Đề kiểm tra 15 phút Toán 12 chương 2: Hàm số lũy thừa, mũ, logarit - Đề số 3Đề bài
Câu 1 :
Tổng các nghiệm của phương trình \({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\)
Câu 2 :
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}}} \) là:
Câu 3 :
Cho x>0; \(x \ne 1\) thỏa mãn biểu thức $\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{2017}}x}} = M$ . Khi đó $x$ bằng:
Câu 4 :
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}}} < {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 1}}{{x - 3}}}}\) là :
Câu 5 :
Phương trình \({4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}\) có nghiệm là:
Câu 6 :
Cho phương trình ${\log _2}\left[ {{{\log }_{\dfrac{1}{8}}}\left( {{x^3}} \right) + {{\log }_2}x + x + 1} \right] = 3.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 7 :
Tâp nghiệm của bất phương trình \({2^{x + 2}} < {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x}\) là:
Câu 8 :
Điều kiện xác định của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _2}\left( {y - 1} \right) = 1\\{3^x} = {3^y}\end{array} \right.\) là:
Câu 9 :
Tìm $m$ để phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .
Câu 10 :
Cho phương trình \(m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) là khoảng \(\left( {a; + \infty } \right).\) Khi đó \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây ?
Câu 11 :
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1\) là:
Câu 12 :
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left[ {1;64} \right]\).
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Tổng các nghiệm của phương trình \({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đưa hai vế về dạng hai lũy thừa cùng cơ số. Lời giải chi tiết :
\({3^{{x^4} - 3{x^2}}} = 81 = {3^4} \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\) Tổng các nghiệm sẽ bằng $0$.
Câu 2 :
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}}} \) là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Hàm số \(y = {\log _a}x\) xác định \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\0 < a \ne 1\end{array} \right.\) Hàm số \(y = \sqrt A \) xác định \( \Leftrightarrow A \ge 0\) Hàm số có dạng \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi và chỉ khi \(B \ne 0\). Lời giải chi tiết :
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}}} \) xác định \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \ge 0\\\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} > 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \ge {\log _{\dfrac{1}{2}}}1\\\dfrac{{ - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}} > 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - 2x - {x^2}}}{{x + 1}} \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3 - 2x - {x^2} - x - 1}}{{x + 1}} \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - {x^2} - 3x + 2}}{{x + 1}} \le 0\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} \le x \le - 1\\x \ge \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x < - 3\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} \le x < - 3\\\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} \le x < 1\end{array} \right.\end{array}\) Vậy tập xác định của phương trình là \(D = \left[ {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}; - 3} \right) \cup \left[ {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};1} \right)\)
Câu 3 :
Cho x>0; \(x \ne 1\) thỏa mãn biểu thức $\dfrac{1}{{{{\log }_2}x}} + \dfrac{1}{{{{\log }_3}x}} + ... + \dfrac{1}{{{{\log }_{2017}}x}} = M$ . Khi đó $x$ bằng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi phương trình về phương trình logarit cơ bản. Sử dụng công thức ${\log _a}b = \dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}$ Lời giải chi tiết :
\( \begin{array}{l} VT= {\log _x}2 + {\log _x}3 + {\log _x}4 + ... + {\log _x}2017 = {\log _x}(2.3.4...2017)\\ \Rightarrow {x^M} = 2017! \Rightarrow x = \sqrt[M]{{2017!}}\end{array}\)
Câu 4 :
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}}} < {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 1}}{{x - 3}}}}\) là :
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nhận thấy \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1\), đưa bất phương trinh về cùng cơ số \(2 + \sqrt 3 \). \({a^x} < {a^y} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x > y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x < y\end{array} \right.\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
TXĐ : \(x \ne 3,x \ne 1.\) Ta có \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 1 \Rightarrow 2 - \sqrt 3 = \dfrac{1}{{2 + \sqrt 3 }} = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - 1}}\) \( \Rightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}}}} < {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}}}}\) Ta có : \(2 + \sqrt 3 > 1 \Rightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} < - \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} < 0\) Ta có \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \in R\backslash \left\{ {1;3} \right\} \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)\) Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án B là tập con của tập \(\left( {1;3} \right)\)
Câu 5 :
Phương trình \({4^{2x + 5}} = {2^{2 - x}}\) có nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số là biến đổi về dạng ${a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)$ Lời giải chi tiết :
${4^{2{\rm{x}} + 5}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{4{\rm{x}} + 10}} = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow 4{\rm{x}} + 10 = 2 - x \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = - 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 8}}{5}$
Câu 6 :
Cho phương trình ${\log _2}\left[ {{{\log }_{\dfrac{1}{8}}}\left( {{x^3}} \right) + {{\log }_2}x + x + 1} \right] = 3.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dùng phương pháp đưa về cùng cơ số \(2\), giải phương trình thu được và kết luận. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: $x > 0.$ Phương trình $ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ { - {{\log }_2}x + {{\log }_2}x + x + 1} \right] = 3$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 3$ $ \Leftrightarrow x + 1 = 8 \Leftrightarrow x = 7\left( {TM} \right)$
Câu 7 :
Tâp nghiệm của bất phương trình \({2^{x + 2}} < {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x}\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đưa bất phương trình về cùng cơ số 2. \({a^x} \le {a^y} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\x \ge y\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\x \le y\end{array} \right.\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\({2^{x + 2}} < {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{x + 2}} < {\left( {{2^{ - 2}}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{x + 2}} < {2^{ - 2x}}\) Vì \(2 > 1 \Rightarrow x + 2 < - 2x \Leftrightarrow 3x < - 2 \Leftrightarrow x < - \dfrac{2}{3}\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - \dfrac{2}{3}} \right)\)
Câu 8 :
Điều kiện xác định của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) + {\log _2}\left( {y - 1} \right) = 1\\{3^x} = {3^y}\end{array} \right.\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng điều kiện để hàm số \(y = {\log _a}x\) xác định. Lời giải chi tiết :
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 > 0\\y - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1 \vee x < - 1\\y > 1\end{array} \right.\)
Câu 9 :
Tìm $m$ để phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm $x \in \left( {1;3} \right)$ .
