Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác \(ABC\). Giá trị của $a + b + c$ bằng:
Câu 2 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm A đối xứng với \(B\left( {3; - 1;4} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {xOz} \right)\) là:
Câu 3 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của \(A\left( 3;2;-1 \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là điểm:
Câu 4 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ \(\vec c = - 9\vec k\). Tọa độ của vectơ \(\vec c\) là:
Câu 5 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0\) . Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)
Câu 6 :
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0\) và điểm \(M\left( {0;1;1} \right)\). Chọn kết luận đúng:
Câu 7 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2x-z+1=0\). Tọa độ một vectơ pháp tuyến của (P) là
Câu 8 :
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
Câu 9 :
Biết tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;m;n} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( { - \dfrac{1}{2};2;3} \right)\) bằng \(\overrightarrow 0 \). Giá trị của \(T = m + n\) là:
Câu 10 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right),\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0 \) là:
Câu 11 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
Câu 12 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 4; - 2;0} \right)\), \(C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) kẻ từ đỉnh \(D\) bằng:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác \(ABC\). Giá trị của $a + b + c$ bằng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Điều kiện để \(H\) là trực tâm của tam giác là $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$ Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$. Do $H$ là trực tâm của tam giác \(ABC\) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c = - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$. Do đó $a + b + c = 4$.
Câu 2 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ điểm A đối xứng với \(B\left( {3; - 1;4} \right)\) qua mặt phẳng \(\left( {xOz} \right)\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) có điểm đối xứng qua mặt phẳng \(\left( {xOz} \right)\) là \(M'\left( {x; - y;z} \right)\). Lời giải chi tiết :
Lấy đối xứng điểm \(B\left( {3; - 1;4} \right)\) qua \(\left( {Oxz} \right)\) ta được \(A\left( {3;1;4} \right)\).
Câu 3 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu vuông góc của \(A\left( 3;2;-1 \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là điểm:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( x;y;z \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là \(M'\left( x;y;0 \right)\) Lời giải chi tiết :
Hình chiếu vuông góc của \(A\left( 3;2;-1 \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là điểm \(H\left( 3;2;0 \right)\).
Câu 4 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho vectơ \(\vec c = - 9\vec k\). Tọa độ của vectơ \(\vec c\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \(k\overrightarrow u = \left( {kx;ky;kz} \right)\) với véc tơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\vec k = \left( {0;0;1} \right) \Rightarrow \vec c = - 9\vec k = \left( {0;0; - 9} \right)\)
Câu 5 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0\) . Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) nếu và chỉ nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d = 0\). Lời giải chi tiết :
Dễ thấy \(2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0\)\( \Rightarrow \) điểm \(Q\) thuộc \(\left( P \right)\)
Câu 6 :
Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0\) và điểm \(M\left( {0;1;1} \right)\). Chọn kết luận đúng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tính khoảng cách từ \(M\) đến hai mặt phẳng trên, từ đó suy ra kết quả. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\) nên A sai, D sai, B đúng. Do đó \(M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)\) nên C sai.
Câu 7 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \((P):2x-z+1=0\). Tọa độ một vectơ pháp tuyến của (P) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Mặt phẳng (P) có phương trình \(Ax+By+Cz+D=0\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)\) là 1 VTPT. Lời giải chi tiết :
\((P):2x-z+1=0\) có 1 VTPT \(\overrightarrow{n}=(2;0;-1)\)
Câu 8 :
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hai véc tơ bằng nhau \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.\)
Câu 9 :
Biết tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;m;n} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( { - \dfrac{1}{2};2;3} \right)\) bằng \(\overrightarrow 0 \). Giá trị của \(T = m + n\) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm \(m,n\) và suy ra đáp án đúng, chú ý tính chất của các véc tơ. Lời giải chi tiết :
Do tích có hướng của hai véc tơ bằng \(\overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương. Do đó \(\dfrac{1}{{ - \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{m}{2} = \dfrac{n}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 4\\n = - 6\end{array} \right. \Rightarrow T = m + n = \left( { - 4} \right) + \left( { - 6} \right) = - 10\)
Câu 10 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\). Tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(\left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right),\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0 \) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), sử dụng tính chất trung điểm và tích có hướng để suy ra tập hợp điểm thỏa mãn. Lời giải chi tiết :
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \). Khi đó \(\left[ {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right),\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \left[ {2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \overrightarrow 0 \). Suy ra \(\overrightarrow {MI} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \).
Câu 11 :
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có:\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \) Lời giải chi tiết :
$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử \(M(m;0;0)\). Ta có \(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}\) Suy ra \(M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10 \) $= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$ \(\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\). Vậy \(M(1;0;0)\)
Câu 12 :
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 4; - 2;0} \right)\), \(C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) kẻ từ đỉnh \(D\) bằng:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Tính thể tích tứ diện và diện tích tam giác \(ABC\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;0; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4;0; - 3} \right),\) \(\overrightarrow {AD} = \left( {2;3; - 3} \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0; - 25;0} \right)\) Diện tích tam giác ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \dfrac{{25}}{2}$ Thể tích tứ diện \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{{25}}{2}\). Suy ra độ dài đường cao \(h = d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = 3\). |