Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 3Đề bài
Câu 1 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x.\cos x = 0\) là:
Câu 2 :
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
Câu 3 :
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) trên \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
Câu 4 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\):
Câu 5 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x = - 1\) là:
Câu 6 :
Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên mỗi khoảng:
Câu 7 :
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
Câu 8 :
Hàm số \(y = \sin x\) có tập xác định là:
Câu 9 :
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm?
Câu 10 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x + 1\):
Câu 11 :
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
Câu 12 :
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x.\cos x = 0\) là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng công thức nhân đôi $2\sin x. \cos x =\sin 2x$ đưa về phương trình lượng giác cơ bản đối với \(\sin 2x\). Bước 2: Sử dụng công thức $\sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$
Lời giải chi tiết :
Bước 1: \(\sin x.\cos x = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin 2x = 0\) Bước 2: \( \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Câu 2 :
Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Các hàm số sin, cos đều có đồ thị là đường hình sin nên các đáp án A, B, C đều có đồ thị là đường hình sin.
Câu 3 :
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) trên \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Giải phương trình \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \). - Tìm các nghiệm của phương trình thỏa mãn \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) rồi tính tổng. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{3} = - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) Với \( - \pi < x < \pi \) thì \(\left[ \begin{array}{l} - \pi < \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \dfrac{{5\pi }}{3} < k2\pi < \dfrac{\pi }{3} \Leftrightarrow - \dfrac{5}{6} < k < \dfrac{1}{6} \Rightarrow k = 0\\ - \pi < k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2\pi }}{3}\\x = 0\end{array} \right.\) Vậy tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) là \(\dfrac{{2\pi }}{3}\).
Câu 4 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\):
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng công thức hạ bậc $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$ và công thức \({\cos ^2}2x=(\cos 2x)^2\) Bước 2: Biến đổi hàm số về tam thức bậc hai ẩn \(t = \cos 2x\). Bước 3: Sử dụng kiến thức về hàm bậc hai $y=ax^2+bx+c$ để đánh giá GTLN, GTNN của \(y=f(x)\) trên [c;d] +) Tìm $f(c),f(d)$ và f tại đỉnh của parabol \(x=-\dfrac{b}{2a}\) +) GTLN và GTNN của 3 số tìm được chính là GTLN và GTNN của hàm số ban đầu. Lời giải chi tiết :
Bước 1: Theo công thức hạ bậc ta có: $2{\sin ^2}x=1 - \cos 2x$ =>\(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x\)\( = 1 - \cos 2x + {\cos ^2}2x\) \(=(\cos 2x)^2- \cos 2x +1\) Bước 2: Đặt \(t = \cos 2x;t \in \left[ { - 1;1} \right]\) ta được \(y = f\left( t \right) = {t^2} - t + 1;t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Bước 3: Ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - t + 1\) trên đoạn \( \in \left[ { - 1;1} \right]\). \( \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1;f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4};f\left( { - 1} \right) = 3\) Số lớn nhất là $3$, số nhỏ nhất là \(\dfrac{3}{4}\). \( \Rightarrow \max y = 3;\min y = \dfrac{3}{4}\).
Câu 5 :
Nghiệm của phương trình \(\sin x = - 1\) là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sin x = - 1 \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
Câu 6 :
Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên mỗi khoảng:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\)
Câu 7 :
Hàm số nào dưới đây là hàm số chẵn?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn nếu \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\), là hàm số lẻ nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\). $\sin(-x)=-\sin x$; $\cos (-x)=\cos x$ $(-x)^2=x^2$; $(-x)^3=-x^3$ Lời giải chi tiết :
Đáp án A: \(y(x) = {x^2} - \sin x\) \( \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - \sin \left( { - x} \right) = {x^2} + \sin x\) Ta có: \({x^2} + \sin x \ne{x^2} - \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$ \({x^2} + \sin x \ne-{x^2}+ \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$ =>Hàm số không chẵn cũng không lẻ. Đáp án B: \(y = {x^2} + \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \sin \left( { - x} \right) = {x^2} - \sin x\) Ta có: \({x^2} - \sin x \ne{x^2} + \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne y(x)$ \({x^2} - \sin x \ne-{x^2}- \sin x \)$\Rightarrow y\left( { - x} \right) \ne -y(x)$ =>Hàm số không chẵn cũng không lẻ. Đáp án C: \(y = {x^3} - \sin x \Rightarrow y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} - \sin \left( { - x} \right) = - {x^3} + \sin x = - y\left( x \right)\) =>$y(-x)=-y(x)$ => Hàm số là lẻ. Đáp án D: $y = \cos x - {x^2} \Rightarrow y\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) - {\left( { - x} \right)^2} = \cos x - {x^2} = y\left( x \right)$ =>$y(-x)=y(x)$ => Hàm số là chẵn.
Câu 8 :
Hàm số \(y = \sin x\) có tập xác định là:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Hàm \(y = \sin x\) có TXĐ \(D = R\).
Câu 9 :
Với giá trị nào của \(m\) dưới đây thì phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm?
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm nếu \(\left| m \right| \le 1\) và vô nghiệm nếu \(\left| m \right| > 1\) Đáp án A: $|m|=|-3|=3>1$=> Loại Đáp án B: $|m|=|-2|=2>1$=> Loại Đáp án C: $|m|=|0|=0\le 1$ => Nhận Đáp án D: $|m|=|3|=3>1$=> Loại
Câu 10 :
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x + 1\):
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a Cốp – xki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {\left( {ac + bd} \right)^2}\) Lời giải chi tiết :
\(y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \Leftrightarrow y - 1 \)\(= 3\sin x + 4\cos x\) \({\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {3\sin x + 4\cos x} \right)^2}\) Ta coi \(a = 3;b = 4;c = \sin x;d = \cos x\) Theo BĐT Bu-nhi-a Cốp-xki ta được: \({\left( {3.\sin x + 4.\cos x} \right)^2}\)\( \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x} \right) = 25.1\) \( \Rightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \le 25 \Leftrightarrow - 5 \le y - 1 \le 5\) \( \Leftrightarrow - 5 + 1 \le y \le 5 + 1 \Leftrightarrow - 4 \le y \le 6\) Vậy \(\max y = 6;\min y = - 4\)
Câu 11 :
Tập nghiệm của phương trình \(\tan x.\cot x = 1\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \(\tan x.\cot x = 1\) nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình. Lời giải chi tiết :
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\) Do \(\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D\) nên tập nghiệm của phương trình là \(R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}\)
Câu 12 :
Nghiệm của phương trình \(\sin 3x = \cos x\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Biến đổi phương trình về dạng \(\sin x = \sin y\) hoặc \(\cos x = \cos y\) Sử dụng công thức: $\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)=\cos x$ - Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + k2\pi \\x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\sin 3x = \cos x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =\left( { \dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \\3x = \pi - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x } \right)+ k2\pi \end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\) |