Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 3: Dãy số - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
Câu 2 :
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 3 :
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
Câu 4 :
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
Câu 5 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa \(n \ge 3\) thì:
Câu 6 :
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Câu 7 :
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Câu 8 :
Giả sử $Q$ là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho a) \(k \in Q\) b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)
Câu 9 :
Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
Câu 10 :
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng \({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\) là:
Câu 11 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n \in N^*\) , có tính chất:
Câu 12 :
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Suy ra trực tiếp từ các đáp án bằng cách xét hiệu \({x_{n + 1}} - {x_n}\) . Lời giải chi tiết :
Ta thấy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm. Với dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), ta có ${b_n} = {5^n} + 1,\,\,\forall n \in N^*$, vì ${\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1$. Vì \({b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n} \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số tăng. Với dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) ta có ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n} \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$là dãy số giảm. Với dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) ta có \({d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}}.\) Xét hiệu \({d_{n + 1}} - {d_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} - \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{{n^3} + {n^2} + n + 1 - {n^3} - 2{n^2} - 2n}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\,\,\forall n \in N^*\) Vậy \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy giảm.
Câu 2 :
Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến \(P\left( n \right)\) đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (\(p\) là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Ở bước 2 ta cần giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) với \(k \ge p\).
Câu 3 :
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_n} = {\left( {\dfrac{{n - 1}}{{n + 1}}} \right)^{2n + 3}},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay $n$ bởi $n + 1$ và tính số hạng $x_{n+1}$ Lời giải chi tiết :
Ta có: \({x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}\)
Câu 4 :
Trong phương pháp quy nạp toán học, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng đến:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\).
Câu 5 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số tự nhiên $n$ thỏa \(n \ge 3\) thì:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn \(n \ge 3\) và dự đoán kết quả. Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học. Lời giải chi tiết :
Với $n = 3$ ta loại được đáp án A, B và C. Ta chứng minh đáp án D đúng bằng phương pháp quy nạp toán học. Bất đẳng thức \({2^n} > 2n + 1\) đúng với $n = 3$ vì $8 > 7$. Giả sử bất đẳng thức đúng đến \(n = k \ge 3\), tức là \({2^k} > 2k + 1\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({2^{k + 1}} > 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3.\) Ta có: \({2^{k + 1}} = {2.2^k} > 2\left( {2k + 1} \right) = 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1.\) Vì \(k \ge 4 \Rightarrow 2k - 1 \ge 7 > 0 \Rightarrow {2^{k + 1}} > 2k + 3\) Do đó bất đẳng thức đúng đến $n = k + 1$. Vậy BĐT đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 3.\)
Câu 6 :
Cho hai dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}\) và \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = n + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)\) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Xét tính tăng giảm của từng dãy số. Đối với dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) , ta xét thương \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}\) và so sánh thương đó với 1. Đối với dãy \(\left( {{y_n}} \right)\) ta xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) và so sánh hiệu đó với 0. Lời giải chi tiết :
Xét thương : \(\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \dfrac{{n + 2}}{2} = \dfrac{n}{2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)\) là dãy tăng. Xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n} =\) \( \left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \) \(= {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \) Vì \(\left\{ \begin{array}{l} Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để \(\left\{ \begin{array}{l} Vậy \({\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1\) \(\Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}\) Do đó \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy tăng.
Câu 7 :
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}.$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Thay lần lượt các giá trị \(n = 1,2,3,4,5\) vào công thức số hạng tổng quát của dãy số. Lời giải chi tiết :
Ta có \({u_1} = - \dfrac{1}{2};{u_2} = - \dfrac{2}{3};{u_3} = - \dfrac{3}{4};\) \({u_4} = - \dfrac{4}{5};{u_5} = - \dfrac{5}{6}.\)
Câu 8 :
Giả sử $Q$ là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho a) \(k \in Q\) b) \(n \in Q \Rightarrow n + 1 \in Q\,\,\forall n \ge k.\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học và loại trừ các đáp án. Lời giải chi tiết :
Đáp án A: sai vì \(Q \subset {N^*}\) chứ không phải \({N^*} \subset Q\), nên mọi số nguyên dương không thể thuộc \(Q\) hết được. Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học. Đáp án C: sai vì theo giả thiết \(b)\) thì phải là số tự nhiên lớn hơn \(k\) thuộc \(Q\). Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc \(Q\).
