Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 2: Tổ hợp xác suất - Đề số 3Đề bài
Câu 1 :
Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)
Câu 2 :
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
Câu 3 :
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Câu 4 :
Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:
Câu 5 :
Tổng giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình \(C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \dfrac{7}{2}x\) là
Câu 6 :
Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có $7$ chữ số và bắt đầu bởi $3$ chữ số đầu tiên là $790$. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
Câu 7 :
Cho phương trình \(A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\). Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình trên, lúc này ta có:
Câu 8 :
Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn $1000$ được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
Câu 9 :
Cho tập $A = \left\{ {2;5} \right\}$. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số, các chữ số lấy từ tập $A$ sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?
Câu 10 :
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là:
Câu 11 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì $xy$ bằng :
Câu 12 :
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\) là:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Với giá trị của $x$ thỏa mãn \(12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\) thì \(A_{x - 1}^2 - C_x^1 = ?\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức chỉnh hợp và tổ hợp: \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) để tìm x, sau đó thay vào tính giá trị biểu thức Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}12C_x^1 + C_{x + 4}^2 = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)!}}{{2!\left( {x + 2} \right)!}} = 162\\ \Leftrightarrow 12x + \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{2} = 162\\ \Leftrightarrow 24x + {x^2} + 7x + 12 = 324\\ \Leftrightarrow {x^2} + 31x - 312 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 39\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow A_{x - 1}^2 - C_x^1 = A_7^2 - C_8^1 = 34\)
Câu 2 :
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng quy tắc cộng \(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\). Lời giải chi tiết :
Có \(2\) phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ. - Có \(17\) cách chọn lớp trưởng là nam. - Có \(11\) cách chọn lớp trưởng là nữ. Vậy có tất cả \(17 + 11 = 28\) cách chọn lớp trưởng.
Câu 3 :
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(C_n^k\).
Câu 4 :
Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Số cách thực hiện công việc \(A\) là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách.
Câu 5 :
Tổng giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình \(C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \dfrac{7}{2}x\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng công thức tổ hợp \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\), lưu ý điều kiện của tổ hợp chập k phần tử của n \(C_n^k\) là \(k,n \in N\,;\,k \le n\), sau đó rút gọn và giải phương trình. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(x \ge 3,x \in N\) \(\begin{array}{l}C_x^1 + C_x^2 + C_x^3 = \dfrac{7}{2}x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{{x!}}{{2!\left( {x - 2} \right)!}} + \dfrac{{x!}}{{3!\left( {x - 3} \right)!}} = \dfrac{7}{2}x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{6} = \dfrac{7}{2}x\\ \Leftrightarrow 6x + 3{x^2} - 3x + {x^3} - 3{x^2} + 2x = 21x\\ \Leftrightarrow {x^3} - 16x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 16} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = - 4\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 4\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Câu 6 :
Số điện thoại ở Huyện Củ Chi có $7$ chữ số và bắt đầu bởi $3$ chữ số đầu tiên là $790$. Hỏi ở Huyện Củ Chi có tối đa bao nhiêu máy điện thoại:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Đếm số cách chọn từng chữ số trong bốn số cuối số điện thoại. - Sử dụng quy tắc nhân và tính số cách chọn. Lời giải chi tiết :
Gọi số điện thoại cần tìm có dạng \(\overline {790abcd} \). Khi đó: \(a\)có 10 cách chọn, \(b\)có 10 cách chọn, \(c\)có 10 cách chọn, \(d\) có 10 cách chọn. Nên có tất cả \(10.10.10.10 = {10^4}\) số.
Câu 7 :
Cho phương trình \(A_x^3 + 2C_{x + 1}^{x - 1} - 3C_{x - 1}^{x - 3} = 3{x^2} + {P_6} + 159\). Giả sử \(x = {x_0}\) là nghiệm của phương trình trên, lúc này ta có:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp và hoán vị \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,;\,\,{P_n} = n!\) Lời giải chi tiết :
ĐK: \(x \ge 3,x \in N\). Phương trình đã cho có dạng \(\begin{array}{l}\dfrac{{x!}}{{\left( {x - 3} \right)!}} + \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 1} \right)!}} - \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)!}}{{2!\left( {x - 3} \right)!}} = 3{x^2} + 6! + 159\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + x\left( {x + 1} \right) - \dfrac{3}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 3{x^2} + 879\\ \Leftrightarrow x = 12\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\) (Dùng lệnh SHIFT SLOVE trên máy tính)
Câu 8 :
Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn $1000$ được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Số nhỏ hơn $1000$ là số có $3, 2$ hoặc $1$ chữ số. Ta đưa về bài toán: "Có bao nhiêu số tự nhiên có $3,2$ hoặc $1$chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?" Lời giải chi tiết :
Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số. TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$? Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)\) suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ . Vậy có $4.4.3 = 48$ số. TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$? Có $4.4 = 16$ số. TH3: Số có $1$ chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$? Có $5$ số. Vậy có có tất cả $69$ số.
