Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 3: Nguyên hàm - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng \(2\)?
Câu 2 :
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
Câu 3 :
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$
Câu 4 :
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
Câu 5 :
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
Câu 6 :
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
Câu 7 :
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
Câu 8 :
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức: a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\) b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \) c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) Số công thức sai là:
Câu 9 :
Nếu \(t = {x^2}\) thì:
Câu 10 :
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
Câu 11 :
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=a.\ln 5+b.\ln 2+c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a+2b+4c\) bằng
Câu 12 :
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng \(2\)?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tính tích phân từng đáp án và dùng phương pháp loại trừ, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản: \(\int {dx = x + C} \), \(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \), \(\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} \) và công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) Lời giải chi tiết :
+) $\int\limits_1^2 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_1^2 = {e^2} - e$ +) \(\int\limits_0^1 {2dx} = \left. {2x} \right|_0^1 = 2\), +) \(\int\limits_0^1 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\) +) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1\) Vậy chỉ có đáp án B là có tích phân bằng \(2\).
Câu 2 :
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Ta có \(\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\ne \ln x+C.\)
Câu 3 :
Cho hai hàm số $y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)$ là các hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;2} \right],$ có $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4,\,\,\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,2$ và $\int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = 1.$ Tính $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} .$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} ;\,\,\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} ;\,\,\int\limits_a^b {cf\left( x \right)dx} = c\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} .\) Lời giải chi tiết :
Ta có $\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} $ Suy ra $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^2 {g\left( t \right){\rm{d}}t} = - \,2 - 1 = - \,3.$ Vậy $I = 2\,\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 2.4 - \left( { - \,3} \right) = 11.$
Câu 4 :
Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx} = \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}} + C\) Lời giải chi tiết :
\(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}\)
Câu 5 :
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề D sai.
Câu 6 :
Cho hàm số \(y = f(x)\)thỏa mãn hệ thức \(\int {f\left( x \right)\sin xdx} = - f(x).\cos x + \int {{\pi ^x}\cos xdx}. \) Hỏi \(y = f\left( x \right)\) là hàm số nào trong các hàm số sau:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Đặt : \(\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = \sin {\rm{xdx}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'(x)dx\\v = - \cos x\end{array} \right. \) $\Rightarrow \int {f(x)\sin {\rm{x}}dx = - f(x).\cos x + \int {f'(x).\cos xdx} }$ Nên suy ra \(f'(x) = {\pi ^x} \Rightarrow f(x) = \int {{\pi ^x}} dx = \dfrac{{{\pi ^x}}}{{\ln \pi }}\).
Câu 7 :
Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?
Đáp án : B Phương pháp giải :
$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ Lời giải chi tiết :
\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.
Câu 8 :
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức: a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\) b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \) c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) Số công thức sai là:
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Dễ thấy các công thức a) đúng vì tích phân có hai cận bằng nhau thì có giá trị $0$. Công thức c) là đúng theo tính chất tích phân. Công thức b) sai vì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
Câu 9 :
Nếu \(t = {x^2}\) thì:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức đổi biến \(t = u\left( x \right) \Rightarrow f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx = f\left( t \right)dt\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2} \) $\Rightarrow xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( {{x^2}} \right).xdx = f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2} = \dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt$
Câu 10 :
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}\sqrt {4 + {x^3}} $ là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
-Sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân Lời giải chi tiết :
$\int {{x^2}\sqrt {4 + {x^3}} dx = \dfrac{1}{3}\int {\sqrt {4 + {x^3}} .d\left( {{x^3} + 4} \right)} } $$ = \dfrac{1}{3}\dfrac{{{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^{\dfrac{3}{2}}}}}{{\dfrac{3}{2}}} + C = \dfrac{2}{9}\sqrt {{{\left( {4 + {x^3}} \right)}^3}} + C$.
Câu 11 :
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=a.\ln 5+b.\ln 2+c\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a+2b+4c\) bằng
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào phương pháp đổi biến số và tách phân thức trong dạng toán tích phân của hàm phân thức Lời giải chi tiết :
Ta có \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{5}}+{{x}^{3}}}}=\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}x}{{{x}^{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{2x\,\text{d}x}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{\frac{\text{d}\left( {{x}^{2}} \right)}{{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}}=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}\) Xét \(\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{t+1-t}{{{t}^{2}}\left( t+1 \right)}\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{{{t}^{2}}}-\frac{1}{t\left( t+1 \right)} \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2}}}}-\int\limits_{1}^{4}{\frac{\text{d}t}{t\left( t+1 \right)}}\) \(\begin{align} & =\left. -\frac{1}{t} \right|_{1}^{4}-\int\limits_{1}^{4}{\left( \frac{1}{t}-\frac{1}{t+1} \right)dt=\frac{3}{4}-\left. \left( \ln t-\ln \left( t+1 \right) \right) \right|_{1}^{4}} \\ & =\frac{3}{4}-\ln 4+\ln 5-\ln 2=\frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5. \\\end{align}\) Khi đó \(I=\frac{1}{2}\left( \frac{3}{4}-3\ln 2+\ln 5 \right)=\frac{1}{2}.\ln 5-\frac{3}{2}.\ln 2+\frac{3}{8}.\) Vậy \(a+2b+4c=-\,1.\)
Câu 12 :
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân. Lời giải chi tiết :
Đặt \({{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\). Đổi cận: $\begin{array}{l} Khi đó, ta có: \(I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]\) \(=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8\) Suy ra, \(a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8\) |