Câu 9 :
Trong phương pháp quy nạp toán học, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Phương pháp quy nạo toán học: - Bước 1: Chứng minh \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = 1\). - Bước 2: Với \(k\) là một số nguyên dương tùy ý, giả sử \(P\left( n \right)\) đúng với \(n = k\), chứng minh \(P\left( n \right)\) cũng đúng khi \(n = k + 1\). Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k + 1\) thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 2\).
Câu 10 :
Với mọi số nguyên dương $n$, tổng \({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n\left( {n + 1} \right)\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Thử một giá trị bất kì của $n$ thỏa mãn $n$ là số nguyên dương và dự đoán kết quả. - Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học. Lời giải chi tiết :
Với $n = 1$ ta có: \({S_1} = 1.2 = 2\), do đó đáp án A, C sai. Ta chứng minh \({S_n} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\,\,\left( * \right)\) đúng với mọi số nguyên dương $n$. Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k \ge 1)$, tức là \({S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3},\) ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3},\) Ta có: \(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3}.\end{array}\) Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.
Câu 11 :
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_1} = 2\) và \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1,\,\,\forall n \in N^*\) , có tính chất:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tìm số hạng tổng quát và chứng minh dãy số đó tăng (giảm) và bị chặn. Lời giải chi tiết :
\({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2}\) Ta có: \({u_n} = \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\) Tương tự ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\) Tiếp tục như vậy ta được: \(\begin{array}{l} Ta có: \({u_1} = 2{u_2} - 1 \Rightarrow {u_2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}.\left( {\dfrac{3}{2} - 2} \right) = - \dfrac{1}{{{2^n}}} < 0\) \( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm. \({u_{n + 1}} - {u_n} = - \dfrac{1}{{{2^n}}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}\) . Mà \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1\)\( \Rightarrow {u_n} = 2\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {u_n} = 2{u_n} - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} - 1 \Leftrightarrow {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} < 1 + 1 = 2\) \( \Rightarrow 1 < {u_n} < 2\) Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Câu 12 :
Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_n} = {2.3^n} - {5.2^n},\,\,\forall n \in N^*\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Xác định \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}}\) và tìm đẳng thức liên hệ giữa \({x_{n + 2}},{x_{n + 1}},{x_n}\). Lời giải chi tiết :
Ta có : \(\begin{array}{l}{x_{n + 1}} = {2.3^{n + 1}} - {5.2^{n + 1}} = {6.3^n} - {10.2^n}\\\,{x_{n + 2}} = {2.3^{n + 2}} - {5.2^{n + 2}} = {18.3^n} - {20.2^n}\end{array}\) - Đáp án A : $5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {18.3^n} - {20.2^n} = {x_{n + 2}} \Rightarrow $ A đúng. - Đáp án B: $6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {16.3^n} - {35.2^n} \ne {x_{n + 2}} \Rightarrow B$ sai. - Đáp án C : ${x_{n + 2}} + 5{x_{n + 1}} - 6{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 5\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 6\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {36.3^n} - {40.2^n} \ne 0 \Rightarrow C$sai. - Đáp án D : ${x_{n + 2}} + 6{x_{n + 1}} - 5{x_n} = {18.3^n} - {20.2^n} + 6\left( {{{6.3}^n} - {{10.2}^n}} \right) - 5\left( {{{2.3}^n} - {{5.2}^n}} \right) = {44.3^n} - {55.2^n} \ne 0 \Rightarrow D$ sai. |