Câu 9 :
Cho tập $A = \left\{ {2;5} \right\}$. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có $10$ chữ số, các chữ số lấy từ tập $A$ sao cho không có chữ số $2$ nào đứng cạnh nhau?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng nguyên tắc vách ngăn: Xếp chữ số $5$ trước để tạo ra các vách ngăn sau đó xếp các chữ số $2$ vào các vách ngăn đó Lời giải chi tiết :
TH1: Có $10$ chữ số $5$: Chỉ có duy nhất $1$ số. TH2: Có $9$ chữ số $5$ và $1$ chữ số $2$ . Xếp $9$ chữ số $5$ thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách. Vậy trường hợp này có 10 số. TH3: Có $8$ chữ số $5$ và $2$ chữ số$2$. Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào $9$ vách ngăn đó, có \(C_9^2 = 36\) cách. Vậy trường hợp này có 36 số. TH4: Có $7$ chữ số $5$ và $3$ chữ số $2$ . Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có \(C_8^3 = 56\) cách. Vậy trường hợp này có 56 số. TH5: Có $6$ chữ số $5$ và $4$ chữ số $2$ . Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có \(C_7^4 = 35\) cách. Vậy trường hợp này có 35 số. TH6: Có $5$ chữ số $5$ và $5$ chữ số $2$. Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có \(C_6^5 = 6\) cách. Vậy trường hợp này có 6 số. Theo quy tắc cộng ta có tất cả: $1 + 10 + 36 + 56 + 35 + 6 = 144$ số.
Câu 10 :
Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều \(10\) cạnh là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Mỗi tam giác được tạo thành ứng với một cách chọn \(3\) trong \(10\) điểm. Lời giải chi tiết :
Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác. Chọn \(3\) trong \(10\) đỉnh của đa giác, có \(C_{10}^3 = 120\). Vậy có \(120\) tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác \(10\) cạnh.
Câu 11 :
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2A_x^y + 5C_x^y = 90\\5A_x^y - 2C_x^y = 80\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) thì $xy$ bằng :
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) và mối quan hệ giữa các công thức chỉnh hợp và tổ hợp \(C_n^k = \dfrac{{A_n^k}}{{k!}}\). Lời giải chi tiết :
ĐK: \(x \ge y \ge 0,x,y \in N\) Đặt \(a = A_x^y\,\,;\,\,y = C_x^y\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y = 90\\5x - 2y = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 20\\b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A_x^y = 20\\C_x^y = 10\end{array} \right.\) Ta có: \(C_x^y = \dfrac{{A_x^y}}{{y!}} \Leftrightarrow 10 = \dfrac{{20}}{{y!}} \Leftrightarrow y! = 2 \Leftrightarrow y = 2\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow C_x^2 = 20 \Leftrightarrow \dfrac{{x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} = 20 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow xy = 5.2 = 10\end{array}\)
Câu 12 :
Số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng các công thức chỉnh hợp, tổ hợp \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\,;\,C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) sau đó giải hệ phương trình. Lời giải chi tiết :
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le y\\0 \le x \le y + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le y\,\,\left( {x,y \in N} \right)\) \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}C_y^x:C_{y + 2}^x = \dfrac{1}{3}\\C_y^x:A_y^x = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}}.\dfrac{{x!\left( {y + 2 - x} \right)!}}{{\left( {y + 2} \right)!}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{{y!}}{{x!\left( {y - x} \right)!}}.\dfrac{{\left( {y - x} \right)!}}{{y!}} = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {y - x + 1} \right)\left( {y - x + 2} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{x!}} = \dfrac{1}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\,\,\left( {tm} \right)\\\dfrac{{\left( {y - 3} \right)\left( {y - 2} \right)}}{{\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right)}} = \dfrac{1}{3}\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 3{y^2} - 15y + 18 = {y^2} + 3y + 2\\ \Leftrightarrow 2{y^2} - 18y + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 8\,\,\left( {tm} \right)\\y = 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\) Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;8} \right)\) |