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về bậc hai. - Tìm điều kiện để bài toán phụ có nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn phụ, Lời giải chi tiết :
Đặt $t = {2^x};x \in \left( {1;3} \right) \Rightarrow t = {2^x} \in \left( {2;8} \right)$ Xét hàm số \(y = {t^2} - 8t + 3\) trên \((2;8)\) có: $y' = 2t - 8;$ $y' = 0 \Leftrightarrow 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 4\in (2;8)$ Bảng biến thiên: Căn cứ bảng biến thiên: Phương trình \({4^x} - {\text{ }}{2^{x{\text{ }} + {\text{ }}3}} + {\text{ }}3{\text{ }} = {\text{ }}m\) có đúng 2 nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right) \Leftrightarrow - 13 < m < - 9\)
Câu 10 :
Cho phương trình \(m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) là khoảng \(\left( {a; + \infty } \right).\) Khi đó \(a\) thuộc khoảng nào dưới đây ?
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\). - Khảo sát và lập BBT của hàm số \(f\left( x \right)\), từ đó suy ra điều kiện của \(m\) để thỏa mãn yêu cầu bài toán. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \(x > - 1\). Ta có: \(m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0 \Leftrightarrow m\ln \left( {x + 1} \right) = x + 2\) (1) Dễ dàng kiểm tra \(x = 0\) không phải nghiệm của phương trình trên. Với \(x \ne 0\), phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{x + 2}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}\) Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 2}}{{\ln \left( {x + 1} \right)}}\,\,\left( {x > - 1,\,\,x \ne 0} \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}}}{{{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)}}\) Nhận xét: Trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\), hàm số \(y = \ln (x + 1)\) đồng biến, hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}\) nghịch biến \( \Rightarrow g\left( x \right) = \ln \left( {x + 1} \right) - \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} = 0\) (2) có tối đa 1 nghiệm trên \(\left( {1; + \infty } \right)\). Mà \(g\left( 2 \right) = \ln 3 - \dfrac{4}{3} < 0,\,\,g\left( 4 \right) = \ln 5 - \dfrac{6}{5} > 0 \Rightarrow \) PT (2) có nghiệm duy nhất \({x_0} \in \left( {2;4} \right)\). Ta có BBT của \(f\left( x \right)\) trên 2 khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\) như sau: \(\left( {\dfrac{4}{{\ln 3}} \approx 3,64,\,\,\dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,73} \right)\) Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) thì \(m > \dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,73\,\).
Câu 11 :
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1\) là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng phương pháp loganepe hai vế để giải bất phương trình. Phương pháp giải bất phương trình tích: \(f\left( x \right)g\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1\) Lấy loganepe hai vế ta có \(\ln {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < \ln 1\,\,\left( * \right)\) Vì \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} + x + 1 > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + x + 1 < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} + x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x < - 1$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
Câu 12 :
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left[ {1;64} \right]\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình đại số. Lời giải chi tiết :
Điều kiện : $x > 0$ \(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + 2.{\log _2}\sqrt x \ge - m\)(1) Đặt \(t = {\log _2}\sqrt x \). Khi \(x \in \left[ {1;64} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]\). Ta có bất phương trình \(4{t^2} + 2t \ge - m\). Xét \(f(t) = 4{t^2} + 2t;f'(t) = 8t + 2 > 0,\forall t \in \left[ {0;3} \right]\) Để (1) nghiệm đúng với \(\forall t \in \left[ {0;3} \right]\) thì $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) \ge - m$ \( \Leftrightarrow f(0) \ge - m \Leftrightarrow 0 \ge - m \Leftrightarrow m \ge 0\). |