):\,\,x+2y-2z+3=0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:
Câu 10 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
Câu 11 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,1, - 1} \right)$ và $B\left( {1,0,1} \right)$. Mặt cầu đi qua hai điểm $A,B$ và có tâm thuộc trục Oy có đường kính là
Câu 12 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\) có bán kính nhỏ nhất khi \(m\) bằng
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;0; - 2} \right)\,,\,{\rm{ }}\overrightarrow b = \left( { - 2;1;3} \right)\), \(\,\overrightarrow c = \left( { - 4;3;5} \right)\). Tìm hai số thực \(m\), \(n\) sao cho \(m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b = \overrightarrow c \) ta được:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Lập hệ phương trình ẩn \(m,n\) dựa vào đẳng thức véc tơ bài cho. - Giải hệ phương trình và kết luận. Lời giải chi tiết :
Ta có \(m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b = \left( {m - 2n;\,n; - 2m + 3n} \right)\). Suy ra \(m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b = \overrightarrow c \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2n = - 4\\n = 3\\ - 2m + 3n = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = 3\end{array} \right..\)
Câu 2 :
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \). Lời giải chi tiết :
Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = - 1,b = 2,c = 1,d = - 3\). Ta có công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)} = 3\)
Câu 3 :
Hoành độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa điểm trong không gian \(Oxyz\) Lời giải chi tiết :
\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)\). Do đó hoành độ của \(M\) bằng \( - 1\).
Câu 4 :
Véc tơ \(\overrightarrow u = - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) có tọa độ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa tọa độ véc tơ \(\overrightarrow u = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \) thì \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)\) Lời giải chi tiết :
\(\overrightarrow u = - \overrightarrow i + \overrightarrow k = - 1.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j + 1.\overrightarrow k \Rightarrow \overrightarrow u \left( { - 1;0;1} \right)\)
Câu 5 :
Cho hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B( - 1;3;1)\). Tọa độ điểm $M$ nằm trên trục tung sao cho tam giác $ABM$ vuông tại $M$ .
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Sử dụng công thức tính tọa độ vec tơ: Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có: \(\overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\) - Sử dụng công thức tính vô hướng Cho hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$ Lời giải chi tiết :
$M$ nằm trên trục tung, giả sử \(M(0;m;0)\). Ta có \(\overrightarrow {MA} = (1;2 - m; - 1)\) và $\overrightarrow {MB} = ( - 1;3 - m;1)$ Vì tam giác $ABM$ vuông tại $M$ nên ta có \(\overrightarrow {MA.} \overrightarrow {MB} = 0\) \( \Leftrightarrow 1.( - 1) + (2 - m)(3 - m) + ( - 1).1 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\)
Câu 6 :
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) thì giá của \(\overrightarrow n \) :
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Véc tơ \(\overrightarrow n \left( { \ne \overrightarrow 0 } \right)\) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng \(\left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n \bot \left( P \right)\).
Câu 7 :
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai véc tơ bằng nhau \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.\)
Câu 8 :
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0;\left( Q \right):a'x + b'y + c'z + d' = 0\). Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì:
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} \ne \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) +) \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}} = \dfrac{d}{{d'}}\) thì \(\left( P \right) \equiv \left( Q \right)\) Lời giải chi tiết :
Nếu có \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}\) thì ta chưa kết luận được gì vì còn phụ thuộc vào tỉ số \(\dfrac{d}{{d'}}\) nên các đáp án A hoặc B đúng.
Câu 9 :
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x+2y-2z-6=0\) và \(\left( Q \right):\,\,x+2y-2z+3=0\). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
(P) // (Q) \(\Rightarrow d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=d\left( M;\left( Q \right) \right)\,\,\,\left( M\in \left( P \right) \right)\), đưa về bài toán khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng. Lời giải chi tiết :
Lấy \(M\left( 6;0;0 \right)\in \left( P \right)\) ta có: (P) // (Q) \(\Rightarrow d\left( \left( P \right);\left( Q \right) \right)=d\left( M;\left( Q \right) \right)=\frac{\left| 6+3 \right|}{\sqrt{1+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}}=3\)
Câu 10 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có:\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \) Lời giải chi tiết :
$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử \(M(m;0;0)\). Ta có \(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}\) Suy ra \(M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10 \) $= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$ \(\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\). Vậy \(M(1;0;0)\)
Câu 11 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,1, - 1} \right)$ và $B\left( {1,0,1} \right)$. Mặt cầu đi qua hai điểm $A,B$ và có tâm thuộc trục Oy có đường kính là
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Gọi tâm \(I\left( {0;t;0} \right) \in Oy\). - Mặt cầu đi qua điểm \(A,B \Rightarrow IA = IB\) tìm được \(I \Rightarrow \)bán kính \(IA\), đường kính \(2IA\) Lời giải chi tiết :
Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ thuộc $Oy$, ta có $I\left( {0,t,0} \right)$. Vì mặt cầu $(S)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ . Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\) \( \Leftrightarrow {2^2} + {(t - 1)^2} + {( - 1)^2} = {1^2} + {t^2} + {1^2}\) \( \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow t = 2\) Suy ra $I\left( {0,2,0} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt 6 \) Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt 6 \)
Câu 12 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4mx + 4y + 2mz + {m^2} + 4m = 0\) có bán kính nhỏ nhất khi \(m\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Viết biểu thức tính bán kính \(R\) của mặt cầu. - Tìm GTNN của \(R \Rightarrow m\). Lời giải chi tiết :
S) có tâm $I\left( {2m, - 2, - m} \right)$ . Bán kính \(R = \sqrt {4{m^2} + 4 + {m^2} - {m^2} - 4m} = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4} = \sqrt {{{(2m - 1)}^2} + 3} \ge \sqrt 3 \) Dấu = xảy ra khi \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\) |
