Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11

Đề kiểm tra 15 phút Toán 11 chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đề số 2

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt 3 + 3\tan x = 0$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
C

$x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
D

$x =- \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.

Câu 2 :

Phương trình $\cos 2x = 1$ có nghiệm là:

A

$x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 3 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 4 :

Nghiệm của phương trình $\cos x = - \dfrac{1}{2}$ là:

A

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
B

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.
C

$x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi $.
D

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

Câu 5 :

Điểm $O\left( {0;0} \right)$ luôn thuộc đồ thị hàm số

A

$y = \cos x$
B

$y = \sin x$
C

$y = \cot x$
D

$y = \tan x - 1$

Câu 6 :

Tìm chu kì của các hàm số sau $y = \sin \sqrt x $

A

Hàm số không tuần hoàn
B

${T_0} = 2\pi $
C

${T_0} = \pi $
D

${T_0} = 4{\pi ^2}$

Câu 7 :

Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.

Câu 8 :

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}$

A

$\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 4$
B

$\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 3$
C

$\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 2$
D

$\min y = \dfrac{1}{2};\max y = 2$

Câu 9 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan 3x.\cot 5x$

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

Câu 10 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} $

A

$\max y = 1,\min y = 1 - \sqrt 3 $
B

$\max y = 3,\min y = 1 - \sqrt 3 $
C

$\max y = 2,\min y = 1 - \sqrt 3 $
D

$\max y = 0,\min y = 1 - \sqrt 3 $

Câu 11 :

Nghiệm của phương trình $\cos x + \sin x = 0$ là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.

Câu 12 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt 3 + 3\tan x = 0$ là:

A

$x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
C

$x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
D

$x =- \dfrac{\pi }{3} + k\pi $.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình $\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi $.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt 3 + 3\tan x = 0 \Leftrightarrow \tan x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$$ \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Câu 2 :

Phương trình $\cos 2x = 1$ có nghiệm là:

A

$x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$x = k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos 0 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in Z} \right)$

Câu 3 :

Chọn mệnh đề đúng:

A

$\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
B

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$
C

$\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
D

$\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có:

+) $\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ nên A sai.

+) $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in Z} \right)$ nên B đúng, D sai.

+) $\cos x \ne - 1 \Leftrightarrow x \ne \pi + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ nên C sai.

Câu 4 :

Nghiệm của phương trình $\cos x = - \dfrac{1}{2}$ là:

A

$x = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi $.
B

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi $.
C

$x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi $.
D

$x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi $.

Lời giải chi tiết :

$\cos x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \dfrac{{2\pi }}{3}$$ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$

Câu 5 :

Điểm $O\left( {0;0} \right)$ luôn thuộc đồ thị hàm số

A

$y = \cos x$
B

$y = \sin x$
C

$y = \cot x$
D

$y = \tan x - 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay tọa độ điểm $O$ vào tủng hàm số và kiểm tra.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A sai vì $\cos 0 = 1$.

Đáp án B đúng vì $\sin 0 = 0$.

Đáp án C sai vì $\cot 0$ không xác định.

Đáp án D sai vì $\tan 0 - 1 = - 1 \ne 0$.

Câu 6 :

Tìm chu kì của các hàm số sau $y = \sin \sqrt x $

A

Hàm số không tuần hoàn
B

${T_0} = 2\pi $
C

${T_0} = \pi $
D

${T_0} = 4{\pi ^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm tập xác định $D$ của hàm số. Kiểm tra điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
x + T \in D\\
x - T \in D
\end{array} \right.{\rm{ }}\forall x \in D$. Nếu thỏa mãn ta kiểm tra tiếp điều kiện $f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)$ đối với hàm số $f\left( x \right) = \sin \sqrt x $.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = \left[ {0; + \infty } \right)$. Thay lần lượt các đáp án B, C, D vào $x - T$, nếu $\exists x \in D:x - T \notin D $ hoặc $\exists x \in D:x +T \notin D $ thì đáp án không thỏa mãn. Chẳng hạn, ta thử đáp án B: $T = 2\pi $.

Với $x = 0 \Rightarrow x - T = - 2\pi \notin D \Rightarrow $ $\exists x \in D:x - T \notin D \forall T > 0$.

Vậy hàm số không tuần hoàn.

Câu 7 :

Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}$.

Câu 8 :

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y = \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}}$

A

$\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 4$
B

$\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 3$
C

$\min y = \dfrac{4}{3};\max y = 2$
D

$\min y = \dfrac{1}{2};\max y = 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Sử dụng đánh giá $ - 1 \le \sin x \le 1$ hay $0 \le {\sin ^2}x \le 1$ để đánh giá vế phải của $y$.

+) Với hai vế bất đẳng thức đều dương: Ta lấy nghịch đảo hai vế thì bất đẳng thức đổi chiều từ $\ge$ sang $\le$ và chuyển từ $\le$ sang $\ge$

+) Khi nhân số dương với 2 vế của bất đẳng thức thì bất đẳng thức không đổi chiều.

Lời giải chi tiết :

+) Tìm GTLN

$\begin{array}{l}{\sin ^2}x \ge 0 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \ge 0\end{array}$$\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \ge 1$

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le \dfrac{1}{1}=1 $

Nhân 2 vế với 4 ta được:

$\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \le 4.1 = 4\\\Rightarrow y \le 4$

Dấu “=” xảy ra khi ${\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow\sin x = 0$.

+) Tìm GTNN

$\begin{array}{l}{\sin ^2}x \le 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}x \le 2\\\Rightarrow 1 + 2{\sin ^2}x \le 1 + 2 = 3\end{array}$

Lấy nghịch đảo 2 vế bất đẳng thức ta được:

$\dfrac{1}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{1}{3}$

Nhân 2 vế với 4 ta được:

$\Rightarrow \dfrac{4}{{1 + 2{{\sin }^2}x}} \ge \dfrac{4}{3}\\\Rightarrow y \ge \dfrac{4}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\sin ^2}x= 1\Leftrightarrow\sin x = \pm 1$.

Vậy GTLN là 4, GTNN là $\dfrac{4}{3}$.

Câu 9 :

Tìm tập xác định của hàm số sau $y = \tan 3x.\cot 5x$

A

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
B

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{5} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
C

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{4},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$
D

$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3},\dfrac{{n\pi }}{5};k,n \in \mathbb{Z}} \right\}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Hàm số $y = \tan x$ xác định nếu $\cos x \ne 0$.

- Hàm số $y = \cot x$ xác định nếu $\sin x \ne 0$.

- Sử dụng các công thức

$\cos a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$

$\sin a \ne 0 \Leftrightarrow a\ne k\pi$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\tan 3x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}$ và $\cot 5x=\dfrac{\cos 5x}{\sin 5x}$

=> Điều kiện của hàm số là:

$\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\sin 5x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\5x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{6} + k\dfrac{\pi }{3}\\x \ne k\dfrac{\pi }{5}\end{array} \right.$

Câu 10 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau $y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} $

A

$\max y = 1,\min y = 1 - \sqrt 3 $
B

$\max y = 3,\min y = 1 - \sqrt 3 $
C

$\max y = 2,\min y = 1 - \sqrt 3 $
D

$\max y = 0,\min y = 1 - \sqrt 3 $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng $ 0 \le \cos ^2 x \le 1$ để đánh giá biểu thức $y = 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} $, từ đó tìm được GTNN, GTLN của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $0 \le {\cos ^2}x \le 1$$\Rightarrow 2.0 \le 2.{\cos ^2}x \le 2.1$

$ \Rightarrow 0 \le 2{\cos ^2}x \le 2$$ \Rightarrow 0 + 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 2 + 1$ $ \Rightarrow 1 \le 2{\cos ^2}x + 1 \le 3$

$ \Rightarrow 1 \le \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \le \sqrt 3 $

$\begin{array}{l} \Rightarrow - 1 \ge - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \ge - \sqrt 3 \\ \Rightarrow - 1+1 \ge - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} +1 \ge1 - \sqrt 3 +1\end{array}$

$ \Rightarrow 0 \ge 1 - \sqrt {2{{\cos }^2}x + 1} \ge 1 - \sqrt 3 $

$ \Rightarrow 1 - \sqrt 3 \le y \le 0$

Do đó $\min y = 1 - \sqrt 3 $ khi ${\cos ^2}x = 1$ và $\max y = 0$ khi $\cos x = 0$.

Câu 11 :

Nghiệm của phương trình $\cos x + \sin x = 0$ là:

A

$x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.
B

$x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi $.
C

$x = k\pi $.
D

$x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi $.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi $.

- Áp dụng công thức: $\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)=-\sin x$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\cos x + \sin x = 0 $

$\Leftrightarrow \cos x = - \sin x$

$ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{2}} \right)$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = x + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \left( {VN} \right)\\x = - x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow 2x =- \dfrac{\pi }{2} + k2\pi $

$\Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi }{4} + k\pi $.

Câu 12 :

Tập nghiệm của phương trình $\tan x.\cot x = 1$ là:

A

$R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$
B

$R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}$
C

$R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}$
D

$R$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\tan x.\cot x = 1$ nên ta chỉ cần tìm điều kiện xác định của phương trình.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2} \Rightarrow D = R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Do $\tan x.\cot x = 1,\forall x \in D$ nên tập nghiệm của phương trình là $R\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},k \in Z} \right\}$

Bài liên quan